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第五节　一元二次不等式
新课标要求 真题分布
1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数． 2．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 3．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 2025年 全国Ⅱ卷T4
2024年 —
2023年 新高考Ⅰ卷T1
必备知识·助学教材　清单式排查 彰显一个“准”
知识清单
1.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 ________ {x|x≠－} R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x12.分式不等式的解法
(1)>0 ________；(2)<0 ________；
(3)≥0 ________；(4)≤0 ________．
3．绝对值不等式的解集：|x|>a(a>0)的解集为________________；|x|0)的解集为________________．
自主诊断
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(　　)
(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　　)
(3)不等式ax2＋bx＋c≥0在R上恒成立的条件是a>0且Δ＝b2－4ac≤0.(　　)
(4)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．(　　)
2．(人教A版必修一P53T1(5)改编)不等式－2x2＋x≥－3的解集为________．
3．(人教A版必修一P54T1改编)使有意义的x的取值范围是________．
4．(人教A版必修一P55练习T3改编)某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元.若按最低售价销售，则每天能卖出30个；若一个削笔器的售价每提高1元，则日销售量将减少2个．为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，则这批削笔器每个的售价的范围为________元．
考教衔接·活用教材　探究式精练 收获一个“赢”
命题点一　不含参的不等式
例1 (1)解下列不等式
①－x2－3x<－4；
②|1－2x|≤7；
(2)(链接·2025年全国Ⅱ卷)不等式≥2的解集是(　　)
A．{x|－2≤x≤1} B．{x|x≤－2}
C．{x|－2≤x<1} D．{x|x>1}
[听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　真题探源　(源自人教B版必修一P75例3)求不等式≥1的解集．
学霸笔记：
(1)可通过解相应一元二次方程的根，再画出相应二次函数的图象，求出不等式的解集．
(2)分式不等式转化为整式不等式时，要注意等价转化，必要时要对分母进行限制，转化为不等式组．
命题点二　含参的一元二次不等式
例2解关于x的不等式：ax2－(a＋1)x＋1<0.
[听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
学霸笔记：解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即Δ的符号进行分类，最后在根存在时，根据根的大小进行分类．
　跟踪训练　解关于x的不等式12x2－ax>a2.
命题点三　三个二次之间的关系
例3 若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－1(1)求a，b，c之间的关系，并判断a＋b＋c的正负；
(2)求关于x的不等式bx2＋cx＋3a>0的解集．
[听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
学霸笔记：“三个二次”之间的关系及其应用
(1)一元二次方程的根就是对应二次函数的零点，也就是对应一元二次不等式解集的端点值；
(2)对于不等式ax2＋bx＋c>0，若其解集为(－∞，m)则a>0且方程ax2＋bx＋c＝0的两根为m，n，且m　跟踪训练　已知二次函数f(x)＝ax2＋bx－1.
(1)若关于x的不等式f(x)>0的解集为{x|x<－1或x>}，求f(x)；
(2)在(1)的条件下，求不等式>0的解集；
(3)设关于x的方程f(x)＋ax＋b＋1＝0有两实数根x1，x2，且满足x1＋x2＝2，求的值．
提示：请完成课时作业5
第五节　一元二次不等式
必备知识·助学教材
知识清单
1．{x|xx2}
2．(1)f(x)g(x)>0　(2)f(x)g(x)<0　(3)　(4)
3．(－∞，－a)∪(a，＋∞)　(－a，a)
自主诊断
1．答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2．解析：不等式－2x2＋x≥－3等价为2x2－x－3≤0，解得－1≤x≤，所以不等式－2x2＋x≥－3的解集为{x|－1≤x≤}．
答案：{x|－1≤x≤}
3．解析：要使有意义，则x2＋x－12≥0，解得x≤－4或x≥3.
答案：{x|x≤－4，或x≥3}
4．解析：设这批削笔器每个的售价定为x元，x≥15，由题意可得[30－(x－15)×2]x>400，即x2－30x＋200<0，解得10答案：[15，20)
考教衔接·活用教材
例1　解析：(1)①由－x2－3x<－4得x2＋3x－4>0，即(x＋4)(x－1)>0，解得x<－4或x>1，
所以不等式－x2－3x<－4的解集为{x|x<－4，或x>1}．
②|1－2x|≤7 |2x－1|≤7 －7≤2x－1≤7，解得－3≤x≤4，
所以不等式|1－2x|≤7的解集为{x|－3≤x≤4}．
(2)≥2，即为≤0，即故－2≤x<1，故解集为[－2，1)．故选C.
答案：(1)见解析　(2)C
真题探源　解析：由≥1得≥0，
由题意知x－2≠0，因此(x＋3)(x－2)≥0且x≠2，
所以所求不等式的解集为(－∞，－3]∪(2，＋∞)．
例2　解析：若a＝0，原不等式等价于－x＋1<0，解得x>1.
若a<0，原不等式等价于(x－1)>0，
解得x<或x>1.
若a>0，原不等式等价于(x－1)<0.
①当a＝1时，＝1，(x－1)<0无解；
②当a>1时，<1，(x－1)<0，解得③当01，(x－1)<0，解得1综上所述，当a<0时，解集为；
当a＝0时，解集为{x|x>1}；
当0当a＝1时，解集为 ；
当a>1时，解集为.
跟踪训练　解析：因为12x2－ax>a2，
所以12x2－ax－a2>0，
即(4x＋a)(3x－a)>0.
令(4x＋a)(3x－a)＝0，
解得x1＝－.
①当a>0时，－<，
不等式的解集为<，或>；
②当a＝0时，x2>0，不等式的解集为{x|x≠0}；
③当a<0时，－>，
不等式的解集为，或x>.
综上所述，当a>0时，不等式的解集为{x，或x>}；当a＝0时，不等式的解集为{x|x≠0}；当a<0时，不等式的解集为{x|x<，或x>.
例3　解析：(1)因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－1，2)，
则－1，2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，
所以a<0，－＝1+2＝1，＝(－1)×2＝－2，
故b＝－a，c＝－2a，此时a＋b＋c＝－2a>0.
(2)bx2＋cx＋3a>0 －ax2－2ax＋3a>0 x2＋2x－3>0，
解得x<－3或x>1，
所以不等式bx2＋cx＋3a>0的解集为{x|x<－3，或x>1}．
跟踪训练　解析：(1)因为不等式f(x)>0的解集为{x|x<1或x>}，
所以a>0，且解得故f(x)＝2x2＋x－1.
(2)因为f(x)＝2x2＋x－1，
所以不等式>0，可化为>0，即>0，
而x≠0，x≠－，可得>0，解得x>－且x≠0，
则不等式的解集为{x0}．
(3)由题意得关于x的方程f(x)＋ax＋b＋1＝0有两实数根，
则ax2＋(a＋b)x＋b＝0有两实数根，
所以Δ＝(a＋b)2－4ab＝(a－b)2≥0，易知此式恒成立，
因为x1＋x2＝2，由韦达定理，x1＋x2＝，
所以b＝－3a，x1x2＝－3，
故.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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