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第十三章 三角形 单元测试2026-2027学年人教版
八年级数学上册
一、单选题
1．下列图形中，是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
2．“生活中处处有数学”，如图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就可以得到一个著名的常用的几何结论，这一结论是（ ）
A．三角形的内角和等于 B．三角形的内角和等于360°
C．直角三角形的两个锐角互余 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
3．如图中包含的直角三角形的个数是　　
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
4．如图，下列说法错误的是（ ）
A．DF是的边 B．是的内角
C．以为内角的三角形有3个 D．以BC为边的三角形有3个
5．如图，在正方形网格图中，均为格点，则的重心在（ ）
A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上
6．如图，是的角平分线，于点，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，直线，直线与直线，分别相交于点，，，垂足为．若，则（ ）．
A． B． C． D．
8．下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的是（　　）
A． B． C． D．
9．中，各角的度数有下列关系：，则一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不能确定
10．如图所示的是一个直三棱柱的展开图，其中，则的长度可能是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题
11．如图，工人在装修时总会在四边形木条支架的对角处再安装一根木条，这样做支架就会更牢固，这样做的依据是________．
12．三角形内角和定理：三角形内角和等于_______．
13．如图，三角形中，，是边上两点，连接，，数一数图中角（小于平角）的个数，一共有________个．
14．如图，四边形中，，点、点在上，将沿折叠，点落在点处，线段所在的直线平分，将沿折叠，点刚好落在线段上的点处，且两条折痕形成的，则______．
15．如图，是的角平分线，，垂足为D，，则__________．
三、解答题
16．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC上的一点，将△ABC沿AD翻折后，点B恰好落在线段CD上的B'处，且AB'平分∠CAD．求∠BAB'的度数．
17．如图，在中，B是边上一点，，，，求和的度数．
18．如图，在中，，，，，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒．
(1)___________（用的代数式表示）．
(2)当点在边上运动时，出发 ___________秒后，是等腰三角形．
(3)当点在边上运动时，出发几秒后，是等腰三角形？
19．我们规定，若三角形满足：①各边互不相等且均为整数；②最短边上的高与最长边上的高的比值为整数k，则称此三角形为“比高三角形”，其中k叫作“比高系数”．
(1)如图，在中，于点，请判断是否是“比高三角形”．若是，请求出其“比高系数”；若不是，请说明理由；
(2)若周长为的是“比高三角形”，且一边长为，则的“比高系数”为______．
20．如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点．
(1)若，，则______，______；
(2)若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化？并说明理由；
(3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数______．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C D B A B D C B
1．【答案】B
【知识点】三角形的识别与有关概念
【分析】本题主要考查了三角形的定义，三角形是由同一平面内，不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形，据此可得答案．
【详解】解：由三角形的定义可知，四个选项中，只有B选项中的图形是三角形，
故选：B．
2．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理的证明
【分析】本题考查三角形的内角和定理的图形证明．根据图形和平角为180°即可解答．
【详解】解：由图可知折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，三个角拼成一个平角，
即三个角的度数之和为，这就是三角形的内角和定理．
故选：A．
3．【答案】C
【知识点】三角形的分类
【分析】利用直角三角形定义结合图形可得答案．
【详解】解：图中三角形有：，，，，共5个，
故选：．
【点睛】此题主要考查了三角形，关键是掌握直角三角形的定义．
4．【答案】D
【知识点】三角形的识别与有关概念
【分析】此题考查三角形的识别与有关概念，关键是根据三角形的内角和边进行解答．
根据三角形的内角和边判断即可．
【详解】解：A、是的边，说法正确，不符合题意；
B、是的内角，说法正确，不符合题意；
C、以为内角的三角形有个，分别为、、，说法正确，不符合题意；
D、以为边的三角形有个，分别是、、、，说法错误，符合题意；
故选：D．
5．【答案】B
【知识点】重心的概念
【分析】本题主要考查了重心的概念．根据三角形的重心是三角形中线的交点即可判断重心的位置．
【详解】解：∵，
∴是的中线，
∵三角形的重心是三角形中线的交点，
∴它的重心在线段上．
故选：B．
6．【答案】A
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】该题考查了三角形内角和定理，先根据三角形内角和定理求出，结合角平分线求出，根据三角形内角和定理求出，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
7．【答案】B
【知识点】两直线平行同位角相等、与平行线有关的三角形内角和问题
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据题意得到，，根据三角形内角和定理计算即可得到答案．
【详解】解：，，，
，，
，
故选： B．
8．【答案】D
【知识点】三角形的稳定性及应用
【分析】根据三角形的稳定性解答即可．
【详解】解：选项D中活动衣架上没有三角形，其余A、B、C选项中都含有三角形，
由三角形的稳定性可知，选项D中没有利用三角形的稳定性，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的稳定性，正确的理解题意是解题的关键．
9．【答案】C
【知识点】三角形的分类、三角形内角和定理的应用
【分析】设，利用三角形内角和定理求出三个内角的度数，即可判断三角形类型．
【详解】解：设，
，
，，
，
解得：，
，最大角为钝角，
是钝角三角形．
10．【答案】B
【知识点】几何体展开图的认识、确定第三边的取值范围
【分析】本题考查直三棱柱的展开图、三角形的三边关系，由题意得，，，再根据三角形的三边关系得，，，求得的取值范围，根据此范围即可求解．
【详解】解：由题意得，，，
∴，
∵，，
∴，，即，
∴，，
∴，
∴的长度可能是4，
故选：B．
11．【答案】三角形具有稳定性
【知识点】三角形的稳定性及应用
【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据三角形的稳定性进行解答．
【详解】解：工人在装修时总会在四边形木条支架的对角处再安装一根木条，这样做支架就会更牢固，这样做的依据是三角形具有稳定性．
故答案为：三角形具有稳定性．
12．【答案】180°
【知识点】三角形内角和定理的证明
【解析】略
13．【答案】
【知识点】角的概念理解、三角形的识别与有关概念
【分析】本题主要考查了角的计数，熟练掌握按顶点分类计数、不重复不遗漏地数出所有角是解题的关键．先按顶点分类，依次找出以点、、、、为顶点的所有小于平角的角，再将各类角的数量相加得到总数．
【详解】解：以点为顶点的角：，共个，
以点为顶点的角：，，，，，，共个，
以点为顶点的角：，，共个，
以点为顶点的角：，，共个，
以点为顶点的角：，共个，
，
故答案为：
14．【答案】/度
【知识点】三角形折叠中的角度问题、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，由折叠的性质可得，设，则由平行线的性质可得，再由角平分线的定义推出，进而由平角的定义得到，则由三角形内角和定理可得，解方程即可得到答案．
【详解】解：由折叠的性质可得，
设，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为；．
15．【答案】/58度
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、直角三角形的两个锐角互余
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是掌握以上性质．
根据垂直得出直角三角形，利用直角三角形的两个锐角互余得到角的度数关系，然后利用三角形的内角和定理得出，求出，然后利用角平分线的定义和直角三角形的性质进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴．
16．【答案】60°
【知识点】三角形折叠中的角度问题
【分析】由折叠和角平分线可求∠BAD=30°，即可求出∠BAB'的度数．
【详解】解：由折叠可知，∠BAD=∠B'AD，
∵AB'平分∠CAD．
∴∠B'AC=∠B'AD，
∴∠BAD=∠B'AC=∠B'AD，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD=∠B'AC=∠B'AD=30°，
∴∠BAB'=60°．
【点睛】本题考查了折叠和角平分线，解题关键是掌握折叠角相等和角平分线的性质．
17．【答案】，
【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用
【分析】根据，结合，，得到，继而得到，根据，得到，结合
解答即可．
本题考查了三角形外角性质，三角形内角和定理，角的和，熟练掌握三角形外角，三角形内角和定理是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
18．【答案】(1)；
(2)；
(3)为或或．
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、等腰三角形的定义
【分析】（）根据线段和差即可求解；
（）用可分别表示出和，根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于的方程，可求得；
（）用分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和，三种情况，分别得到关于的方程，可求得的值；
本题考查了等腰三角形的性质，方程思想和分类讨论思想，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）由题意可知，，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）当点在边上运动，为等腰三角形时，则有，
即，解得，
∴出发秒后，能形成等腰三角形；
故答案为：；
（3）当是以为底边的等腰三角形时：，如图所示，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当是以为底边的等腰三角形时：，如图所示，
则，
∴；
当是以为底边的等腰三角形时：，如图所示，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述：当为或或时，是等腰三角形．
19．【答案】(1)不是“比高三角形”，理由见解析
(2)3或2
【知识点】三角形三边关系的应用、与三角形的高有关的计算问题
【分析】本题主要考查了三角形面积的计算，三角形三边关系的应用等知识．
（1）先根据题意得出为最短边上的高，为最长边上的高，再根据等面积法求出，最后根据“比高三角形”的定义判断即可．
（2）根据三角形三边关系结合“比高三角形”的定义得出的三边长分别为，，或，，．设最短边上的高为，最长边上的高为，再结合三角形的面积计算以及“比高三角形”的定义即可得出答案．
【详解】（1）解：不是“比高三角形”，理由如下：
∵，
∴为最短边上的高，为最长边上的高，
∵，
∴，
∴，k不是整数，
∴不是“比高三角形”；
（2）解：∵周长为的是“比高三角形”，且一边长为，
∴为的最长边，
当其中一边为时，则另外一边为，此时不满足各边互不相等且均为整数的条件，
故的三边长分别为，，或，，．
设最短边上的高为，最长边上的高为，
当三边长分别为，，时，
，
解得：，即，
当三边长分别为，，．时，
，
解得：，即，
综上所述， 的“比高系数"k为3或2．
20．【答案】(1)115，25
(2)不会发生变化，理由见解析
(3)或或或
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、与平行线有关的三角形内角和问题、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】（1）由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解；
（2）同理由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解；
（3）设，则，再由不变，即可分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，分别列出关于的等式，解出即可．
【详解】（1）解：，，
．
平分，
．
，
，．
平分，
．
；
，
．
平分，平分，
，．
，
，即，
．
故答案为：115，25；
（2）解：不会发生变化，理由如下：
，
．
，
，．
平分，平分，
，．
．
，
，
，
．
当的度数发生变化时，、的度数不发生变化；
（3）解：设，
．
，
，，
平分，平分，
，，
．
．
平分，平分，
，，
，
，
中存在一个内角等于另一个内角的三倍，
①当时，，
解得：
②当时，，
解得：
③当时，，
解得：
④当时，，
解得：
综上可知，或或或．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识．熟练运用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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