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第十七章 因式分解 单元测试2026-2027学年人教版
八年级数学上册
一、单选题
1．已知，则a的值为（ ）
A．1 B．3 C． D．
2．多项式的公因式是（ ）
A． B． C． D．
3．下列多项式中，没有公因式的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
4．利用因式分解计算等于（ ）
A．1 B． C．533 D．534
5．下列式子从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，分别对应下列六个字：爱，我，利，津，学，校．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．利津爱学 B．我爱利津 C．利津学校 D．我爱学校
7．将多项式分解因式后有一个因式为，则另一个因式是（ ）
A． B． C． D．
8．分解因式后结果是的多项式是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，长方形的长、宽分别为、，面积为6，比大2，则的值为（ ）
A．12 B．21 C．8 D．49
10．已知，，为的三边长，且满足，则是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
二、填空题
11．下列由左边到右边的变形，是因式分解的有_______ （填序号）
①a（x＋y）＝ax＋ay；
②10x2－5x＝5x（2x－1）；
③y2－4y＋4＝（y－2）2；
④t2－16＋3t＝（t－4）（t＋4）＋3t．
12．多项式，则各项的最大公因式是________．
13．已知，，则________．
14．2025年“湘超”联赛益阳赛场在边线旁为球员设置长方形临时休息区，如图该休息区的周长为14，面积为（a、b分别为休息区的长和宽，），则的值为______．
15．在括号内填入适当的单项式，使多项式能因式分解，则括号内的单项式可以是______．（填一种即可）
三、解答题
16．下列从左到右的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
17．给出6个整式：，，，2，，．
(1)从上面的6个整式中选择2个合适的整式，组成一个分式；
(2)从上面的6个整式中选择2个合适的整式进行加法运算，并将运算结果进行因式分解．
18．计算、因式分解
(1)
(2)
(3)
(4)
19．如图，在半径为R的圆形钢板上冲出半径为r的四个小圆孔．若，，请你利用因式分解的方法计算出剩余钢板的面积．（取3）
20．常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多项式用上述方法无法分解，例如 ，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式就可以完整的分解了，具体分解过程如下：
这种方法叫分组分解法，请利用这种方法因式分解下列多项式：
(1) ；
(2) ．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B B C D B C A A C
1．【答案】B
【知识点】已知因式分解的结果求参数
【详解】解：∵，
∴．
2．【答案】B
【知识点】公因式
【分析】根据公因式的确定方法：先找系数最大公约数，再找公共相同字母，最后取相同字母的最低次幂即可得到结果．
【详解】解：多项式的公因式是．
3．【答案】B
【知识点】公因式
【分析】本题考查了公因式，掌握公因式是多项式中每项都有的因式是解题关键．根据公因式的定义可得答案．
【详解】解：A、和有公因式，不符合题意；
B、和没有公因式，符合题意；
C、和有公因式，不符合题意；
D、和有公因式，不符合题意；
故选：B．
4．【答案】C
【知识点】因式分解在有理数简算中的应用
【分析】本题考查因式分解在有理数简算中的应用．
通过提取公因式进行因式分解，将表达式转化为简单乘法计算．
【详解】解：
．
故选：C．
5．【答案】D
【知识点】判断是否是因式分解
【分析】根据因式分解的定义，因式分解是将一个多项式化为几个整式的乘积的形式，需满足结果为整式乘积、变形后等式成立，据此判断各选项即可．
【详解】解：A选项：右边为，是和的形式，不是整式乘积，故A不符合要求；
B选项：右边中，是分式，不是整式，故B不符合要求；
C选项：左边是整式乘积，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解，故C不符合要求；
D选项：左边是多项式，右边是整式的乘积，且展开得，等式成立，符合因式分解的定义，故D符合要求．
6．【答案】B
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题考查因式分解：先提取公因式，再利用平方差公式分解因式，得到因子对应的汉字，组合后匹配选项．
【详解】解：∵，
∴分解后的因子为8，，，，
对应汉字为：利、津、爱、我，
组合后为“我爱利津”，
故选：B．
7．【答案】C
【知识点】十字相乘法
【分析】本题考查因式分解—十字相乘法，准确的计算是解决本题的关键．
根据十字相乘法进行因式分解即可．
【详解】解：由题意得，
，
故选C．
8．【答案】A
【知识点】完全平方公式分解因式
【分析】本题考查了因式分解和完全平方公式的应用，解题的关键是掌握完全平方公式的结构特征，并能正确提取负号．将各选项逐一因式分解，与进行比对，判断是否符合题意．
【详解】解：A、，此选项符合题意；
B、，无法分解为，此选项不符合题意；
C、，此选项不符合题意；
D、，此选项不符合题意．
故选：A．
9．【答案】A
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、提公因式法分解因式
【分析】此题考查因式分解的应用，根据题意得到，代入所求代数式因式分解后的因式中计算即可
【详解】解：∵长方形的长、宽分别为、，面积为6，比大2，
∴，
∴，
故选：A
10．【答案】C
【知识点】因式分解的应用、等边三角形的判定
【分析】对已知等式变形配方，利用平方数的非负性推导三边关系，即可判断三角形形状．
【详解】解：∵，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∵，，，
∴，
可得 ，
∴是等边三角形．
11．【答案】②③．
【知识点】判断是否是因式分解
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【详解】解：①a（x+y）=ax+ay，等式从左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故不符合题意；
②10x2-5x=5x（2x-1），等式从左边到右边的变形属于因式分解，符合题意；
③y2-4y+4=（y-2）2，等式从左边到右边的变形属于因式分解，符合题意；
④t2-16+3t=（t-4）（t+4）+3t，等式从左边到右边的变形不属于因式分解，故不符合题意；
即等式从左边到右边的变形，属于因式分解的有②③，
故答案为：②③．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
12．【答案】/
【知识点】公因式
【分析】本题考查多项式最大公因式的求解，按照先找系数的最大公约数，再找各项共有的相同字母的最低次幂，将两者相乘即可得到结果．
【详解】解：多项式的各项系数为，其绝对值的最大公约数是．
各项都含有的字母为，只出现在第二项中，因此公因式不含．的最低次幂是，的最低次幂是．
因此该多项式各项的最大公因式为．
13．【答案】3
【知识点】平方差公式分解因式
【分析】此题考查了利用平方差公式求值．利用平方差公式对进行因式分解，再代入已知等式求解的值．
【详解】解：根据平方差公式，
将，代入上式，得
解得
故答案为：3
14．【答案】
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、因式分解的应用
【分析】本题考查了求代数式的值，由题意可得，，则，整体代入所求式子计算即可得出结果，采用整体代入的思想是解此题的关键．
【详解】解：由题意可得：，，
∴，
∴，
故答案为：．
15．【答案】
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题考查因式分解的知识，解题的关键是掌握因式分解的方法，根据题意，多项式，当括号内的单项式为时，因式分解为：，进行解答，即可．
【详解】解：∵，
∴，
当括号内的单项式为时，
∴．
故答案为：．
16．【答案】(1)不是因式分解
(2)不是因式分解
(3)是因式分解
(4)不是因式分解
(5)不是因式分解
【知识点】判断是否是因式分解
【分析】本题考查了因式分解的意义，注意因式分解是针对多项式而言的，因式分解后，右边是整式积的形式．
根据分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式
【详解】（1）解：因式分解是针对多项式来说的，故不是因式分解；
（2）解：等号右边不是整式积的形式，不是因式分解；
（3）解：是因式分解；
（4）解：等号右边不是整式积的形式，不是因式分解；
（5）解：等号右边不是整式积的形式，不是因式分解．
17．【答案】(1)等，答案不唯一
(2)，答案不唯一
【知识点】提公因式法分解因式、整式的加减运算、按要求构造分式
【分析】（1）根据分式的概念求解即可；
（2）首先根据整式的加法运算法则计算，然后利用因式分解的方法求解即可．
【详解】（1）分式有：等，答案不唯一；
（2）
，答案不唯一
【点睛】此题主要考查了分式的定义，整式的加减运算，因式分解，正确把握分式的定义，整式的加减运算和因式分解的方法是解题关键．判断分式的依据是看分母中是否含有未知数，如果含有未知数则是分式，如果不含有未知数则不是分式．
18．【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】单项式乘多项式的应用、计算单项式除以单项式、提公因式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式
【分析】此题考查了整式的混合运算和因式分解，熟练掌握相关运算法则和因式分解的方法是关键．
（1）利用单项式的除法和乘法计算即可；
（2）利用单项式的乘法和单项式乘以多项式计算，再合并同类项即可；
（3）先提取公因式，再用平方差公式分解因式即可；
（4）利用提公因式法分解因式即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）
19．【答案】剩余钢板的面积为
【知识点】因式分解的应用
【分析】本题是因式分解的应用，用大圆的面积减去4个小圆的面积即可得到剩余部分的面积，分解因式后把半径的值代入后可得结果，熟练地运用平方差公式进行计算是解题的关键．
【详解】解：
．
则剩余钢板的面积为．
20．【答案】(1)
(2)
【知识点】分组分解法
【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．
（1）用分组分解法分解即可；
（2）用分组分解法分解即可．
【详解】（1）原式
（2）原式
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