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第3节　等比数列
[课程标准要求]
1.通过生活中的实例,理解等比数列的概念和通项公式的意义.
2.探索并掌握等比数列的前n项和公式,理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系.3.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题.4.体会等比数列与指数函数的关系.
夯实·必备知识
知识梳理
1.等比数列的有关概念
(1)定义:一般地,如果一个数列从第 项起,每一项与它的前一项的比都等于 ,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的 ,公比通常用字母q表示(显然q≠0),定义的表达式为 =q(n∈N*,q为非零常数).
2
同一个常数
公比
(2)等比中项:如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么 叫做a与b的等比中项.即G是a与b的等比中项 a,G,b成等比数列 .
G
G2=ab
释疑
·
只有两个同号的数,才有等比中项,并且等比中项有两个.
2.等比数列的有关公式
等比数列{an}的首项为a1,公比为q.
(1)通项公式:an= .
(2)前n项和公式:
a1qn-1
3.等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广:an=am· (n,m∈N*).
(2)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am · an= .
qn-m
ap·aq
(4)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,
an+2k,an+3k,…为等比数列,公比为qk.
(5)在等比数列{an}中,若Sn为其前n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…也成等比数列(n为偶数且q=-1除外).
释疑
·
基础自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)满足an+1=qan(n∈N*,q为常数)的数列{an}为等比数列.(　　)
(2)G为a,b的等比中项 G2=ab.(　　)
(3)若数列{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列{bn}也是等比数列.(　　)
(4)若数列{an}为等比数列,则数列{ln an}是等差数列.(　　)
×
×
×
×
×
2.[人教A版选择性必修第二册P35例7(3)改编]已知在等比数列{an}中,a1=2,
q=2,前n项和Sn=126,则n等于(　　)
A.9 B.8 C.7 D.6
D
3.[人教A版选择性必修第二册P34练习T2(1)改编]将公比为q的等比数列a1,
a2,a3,a4,…依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2,a2a3,a3a4,…,则此数列是(　　)
A.公比为q的等比数列
B.公比为q2的等比数列
C.公比为q3的等比数列
D.不一定是等比数列
B
4.(人教A版选择性必修第二册P34练习T1改编)在1和9中间插入3个数,使这
5个数成正项等比数列,则中间3个数的积等于　　　　.
27
5.[人教A版选择性必修第二册P37练习T1(3)改编]在等比数列{an}中,a3=3,
S3=9,则公比q=　　　　.
提升·关键能力
等比数列基本量的运算
考点1
B
(2)等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a3=4,a2+a4=8,则S5=(　　)
C
解题策略
·
解决等比数列基本量运算问题的思想方法
(1)方程的思想:等比数列的通项公式、前n项和公式联系着五个量:a1,q,n,
an,Sn,已知其中三个量,可以通过解方程(组)求出另外两个量;其中基本量是a1与q,在解题中根据已知条件建立关于a1与q的方程或者方程组,是解题的关键.
(2)整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求都用a1,q表示,寻求两者间的联系,整体代换即可求解.
解题策略
·
(3)分类讨论思想:若题目中公比q未知,则在运用等比数列前n项和公式时,要对公比分q=1和q≠1两种情况进行讨论.
[针对训练]
1.(2026·广东广州模拟)已知等比数列{an}是递增数列,且{an}的前3项和为39,a1+a2=12,则 a4=(　　)
B
2.已知正项等比数列{an}满足a5-a1=15,a4-a2=6,若an=32,则n=　　　　.
6
等比数列的判定与证明
考点2
[例2] 已知数列{an},各项均为正数,a2=2a1,记Sn为{an}的前n项和.若数列{Sn+a1}是等比数列,求证:数列{an}是等比数列.
[变式探究1] (条件和结论互换)已知数列{an},各项均为正数,a2=2a1,记Sn为{an}的前n项和.若数列{an}是等比数列,求证:数列{Sn+a1}是等比数列.
[变式探究2] (改变题目条件为已知“项”与“和”的关系)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+1-3Sn-4=0,a1=4.证明:数列{an}是等比数列.
等比数列常用的四种判定方法
解题策略
·
(3)通项公式法:若数列的通项公式可写成an=c·qn,c,q均是不为0的常数,n∈N*,则{an}是等比数列.
(4)前n项和公式法:若数列{an}的前n项和Sn=kqn-k(k为常数且k≠0,q≠0,q≠1),则{an}是等比数列.
说明:前两种方法是证明等比数列的常用方法,后两种方法常用于选择题和填空题.
解题策略
·
[针对训练] 已知数列{an}满足a1=5,an+1-2an=3n(n∈N*),记bn=an-3n.求证:{bn}是等比数列.
等比数列的性质
考点3
角度1　等比数列项的性质
[例3] (2026·山东济南模拟)已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=
(　　)
A.7 B.5 C.-5 D.-7
D
解题策略
·
在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用等比数列的性质,特别是“若m+n=p+q,则am·an=ap·aq”,可以减少运算量,提高解题速度.
[针对训练] (2026·吉林长春模拟)已知{an}为正项等比数列,若lg a2,lg a2 024是函数f(x)=3x2-12x+9的两个零点,则a1a2 025=(　　)
A.10 B.104 C.108 D.1012
B
【解析】 由题意可得lg a2,lg a2 024为方程3x2-12x+9=0的两个解,
则lg a2+lg a2 024=4,
解得a2a2 024=104,易知a1a2 025=a2a2 024=104.故选B.
角度2　等比数列分段和的性质
[例4] (2025·全国Ⅰ卷)若一个等比数列的各项均为正数,且前4项和为4,前8项和为68,则该等比数列的公比为　　　　.
2
法二　设该等比数列为{an},Sn是其前n项和,则S4=4,S8=68,
设{an}的公比为q,
所以S4=a1+a2+a3+a4=4,
S8=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8
=a1+a2+a3+a4+a1q4+a2q4+a3q4+a4q4
=(a1+a2+a3+a4)(1+q4)=68,
所以4(1+q4)=68,则1+q4=17,解得q=±2,
因为各项均为正数,故q>0,所以该等比数列的公比为2.
[真题精研] 本题源于教材人教A版选择性必修第二册P37例9,主要考查了等比数列分段和的性质,此类题还可以把条件改为已知具体分段和,或分段和的比的关系进行考查.
A.12 B.36 C.31 D.33
C
(2)若公比为q的正项等比数列{an}中,a1+a2=6,a3+a4=12,则S8=　　　,公比q=　　　.
90
(1)在等比数列{an}中,Sk表示它的前k项和,有Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…也成等比数列(k为偶数且q=-1除外),公比为qk.
(2)在应用等比数列的性质解题时,要注意性质成立的前提条件,有时需要进行适当变形.此外,解题时注意设而不求思想的运用.
解题策略
·
A.3 B.4 C.5 D.7
C
角度3　等比数列奇偶项和的性质
[例5] 已知一个等比数列首项为1,项数是偶数,其奇数项之和为85,偶数项之和为170,则这个数列的项数为(　　)
A.2 B.4 C.8 D.16
C
解题策略
·
[针对训练] 已知项数为奇数的等比数列{an}的首项为1,奇数项之和为21,偶数项之和为10,则这个等比数列的项数为(　　)
A.5 B.7 C.9 D.11
A
教考衔接12　
构造法求数列的通项公式
[教材母题] (人教A版选择性必修第二册P41习题4.3 T8)若数列{an}的首项a1=1,且满足an+1=2an+1,求数列{an}的通项公式及前10项的和.
[名师解读] 求数列通项公式的方法除了我们前面学习过的公式法、累加法、累乘法,还有构造法,其总的思想是根据数列的递推公式,利用构造法转化为特殊的数列(等差、等比数列或可利用累加、累乘求解的数列)求解.
(1)形如 an+1=αan+β(α≠0,1,β≠0)的递推式可用构造法求通项,构造法的基本原理是在递推关系的两边加上相同的数或相同性质的量,使之成为等差数列或等比数列.
谢谢观赏第3节　等比数列
[课程标准要求] 1.通过生活中的实例,理解等比数列的概念和通项公式的意义.2.探索并掌握等比数列的前n项和公式,理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系.3.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题.4.体会等比数列与指数函数的关系.
1.等比数列的有关概念
(1)定义:一般地,如果一个数列从第 2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(显然q≠0),定义的表达式为=q(n∈N*,q为非零常数).
(2)等比中项:如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.即G是a与b的等比中项 a,G,b成等比数列 G2=ab.
只有两个同号的数,才有等比中项,并且等比中项有两个.
2.等比数列的有关公式
等比数列{an}的首项为a1,公比为q.
(1)通项公式:an=a1qn-1.
(2)前n项和公式:
Sn=
3.等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广:an=am·qn-m(n,m∈N*).
(2)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am ·an=ap·aq.
(3)若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0),{},{},{an·bn},{}仍然是等比数列.
(4)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数列,公比为qk.
(5)在等比数列{an}中,若Sn为其前n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…也成等比数列(n为偶数且q=-1除外).
(1)an=·qn,当q>0,且q≠1时,可以看成函数y=cqn,是一个不为0的常数与指数函数的乘积,因此数列{an}各项所对应的点都在函数y=cqx的图象上;当q=1时,{an}为非零常数列.
(2)Sn==-qn+(q≠1),若设a=,则Sn=-aqn+a(a≠0,q≠0,q≠1).由此可知,数列{Sn}的图象是函数y=-aqx+a图象上一系列孤立的点.对于常数列的等比数列,即q=1时,因为a1≠0,所以Sn=na1,由此可知,数列{Sn}的图象是函数y=a1x图象上一系列孤立的点.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)满足an+1=qan(n∈N*,q为常数)的数列{an}为等比数列.(　　)
(2)G为a,b的等比中项 G2=ab.(　　)
(3)若数列{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列{bn}也是等比数列.(　　)
(4)若数列{an}为等比数列,则数列{ln an}是等差数列.(　　)
(5)若数列{an}的通项公式是an=an,则其前n项和为Sn=.(　　)
【答案】(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×
2.[人教A版选择性必修第二册P35例7(3)改编]已知在等比数列{an}中,a1=2,q=2,前n项和Sn=126,则n等于(　　)
A.9 B.8 C.7 D.6
【答案】 D
【解析】 因为a1=2,q=2,且Sn==2n+1-2=126,所以n=6.故选D.
3.[人教A版选择性必修第二册P34练习T2(1)改编]将公比为q的等比数列a1,a2,a3,a4,…依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2,a2a3,a3a4,…,则此数列是(　　)
A.公比为q的等比数列
B.公比为q2的等比数列
C.公比为q3的等比数列
D.不一定是等比数列
【答案】 B
4.(人教A版选择性必修第二册P34练习T1改编)在1和9中间插入3个数,使这5个数成正项等比数列,则中间3个数的积等于　　　　.
【答案】 27
【解析】 因为a1=1,a5=9,所以a1a5=a2a4==9,所以a3=3或a3=-3(舍去),所以a2a3a4=27.
5.[人教A版选择性必修第二册P37练习T1(3)改编]在等比数列{an}中,a3=3,S3=9,则公比q=　　　　.
【答案】 1或-
【解析】 设等比数列的公比为q,因为a3=3,S3=9,所以得2q2-q-1=0,即(2q+1)(q-1)=0,解得q=-或q=1.
等比数列基本量的运算
[例1] (1)(2026·辽宁抚顺模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=-1,S10=S5,则a4=(　　)
A.- B. C. D.4
(2)等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a3=4,a2+a4=8,则S5=(　　)
A. B.20
C. D.
【答案】 (1)B　(2)C
【解析】 (1)设等比数列{an}的公比为q,q≠0.
当q=1时,由a1=-1,可得S10=-10,S5=-5,此时S10=S5不成立;
当q≠1时,由等比数列的前n项和公式可得=×,解得q=-.
由等比数列的通项公式可得a4=a1q3=.故选B.
(2)设等比数列{an}的公比为q,则解得
因此S5===.故选C.
解决等比数列基本量运算问题的思想方法
(1)方程的思想:等比数列的通项公式、前n项和公式联系着五个量:a1,q,n,an,Sn,已知其中三个量,可以通过解方程(组)求出另外两个量;其中基本量是a1与q,在解题中根据已知条件建立关于a1与q的方程或者方程组,是解题的关键.
(2)整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求都用a1,q表示,寻求两者间的联系,整体代换即可求解.
(3)分类讨论思想:若题目中公比q未知,则在运用等比数列前n项和公式时,要对公比分q=1和q≠1两种情况进行讨论.
[针对训练]
1.(2026·广东广州模拟)已知等比数列{an}是递增数列,且{an}的前3项和为39,a1+a2=12,则 a4=(　　)
A.27 B.81 C. D.-
【答案】 B
【解析】 因为{an}的前3项和为39,a1+a2=12,所以
解得q=3(q=-舍去),a1=3,则a4=a1q3=81.故选B.
2.已知正项等比数列{an}满足a5-a1=15,a4-a2=6,若an=32,则n=　　　　.
【答案】 6
【解析】 设正项等比数列{an}的公比为q,可知q>0,
因此可得两式相除可得=,解得q=2或q=,
即或(舍去).
因此an=2n-1,由an=32,可知2n-1=32,解得n=6.
等比数列的判定与证明
[例2] 已知数列{an},各项均为正数,a2=2a1,记Sn为{an}的前n项和.若数列{Sn+a1}是等比数列,求证:数列{an}是等比数列.
【证明】 因为数列{Sn+a1}是等比数列,且a2=2a1,所以===2,
则数列{Sn+a1}是以2a1为首项,2为公比的等比数列,所以Sn+a1=2a1·2n-1=a1·2n,
Sn=a1·2n-a1,所以an=Sn-Sn-1=a1·2n-a1-(a1·2n-1-a1)=a1·2n-1(n≥2),
当n=1时,a1=a1,也符合上式,所以数列{an}是以a1为首项,2为公比的等比数列.
[变式探究1] (条件和结论互换)已知数列{an},各项均为正数,a2=2a1,记Sn为{an}的前n项和.若数列{an}是等比数列,求证:数列{Sn+a1}是等比数列.
【证明】 因为a2=2a1,{an}是等比数列,所以数列{an}的公比q=2,
所以Sn==a1(2n-1),即Sn+a1=a12n,因为=2,Sn+a1≠0,
所以{Sn+a1}是等比数列.
[变式探究2] (改变题目条件为已知“项”与“和”的关系)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+1-3Sn-4=0,a1=4.证明:数列{an}是等比数列.
【证明】 因为an+1=3Sn+4,当n=1时,a2=3a1+4=16,
当n≥2时,由an+1=3Sn+4可得an=3Sn-1+4,上述两个等式作差可得an+1-an=3an,
则an+1=4an,即=4且=4,所以数列{an}是首项和公比都为4的等比数列.
等比数列常用的四种判定方法
(1)定义法:若=q(q为非零常数,n∈N*),则{an}是等比数列.
(2)等比中项法:若在数列{an}中,an≠0,且=an·an+2(n∈N*),则数列{an}是等比数列.
(3)通项公式法:若数列的通项公式可写成an=c·qn,c,q均是不为0的常数,n∈N*,则{an}是等比数列.
(4)前n项和公式法:若数列{an}的前n项和Sn=kqn-k(k为常数且k≠0,q≠0,q≠1),则{an}是等比数列.
说明:前两种方法是证明等比数列的常用方法,后两种方法常用于选择题和填空题.
[针对训练] 已知数列{an}满足a1=5,an+1-2an=3n(n∈N*),记bn=an-3n.求证:{bn}是等比数列.
【证明】 因为an+1-2an=3n,
所以an+1=3n+2an,
因为bn=an-3n,所以bn+1=an+1-3n+1=3n+2an-3×3n=2an-2×3n=2(an-3n)=2bn,
又a1=5,
所以b1=a1-31=5-3=2,
所以数列{bn}中任意一项不为0,=2,
所以数列{bn}是首项为2,公比为2的等比数列.
等比数列的性质
角度1　等比数列项的性质
[例3] (2026·山东济南模拟)已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=(　　)
A.7 B.5 C.-5 D.-7
【答案】 D
【解析】 a5a6=a4a7=-8,因为a4+a7=2,所以 a4=-2,a7=4或a4=4,a7=-2.
由等比数列性质可知a10==-8,a1==1或a10==1,a1==-8,所以a1+a10=-7.故选D.
在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用等比数列的性质,特别是“若m+n=p+q,则am·an=ap·aq”,可以减少运算量,提高解题速度.
[针对训练] (2026·吉林长春模拟)已知{an}为正项等比数列,若lg a2,lg a2 024是函数f(x)=3x2-12x+9的两个零点,则a1a2 025=(　　)
A.10 B.104 C.108 D.1012
【答案】 B
【解析】 由题意可得lg a2,lg a2 024为方程3x2-12x+9=0的两个解,则lg a2+lg a2 024=4,
解得a2a2 024=104,易知a1a2 025=a2a2 024=104.故选B.
角度2　等比数列分段和的性质
[例4] (2025·全国Ⅰ卷)若一个等比数列的各项均为正数,且前4项和为4,前8项和为68,则该等比数列的公比为　　　　.
【答案】 2
【解析】 法一　设该等比数列为{an},Sn是其前n项和,则S4=4,S8=68,
设{an}的公比为q,
当q=1时,S4=4a1=4,即a1=1,则S8=8a1=8≠68,显然不成立,舍去;
当q≠1时,则S4==4,S8==68,
两式相除得=,即=17,
则1+q4=17,解得q=±2,
因为各项均为正数,故q>0.所以该等比数列的公比为2.
法二　设该等比数列为{an},Sn是其前n项和,则S4=4,S8=68,
设{an}的公比为q,
所以S4=a1+a2+a3+a4=4,
S8=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8
=a1+a2+a3+a4+a1q4+a2q4+a3q4+a4q4
=(a1+a2+a3+a4)(1+q4)=68,
所以4(1+q4)=68,则1+q4=17,解得q=±2,
因为各项均为正数,故q>0,所以该等比数列的公比为2.
[真题精研] 本题源于教材人教A版选择性必修第二册P37例9,主要考查了等比数列分段和的性质,此类题还可以把条件改为已知具体分段和,或分段和的比的关系进行考查.
[真题变式] (1)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若=,则=(　　)
A.12 B.36 C.31 D.33
(2)若公比为q的正项等比数列{an}中,a1+a2=6,a3+a4=12,则S8=　　　,公比q=　　　.
【答案】 (1)C　(2)90　
【解析】 (1)因为等比数列{an}的前n项和为Sn,且=,所以不妨设S3=m(m≠0),则S6=6m.由分段和的性质可知S3,S6-S3,S9-S6构成等比数列.
(S6-S3)2=S3·(S9-S6),即(5m)2=m·(S9-6m),解得S9=31m.所以=31.故选C.
(2)因为{an}是等比数列且依次每两项之和成等比数列,所以a1+a2,a3+a4,a5+a6,a7+a8也成等比数列,
因为a1+a2=6,a3+a4=12,所以a5+a6=24,a7+a8=48,所以S8=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=90.
由a3+a4=q2(a1+a2)以及a1+a2=6,a3+a4=12可知q2=2,
结合q>0可知q=.
(1)在等比数列{an}中,Sk表示它的前k项和,有Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…也成等比数列(k为偶数且q=-1除外),公比为qk.
(2)在应用等比数列的性质解题时,要注意性质成立的前提条件,有时需要进行适当变形.此外,解题时注意设而不求思想的运用.
[针对训练] 已知等比数列{an}的公比为-,前n项和为Sn.若S2m=31,Sm=32,则m=(　　)
A.3 B.4 C.5 D.7
【答案】 C
【解析】 根据等比数列前n项和的性质得Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等比数列,且公比为qm,所以=qm,即=(-)m,解得m=5.故选C.
角度3　等比数列奇偶项和的性质
[例5] 已知一个等比数列首项为1,项数是偶数,其奇数项之和为85,偶数项之和为170,则这个数列的项数为(　　)
A.2 B.4 C.8 D.16
【答案】 C
【解析】 设这个等比数列{an}共有2k(k∈N*)项,公比为q,
则奇数项之和为S奇=a1+a3+…+a2k-1=85,
偶数项之和为S偶=a2+a4+…+a2k=q(a1+a3+…+a2k-1)=qS奇=170,所以q===2,等比数列{an}的所有项之和为S2k==22k-1=170+85=255,则22k=256,解得k=4,因此这个等比数列的项数为8.故选C.
在等比数列{an}中,设公比为q,所有奇数项之和S奇与所有偶数项之和S偶具有如下性质.
(1)若共有2n项,则=q.
(2)若共有2n+1项,=q.
[针对训练] 已知项数为奇数的等比数列{an}的首项为1,奇数项之和为21,偶数项之和为10,则这个等比数列的项数为(　　)
A.5 B.7 C.9 D.11
【答案】 A
【解析】 根据题意,数列{an}为等比数列,设an=a1·qn-1=qn-1,
因为数列{an}的奇数项之和为21,偶数项之和为10,所以q==2,故Sn=21+10=,得2n-1=31,n=5.故选A.
教考衔接12　构造法求数列的通项公式
[教材母题] (人教A版选择性必修第二册P41习题4.3 T8)若数列{an}的首项a1=1,且满足an+1=2an+1,求数列{an}的通项公式及前10项的和.
【解】 设an+1+λ=2(an+λ),
则an+1=2an+λ,所以λ=1.
即an+1+1=2(an+1),又a1+1=2,
所以数列{an+1}是以2为首项,2为公比的等比数列,
所以an+1=2×2n-1=2n,
所以an=2n-1.
所以数列{an}的前10项的和为-10=2 036.
[名师解读] 求数列通项公式的方法除了我们前面学习过的公式法、累加法、累乘法,还有构造法,其总的思想是根据数列的递推公式,利用构造法转化为特殊的数列(等差、等比数列或可利用累加、累乘求解的数列)求解.
(1)形如 an+1=αan+β(α≠0,1,β≠0)的递推式可用构造法求通项,构造法的基本原理是在递推关系的两边加上相同的数或相同性质的量,使之成为等差数列或等比数列.
(2)递推公式an+1=αan+β的推广式an+1=αan+βγn(α≠0,1,β≠0,γ≠0,1),两边同时除以γn+1后得到=·+,转化为bn+1=kbn+(k≠0,1)的形式,通过构造公比是k的等比数列求解.
[对接高考] (1)[2023·新课标Ⅰ卷T21(2)改编]设数列{an}满足a1=,an+1=an+,则数列{an}的通项公式为　　　　.
(2)(2026·湖北武汉模拟)已知数列{an}中,a1=,an+1=an+()n+1,则数列{an}的通项公式为　　　.
【答案】 (1)an=·()n-1+　
(2)an=-
【解析】 (1)设an+1+λ=(an+λ),
由an+1=an+可知λ=-,
则an+1-=(an-),
即数列是以a1-=-=为首项,q=为公比的等比数列,
所以an-=·()n-1,即an=·()n-1+.
(2)法一　构造数列an+1+λ·()n+1=[an+λ·()n],化简得an+1=an-λ·()n+1,
由对应项系数相等得λ=-3,设bn=an-3·()n,b1=a1-3×()1=-,
所以数列{bn}是以-为首项,为公比的等比数列,则bn=-·()n-1,所以an=-.
法二　将an+1=an+()n+1两边同乘2n+1,得2n+1·an+1=(2n·an)+1.
令bn=2n·an,则bn+1=bn+1,根据待定系数法,
得bn+1-3=(bn-3),所以数列{bn-3}是首项为b1-3=2×-3=-,公比为的等比数列,所以bn-3=-·()n-1,
即bn=3-2·()n,
所以an==-.
法三　将an+1=an+()n+1两边分别除以()n+1,得3n+1an+1=3nan+()n+1.
令bn=3n·an,则bn+1=bn+()n+1,所以bn-bn-1=()n,bn-1-bn-2=()n-1,…,b2-b1=()2.
将以上各式叠加,得bn-b1=()2+…+()n-1+()n.又b1=3a1=3×==1+,
所以bn=1++()2+…+()n-1+()n==2·()n+1-2,所以an==-.
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
等比数列基本量的运算 1,2,6,7,11
等比数列的判定与证明 5,10,12
等比数列的性质 3,4,8,9
一、选择题
1.(2026·福建福州模拟)在等比数列{an}中,若a1=2,a2=4,则a4=(　　)
A.6 B.8 C.8 D.16
【答案】 D
【解析】 设等比数列{an}的公比为q.因为在等比数列{an}中,a1=2,a2=4,所以q===2,所以an=a1qn-1=2×2n-1=2n,所以a4=24=16.故选D.
2.若等比数列{an}的前n项和Sn=m+2×3n,则m=(　　)
A.-2 B.2 C.1 D.-1
【答案】 A
【解析】 法一　a1=S1=6+m,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4×3n-1.
因为{an}是等比数列,所以4×31-1=6+m,解得 m=-2.故选A.
法二　由等比数列前n项和的性质Sn=Aqn-A(Aq≠0,q≠±1)及Sn=m+2×3n可知m=-2.
故选A.
3.(2026·安徽淮南模拟)在等比数列{an}中,a1·a2·a3=27,a2+a6=15,则a4=(　　)
A.±6 B.-6 C.36 D.6
【答案】 D
【解析】 因为{an}为等比数列,故a1·a2·a3==27,故a2=3,
而a2+a6=15,故a6=12,所以=a2a6=36,故a4=6(a2,a4,a6同号,负值舍去).故选D.
4.(2026·云南丽江模拟)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1a6=2a4,且a5=,则S4=(　　)
A.32 B.31 C.17 D.15
【答案】 D
【解析】 由题意得解得a3=2.
又因为a5=,所以q2==,解得q=(负值舍去),所以a1==8,所以S4===15.故选D.
5.(2026·江西赣州模拟)已知{an}是等比数列,a1=1,a2=2,则a1a2+a2a3+…+anan+1=(　　)
A.(1-4-n) B.(1-2-n)
C.(4n-1) D.2n+1-2
【答案】 C
【解析】 由a1=1,a2=2可知q=2,所以an=a1qn-1=2n-1,所以an+1=2n,
所以anan+1=2n-1·2n=22n-1=·(22)n=·4n,
所以{anan+1}是首项为2,公比为4的等比数列,所以其前n项和Sn==(4n-1).故选C.
6.(多选)(2025·全国Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和,q为{an}的公比,q>0.若S3=7,a3=1,则(　　)
A.q= B.a5=
C.S5=8 D.an+Sn=8
【答案】 AD
【解析】 对于A,由题意得结合q>0,解得或(舍去),故A正确;
对于B,a5=a1q4=4×()4=,故B错误;
对于C,S5===,故C错误;
对于D,an=4×()n-1=23-n,
Sn==8-23-n,
则an+Sn=23-n+8-23-n=8,故D正确.故选AD.
二、填空题
7.(2026·河北秦皇岛模拟)已知等比数列{an}的前6项和为126,其中偶数项的和是奇数项的和的2倍,则a1=　　　　.
【答案】 2
【解析】 由题设
解得
设{an}的公比为q,则a2+a4+a6=(a1+a3+a5)q,解得q=2,所以a1+a3+a5=a1(1+q2+q4)=21a1=42,则a1=2.
8.(2026·安徽阜阳模拟)已知某等比数列的首项为5,其前三项的和为15,则该数列前六项的和为　　　　.
【答案】 30或-105
【解析】 设等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,根据题意a1=5,得an=5·qn-1,由S3=15,得a1+a1q+a1q2=15,即1+q+q2=3,解得q=1或q=-2,
则S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=a1+a2+a3+q3(a1+a2+a3)=(1+q3)(a1+a2+a3)=(1+q3)S3.
当q=1时,S6=(1+q3)S3=2×15=30,当q=-2时,S6=(1+q3)S3=[1+(-2)3]×15=-105.
三、解答题
9.(2026·江西南昌模拟)已知数列{an}为等比数列.
(1)若an>0,且a2a4+2a3a5+a4a6=36,求a3+a5的值;
(2)若a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,求数列{an}的通项公式.
【解】 (1)因为a2a4+2a3a5+a4a6=36,所以+2a3a5+=36,即(a3+a5)2=36,
又因为an>0,所以a3+a5=6.
(2)因为=a1a3,则a1a2a3==8,可得a2=2,
设数列{an}的前3项依次为,2,2q,则有+2+2q=7,
整理得2q2-5q+2=0,解得q=2或q=,此时或所以an=2n-1或an=23-n.
10.(2026·广东江门模拟)已知数列{an}满足:a1=1,an+1=2an+n-1.
(1)证明:数列{an+n}是等比数列.
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
(1)【证明】 因为an+1=2an+n-1,所以an+1+(n+1)=2an+2n,即=2,
又a1+1=2,
所以数列{an+n}是以2为首项,2为公比的等比数列.
(2)【解】 由(1)知,an+n=2·2n-1=2n,故an=2n-n.
所以Sn=(2+22+…+2n)-(1+2+…+n)=-=2n+1-2-.
11.设Sn是数列{an}的前n项和,若Sn+3=2an+n,则S10=(　　)
A.3 059 B.2 056 C.1 033 D.520
【答案】 C
【解析】 由题意知Sn+1+3=2an+1+n+1,则Sn+1+3=2(Sn+1-Sn)+n+1,
所以Sn+1=2Sn-n+2,则Sn+1-(n+1-1)=2[Sn-(n-1)],
又S1+3=2a1+1=2S1+1,
所以S1=2,则S1-(1-1)=2,
所以{Sn-(n-1)}是首项、公比均为2的等比数列,则Sn-(n-1)=2n,
所以Sn=2n+n-1,则S10=210+10-1=1 024+10-1=1 033.故选C.
12.(2026·北京延庆模拟)已知等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn.若S1=-1,且 n∈N*,an+2>an,则下列结论错误的是(　　)
A.a2<0 B.0C.Sn< D.an+1>an
【答案】 C
【解析】 因为S1=a1=-1,且an+2>an对 n∈N*恒成立,则a1qn+1>a1qn-1,
整理可得 qn-1(q2-1)<0恒成立,则所以0因为a2=a1q=-q<0,故A正确;
因为Sn==,由B选项的分析得,0则Sn=>,故C错误;
因为an+1-an=-qn+qn-1=qn-1(1-q)>0,即an+1>an,故D正确.故选C.第3节　等比数列
[课程标准要求] 1.通过生活中的实例,理解等比数列的概念和通项公式的意义.2.探索并掌握等比数列的前n项和公式,理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系.3.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题.4.体会等比数列与指数函数的关系.
1.等比数列的有关概念
(1)定义:一般地,如果一个数列从第　　　项起,每一项与它的前一项的比都等于　　　　　,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的　　　　,公比通常用字母q表示(显然q≠0),定义的表达式为=q(n∈N*,q为非零常数).
(2)等比中项:如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么　　　　叫做a与b的等比中项.即G是a与b的等比中项 a,G,b成等比数列 　　　　.
只有两个同号的数,才有等比中项,并且等比中项有两个.
2.等比数列的有关公式
等比数列{an}的首项为a1,公比为q.
(1)通项公式:an=　　　　.
(2)前n项和公式:
Sn=
3.等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广:an=am·　　　　(n,m∈N*).
(2)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am·an=　　　　.
(3)若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0),{},{},{an·bn},{}仍然是等比
数列.
(4)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数列,公比为qk.
(5)在等比数列{an}中,若Sn为其前n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…也成等比数列(n为偶数且q=-1除外).
(1)an=·qn,当q>0,且q≠1时,可以看成函数y=cqn,是一个不为0的常数与指数函数的乘积,因此数列{an}各项所对应的点都在函数y=cqx的图象上;当q=1时,{an}为非零常数列.
(2)Sn==-qn+(q≠1),若设a=,则Sn=-aqn+a(a≠0,q≠0,q≠1).由此可知,数列{Sn}的图象是函数y=-aqx+a图象上一系列孤立的点.对于常数列的等比数列,即q=1时,因为a1≠0,所以Sn=na1,由此可知,数列{Sn}的图象是函数y=a1x图象上一系列孤立的点.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)满足an+1=qan(n∈N*,q为常数)的数列{an}为等比数列.(　　)
(2)G为a,b的等比中项 G2=ab.(　　)
(3)若数列{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列{bn}也是等比数列.(　　)
(4)若数列{an}为等比数列,则数列{ln an}是等差数列.(　　)
(5)若数列{an}的通项公式是an=an,则其前n项和为Sn=.(　　)
2.[人教A版选择性必修第二册P35例7(3)改编]已知在等比数列{an}中,a1=2,q=2,前n项和Sn=126,则n等于(　　)
A.9 B.8 C.7 D.6
3.[人教A版选择性必修第二册P34练习T2(1)改编]将公比为q的等比数列a1,a2,a3,a4,…依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2,a2a3,a3a4,…,则此数列是(　　)
A.公比为q的等比数列
B.公比为q2的等比数列
C.公比为q3的等比数列
D.不一定是等比数列
4.(人教A版选择性必修第二册P34练习T1改编)在1和9中间插入3个数,使这5个数成正项等比数列,则中间3个数的积等于　　　　.
5.[人教A版选择性必修第二册P37练习T1(3)改编]在等比数列{an}中,a3=3,S3=9,则公比q=　　　　.
等比数列基本量的运算
[例1] (1)(2026·辽宁抚顺模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=-1,S10=S5,则a4=(　　)
A.- B. C. D.4
(2)等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a3=4,a2+a4=8,则S5=(　　)
A. B.20
C. D.
听课记录:
解决等比数列基本量运算问题的思想方法
(1)方程的思想:等比数列的通项公式、前n项和公式联系着五个量:a1,q,n,an,Sn,已知其中三个量,可以通过解方程(组)求出另外两个量;其中基本量是a1与q,在解题中根据已知条件建立关于a1与q的方程或者方程组,是解题的关键.
(2)整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求都用a1,q表示,寻求两者间的联系,整体代换即可求解.
(3)分类讨论思想:若题目中公比q未知,则在运用等比数列前n项和公式时,要对公比分q=1和q≠1两种情况进行讨论.
[针对训练]
1.(2026·广东广州模拟)已知等比数列{an}是递增数列,且{an}的前3项和为39,a1+a2=12,则 a4=(　　)
A.27 B.81 C. D.-
2.已知正项等比数列{an}满足a5-a1=15,a4-a2=6,若an=32,则n=　　　　.
等比数列的判定与证明
[例2] 已知数列{an},各项均为正数,a2=2a1,记Sn为{an}的前n项和.若数列{Sn+a1}是等比数列,求证:数列{an}是等比数列.
听课记录:
[变式探究1] (条件和结论互换)已知数列{an},各项均为正数,a2=2a1,记Sn为{an}的前n项和.若数列{an}是等比数列,求证:数列{Sn+a1}是等比数列.
听课记录:
[变式探究2] (改变题目条件为已知“项”与“和”的关系)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+1-3Sn-4=0,a1=4.证明:数列{an}是等比数列.
听课记录:
等比数列常用的四种判定方法
(1)定义法:若=q(q为非零常数,n∈N*),则{an}是等比数列.
(2)等比中项法:若在数列{an}中,an≠0,且=an·an+2(n∈N*),则数列{an}是等比数列.
(3)通项公式法:若数列的通项公式可写成an=c·qn,c,q均是不为0的常数,n∈N*,则{an}是等比数列.
(4)前n项和公式法:若数列{an}的前n项和Sn=kqn-k(k为常数且k≠0,q≠0,q≠1),则{an}是等比
数列.
说明:前两种方法是证明等比数列的常用方法,后两种方法常用于选择题和填空题.
[针对训练] 已知数列{an}满足a1=5,an+1-2an=3n(n∈N*),记bn=an-3n.求证:{bn}是等比数列.
等比数列的性质
角度1　等比数列项的性质
[例3] (2026·山东济南模拟)已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=(　　)
A.7 B.5 C.-5 D.-7
听课记录:
在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用等比数列的性质,特别是“若m+n=p+q,则am·an=ap·aq”,可以减少运算量,提高解题速度.
[针对训练] (2026·吉林长春模拟)已知{an}为正项等比数列,若lg a2,lg a2 024是函数f(x)=3x2-12x+9的两个零点,则a1a2 025=(　　)
A.10 B.104 C.108 D.1012
角度2　等比数列分段和的性质
[例4] (2025·全国Ⅰ卷)若一个等比数列的各项均为正数,且前4项和为4,前8项和为68,则该等比数列的公比为　　　　.
听课记录:
[真题精研] 本题源于教材人教A版选择性必修第二册P37例9,主要考查了等比数列分段和的性质,此类题还可以把条件改为已知具体分段和,或分段和的比的关系进行考查.
[真题变式] (1)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若=,则=(　　)
A.12 B.36
C.31 D.33
(2)若公比为q的正项等比数列{an}中,a1+a2=6,a3+a4=12,则S8=　　　,公比q=　　　.
听课记录:
(1)在等比数列{an}中,Sk表示它的前k项和,有Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…也成等比数列(k为偶数且q=-1除外),公比为qk.
(2)在应用等比数列的性质解题时,要注意性质成立的前提条件,有时需要进行适当变形.此外,解题时注意设而不求思想的运用.
[针对训练] 已知等比数列{an}的公比为-,前n项和为Sn.若S2m=31,Sm=32,则m=(　　)
A.3 B.4 C.5 D.7
角度3　等比数列奇偶项和的性质
[例5] 已知一个等比数列首项为1,项数是偶数,其奇数项之和为85,偶数项之和为170,则这个数列的项数为(　　)
A.2 B.4 C.8 D.16
听课记录:
在等比数列{an}中,设公比为q,所有奇数项之和S奇与所有偶数项之和S偶具有如下性质.
(1)若共有2n项,则=q.
(2)若共有2n+1项,=q.
[针对训练] 已知项数为奇数的等比数列{an}的首项为1,奇数项之和为21,偶数项之和为10,则这个等比数列的项数为(　　)
A.5 B.7 C.9 D.11
教考衔接12　构造法求数列的通项公式
[教材母题] (人教A版选择性必修第二册P41习题4.3 T8)若数列{an}的首项a1=1,且满足an+1=2an+1,求数列{an}的通项公式及前10项的和.
[名师解读] 求数列通项公式的方法除了我们前面学习过的公式法、累加法、累乘法,还有构造法,其总的思想是根据数列的递推公式,利用构造法转化为特殊的数列(等差、等比数列或可利用累加、累乘求解的数列)求解.
(1)形如 an+1=αan+β(α≠0,1,β≠0)的递推式可用构造法求通项,构造法的基本原理是在递推关系的两边加上相同的数或相同性质的量,使之成为等差数列或等比数列.
(2)递推公式an+1=αan+β的推广式an+1=αan+βγn(α≠0,1,β≠0,γ≠0,1),两边同时除以γn+1后得到=·+,转化为bn+1=kbn+(k≠0,1)的形式,通过构造公比是k的等比数列求解.
[对接高考] (1)[2023·新课标Ⅰ卷T21(2)改编]设数列{an}满足a1=,an+1=an+,则数列{an}的通项公式为　 .
(2)(2026·湖北武汉模拟)已知数列{an}中,a1=,an+1=an+()n+1,则数列{an}的通项公式为　　　　　　　.第3节　等比数列
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
等比数列基本量的运算 1,2,6,7,11
等比数列的判定与证明 5,10,12
等比数列的性质 3,4,8,9
一、选择题
1.(2026·福建福州模拟)在等比数列{an}中,若a1=2,a2=4,则a4=(　　)
A.6 B.8 C.8 D.16
【答案】 D
【解析】 设等比数列{an}的公比为q.因为在等比数列{an}中,a1=2,a2=4,所以q===2,所以an=a1qn-1=2×2n-1=2n,所以a4=24=16.故选D.
2.若等比数列{an}的前n项和Sn=m+2×3n,则m=(　　)
A.-2 B.2 C.1 D.-1
【答案】 A
【解析】 法一　a1=S1=6+m,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4×3n-1.
因为{an}是等比数列,所以4×31-1=6+m,解得 m=-2.故选A.
法二　由等比数列前n项和的性质Sn=Aqn-A(Aq≠0,q≠±1)及Sn=m+2×3n可知m=-2.
故选A.
3.(2026·安徽淮南模拟)在等比数列{an}中,a1·a2·a3=27,a2+a6=15,则a4=(　　)
A.±6 B.-6 C.36 D.6
【答案】 D
【解析】 因为{an}为等比数列,故a1·a2·a3==27,故a2=3,
而a2+a6=15,故a6=12,所以=a2a6=36,故a4=6(a2,a4,a6同号,负值舍去).故选D.
4.(2026·云南丽江模拟)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1a6=2a4,且a5=,则S4=(　　)
A.32 B.31 C.17 D.15
【答案】 D
【解析】 由题意得解得a3=2.
又因为a5=,所以q2==,解得q=(负值舍去),所以a1==8,所以S4===15.故选D.
5.(2026·江西赣州模拟)已知{an}是等比数列,a1=1,a2=2,则a1a2+a2a3+…+anan+1=(　　)
A.(1-4-n) B.(1-2-n)
C.(4n-1) D.2n+1-2
【答案】 C
【解析】 由a1=1,a2=2可知q=2,所以an=a1qn-1=2n-1,所以an+1=2n,
所以anan+1=2n-1·2n=22n-1=·(22)n=·4n,
所以{anan+1}是首项为2,公比为4的等比数列,所以其前n项和Sn==(4n-1).故选C.
6.(多选)(2025·全国Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和,q为{an}的公比,q>0.若S3=7,a3=1,则(　　)
A.q= B.a5=
C.S5=8 D.an+Sn=8
【答案】 AD
【解析】 对于A,由题意得结合q>0,解得或(舍去),故A正确;
对于B,a5=a1q4=4×()4=,故B错误;
对于C,S5===,故C错误;
对于D,an=4×()n-1=23-n,
Sn==8-23-n,
则an+Sn=23-n+8-23-n=8,故D正确.故选AD.
二、填空题
7.(2026·河北秦皇岛模拟)已知等比数列{an}的前6项和为126,其中偶数项的和是奇数项的和的2倍,则a1=　　　　.
【答案】 2
【解析】 由题设
解得
设{an}的公比为q,则a2+a4+a6=(a1+a3+a5)q,解得q=2,所以a1+a3+a5=a1(1+q2+q4)=21a1=42,则a1=2.
8.(2026·安徽阜阳模拟)已知某等比数列的首项为5,其前三项的和为15,则该数列前六项的和为　　　　.
【答案】 30或-105
【解析】 设等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,根据题意a1=5,得an=5·qn-1,由S3=15,得a1+a1q+a1q2=15,即1+q+q2=3,解得q=1或q=-2,
则S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=a1+a2+a3+q3(a1+a2+a3)=(1+q3)(a1+a2+a3)=(1+q3)S3.
当q=1时,S6=(1+q3)S3=2×15=30,当q=-2时,S6=(1+q3)S3=[1+(-2)3]×15=-105.
三、解答题
9.(2026·江西南昌模拟)已知数列{an}为等比数列.
(1)若an>0,且a2a4+2a3a5+a4a6=36,求a3+a5的值;
(2)若a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,求数列{an}的通项公式.
【解】 (1)因为a2a4+2a3a5+a4a6=36,所以+2a3a5+=36,即(a3+a5)2=36,
又因为an>0,所以a3+a5=6.
(2)因为=a1a3,则a1a2a3==8,可得a2=2,
设数列{an}的前3项依次为,2,2q,则有+2+2q=7,
整理得2q2-5q+2=0,解得q=2或q=,此时或所以an=2n-1或an=23-n.
10.(2026·广东江门模拟)已知数列{an}满足:a1=1,an+1=2an+n-1.
(1)证明:数列{an+n}是等比数列.
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
(1)【证明】 因为an+1=2an+n-1,所以an+1+(n+1)=2an+2n,即=2,
又a1+1=2,
所以数列{an+n}是以2为首项,2为公比的等比数列.
(2)【解】 由(1)知,an+n=2·2n-1=2n,故an=2n-n.
所以Sn=(2+22+…+2n)-(1+2+…+n)=-=2n+1-2-.
11.设Sn是数列{an}的前n项和,若Sn+3=2an+n,则S10=(　　)
A.3 059 B.2 056 C.1 033 D.520
【答案】 C
【解析】 由题意知Sn+1+3=2an+1+n+1,则Sn+1+3=2(Sn+1-Sn)+n+1,
所以Sn+1=2Sn-n+2,则Sn+1-(n+1-1)=2[Sn-(n-1)],
又S1+3=2a1+1=2S1+1,
所以S1=2,则S1-(1-1)=2,
所以{Sn-(n-1)}是首项、公比均为2的等比数列,则Sn-(n-1)=2n,
所以Sn=2n+n-1,则S10=210+10-1=1 024+10-1=1 033.故选C.
12.(2026·北京延庆模拟)已知等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn.若S1=-1,且 n∈N*,an+2>an,则下列结论错误的是(　　)
A.a2<0 B.0C.Sn< D.an+1>an
【答案】 C
【解析】 因为S1=a1=-1,且an+2>an对 n∈N*恒成立,则a1qn+1>a1qn-1,
整理可得 qn-1(q2-1)<0恒成立,则所以0因为a2=a1q=-q<0,故A正确;
因为Sn==,由B选项的分析得,0则Sn=>,故C错误;
因为an+1-an=-qn+qn-1=qn-1(1-q)>0,即an+1>an,故D正确.故选C.第3节　等比数列
一、选择题
1.(2026·福建福州模拟)在等比数列{an}中,若a1=2,a2=4,则a4=(　　)
A.6 B.8 C.8 D.16
2.若等比数列{an}的前n项和Sn=m+2×3n,则m=(　　)
A.-2 B.2 C.1 D.-1
3.(2026·安徽淮南模拟)在等比数列{an}中,a1·a2·a3=27,a2+a6=15,则a4=(　　)
A.±6 B.-6 C.36 D.6
4.(2026·云南丽江模拟)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1a6=2a4,且a5=,则S4=(　　)
A.32 B.31 C.17 D.15
5.(2026·江西赣州模拟)已知{an}是等比数列,a1=1,a2=2,则a1a2+a2a3+…+anan+1=(　　)
A.(1-4-n) B.(1-2-n)
C.(4n-1) D.2n+1-2
6.(多选)(2025·全国Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和,q为{an}的公比,q>0.若S3=7,a3=1,则(　　)
A.q= B.a5=
C.S5=8 D.an+Sn=8
二、填空题
7.(2026·河北秦皇岛模拟)已知等比数列{an}的前6项和为126,其中偶数项的和是奇数项的和的2倍,则a1=　　　　.
8.(2026·安徽阜阳模拟)已知某等比数列的首项为5,其前三项的和为15,则该数列前六项的和为　　　　.
三、解答题
9.(2026·江西南昌模拟)已知数列{an}为等比数列.
(1)若an>0,且a2a4+2a3a5+a4a6=36,求a3+a5的值;
(2)若a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,求数列{an}的通项公式.
10.(2026·广东江门模拟)已知数列{an}满足:a1=1,an+1=2an+n-1.
(1)证明:数列{an+n}是等比数列.
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
11.设Sn是数列{an}的前n项和,若Sn+3=2an+n,则S10=(　　)
A.3 059 B.2 056 C.1 033 D.520
12.(2026·北京延庆模拟)已知等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn.若S1=-1,且 n∈N*, an+2>an,则下列结论错误的是(　　)
A.a2<0 B.0C.Sn< D.an+1>an

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