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第4节　数列求和(一)
[课程标准要求]
1.熟练掌握等差数列、等比数列的前n项和公式.2.掌握分组求和、倒序相加法求和、并项求和几种常见的求和方法.
夯实·必备知识
知识梳理
1.公式法求和
直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和.
2.分组求和
若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法,适当拆分,分为几个等差或等比或可求和的数列后,先分别求和,然后再合并.
3.倒序相加法求和
如果一个数列{an}中,与首末两端等“距离”的两项和相等,那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法求解,即等差数列求和公式推导过程的推广.
4.并项求和
在一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.
基础自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
√
√
√
C
3.(2026·广西南宁模拟)已知一个有限项的等差数列{an},前4项的和是40,后
4项的和是80,所有项的和是210,则此数列的项数为(　　)
A.12 B.14 C.16 D.18
B
4.(人教A版选择性必修第二册P51练习T1改编)若数列{an}的通项公式为an=(-1)n(2n-1),则该数列的前100项和为　　　　.
100
【解析】 S100=(-1+3)+(-5+7)+…+(-197+199)=2×50=100.
提升·关键能力
分组求和
考点1
[例1] (2026·河南郑州模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3+a7=6,
S12=45.
(1)求数列{an}的通项公式;
解题策略
·
分组求和常见题型
(1)若数列{cn}的通项公式为cn=an±bn,且{an},{bn}为等差或等比数列,可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)设bn=an+1,求数列{bn}的前n项和Sn.
并项求和
考点2
[例2] (2026·山东日照模拟)记首项为1的数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=
(n+1)an.
(1)求数列{an}的通项公式;
并项求和的常见类型
(1)数列{an}的通项公式为an=(-1)nf(n),求数列{an}的前n项和.
(2)数列{an}是周期数列或ak+ak+1(k∈N*)为定值,求数列{an}的前n项和.
解题策略
·
[针对训练] 设数列{an}的首项a1=1,an+1=3·2n-an.
(1)证明:数列{an-2n}是等比数列.
(1)【证明】 对任意的n∈N*,an+1=-an+3·2n,则an+1-2n+1=-(an-2n),且a1-2=-1,
故数列{an-2n}为等比数列,且该数列的首项为-1,公比也为-1,故an-2n=(-1)n.
(2)设bn=(an-2n)(3n-4),且{bn}的前n项和为Tn,求T2n.
(2)【解】 bn=(an-2n)(3n-4)=(-1)n(3n-4),
所以b2n-1+b2n=-[3(2n-1)-4]+(3×2n-4)=3(n∈N*),
因此T2n=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(b2n-1+b2n)=3n.
倒序相加法求和
考点3
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求g(x)+g(1-x)的值;
解题策略
·
倒序相加法求数列和的技巧
倒序相加法是一种有效的求解等差数列或具有某种对称性的数列求和的方法.它的基本原理是将数列正着写和反着写的两个序列相加,从而得到一些易于计算的项,进而求得原数列的和.以下是使用倒序相加法求解数列和的一些技巧:
(1)写出数列的正向表达式:设数列的前n项和Sn=a1+a2+…+an.
解题策略
·
(2)写出数列的倒向表达式:将数列的前n项和反向写出,即Sn=an+an-1+…+
a2+a1.
(3)将正向和倒向的数列相加:将上述两个表达式相加,得到新的等式.
(4)化简并求解:利用数列的性质(如等差数列的公差)进行化简,最终求出Sn.
A.98 B.99 C.100 D.101
C
谢谢观赏第4节　数列求和(一)
[课程标准要求] 1.熟练掌握等差数列、等比数列的前n项和公式.2.掌握分组求和、倒序相加法求和、并项求和几种常见的求和方法.
1.公式法求和
直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和.
(1)等差数列的前n项和公式:Sn==na1+d.
(2)等比数列的前n项和公式:Sn=
2.分组求和
若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法,适当拆分,分为几个等差或等比或可求和的数列后,先分别求和,然后再合并.
3.倒序相加法求和
如果一个数列{an}中,与首末两端等“距离”的两项和相等,那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法求解,即等差数列求和公式推导过程的推广.
4.并项求和
在一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)若数列{an}为等比数列,且公比不等于1,则其前n项和Sn=.(　　)
(2)求数列{+2n+3}的前n项和可用分组求和法.(　　)
(3)若数列a1,a2-a1,…,an-是首项为1,公比为3的等比数列,则数列{an}的通项公式是an=.(　　)
【答案】 (1)√　(2)√　(3)√
2.[人教A版选择性必修第二册P40习题4.3 T3(1)改编]数列1,2,3,4,…的前n项和为(　　)
A.(n2+n+1)-
B.n(n+1)+1-
C.(n2+n+2)-
D.n(n+1)+2(1-)
【答案】 C
【解析】 1+2+3+…+(n+)=(1+2+…+n)+(++…+)=+=(n2+n)+1-=(n2+n+2)-.故选C.
3.(2026·广西南宁模拟)已知一个有限项的等差数列{an},前4项的和是40,后4项的和是80,所有项的和是210,则此数列的项数为(　　)
A.12 B.14 C.16 D.18
【答案】 B
【解析】 由题意知a1+a2+a3+a4=40,an+an-1+an-2+an-3=80,两式相加得a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3=30.
又Sn===210,所以n=14.故选B.
4.(人教A版选择性必修第二册P51练习T1改编)若数列{an}的通项公式为an=(-1)n(2n-1),则该数列的前100项和为　　　　.
【答案】 100
【解析】 S100=(-1+3)+(-5+7)+…+(-197+199)=2×50=100.
分组求和
[例1] (2026·河南郑州模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3+a7=6,S12=45.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn=求数列{bn}的前20项和T20.
【解】 (1)设等差数列{an}的公差为d,
由a3+a7=6,S12=45,得
解得所以an=1+(n-1)×=.
(2)因为an+an+2=+=n+2,所以bn=
故T20=b1+b2+b3+…+b20=(b1+b3+…+b19)+(b2+b4+…+b20)
=(3+5+…+21)+(22+23+…+211)=+=4 212.
分组求和常见题型
(1)若数列{cn}的通项公式为cn=an±bn,且{an},{bn}为等差或等比数列,可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.
(2)若数列{cn}的通项公式为cn=其中数列{an},{bn}是等比数列或等差数列,也可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.
[针对训练] (2026·四川绵阳模拟)等比数列{an}的各项均为正数,满足=9a2a6,且2a1+3a2=1.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)设bn=an+1,求数列{bn}的前n项和Sn.
【解】 (1)设等比数列{an}的公比为q(q>0),
由=9a2a6可得=9(a1q)·(a1q5),即q4=9q6,即9q2=1,
解得q=,又2a1+3a2=1,即2a1+3a1×=1,解得a1=,
则其通项公式为an=×=.
(2)因为bn=an+1=+1,
则Sn=b1+b2+b3+…+bn=(+1)+[+1]+[+1]+…+[+1]=
[+++…+]+n=
+n=-+n.
并项求和
[例2] (2026·山东日照模拟)记首项为1的数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=(n+1)an.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=(-1)n+1,求数列{bn}的前2n项和T2n.
【解】 (1)因为2Sn=(n+1)an(n∈N*),所以2Sn-1=nan-1(n≥2),
两式相减得2an=(n+1)an-nan-1,即(n-1)an=nan-1,所以-=0(n≥2),
所以数列{}是以1为首项,0为公差的等差数列,所以=1+(n-1)×0,所以an=n.
当n=1时,a1=1满足上式,
所以an=n(n∈N*).
(2)由(1)知bn=(-1)n+1=(-1)n+1n2,所以b2n-1+b2n=(2n-1)2-(2n)2=-4n+1,
所以(b2n-1+b2n)-(b2n-3+b2n-2)=-4n+1-[-4(n-1)+1]=-4,
又b1+b2=-3,即数列{b2n+b2n-1}是以-3为首项,-4为公差的等差数列.
所以T2n=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(b2n-1+b2n)=-3n+×(-4)=-2n2-n.
并项求和的常见类型
(1)数列{an}的通项公式为an=(-1)nf(n),求数列{an}的前n项和.
(2)数列{an}是周期数列或ak+ak+1(k∈N*)为定值,求数列{an}的前n项和.
[针对训练] 设数列{an}的首项a1=1,an+1=3·2n-an.
(1)证明:数列{an-2n}是等比数列.
(2)设bn=(an-2n)(3n-4),且{bn}的前n项和为Tn,求T2n.
(1)【证明】 对任意的n∈N*,an+1=-an+3·2n,则an+1-2n+1=-(an-2n),且a1-2=-1,
故数列{an-2n}为等比数列,且该数列的首项为-1,公比也为-1,故an-2n=(-1)n.
(2)【解】 bn=(an-2n)(3n-4)=(-1)n(3n-4),
所以b2n-1+b2n=-[3(2n-1)-4]+(3×2n-4)=3(n∈N*),
因此T2n=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(b2n-1+b2n)=3n.
倒序相加法求和
[例3] 已知函数f(x)=x2+x,函数g(x)=.数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn)(n∈N*)均在函数f(x)的图象上.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求g(x)+g(1-x)的值;
(3)令bn=g()(n∈N*),求数列{bn}的前2 026项和T2 026.
【解】 (1)因为点(n,Sn)(n∈N*)均在函数f(x)的图象上,所以Sn=n2+n,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=n,
当n=1时,a1=S1=1,适合上式,所以an=n.
(2)因为g(x)=,所以g(1-x)==,
所以g(x)+g(1-x)=+=1.
(3)由(1)知an=n,可得bn=g()=g(),
所以T2 026=b1+b2+…+b2 026=g()+g()+…+g(),①
又T2 026=b2 026+b2 025+…+b1=g()+g()+…+g(),②
g(x)+g(1-x)=1,所以①+②,得2T2 026=2 026,所以T2 026=1 013.
倒序相加法求数列和的技巧
倒序相加法是一种有效的求解等差数列或具有某种对称性的数列求和的方法.它的基本原理是将数列正着写和反着写的两个序列相加,从而得到一些易于计算的项,进而求得原数列的和.以下是使用倒序相加法求解数列和的一些技巧:
(1)写出数列的正向表达式:设数列的前n项和Sn=a1+a2+…+an.
(2)写出数列的倒向表达式:将数列的前n项和反向写出,即Sn=an+an-1+…+a2+a1.
(3)将正向和倒向的数列相加:将上述两个表达式相加,得到新的等式.
(4)化简并求解:利用数列的性质(如等差数列的公差)进行化简,最终求出Sn.
[针对训练] (2026·湖南岳阳模拟)已知某数列的通项an=,则a1+a2+…+a100=(　　)
A.98 B.99 C.100 D.101
【答案】 C
【解析】 因为an=,所以an+a101-n=+=+==2,
所以a1+a100=a2+a99=a3+a98=…=an+a101-n=2,
所以a1+a2+…+a100=50×2=100.
故选C.
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
分组求和 1,5,6,7,9,10,11
并项求和 2,3,6
倒序相加法求和 4,8,12
一、选择题
1.(2026·广西南宁模拟)若数列{an}的通项公式为an=2n+2n-1,则数列{an}的前n项和Sn为(　　)
A.2n+n2-2 B.2n+1+n2-2
C.2n+n2-1 D.2n+1+n2-1
【答案】 B
【解析】 因为an=2n+2n-1,
所以Sn=(21+22+…+2n)+2(1+2+…+n)-n
=+2··(n+1)-n
=2n+1+n2-2.故选B.
2.若数列{an}的前n项和为Sn,且an+1+an=2n,则S8=(　　)
A.84 B.86 C.170 D.172
【答案】 C
【解析】 因为数列{an}的前n项和为Sn,且an+1+an=2n,
所以S8=(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+(a7+a8)=2+23+25+27=170.故选C.
3.(2026·广西钦州模拟)已知数列{an}满足a1=1,a2=2,且an+2=则{an}的前51项和为(　　)
A.37 B.40 C.42 D.46
【答案】 B
【解析】 当n为奇数时,an+2=an=…=a1=1,
令n=2,则a4=a3-a2=1-2=-1,
令n=4,则a6=a5-a4=1-(-1)=2,
令n=6,则a8=a7-a6=1-2=-1,
令n=8,则a10=a9-a8=1-(-1)=2,
以此类推,偶数项为2和-1交替,
前51项中有26项奇数项,和为26×1=26,有25项偶数项,和为13×2+12×(-1)=14,
所以{an}的前51项和为26+14=40.故选B.
4.已知某数列的通项an=则a1+a2+…+a51=(　　)
A.48 B.49
C.50 D.51
【答案】 D
【解析】 令函数f(x)=(x≠26),则f(x)==1+(x≠26),
所以f(x)+f(52-x)=1++1+=2(x≠26).
所以an+a52-n=2,令S=a1+a2+…+a51,则S=a51+a50+…+a1,
则有2S=(a1+a51)+(a2+a50)+…+(a51+a1)=2×51,所以S=51.
故选D.
5.(2026·天津武清模拟)已知数列{an}的通项公式为an=2n-1,其前n项和为Sn,则数列的前20项和为(　　)
A.-190 B.190
C.-210 D.210
【答案】 D
【解析】 数列{an}的通项公式为an=2n-1,其前n项和为Sn==n2,
所以(-1)nSn=(-1)nn2,
则数列{(-1)n·Sn}的前20项和为
-12+22-32+42-…+182-192+202
=(2-1)(2+1)+(4-3)(4+3)+…+(20-19)(20+19)
=1+2+3+4+…+20==210.故选D.
6.(多选)(2026·四川成都模拟)已知数列{an}满足a1+2a2+…+2n-1an=n·2n,则下列结论正确的是(　　)
A.an=n+1
B.数列{an}的前n项和为
C.数列的前100项和为50
D.数列的前30项和为345
【答案】 AC
【解析】 由a1+2a2+…+2n-1an=n·2n,可得n≥2时,a1+2a2+…+2n-2an-1=(n-1)·2n-1,
两式相减可得2n-1an=n·2n-(n-1)·2n-1=(n+1)·2n-1,所以an=n+1.
当n=1时,a1=2,符合上式,所以an=n+1,故A正确;
由等差数列前n项和公式知{an}的前n项和为=,故B错误;
令bn=(-1)nan=(-1)n(n+1),则{bn}的前100项和为-2+3-4+5+…-100+101=1×50=50,
故C正确;
令cn=|an-5|=|n-4|,所以的前30项和为c1+c2+…+c30=3+2+1+0+1+2+…+26=6+=357,故D错误.故选AC.
二、填空题
7.(2026·天津河东模拟)已知数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2-an=(-1)n+2,则数列{an}的前40项和为　　　　.
【答案】 820
【解析】 因为an+2-an=(-1)n+2,
当n为奇数时,(-1)n=-1,则an+2-an=1,{a2n-1}是首项为1,公差为1的等差数列;
当n为偶数时,(-1)n=1,则an+2-an=3,{a2n}是首项为2,公差为3的等差数列.
所以S40=(a1+a3+…+a39)+(a2+a4+…+a40)=+=820.
8.若等差数列{an}满足a1 013=0,则++…+=　　　　.
【答案】
【解析】 由等差数列{an}满足a1 013=0,则对于p,q∈N*,当p+q=2×1 013时,ap+aq=2a1 013=0,
则+===1,
设S2 025=++…+,
则S2 025=++…+,
两式相加可得2S2 025=2 025×1,解得S2 025=.
三、解答题
9.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,且满足S2是a2,a3的等差中项,a3+1是a2,a5的等差
中项.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记bn=(-1)nan,求数列{bn}的前n项和Tn.
【解】 (1)设数列{an}的公差为d,由题意得2S2=a2+a3,即2(2a1+d)=2a1+3d,整理得d=2a1,
2(a3+1)=a2+a5,即2(a1+2d+1)=2a1+5d,解得d=2,
代入d=2a1,解得a1=1,故an=a1+(n-1)d=2n-1.
(2)由(1)得,bn=(-1)n(2n-1).
当n为偶数时,
Tn=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(bn-1+bn)
=(-1+3)+(-5+7)+…+[-(2n-3)+(2n-1)]
=2+2+…+2=2×=n,
当n为奇数时,则n+1为偶数,Tn+1=n+1,bn+1=(-1)n+1[2(n+1)-1]=2n+1,
所以Tn=Tn+1-bn+1=(n+1)-(2n+1)=-n,
综上,Tn=
10.(2026·贵州贵阳模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的首项为2,且a2+a6=10,S5=3a4,b4-a5=3S3.
(1)求{an},{bn}的通项公式;
(2)设cn=(-1)nan+,求数列{cn}的前2n项和T2n.
【解】 (1)设等差数列{an}的公差为d,根据题意得解得
所以an=-1+(n-1)×2=2n-3,可知a5=7,S3=3,
设等比数列{bn}的公比为q,
代入b4-a5=3S3,
得2q3-7=9,
解得q=2,
可知bn=2·2n-1=2n.
(2)由(1)可知an=2n-3,bn=2n,
则cn=(-1)n·(2n-3)+.
T2n=c1+c2+…+c2n=[(-1)1a1+]+[(-1)2a2+]+…+[(-1)2na2n+],
分组得T2n=[(-a1+a2)+(-a3+a4)+…+(-a2n-1+a2n)]+(++…+),
其中(-a1+a2)+(-a3+a4)+…+(-a2n-1+a2n)=2n,
++…+=+++…+==1-,
则T2n=2n+1-.
11.已知数列{an}和{bn}的通项公式分别为an=3n,bn=n,在bm与bm+1之间插入数列{an}的前m项,构成新数列{cn},即b1,a1,b2,a1,a2,b3,a1,a2,a3,b4,a1,a2,a3,a4,b5,….记数列{bn}的前n项和为Tn,则ci=(　　)
A.30 B.4 944
C.9 876 D.14 748
【答案】 B
【解析】 因为数列{bn}的通项公式为bn=n,所以数列{bn}为等差数列,所以数列{bn}的前n项和为Tn=,
数列{an}的通项公式为an=3n,所以数列{an}为等比数列,
所以数列{an}的前n项和为Sn==,
所以ci=S1+S2+…+Sn-1+b1+b2+…+bn
=++…++
=·-+
=+-n-,
当n=8时,ci=4 944.故选B.
12.(2026·辽宁沈阳模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且++…+=,设函数f(x)=
cos πx+,则f()+f()+f()+…+f()=　　　　.
【答案】
【解析】 因为数列{an}的前n项和为Sn,且++…+=,当n=1时,=1,所以a1=S1=1,
当n≥2且n∈N*时,由++…++=可得++…+=,
上述两个等式作差得=-==,
所以Sn=,S1=1满足Sn=,故对任意的n∈N*,Sn=,
当n≥2且n∈N*时,an=Sn-Sn-1=-=n,a1=1也满足an=n,故对任意的n∈N*,an=n,
因为f(1-x)+f(x)=cos [π(1-x)]++cos πx+=-cos πx+cos πx+1=1,
记S=f()+f()+…+f(),则S=f()+f()+…+f(),
所以2S=[f()+f()]+[f()+f()]+…+[f()+f()]=2 025×1=2 025,
故S=.第4节　数列求和(一)
[课程标准要求] 1.熟练掌握等差数列、等比数列的前n项和公式.2.掌握分组求和、倒序相加法求和、并项求和几种常见的求和方法.
1.公式法求和
直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和.
(1)等差数列的前n项和公式:Sn==　　　　.
(2)等比数列的前n项和公式:Sn=
2.分组求和
若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法,适当拆分,分为几个等差或等比或可求和的数列后,先分别求和,然后再合并.
3.倒序相加法求和
如果一个数列{an}中,与首末两端等“距离”的两项和相等,那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法求解,即等差数列求和公式推导过程的推广.
4.并项求和
在一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)若数列{an}为等比数列,且公比不等于1,则其前n项和Sn=.(　　)
(2)求数列{+2n+3}的前n项和可用分组求和法.(　　)
(3)若数列a1,a2-a1,…,an-是首项为1,公比为3的等比数列,则数列{an}的通项公式是an=.(　　)
2.[人教A版选择性必修第二册P40习题4.3 T3(1)改编]数列1,2,3,4,…的前n项和为(　　)
A.(n2+n+1)-
B.n(n+1)+1-
C.(n2+n+2)-
D.n(n+1)+2(1-)
3.(2026·广西南宁模拟)已知一个有限项的等差数列{an},前4项的和是40,后4项的和是80,所有项的和是210,则此数列的项数为(　　)
A.12 B.14 C.16 D.18
4.(人教A版选择性必修第二册P51练习T1改编)若数列{an}的通项公式为an=(-1)n(2n-1),则该数列的前100项和为　　　　.
分组求和
[例1] (2026·河南郑州模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3+a7=6,S12=45.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn=求数列{bn}的前20项和T20.
听课记录:
分组求和常见题型
(1)若数列{cn}的通项公式为cn=an±bn,且{an},{bn}为等差或等比数列,可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.
(2)若数列{cn}的通项公式为cn=其中数列{an},{bn}是等比数列或等差数列,也可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.
[针对训练] (2026·四川绵阳模拟)等比数列{an}的各项均为正数,满足=9a2a6,且2a1+3a2=1.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)设bn=an+1,求数列{bn}的前n项和Sn.
并项求和
[例2] (2026·山东日照模拟)记首项为1的数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=(n+1)an.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=(-1)n+1,求数列{bn}的前2n项和T2n.
听课记录:
并项求和的常见类型
(1)数列{an}的通项公式为an=(-1)nf(n),求数列{an}的前n项和.
(2)数列{an}是周期数列或ak+ak+1(k∈N*)为定值,求数列{an}的前n项和.
[针对训练] 设数列{an}的首项a1=1,an+1=3·2n-an.
(1)证明:数列{an-2n}是等比数列.
(2)设bn=(an-2n)(3n-4),且{bn}的前n项和为Tn,求T2n.
倒序相加法求和
[例3] 已知函数f(x)=x2+x,函数g(x)=.数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn)(n∈N*)均在函数f(x)的图象上.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求g(x)+g(1-x)的值;
(3)令bn=g()(n∈N*),求数列{bn}的前2 026项和T2 026.
听课记录:
倒序相加法求数列和的技巧
倒序相加法是一种有效的求解等差数列或具有某种对称性的数列求和的方法.它的基本原理是将数列正着写和反着写的两个序列相加,从而得到一些易于计算的项,进而求得原数列的和.以下是使用倒序相加法求解数列和的一些技巧:
(1)写出数列的正向表达式:设数列的前n项和Sn=a1+a2+…+an.
(2)写出数列的倒向表达式:将数列的前n项和反向写出,即Sn=an+an-1+…+a2+a1.
(3)将正向和倒向的数列相加:将上述两个表达式相加,得到新的等式.
(4)化简并求解:利用数列的性质(如等差数列的公差)进行化简,最终求出Sn.
[针对训练] (2026·湖南岳阳模拟)已知某数列的通项an=,则a1+a2+…+a100=(　　)
A.98 B.99 C.100 D.101第4节　数列求和(一)
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
分组求和 1,5,6,7,9,10,11
并项求和 2,3,6
倒序相加法求和 4,8,12
一、选择题
1.(2026·广西南宁模拟)若数列{an}的通项公式为an=2n+2n-1,则数列{an}的前n项和Sn为(　　)
A.2n+n2-2 B.2n+1+n2-2
C.2n+n2-1 D.2n+1+n2-1
【答案】 B
【解析】 因为an=2n+2n-1,
所以Sn=(21+22+…+2n)+2(1+2+…+n)-n
=+2··(n+1)-n
=2n+1+n2-2.故选B.
2.若数列{an}的前n项和为Sn,且an+1+an=2n,则S8=(　　)
A.84 B.86 C.170 D.172
【答案】 C
【解析】 因为数列{an}的前n项和为Sn,且an+1+an=2n,
所以S8=(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+(a7+a8)=2+23+25+27=170.故选C.
3.(2026·广西钦州模拟)已知数列{an}满足a1=1,a2=2,且an+2=则{an}的前51项和为(　　)
A.37 B.40 C.42 D.46
【答案】 B
【解析】 当n为奇数时,an+2=an=…=a1=1,
令n=2,则a4=a3-a2=1-2=-1,
令n=4,则a6=a5-a4=1-(-1)=2,
令n=6,则a8=a7-a6=1-2=-1,
令n=8,则a10=a9-a8=1-(-1)=2,
以此类推,偶数项为2和-1交替,
前51项中有26项奇数项,和为26×1=26,有25项偶数项,和为13×2+12×(-1)=14,
所以{an}的前51项和为26+14=40.故选B.
4.已知某数列的通项an=则a1+a2+…+a51=(　　)
A.48 B.49
C.50 D.51
【答案】 D
【解析】 令函数f(x)=(x≠26),则f(x)==1+(x≠26),
所以f(x)+f(52-x)=1++1+=2(x≠26).
所以an+a52-n=2,令S=a1+a2+…+a51,则S=a51+a50+…+a1,
则有2S=(a1+a51)+(a2+a50)+…+(a51+a1)=2×51,所以S=51.
故选D.
5.(2026·天津武清模拟)已知数列{an}的通项公式为an=2n-1,其前n项和为Sn,则数列的前20项和为(　　)
A.-190 B.190
C.-210 D.210
【答案】 D
【解析】 数列{an}的通项公式为an=2n-1,其前n项和为Sn==n2,
所以(-1)nSn=(-1)nn2,
则数列{(-1)n·Sn}的前20项和为
-12+22-32+42-…+182-192+202
=(2-1)(2+1)+(4-3)(4+3)+…+(20-19)(20+19)
=1+2+3+4+…+20==210.故选D.
6.(多选)(2026·四川成都模拟)已知数列{an}满足a1+2a2+…+2n-1an=n·2n,则下列结论正确的是(　　)
A.an=n+1
B.数列{an}的前n项和为
C.数列的前100项和为50
D.数列的前30项和为345
【答案】 AC
【解析】 由a1+2a2+…+2n-1an=n·2n,可得n≥2时,a1+2a2+…+2n-2an-1=(n-1)·2n-1,
两式相减可得2n-1an=n·2n-(n-1)·2n-1=(n+1)·2n-1,所以an=n+1.
当n=1时,a1=2,符合上式,所以an=n+1,故A正确;
由等差数列前n项和公式知{an}的前n项和为=,故B错误;
令bn=(-1)nan=(-1)n(n+1),则{bn}的前100项和为-2+3-4+5+…-100+101=1×50=50,
故C正确;
令cn=|an-5|=|n-4|,所以的前30项和为c1+c2+…+c30=3+2+1+0+1+2+…+26=6+=357,故D错误.故选AC.
二、填空题
7.(2026·天津河东模拟)已知数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2-an=(-1)n+2,则数列{an}的前40项和为　　　　.
【答案】 820
【解析】 因为an+2-an=(-1)n+2,
当n为奇数时,(-1)n=-1,则an+2-an=1,{a2n-1}是首项为1,公差为1的等差数列;
当n为偶数时,(-1)n=1,则an+2-an=3,{a2n}是首项为2,公差为3的等差数列.
所以S40=(a1+a3+…+a39)+(a2+a4+…+a40)=+=820.
8.若等差数列{an}满足a1 013=0,则++…+=　　　　.
【答案】
【解析】 由等差数列{an}满足a1 013=0,则对于p,q∈N*,当p+q=2×1 013时,ap+aq=2a1 013=0,
则+===1,
设S2 025=++…+,
则S2 025=++…+,
两式相加可得2S2 025=2 025×1,解得S2 025=.
三、解答题
9.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,且满足S2是a2,a3的等差中项,a3+1是a2,a5的等差
中项.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记bn=(-1)nan,求数列{bn}的前n项和Tn.
【解】 (1)设数列{an}的公差为d,由题意得2S2=a2+a3,即2(2a1+d)=2a1+3d,整理得d=2a1,
2(a3+1)=a2+a5,即2(a1+2d+1)=2a1+5d,解得d=2,
代入d=2a1,解得a1=1,故an=a1+(n-1)d=2n-1.
(2)由(1)得,bn=(-1)n(2n-1).
当n为偶数时,
Tn=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(bn-1+bn)
=(-1+3)+(-5+7)+…+[-(2n-3)+(2n-1)]
=2+2+…+2=2×=n,
当n为奇数时,则n+1为偶数,Tn+1=n+1,bn+1=(-1)n+1[2(n+1)-1]=2n+1,
所以Tn=Tn+1-bn+1=(n+1)-(2n+1)=-n,
综上,Tn=
10.(2026·贵州贵阳模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的首项为2,且a2+a6=10,S5=3a4,b4-a5=3S3.
(1)求{an},{bn}的通项公式;
(2)设cn=(-1)nan+,求数列{cn}的前2n项和T2n.
【解】 (1)设等差数列{an}的公差为d,根据题意得解得
所以an=-1+(n-1)×2=2n-3,可知a5=7,S3=3,
设等比数列{bn}的公比为q,
代入b4-a5=3S3,
得2q3-7=9,
解得q=2,
可知bn=2·2n-1=2n.
(2)由(1)可知an=2n-3,bn=2n,
则cn=(-1)n·(2n-3)+.
T2n=c1+c2+…+c2n=[(-1)1a1+]+[(-1)2a2+]+…+[(-1)2na2n+],
分组得T2n=[(-a1+a2)+(-a3+a4)+…+(-a2n-1+a2n)]+(++…+),
其中(-a1+a2)+(-a3+a4)+…+(-a2n-1+a2n)=2n,
++…+=+++…+==1-,
则T2n=2n+1-.
11.已知数列{an}和{bn}的通项公式分别为an=3n,bn=n,在bm与bm+1之间插入数列{an}的前m项,构成新数列{cn},即b1,a1,b2,a1,a2,b3,a1,a2,a3,b4,a1,a2,a3,a4,b5,….记数列{bn}的前n项和为Tn,则ci=(　　)
A.30 B.4 944
C.9 876 D.14 748
【答案】 B
【解析】 因为数列{bn}的通项公式为bn=n,所以数列{bn}为等差数列,所以数列{bn}的前n项和为Tn=,
数列{an}的通项公式为an=3n,所以数列{an}为等比数列,
所以数列{an}的前n项和为Sn==,
所以ci=S1+S2+…+Sn-1+b1+b2+…+bn
=++…++
=·-+
=+-n-,
当n=8时,ci=4 944.故选B.
12.(2026·辽宁沈阳模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且++…+=,设函数f(x)=
cos πx+,则f()+f()+f()+…+f()=　　　　.
【答案】
【解析】 因为数列{an}的前n项和为Sn,且++…+=,当n=1时,=1,所以a1=S1=1,
当n≥2且n∈N*时,由++…++=可得++…+=,
上述两个等式作差得=-==,
所以Sn=,S1=1满足Sn=,故对任意的n∈N*,Sn=,
当n≥2且n∈N*时,an=Sn-Sn-1=-=n,a1=1也满足an=n,故对任意的n∈N*,an=n,
因为f(1-x)+f(x)=cos [π(1-x)]++cos πx+=-cos πx+cos πx+1=1,
记S=f()+f()+…+f(),则S=f()+f()+…+f(),
所以2S=[f()+f()]+[f()+f()]+…+[f()+f()]=2 025×1=2 025,
故S=.第4节　数列求和(一)
一、选择题
1.(2026·广西南宁模拟)若数列{an}的通项公式为an=2n+2n-1,则数列{an}的前n项和Sn为(　　)
A.2n+n2-2 B.2n+1+n2-2
C.2n+n2-1 D.2n+1+n2-1
2.若数列{an}的前n项和为Sn,且an+1+an=2n,则S8=(　　)
A.84 B.86 C.170 D.172
3.(2026·广西钦州模拟)已知数列{an}满足a1=1,a2=2,且an+2=则{an}的前51项和为(　　)
A.37 B.40 C.42 D.46
4.已知某数列的通项an=则a1+a2+…+a51=(　　)
A.48 B.49
C.50 D.51
5.(2026·天津武清模拟)已知数列{an}的通项公式为an=2n-1,其前n项和为Sn,则数列的前20项和为(　　)
A.-190 B.190
C.-210 D.210
6.(多选)(2026·四川成都模拟)已知数列{an}满足a1+2a2+…+2n-1an=n·2n,则下列结论正确的是(　　)
A.an=n+1
B.数列{an}的前n项和为
C.数列的前100项和为50
D.数列的前30项和为345
二、填空题
7.(2026·天津河东模拟)已知数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2-an=(-1)n+2,则数列{an}的前40项和为　　　　.
8.若等差数列{an}满足a1 013=0,则++…+=　　　　.
三、解答题
9.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,且满足S2是a2,a3的等差中项,a3+1是a2,a5的等差中项.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记bn=(-1)nan,求数列{bn}的前n项和Tn.
10.(2026·贵州贵阳模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的首项为2,且a2+a6=10,S5=3a4,b4-a5=3S3.
(1)求{an},{bn}的通项公式;
(2)设cn=(-1)nan+,求数列{cn}的前2n项和T2n.
11.已知数列{an}和{bn}的通项公式分别为an=3n,bn=n,在bm与bm+1之间插入数列{an}的前m项,构成新数列{cn},即b1,a1,b2,a1,a2,b3,a1,a2,a3,b4,a1,a2,a3,a4,b5,….记数列{bn}的前n项和为Tn,则ci=(　　)
A.30 B.4 944
C.9 876 D.14 748
12.(2026·辽宁沈阳模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且++…+=,设函数f(x)=
cos πx+,则f()+f()+f()+…+f()=　　　　.

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