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第13章
13.1 三角形的概念
题型1 三角形 题型2 等腰三角形的性质
题型3 等边三角形的性质
题型1 三角形
解｜题｜知｜识 （1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 组成三角形的线段叫做三角形的边． 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． 相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． （2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）． （3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高． （4）三角形具有稳定性．
【典例1】下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型；
B、露出的角是钝角，因此是钝角三角形；
C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型；
D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形；
故选：C．
【变式1】如图，点B、C、D、E在同一直线上，则图中的三角形一共有（　　）
A．3个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】C
【解答】解：图中三角形有：△ABD，△ABC，△ABE，△ADC，△ADE，△ACE，共有6个．
故选：C．
【变式2】下列“将三角形按边的相等关系分类”正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解答】解：等腰三角形中包含等边三角形，即A选项符合题意．
故选：A．
【变式3】如图所示的蜂巢由许多六边形构成，将六边形三角剖分，可以分割成三角形的个数为　4　 ．
【答案】4．
【解答】解：如图所示，根据题意，过点A的所有对角线，可分割六边形得到△AEF，△ADE，△ACD，△ABC，
综上所述，将六边形三角剖分，每个六边形至少可以分割成三角形的个数为4个，
故答案为：4．
题型2 等腰三角形的性质
解｜题｜知｜识 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
【典例1】等腰三角形的一个角是70°，则它的底角是（　　）
A．55° B．70° C．40°或70° D．55°或70°
【答案】D
【解答】解：①当这个角是顶角时，底角＝（180°﹣70°）÷2＝55°；
②当这个角是底角时，另一个底角为70°，顶角为40°；
故选：D．
【变式1】如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的高，则下列结论不正确的是（　　）
A．BD＝CD B．∠BAC＝∠ABC
C．AD平分∠BAC D．S△ABD＝S△ACD
【答案】B
【解答】解：∵AB＝AC，AD是边BC上的高，
∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，即AD平分∠BAC，
∴，
故选项A、C、D正确，不符合题意，
而已知条件无法证明∠BAC＝∠ABC，故选项B错误，符合题意．
故选：B．
【变式2】已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（　　）
A．40° B．100° C．40°或70° D．40°或100°
【答案】D
【解答】解：当这个内角为顶角时，则顶角为40°，
当这个内角为底角时，则两个底角都为40°，此时顶角为：180°﹣40°﹣40°＝100°，
故选：D．
【变式3】如图，在四边形ABCD中，点E在AB上，CE∥AD，且BE＝CE，∠B﹣∠A＝30°，求∠A、∠B的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵CE∥AD，
∴∠BEC＝∠A，
在△ECB中，∵BE＝CE，
∴∠B＝∠BCE，
∵∠B+∠BCE+∠BEC＝180°，即2∠B+∠A＝180°，
联立∠B﹣∠A＝30°，
解得∠A＝40°，∠B＝70°．
故∠A的度数是40°，∠B的度数是70°．
题型3 等边三角形的性质
解｜题｜知｜识 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
【典例1】如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E＝30°，则CE的长是（　　）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【答案】B
【解答】解：∵等边△ABC的边长AB＝4cm，BD平分∠ABC，
∴∠ACB＝60°，DC＝AD＝2cm，
∵∠E＝30°，∠E+∠EDC＝∠ACB，
∴∠EDC＝60°﹣30°＝30°＝∠E，
∴CD＝CE＝2cm，
故选：B．
【变式1】如图，△ABC是等边三角形，D为AB的中点，DE⊥AC，垂足为点E．若AE＝1，则△ABC的边长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，D为AB的中点，DE⊥AC，垂足为点E．若AE＝1，
∴在直角三角形ADE中，∠A＝60°，∠AED＝90°，∠ADE＝30°，
∴AD＝2AE＝2，
又∵D为AB的中点，
∴AB＝2AD＝4，
∴等边三角形ABC的边长为4，
故选：B．
【变式2】下列说法正确的是（　　）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．两点之间垂线段最短
C．等腰三角形的高线、中线、角平分线互相重合
D．有两个角是60°的三角形是等边三角形
【答案】D
【解答】解：A、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故A不符合题意；
B、两点之间线段最短，故B不符合题意；
C、等腰三角形底边的高线、中线、角平分线互相重合，故C不符合题意；
D、有两个角是60°的三角形是等边三角形，正确，故D符合题意．
故选：D．
【变式3】如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，以AD为一边向右作等边三角形ADE，DE与AC交于点F．
（1）试判断DF与EF的数量关系，并给出理由．
（2）若CF的长为2cm，试求等边三角形ABC的边长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）DF＝EF．
理由：∵△ABC和△ADE均是等边三角形，
∴∠BAC＝∠DAE＝60°，
∵AD⊥BC，
∴BD＝DC，∠BAD＝∠DAC60°＝30°，
∴∠CAE＝60°﹣30°＝30°，
即∠DAC＝∠CAE，
∴AC垂直平分DE，
∴DF＝EF；
（2）在Rt△DFC中，∵∠FCD＝60°，∠CFD＝90°，
∴∠CDF＝90°﹣60°＝30°，
∵CF＝2cm，
∴DC＝4cm，
∴BC＝2DC＝2×4＝8cm，
即等边三角形ABC的边长为8cm．
图中以AB为边的三角形的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解答】解：∵由D、E、C三点分别与AB端点相连，可构成3个三角形，
∴图中以AB为边的三角形有：△ABD，△ABE，△ABC．共有3个．
故选：B．
下面是四位同学分别用三根木棍组成的图形，其中是三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：由题意得：只有A选项中的图形是三角形，
故选：A．
如图所示，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（　　）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】C
【解答】解：由三角形中有1个已知角为钝角，
∴这个三角形是钝角三角形；
故选：C．
如图中都是由三条线段组成的图形，其中是三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：三角形是由三条首尾相连的线段组成的图形．
故选：C．
在△ABC中，BC边的对角是（　　）
A．∠A B．∠B C．∠C D．∠D
【答案】A
【解答】解：在△ABC中，BC边的对角是∠A，
故选：A．
如图所示，其中三角形的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【解答】解：△ABE，△DEC，△BEC，△ABC，△DBC共5个．故选D．
等腰三角形的一个角为50°，则这个等腰三角形的底角为（　　）
A．65° B．65°或80° C．50°或65° D．40°
【答案】C
【解答】解：当50°是等腰三角形的顶角时，则底角为（180°﹣50°）65°；
当50°是底角时亦可．
故选：C．
如图，在△ABC中，点M，N为AC边上的两点，AM＝NM，BM⊥AC，ND⊥BC于点D，且NM＝ND，若∠A＝α，则∠C＝（　　）
A． B． C．120°﹣α D．2α﹣90°
【答案】D
【解答】解：∵AM＝NM，BM⊥AC，∠A＝α，
∴∠ABM＝∠NBM＝90°﹣α，
∵NM＝ND，BM⊥AC，ND⊥BC，
∴BN平分∠MBD，
∴∠ABM＝∠DBN＝∠NBM＝90°﹣α，
∴∠ABC＝∠ABM+∠DBN+∠NBM＝270°﹣3α，
∴∠C＝2α﹣90°，
故选：D．
如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，工人师傅在焊接立柱时，只用找到BC的中点D，就可以说明竖梁AD垂直于横梁BC了，工人师傅这种操作方法的依据是（　　）
A．等边对等角
B．等角对等边
C．垂线段最短
D．等腰三角形“三线合一”
【答案】D
【解答】解：∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
又∵点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，
故选：D．
已知△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，∠BAC＝80°，则∠BAD的度数为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】B
【解答】解：∵AB＝AC，AD是BC边上的高，
∴AD是∠BAC的角平分线，
∵∠BAC＝80°，
∴．
故选：B．
等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，它的底角为　20°或70°　 ．
【答案】20°或70°
【解答】解：①如图1，
∵△ABC是等腰三角形，BD⊥AC，∠ADB＝90°，∠ABD＝50°，
∴在直角△ABD中，∠A＝90°﹣50°＝40°，
∴∠C＝∠ABC70°；
②如图2，
∵△ABC是等腰三角形，BD⊥AC，∠ADB＝90°，∠ABD＝50°，
∴在直角△ABD中，∠BAD＝90°﹣50°＝40°，
又∵∠BAD＝∠ABC+∠C，∠ABC＝∠C，
∴∠C＝∠ABC∠BAD40°＝20°．　
故答案为：70°或20°．
如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵∠C＝∠ABC＝2∠A，
∴∠C+∠ABC+∠A＝5∠A＝180°，
∴∠A＝36°．
则∠C＝∠ABC＝2∠A＝72°．
又BD是AC边上的高，
则∠DBC＝90°﹣∠C＝18°．
如图，△ABC是等边三角形，AD为中线，E为AB上一点，连接DE，有AD＝AE，则∠ADE等于（　　）
A．55° B．60° C．75° D．80°
【答案】C
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°．
∵AD是等边三角形ABC的中线，
∴．
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
∴．
故选：C．
在△ABC中，AB＝BC＝10，∠B＝60°，则AC的长为（　　）
A．10 B．5 C．12 D．6
【答案】A
【解答】解：∵∠B＝60°，AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝10．
故选：A．
如图，△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE＝CD，则BE长为（　　）
A．7 B．8 C． D．9
【答案】D
【解答】解：由题意可知：BC＝AB＝AC＝6，
∵BD是∠ABC的平分线，CE＝CD，
∴，
∴BE＝BC+CE＝9．
故选：D．
如图，△ABC是等边三角形，在△ACD中，AC＝CD，∠ACD＝90°，连接BD交AC于点E，则∠BEC的度数为 　105°　 ．
【答案】105°．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
∵AC＝CD，
∴BC＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB，
∵∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝150°，
在△CBD中，∠CBD+∠CDB+∠BCD＝180°，
∴2∠CBD+150°＝180°，
∴∠CBD＝15°，
在△BCE中，∠BEC＝180°﹣（∠CBD+∠ACB）＝180°﹣（15°+60°）＝105°
即∠BEC的度数为105°．
故答案为：105°．
如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为　64　 ．
【答案】64
【解答】解：如图，∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，
∴∠2＝120°，
∵∠MON＝30°，
∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
又∵∠3＝60°，
∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵∠MON＝∠1＝30°，
∴OA1＝A1B1＝2，
∴A2B1＝2，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，
∵∠4＝∠12＝60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，
∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，
∴A3B3＝4B1A2＝8，A4B4＝8B1A2＝16，A5B5＝16B1A2＝32，
∴A6B6＝32B1A2＝64，
故答案为：64．
如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3 …在射线ON上，点B1、B2、B3 …在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A4B4A5的边长是 　16．　 ．
【答案】16．
【解答】解：∵△A1B1A2为等边三角形，
∴∠B1A1A2＝60°，
∴∠OA1B1＝180°﹣∠B1A1A2＝120°，
又∠MON＝30°，
∴∠OB1A1＝180°﹣∠OA1B1﹣∠MON＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
∴∠MON＝∠OB1A1＝30°，
∴OA1＝A1B1＝A1A2＝2，
∴△A1B1A2的边长为2，
同理：△A2B2A3的边长为4，△A3B3A4的边长为8，△A4B4A5的边长为16．
故答案为：16．第13章
13.1 三角形的概念
题型1 三角形 题型2 等腰三角形的性质
题型3 等边三角形的性质
题型1 三角形
解｜题｜知｜识 （1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 组成三角形的线段叫做三角形的边． 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． 相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． （2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）． （3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高． （4）三角形具有稳定性．
【典例1】下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（　　）
A． B． C． D．
【变式1】如图，点B、C、D、E在同一直线上，则图中的三角形一共有（　　）
A．3个 B．5个 C．6个 D．7个
【变式2】下列“将三角形按边的相等关系分类”正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【变式3】如图所示的蜂巢由许多六边形构成，将六边形三角剖分，可以分割成三角形的个数为　 　 ．
题型2 等腰三角形的性质
解｜题｜知｜识 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
【典例1】等腰三角形的一个角是70°，则它的底角是（　　）
A．55° B．70° C．40°或70° D．55°或70°
【变式1】如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是边BC上的高，则下列结论不正确的是（　　）
A．BD＝CD B．∠BAC＝∠ABC
C．AD平分∠BAC D．S△ABD＝S△ACD
【变式2】已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（　　）
A．40° B．100° C．40°或70° D．40°或100°
【变式3】如图，在四边形ABCD中，点E在AB上，CE∥AD，且BE＝CE，∠B﹣∠A＝30°，求∠A、∠B的度数．
题型3 等边三角形的性质
解｜题｜知｜识 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
【典例1】如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E＝30°，则CE的长是（　　）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【变式1】如图，△ABC是等边三角形，D为AB的中点，DE⊥AC，垂足为点E．若AE＝1，则△ABC的边长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式2】下列说法正确的是（　　）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．两点之间垂线段最短
C．等腰三角形的高线、中线、角平分线互相重合
D．有两个角是60°的三角形是等边三角形
【变式3】如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，以AD为一边向右作等边三角形ADE，DE与AC交于点F．
（1）试判断DF与EF的数量关系，并给出理由．
（2）若CF的长为2cm，试求等边三角形ABC的边长．
图中以AB为边的三角形的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
下面是四位同学分别用三根木棍组成的图形，其中是三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
如图所示，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（　　）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
如图中都是由三条线段组成的图形，其中是三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
在△ABC中，BC边的对角是（　　）
A．∠A B．∠B C．∠C D．∠D
如图所示，其中三角形的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
等腰三角形的一个角为50°，则这个等腰三角形的底角为（　　）
A．65° B．65°或80° C．50°或65° D．40°
如图，在△ABC中，点M，N为AC边上的两点，AM＝NM，BM⊥AC，ND⊥BC于点D，且NM＝ND，若∠A＝α，则∠C＝（　　）
A． B． C．120°﹣α D．2α﹣90°
如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，工人师傅在焊接立柱时，只用找到BC的中点D，就可以说明竖梁AD垂直于横梁BC了，工人师傅这种操作方法的依据是（　　）
A．等边对等角
B．等角对等边
C．垂线段最短
D．等腰三角形“三线合一”
已知△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，∠BAC＝80°，则∠BAD的度数为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，它的底角为　 　 ．
如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．
如图，△ABC是等边三角形，AD为中线，E为AB上一点，连接DE，有AD＝AE，则∠ADE等于（　　）
A．55° B．60° C．75° D．80°
在△ABC中，AB＝BC＝10，∠B＝60°，则AC的长为（　　）
A．10 B．5 C．12 D．6
如图，△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE＝CD，则BE长为（　　）
A．7 B．8 C． D．9
如图，△ABC是等边三角形，在△ACD中，AC＝CD，∠ACD＝90°，连接BD交AC于点E，则∠BEC的度数为 　 　 ．
如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为　 　 ．
如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3 …在射线ON上，点B1、B2、B3 …在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A4B4A5的边长是 　 　 ．

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