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第三节　不等式的性质
新课标要求 真题分布
梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质． 近几年未单独考查
必备知识·助学教材　清单式排查 彰显一个“准”
知识清单
1.两个实数比较大小的方法
关系 方法
作差法 作商法
a＞b a－b＞0 ＞1(a，b＞0)或________1(a，b＜0)
a＝b a－b＝0 ＝1(b≠0)
a＜b a－b＜0 ＜1(a，b＞0)或________1(a，b＜0)
2.不等式的性质
性质 性质内容
对称性 a＞b ________
传递性 a＞b，b＞c ________
可加性 a＞b a＋c＞b＋c
可乘性 a＞b，c＞0 ac＞bc；a＞b，c＜0 ________
同向可加性 a＞b，c＞d ____________
同向同正可乘性 a＞b＞0，c＞d＞0 ________
同正可乘方性 a＞b＞0，那么an＞bn(n∈N，n≥2)
【常用结论】
与倒数有关的结论：
(1)a>b，ab>0 <.
(2)a<0(3)a>b>0，0.
(4)0自主诊断
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a(2)一个不等式的两边同加上或同乘一个数，不等号方向不变．(　　)
(3)若>1，则a>b.(　　)
(4)a>b>0，c>d>0 >.(　　)
2．(多选)(人教A版必修一P42练习T2改编)下列命题为真命题的是(　　)
A．若a>b，cb－d
B．若a>b>0，cbd
C．若a>b>0，那么>
D．若a>b>c>0，那么<
3．(人教A版必修一P40T2改编)设M＝(x＋3)(x＋7)，N＝(x＋4)(x＋6)，则M与N的大小关系为________．
4．(人教A版必修一P43T10改编)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解)，糖水变甜了．请将这一事实表示成一个不等式为________________．
考教衔接·活用教材　探究式精练 收获一个“赢”
命题点一　比较数与式的大小
例1 (1)设P＝，Q＝，R＝，则P，Q，R的大小关系是(　　)
A．P>Q>R B．P>R>Q
C．Q>P>R D．Q>R>P
(2)eπ·πe与ee·ππ 的大小关系为__________(用“<”连接)．
[听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
学霸笔记：(1)作差法：若待比较的式子为多项式(或变形后为多项式)，常用作差比较法，一般作差后利用因式分解或配方等判断符号．
(2)作商法：若待比较的式子符号相同，且含分式或指数式，常用作商比较法．
　跟踪训练　(1)已知P＝x2＋xy＋y2，Q＝3xy－1，则(　　)
A．P>Q
B．P＝Q
C．PD．P，Q的大小关系不确定
(2)已知P＝a2＋a＋1，Q＝(a∈R)，则P，Q的大小关系为________．
命题点二　不等式的基本性质
例2 (多选)(2026·临沂二模)已知a>b>c，则下列不等式正确的是(　　)
A．< B．ab2>cb2
C．a＋b>c D．a2＋c2>b2
[听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
学霸笔记：判断不等式是否成立主要是综合不等式的性质进行推理论证，求解时常用比较大小的方法以及取特殊值判断．
　跟踪训练　(多选)(2026·沧州模拟)下列说法正确的是(　　)
A．若aB．若a
C．若ad，则a－cD．若a，b，m>0，则<
命题点三　利用不等式的性质求范围
例3 (1)已知－1(2)已知a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，则的取值范围是________．
[听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
学霸笔记：利用不等式的性质求取值范围时，应注意同向不等式具有可加性与正值可乘性，但是不能相减或相除求解时要充分利用所给条件进行适当变形，注意变形的等价性．
　跟踪训练　(1)设α∈(－)，β∈[0，π]，那么2α－的取值范围是(　　)
A．(0，) B．(－)
C．[－) D．(－，π)
(2)已知3提示：请完成课时作业3
第三节　不等式的性质
必备知识·助学教材
知识清单
1．<　＞
2．b＜a　a＞c　ac＜bc　a＋c＞b＋d　ac＞bd
自主诊断
1．答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：若a＞b，c答案：AD
3．解析：M－N＝(x2＋10x＋21)－(x2＋10x＋24)＝－3<0，所以M答案：M4．解析：因为b克糖水中含有a克糖(b＞a＞0)，所以糖水的浓度为.再添加m克糖(m＞0)(假设全部溶解)，糖水的浓度为.糖水变甜了，即糖水的浓度增加了，所以＞.
答案：＞
考教衔接·活用教材
例1　解析：(1)∵P－R＝－＝2>0，∴P>R，R－Q＝－＝－，而2＝9＋22＝9＋2，而18>14，∴，即R>Q.综上P>R>Q.故选B.
(2)＝π－e，又0<<1，0<π－e<1，所以π－e<1，即<1，又ee·ππ>0，eπ·πe>0，所以答案：(1)B　(2)eπ·πe＜ee·ππ
跟踪训练　解析：(1)因为P－Q＝x2＋xy＋y2－3xy＋1＝(x－y)2＋1>0，所以P>Q.故选A.
(2)因为P＝a2＋a＋1＝2＋>0，a2－a＋1＝2＋>0，则Q>0.所以＝(a2＋a＋1)(a2－a＋1)＝－a2＝a4＋a2＋1≥1，所以P≥Q.
答案：(1)A　(2)P≥Q
例2　解析：对于A，，因为a>b>c，所以c－b<0，a－c>0，a－b>0，即<0，所以<，故A正确；对于B，取a>b＝0>c，此时ab2＝cb2＝0，故B错误；对于C，取a＝－1>b＝－2>c＝－3，则a＋b＝c＝－3，故C错误；对于D，若b＝0，则a2＋c2>b2＝0显然成立，若b，则a2＋c2a2>b2成立，若a>0>b>c，则a2＋c2c2>b2成立，综上所述，只要a>b>c，就一定有a2＋c2>b2，故D正确．故选AD.
答案：AD
跟踪训练　解析：对于A，因为a0，所以<，故A正确；对于B，若a<0d，所以－c<－d，又因为ab>0，则ab＋am>ab＋bm，不等式两边同时除以b(b＋m)得>，故D错误．故选AC.
答案：AC
例3　解析：(1)∵－1(2)∵a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，∴a＞0，c＜0，b＝－2a－c.∵a＞b＞c，∴－2a－c＜a，即3a＞－c，解得<－.将b＝－2a－c代入b＞c中，得－2a－c＞c，即a＜－c，得>－1，∴－1＜－.
答案：(1)(－4，2)　(1，18)　(2)
跟踪训练　解析：(1)因为α∈，β∈[0，π]，所以－<2α<π，－≤0，所以－<2α－<π.故选D.
(2)因为4答案：(1)D　(2)
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