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第十六章 整式的乘法 单元测试2026-2027学年人教版
八年级数学上册
一、单选题
1．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
3．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．下列各式可以利用平方差公式计算的是( )
A． B．
C． D．
5．如图1，从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图2所示的长方形．根据图形的变化过程可以验证等式（　　）
A． B．
C． D．
6．已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．若，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．25
9．如图，杨辉三角是我国古人奉献给人类的数学遗产之一，图中的三角形解释二项式的展开式的各项系数．根据“杨辉三角”提供的展开式的各项系数的规律，探究的展开式中第三项的系数为（　　）
A．210 B．156 C．136 D．120
10．若多项式可用完全平方公式进行因式分解，则a的值为（　　）
A．4 B． C．2 D．
二、填空题
11．若表示一种新的运算，其运算法则为，则的结果为________．
12．已知，，则的值为_________________．
13．如图，有正方形A，B，将A，B并列放置后构造新的图形，分别得到长方形甲与正方形乙．若甲、乙中阴影部分的面积分别12，30，则正方形B的面积为________．
14．计算：___________．
15．若，则代数式的值是___．
三、解答题
16．阅读材料：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法：
①比较，的大小：当时，，所以当同底数时，指数越大，值越大；
②比较和的大小：因为，，所以．
可以将其先化为同指数，再比较大小，所以同指数时，底数越大，值越大．
根据上述材料，解答下列问题：
(1)比较大小：__________（填“”或“”）
(2)已知，，，试比较，，的大小．
17．为响应“创建全国文明城市”的号召，某村不断美化环境，拟在一块长为，宽为的长方形空地上修建如图所示的十字形花圃（非阴影部分），在花圃内种花，其余部分（阴影部分）种草．
(1)求花圃的面积（用含的式子表示）；
(2)若建造花圃的费用为每平方米100元，种草的费用为每平方米50元，当时，求美化这块空地共需要多少元？
18．对x，y定义一种新运算T，规定：（其中m，n均为非零常数）．例如：．
(1)已知：．
①求m，n的值；
②已知关于p的不等式组，求p的取值范围
(2)当时，对于任意实数x，y都成立，请求出m，n满足的关系式．
19．计算：
(1)
(2)
(3)
20．如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．
(1)图②中的大正方形的边长为_______；阴影部分的正方形的边长为_______；
(2)请用两种方式表示图②中阴影部分的面积；
(3)观察图②，、、这三个代数式之间有何数量关系？若，求的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B A A D C B C D D
1．【答案】D
【知识点】同底数幂相乘
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握法则是解题关键．
根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加，直接计算即可．
【详解】∵ ，
∴ 结果为 ．
故选D．
2．【答案】B
【知识点】积的乘方运算
【分析】此题主要考查了积的乘方运算．利用积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，进而得出答案．
【详解】解：．
故选：B．
3．【答案】A
【知识点】计算单项式乘单项式
【分析】本题考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘法法则，系数相乘，同底数幂相乘，指数相加即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：，
故选：．
4．【答案】A
【知识点】运用平方差公式进行运算
【分析】本题考查平方差公式，平方差公式的结构为，要求相乘的两个二项式有一项完全相同，另一项互为相反数，据此逐项判断即可．
【详解】解：选项A:，其中是相同项，与互为相反数，符合平方差公式结构，可得，可以用平方差公式计算，此项符合题意．
选项B:，不符合平方差公式结构，不可以用平方差公式计算，此项不符合题意．
选项C:，不符合平方差公式结构，不可以用平方差公式计算，此项不符合题意．
选项D:，不符合平方差公式结构，不可以用平方差公式计算，此项不符合题意．
5．【答案】D
【知识点】平方差公式与几何图形
【分析】本题考查平方差公式与几何图形的面积，由图1中大正方形的面积小正方形的面积图2长方形的面积，即可得出结果．
【详解】解：由题意，；
故选D．
6．【答案】C
【知识点】运用完全平方公式进行运算
【分析】本题主要考查完全平方公式的运用，掌握完全平方公式的计算是解题的关键．利用完全平方公式，将展开为，然后代入已知值计算．
【详解】解：∵，
又∵，，
∴
故答案为：C．
7．【答案】B
【知识点】幂的乘方运算
【分析】本题主要考查了幂的乘方运算及幂的大小比较，熟练掌握“将不同底数的幂转化为同底数幂，再通过指数（或底数）比较大小”是解题的关键．将、转化为同底数幂的形式，再通过比较幂的底数和指数大小，确定、、的关系．
【详解】解：∵ ，，，底数，指数均为14
∴ ，即
∵ 底数均为3，指数，
∴ ，即，
∴
故选：.
8．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式——化简求值
【分析】本题考查多项式乘以多项式，通过展开左边多项式并与右边比较系数，解出m和n的值，再计算即可．
【详解】解：
．
．
∴，解得；，解得；
∴，
故选C．
9．【答案】D
【知识点】数字类规律探索、多项式乘法中的规律性问题
【分析】本题考查整式的乘法中的找规律，正确掌握找规律的方法是解题的关键．
根据题意，得出展开式中第三项的系数的规律，再根据规律计算即可求解．
【详解】解：根据题意，可得展开式中第三项的系数为：
当时，的展开式中第三项的系数为，
当时，的展开式中第三项的系数为，
当时，的展开式中第三项的系数为，
当时，的展开式中第三项的系数为，
当时，的展开式中第三项的系数为．
故选：D．
10．【答案】D
【知识点】求完全平方式中的字母系数
【分析】熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题关键，
根据完全平方公式的结构对比对应项系数，即可求出a的值．
【详解】解：∵多项式可用完全平方公式进行因式分解，
∴，
展开得，
∴，
则．
11．【答案】
【知识点】整式乘法混合运算
【分析】根据题目给出的算法计算即可．
【详解】解：由题意得，
=，
=
=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了新定义运算和整式运算，解题关键是准确理解题意，得出正确的整式运算算式，熟练进行计算．
12．【答案】3
【知识点】运用平方差公式进行运算
【分析】此处考查了因式分解的应用．利用平方差公式，将已知条件代入求解．
【详解】解：由平方差公式，得 ，
代入已知和，
得，
解得，
故答案为：3．
13．【答案】3
【知识点】多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
设正方形A的边长为，正方形B的边长为，用代数式表示图甲、图乙中阴影的面积，整体代入计算即可得到答案．
【详解】解：设正方形A的边长为，正方形B的边长为，
由题意得：图甲中阴影的面积为，
；
图乙中阴影的面积为，
，
，
，
正方形B的面积为，
故答案为：．
14．【答案】
【知识点】积的乘方的逆用
【分析】本题主要考查积的乘方，利用积的乘方进行拆分化简是解题的关键．
首先将原式中的指数进行拆分，利用同指数幂的乘法法则进行化简计算即可．
【详解】解：原式
；
故答案为：．
15．【答案】
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、整式的混合运算
【分析】本题主要考查代数式求值和单项式乘多项式等，掌握降幂求解是解题的关键．
先将进行化简，再对进行降幂求解即可．
【详解】解：∵，
∴，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
16．【答案】(1)
(2)
【知识点】幂的乘方的逆用
【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算及有理数的乘方运算，熟练掌握幂的乘方的逆运算是解题关键．
（1）根据幂的乘方的逆运算进行化简比较即可；
（2）根据题目中的方法，变化成指数相同时，比较底数即可．
【详解】（1）因为，，
所以．
故答案为：；
（2）因为，
，
，
且，
所以，
所以．
17．【答案】(1)花圃的面积为
(2)美化这块空地共需要90000元
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、列代数式、整式四则混合运算
【分析】本题考查列代数式，整式四则运算的实际应用及代数式求值．
（1）根据题意列得代数式，根据整式四则运算法则计算即可；
（2）结合（1）中所求列式计算即可．
【详解】（1）解：由题意得：
即花圃的面积为；
（2）解：
，
当时，
原式（元），
答：美化这块空地共需要90000元．
18．【答案】(1)①；②p的取值范围为
(2)m，n满足的关系式
【知识点】构造二元一次方程组求解、求不等式组的解集、整式的混合运算
【分析】本题以新定义题型为背景，考查了二元一次方程组、一元一次不等式组以及整式的混合运算，正确理解题意是解题关键．
（1）①根据定义求出，即可建立关于m，n的二元一次方程组求解；②分别表示出、即可求解；
（2）分别表示出，令其相同项的系数相等即可．
【详解】（1）解：①∵，
∴
解得：
②∵，
∴
解得：；
解得：
∴
（2）解：∵，
∴
整理得：
∵对于任意实数x，y都成立，
∴
19．【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法；
（1）根据完全平方公式可以解答本题；
（2）根据平方差公式可以解答本题；
（3）根据平方差公式可以解答本题．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
20．【答案】(1)，
(2)，
(3)
【知识点】用代数式表示数、图形的规律、已知式子的值，求代数式的值、完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】本题考查了完全平方公式的几何意义与代数运算，以及非负数的性质，通过图形拼接理解代数公式是解答本题的关键．
（1）结合长方形的长、宽与拼接后图形的边长关系，确定大正方形和阴影正方形的边长；
（2）从 “阴影图形本身的形状” 和 “大图形与小图形的面积差” 两个角度，表示阴影部分的面积；
（3）通过观察图形面积的数量关系，推导代数公式，再利用绝对值的非负性求出对应字母的值，代入公式计算结果．
【详解】（1）解：大正方形的边长，阴影部分的正方形的边长；
（2）解：阴影部分的面积第一种直接用，
第二种可看作用大正方形的面积减去4个小长方形的面积为；
（3）解：由（2）可得，
，
由题意可得，，
代入上式可得．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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