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第13章
13.3 三角形的内角与外角
题型1 三角形内角和定理 题型2 三角形的外角性质
题型1 直角三角形的性质
题型1 三角形内角和定理
解｜题｜知｜识 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
【典例1】如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC＝60°，∠ABE＝25°，则∠DAC的大小是（　　）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】B
【解答】解：∵BE平分∠ABC交AC边于E，
∴∠CBE＝∠ABE＝25°，
∴∠ABC＝2∠ABE＝50°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝70°，
∵AD是BC边上的高，
∴AD⊥BC于点D，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝90°﹣∠ACB＝20°，
故选：B．
【变式1】若一个三角形的三个内角度数的比为2：3：4，则这个三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】A
【解答】解：∵三角形三个内角度数的比为2：3：4，
∴三个内角分别是180°40°，180°60°，180°80°．
所以该三角形是锐角三角形．
故选：A．
【变式2】如图，在△ABC中，BO，CO分别为∠ABC，∠ACB的角平分线，∠BAC＝70°，则∠BOC＝（　　）
A．120° B．125° C．130° D．140°
【答案】B
【解答】解：∵∠BAC＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣70°＝110°，
∵BO，CO分别为∠ABC，∠ACB的角平分线，
∴，
∴，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝125°，
故选：B．
【变式3】如图，点B、C分别在AM、AN上运动（不与A重合），CD是∠BCN的平分线，CD的反向延长线交∠ABC的平分线于点P．知道下列哪个条件①∠ABC+∠ACB；②∠A；③∠NCD﹣∠ABP；④∠ABC的值，不能求∠P大小的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【解答】解：∵CD平分∠BCN，BE平分∠ABC，
∴∠NCD＝∠BCD∠BCN，∠ABE＝∠CBE∠ABC，
∵∠NCD＝∠P+∠CBP，
∴∠P＝∠NCD﹣∠CBP∠BCN∠ABC，
∵∠BCN＝∠A+∠ABC，
∴∠P（∠A+∠ABC﹣∠ABC）∠A，
因此已知∠A可以求出∠P，所以②不符合题意；
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，而已知∠A可以求出∠P，
∴已知∠ABC+∠ACB也可以求出∠P，
所以①不符合题意；
∵∠NCD＝∠P+∠CBP，而∠CBP＝∠ABD，
∴∠P＝∠NCD﹣∠ABP，
因此已知∠NCD﹣∠ABP，即可求出∠P，
所以③不符合题意；
当已知∠ABC的大小时，∠A的大小不能确定，而∠P∠A，
因此已知∠ABC的大小时，不能确定∠P的大小，
所以④符合题意．
故选：D．
【变式4】如图，把△ABC的一角折叠，若∠1+∠2＝130°，则∠A的度数为 　65°　 ．
【答案】65°
【解答】解：如图，
∵△ABC的一角折叠，
∴∠3＝∠5，∠4＝∠6，
而∠3+∠5+∠1+∠2+∠4+∠6＝360°，
∴2∠3+2∠4+∠1+∠2＝360°，
∵∠1+∠2＝130°，
∴∠3+∠4＝115°，
∴∠A＝180°﹣∠3﹣∠4＝65°．
故答案为：65°．
【变式5】如图①为永动摆，图②为其某一时刻的抽象图，已知∠ABC＝∠ACB＝55°，若要使AC∥ED，则∠ADE＝　70　 °．
【答案】70．
【解答】解：∵∠ABC＝∠ACB＝55°，
∴∠BAC＝180°﹣55°×2＝70°，
要使AC∥ED，
则∠ADE＝∠BAC＝70°，
故答案为：70．
题型2 三角形的外角性质
解｜题｜知｜识 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
【典例1】体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果∠1＝120°，则∠2的度数是（　　）
A．30° B．40° C．60° D．120°
【答案】A
【解答】解：根据三角形外角性质得，∠1＝∠2+90°，
∵∠1＝120°，
∴∠2＝30°，
故选：A．
【变式1】如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于（　　）
A．45° B．60° C．105° D．120°
【答案】C
【解答】解：将一副三角板按如图方式叠放，如图，A、B、C、D标记如下：
根据题意可知：∠ABD＝90°，∠CBD＝45°，
∴∠ABC＝∠ABD﹣∠CBD＝90°﹣45°＝45°，
∵∠A＝60°，
∴∠1＝∠A+∠ABC＝60°+45°＝105°，
即如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于105°，
故选：C．
【变式2】一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数为（　　）
A．60° B．65° C．75° D．85°
【答案】C
【解答】解：由外角的性质可得：∠α＝30°+45°＝75°，
故选：C．
【变式3】如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，CE交BA的延长线于点E，∠B＝35°，∠E＝25°，则∠ACD的度数为（　　）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【答案】C
【解答】解：∵∠ECD是△BCE的一个外角，
∴∠ECD＝∠B+∠E＝35°+25°＝60°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACD＝2∠ECD＝120°，
故选：C．
【变式4】如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝ 　90°　 ．
【答案】90°
【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
又∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，
∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°，
∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，
∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°，
∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°，
∵∠PBC＝20°，
∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°，
∴∠A+∠P＝90°，
故答案为：90°
【变式5】如图，AD是△ABC的外角平分线，交BC的延长线于D点，若∠B＝30°，∠ACD＝100°，求∠DAE的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵∠B＝30°，∠ACD＝100°，
∴∠BAC＝100°﹣30°＝70°，
∴∠EAC＝180°﹣70°＝110°，
∵AD是△ABC的外角平分线，
∴∠DAEEAC＝55°．
题型3 直角三角形的性质
解｜题｜知｜识 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
【典例1】如图，△ABC中∠ACB＝90°，且CD∥AB．∠B＝60°，则∠1等于（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】A
【解答】解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，
∴∠A＝30°，
∵CD∥AB，
∴∠1＝∠A，
∴∠1＝30°，
故选：A．
【变式1】在△ABC中，满足下列条件：①∠A＝60°，∠C＝30°；②∠A+∠B＝∠C；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④∠A＝90°﹣∠C，能确定△ABC是直角三角形的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：①∠A＝60°，∠C＝30°时，∠B＝180°﹣60°﹣30°＝90°，是直角三角形；
②∠A+∠B＝∠C时，∠C＝90°，是直角三角形；
③∠A：∠B：∠C＝3：4：5时，∠C＝180°90°，是锐角三角形；
④∠A＝90°﹣∠C时，∠A+∠C＝90°，∠B＝90°，是直角三角形；
综上所述，是直角三角形的有①②④共3个．
故选：C．
【变式2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B是∠A的2倍，则∠A的度数为（　　）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【答案】A
【解答】解：设∠A为x，则∠B为2x，
由题意得，x+2x＝90°，
解得，x＝30°，
则2x＝60°，
∴∠B＝60°，∠A＝30°．
故选：A．
【变式3】在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B∠C，⑤∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【解答】解：①因为∠A+∠B＝∠C，则2∠C＝180°，∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形；
②因为∠A：∠B：∠C＝1：2：3，设∠A＝x，则x+2x+3x＝180，x＝30°，∠C＝30°×3＝90°，所以△ABC是直角三角形；
③因为∠A＝90°﹣∠B，所以∠A+∠B＝90°，则∠C＝180°﹣90°＝90°，所以△ABC是直角三角形；
④因为∠A＝∠B∠C，所以∠A+∠B+∠C∠C∠C+∠C＝180°，则∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形；
⑤因为3∠C＝2∠B＝∠A，∠A+∠B+∠C∠A∠A+∠A＝180°，∠A，所以△ABC为钝角三角形．
所以能确定△ABC是直角三角形的有①②③④共4个，
故选：C．
【变式4】如图，在△ABC中，∠B＝90°，D是AC延长线上一点，AF是∠BAC的平分线，分别作∠BCA，∠BCD的平分线CE，CF，交AF于点E，F，则∠AEC＝　135　 °，∠F＝ 　45　 °．
【答案】135；45．
【解答】解：由条件可知∠BAC+∠ACB＝90°，
，，
∴∠ECF＝∠BCE+∠BCF
＝90°，
由条件可知，
∴∠CEF＝∠CAE+∠ACE
＝45°，
由条件可知∠AEC+45°＝180°，
∴∠AEC＝135°，
又∵∠ECF＝90°，
∴∠F+∠CEF＝90°，
∴∠F+45°＝90°，
∴∠F＝45°，
故答案为：135，45．
【变式5】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝52°，将其折叠，使点A落在边BC上的点E处，CA与CE重合，折痕为CD，则∠EDB的度数是 　14°　 ．
【答案】14°
【解答】解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝52°，
∴∠B＝90°﹣52°＝38°，
由题意可知△ECD≌△ACD，
∴∠CED＝∠A＝52°，
由图可知∠CED是△EBD 的外角，
∴∠CED＝∠B+∠EDB，
∴52°＝38°+∠EDB，
∴∠EDB＝14°．
故答案为：14°．
在△ABC中，∠A∠B∠C，则∠B＝　60　 度．
【答案】60
【解答】解：设∠A为x．
x+2x+3x＝180° x＝30°．
∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°．
故填60．
如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，若∠A＝40°，则∠1+∠2的度数为 　80°　 ．
【答案】80°．
【解答】解：∵将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，
∴∠A＝∠DA′E＝40°，
∴∠A′EA+∠A′DA＝360°﹣40°×2＝280°，
∵∠1+∠A′EA＝180°，∠2+∠A′DA＝180°，
∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A′EA+∠A′DA）＝80°．
故答案为：80°．
如图，∠1+∠2+∠3+∠4＝　300　 °．
【答案】300．
【解答】解：由条件可得∠1+∠2＝150°，∠3+∠4＝150°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝150°+150°＝300°．
故答案为：300．
已知△ABC中，AD为BC边上的高，∠B＝50°，∠CAD＝15°，则∠BAC的度数　25°或55°　 ．
【答案】25°或55°
【解答】解：①如图，当AD在△ABC的内部时，
∵AD⊥BC，∠B＝50°，
∴∠BAD＝40°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝40°+15°＝55°；
②如图，当AD在△ABC的外部时，
∵AD⊥BC，∠B＝50°，
∴∠BAD＝40°，
∴∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝40°﹣15°＝25°；
故答案为：25°或55°．
探究与发现：
如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣圆规．我们不妨把这种图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？请解决以下问题：
（1）观察“规形图”，试探究∠BPC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下问题：
①如图2：已知△ABC，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，直接写出∠BPC与∠A之间存在的等量关系为：　∠BPC＝90°∠A ．
迁移运用：如图3：在△ABC中，∠A＝80°，点O是∠ABC，∠ACB角平分线的交点，点P是∠BOC，∠OCB角平分线的交点，若∠OPC＝100°，则∠ACB的度数　60°　 ．
②如图4：若D点是△ABC内任意一点，BP平分∠ABD，CP平分∠ACD．直接写出∠BDC、∠BPC、∠A之间存在的等量关系为　2∠BPC＝∠BDC+∠A ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图，连接AP并延长至点F，
根据外角的性质，可得
∠BPF＝∠BAP+∠B，∠CPF＝∠C+∠CAP，
又∵∠BPC＝∠BPF+∠CPF，∠BAC＝∠BAP+∠CAP，
∴∠BPC＝∠A+∠B+∠C；
（2）①结论：∠BPC＝90°∠A．
理由：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC∠ABC，∠PCB∠ACB，
∴∠BPC＝180°（∠ABC+∠ACB）＝180°（180°﹣∠A）＝90°∠A；
迁移运用：设∠BCP＝∠PCO＝x，∠BOP＝∠COP＝y，
∵∠P＝100°，
∴x+y＝80°，
∴2x+2y＝160°，
∴∠OBC＝180°﹣160°＝20°，
∵BO平分∠ABC，
∴∠ABC＝40°，
∵∠A＝80°，
∴∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°；
故答案为：∠BPC＝90°∠A，60°；
②∵BP平分∠ABD，CP平分∠ACD，
∴∠PBD＝∠ABP，∠PCD＝∠ACP，
四边形BPDC中，∠P∠ABD∠ACD+360°﹣∠D＝360°，
∴∠ABD∠ACD＝∠D﹣∠P，
在四边形ABPC中，∠A∠ABD∠ACD+360°﹣∠P＝360°，
∴∠A+∠D﹣∠P﹣∠P＝0，
∴2∠BPC＝∠BDC+∠A．
故答案为：2∠BPC＝∠BDC+∠A．
如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线交AC于点E，过点E作DF∥BC，交AB于点D，且EC平分∠BEF．
（1）若∠ADE＝50°，求∠BEC的度数；
（2）若∠ADE＝α，则∠AED＝　90°α　 （含α的代数式表示）．
【答案】（1）77.5°；（2）90°α．
【解答】解：（1）∵DF∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC＝50°，∠CEF＝∠C，
∵BE平分∠ABC，
∴∠DEB＝∠EBC＝25°，
∵EC平分∠BEF，
∴∠CEF＝∠BEC＝∠C，
∵∠BEC+∠C+∠EBC＝180°，
∴∠BEC＝77.5°；
（2）∵DF∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC＝α，
∵BE平分∠ABC，
∴∠DEB＝∠EBCα，
∵EC平分∠BEF，
∴∠AED＝∠CEF（180°α）＝90°α．
故答案为：90°α．
如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂AB与操作台BC的夹角∠ABC＝120°，支撑臂BD为∠ABC的平分线．物体被吊起后，机械臂AB的位置不变，支撑臂绕点B旋转一定的角度并缩短，此时∠CBD＝2∠ABD，∠BDC增大了10°，则∠DCE的变化情况为（　　）
A．增大10° B．减小10° C．增大30° D．减小30°
【答案】C
【解答】解：起吊物体前，设∠BDC＝x，
∵∠ABC＝120°，支撑臂BD为∠ABC的平分线，
∴，
∴∠DCE＝∠CBD+∠BDC＝60°+x；
物体被吊起后，
∵机械臂AB的位置不变，∠CBD＝2∠ABD，∠CBD+∠ABD＝120°，
∴∠CBD＝2∠ABD＝80°，
∵∠BDC增大了10°，
∴∠BDC＝x+10°，
∴∠DCE＝∠CBD+∠BDC＝80°+x+10°＝90°+x，
∴（90°+x）﹣（60°+x）＝30°，
∴∠DCE的变化情况为增大30°．
故选：C．
下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③△ABC中，∠A，∠B都是锐角，④△ABC的三个外角的度数之比为3：4：5．其中能判定△ABC是直角三角形的是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：①∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，符合题意；
②∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴，
∴△ABC是直角三角形，符合题意；
③∵△ABC中，∠A，∠B都是锐角，
∴∠C不一定等于90°，
∴△ABC不一定是直角三角形，不符合题意；
④∵△ABC的三个外角的度数之比是3：4：5．
设∠A的外角为3x，则∠B的外角为4x，∠C的外角为5x，
∴∠A＝180°﹣3x，∠B＝180°﹣4x，∠C＝180°﹣5x，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴（180°﹣3x）+（180°﹣4x）+（180°﹣5x）＝180°，
解得x＝30°，
∴该三角形的一个内角为∠A＝180°﹣3×30°＝90°，
∴△ABC为直角三角形，符合题意．
故选：C．
如图，AD是△ABC的高，交AD于点E．若∠C＝76°，∠BED＝64°，∠ABE＝25°，则∠BAC的度数为（　　）
A．39° B．43° C．51° D．53°
【答案】D
【解答】解：∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠C＝14°，
∵∠BED＝64°，∠ABE＝25°，
∴∠BAE＝∠BED﹣∠ABE＝39°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠CAD＝53°，
故选：D．
如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④
【答案】C
【解答】解：∵CE为外角∠ACD的平分线，BE平分∠ABC，
∴∠DCE∠ACD，∠DBE∠ABC，
又∵∠DCE是△BCE的外角，
∴∠2＝∠DCE﹣∠DBE，
（∠ACD﹣∠ABC）
∠1，故①正确；
∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBCABC，∠OCB∠ACB，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）
＝180°（∠ABC+∠ACB）
＝180°（180°﹣∠1）
＝90°∠1，故②、③错误；
∵OC平分∠ACB，CE平分∠ACD，
∴∠ACO∠ACB，∠ACEACD，
∴∠OCE（∠ACB+∠ACD）180°＝90°，
∵∠BOC是△COE的外角，
∴∠BOC＝∠OCE+∠2＝90°+∠2，故④正确；
故选：C．
如图是嘉禾同学在珠海航展上观察到的带底座的无人机简易模型，其中AB∥EF，CG⊥EF，若∠ACD＝105°，∠B＝69°，则∠A+∠BDC的度数是（　　）
A．15° B．21° C．36° D．48°
【答案】C
【解答】解：延长DC交AB于K，
∵∠AKC＝∠B+∠BDC，∠ACD＝∠A+∠AKC，
∴∠ACD＝∠A+∠B+∠BDC，
∵∠ACD＝105°，∠B＝69°，
∴∠A+∠BDC＝105°﹣69°＝36°，
故选：C．
如图，BC⊥ED，垂足为O，∠A＝27°，∠D＝20°，求∠ACB与∠B的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵BC⊥ED，
∴∠COD＝90°，
又∵∠D＝20°，
∴∠ACB＝∠COD+∠D＝90°+20°＝110°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝43°．
下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝∠B＝∠C，④∠A＝90°﹣∠B能确定△ABC是直角三角形的有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②④ D．①②③④
【答案】B
【解答】解：①若∠A+∠B＝∠C，因为∠A+∠B+∠C＝180°，
所以2∠C＝180°，即∠C＝90°，
所以△ABC是直角三角形，符合题意；
②若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则，
所以△ABC是直角三角形，符合题意；
③若∠A＝∠B＝∠C，则∠A＝∠B＝∠C＝60°，
所以△ABC不是直角三角形，不符合题意；
④若∠A＝90°﹣∠B，则∠A+∠B＝90°，所以∠C＝90°，
所以△ABC是直角三角形，符合题意，
综上，能确定△ABC是直角三角形的有①②④．
故选：B．
在下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝∠B＝2∠C；④∠A∠C；⑤∠A＝∠B∠C中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【解答】解：①∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A+∠B＝∠C180°＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故本小题符合题意；
②∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故本小题符合题意；
③∵设∠C＝x，则∠A＝∠B＝2x，
∴2x+2x+x＝180°，解得x＝36°，
∴2x＝72°，故本小题不符合题意；
④设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则x+2x+3x＝180°，
解得x＝30°，故3x＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故本小题符合题意；
⑤∵∠A＝∠B∠C，
∴∠A+∠B+∠C∠C∠C+∠C＝2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，故本小题符合题意．
综上所述，是直角三角形的是①②④⑤共4个．
故选：B．
在Rt△ABC中，∠B＝50°，CD平分∠ACB，则∠1等于（　　）
A．10° B．20° C．25° D．30°
【答案】B
【解答】解：∵∠A＝90°，∠B＝50°，
∴∠ACB＝90°﹣∠B＝40°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠1∠ACB40°＝20°．
故选：B．
在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：①∵∠A+∠B＝∠C，
∴2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
②∵∠A：∠B：∠C＝5：3：2，
设∠A＝5x，则∠B＝3x，∠C＝2x，
∴5x+2x+3x＝180°，
解得：x＝18°，
∴∠A＝18°×5＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
③∵∠A＝90°﹣∠B，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝180°﹣90°＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
④∵3∠C＝2∠B＝∠A，
∴∠A+∠B+∠C∠A∠A+∠A＝180°，
∴∠A＝（）°，
∴△ABC为钝角三角形．
∴能确定△ABC是直角三角形的有①②③共3个，
故选：C．
如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC≠AB，AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】A
【解答】解：如图，∵AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠C+∠B＝90°，∠BDF+∠B＝90°，∠BAD+∠B＝90°，
∴∠C＝∠BDF＝∠BAD，
∵∠DAC+∠C＝90°，∠DAC+∠ADE＝90°，
∴∠C＝∠ADE，
∴图中与∠C（除之C外）相等的角的个数是3，
故选：A．
在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的4倍多15°，则两个锐角分别为　75°、15°　 ．
【答案】75°、15°
【解答】解：设另一个锐角是x，则这个锐角是4x+15°，
根据题意得，x+4x+15°＝90°，
解得x＝15°，
4x+15°＝4×15°+15°＝75°，
所以，这两个锐角分别为75°、15°．
故答案为：75°、15°．第13章
13.3 三角形的内角与外角
题型1 三角形内角和定理 题型2 三角形的外角性质
题型1 直角三角形的性质
题型1 三角形内角和定理
解｜题｜知｜识 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
【典例1】如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC＝60°，∠ABE＝25°，则∠DAC的大小是（　　）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【变式1】若一个三角形的三个内角度数的比为2：3：4，则这个三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
【变式2】如图，在△ABC中，BO，CO分别为∠ABC，∠ACB的角平分线，∠BAC＝70°，则∠BOC＝（　　）
A．120° B．125° C．130° D．140°
【变式3】如图，点B、C分别在AM、AN上运动（不与A重合），CD是∠BCN的平分线，CD的反向延长线交∠ABC的平分线于点P．知道下列哪个条件①∠ABC+∠ACB；②∠A；③∠NCD﹣∠ABP；④∠ABC的值，不能求∠P大小的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【变式4】如图，把△ABC的一角折叠，若∠1+∠2＝130°，则∠A的度数为 　 　 ．
【变式5】如图①为永动摆，图②为其某一时刻的抽象图，已知∠ABC＝∠ACB＝55°，若要使AC∥ED，则∠ADE＝　 　 °．
题型2 三角形的外角性质
解｜题｜知｜识 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
【典例1】体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果∠1＝120°，则∠2的度数是（　　）
A．30° B．40° C．60° D．120°
【变式1】如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于（　　）
A．45° B．60° C．105° D．120°
【变式2】一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数为（　　）
A．60° B．65° C．75° D．85°
【变式3】如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，CE交BA的延长线于点E，∠B＝35°，∠E＝25°，则∠ACD的度数为（　　）
A．100° B．110° C．120° D．130°
【变式4】如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝ 　 ．
【变式5】如图，AD是△ABC的外角平分线，交BC的延长线于D点，若∠B＝30°，∠ACD＝100°，求∠DAE的度数．
题型3 直角三角形的性质
解｜题｜知｜识 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
【典例1】如图，△ABC中∠ACB＝90°，且CD∥AB．∠B＝60°，则∠1等于（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【变式1】在△ABC中，满足下列条件：①∠A＝60°，∠C＝30°；②∠A+∠B＝∠C；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④∠A＝90°﹣∠C，能确定△ABC是直角三角形的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B是∠A的2倍，则∠A的度数为（　　）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【变式3】在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B∠C，⑤∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式4】如图，在△ABC中，∠B＝90°，D是AC延长线上一点，AF是∠BAC的平分线，分别作∠BCA，∠BCD的平分线CE，CF，交AF于点E，F，则∠AEC＝　 　 °，∠F＝ 　 °．
【变式5】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝52°，将其折叠，使点A落在边BC上的点E处，CA与CE重合，折痕为CD，则∠EDB的度数是 　 　 ．
在△ABC中，∠A∠B∠C，则∠B＝　 　 度．
如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，若∠A＝40°，则∠1+∠2的度数为 　 　 ．
如图，∠1+∠2+∠3+∠4＝　 　 °．
已知△ABC中，AD为BC边上的高，∠B＝50°，∠CAD＝15°，则∠BAC的度 数　 　 ．
探究与发现：
如图1所示的图形，像我们常见的学习用品﹣圆规．我们不妨把这种图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？请解决以下问题：
（1）观察“规形图”，试探究∠BPC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下问题：
①如图2：已知△ABC，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，直接写出∠BPC与∠A之间存在的等量关系为：　 ．
迁移运用：如图3：在△ABC中，∠A＝80°，点O是∠ABC，∠ACB角平分线的交点，点P是∠BOC，∠OCB角平分线的交点，若∠OPC＝100°，则∠ACB的度数　 　 ．
②如图4：若D点是△ABC内任意一点，BP平分∠ABD，CP平分∠ACD．直接写出∠BDC、∠BPC、∠A之间存在的等量关系为　 ．
如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线交AC于点E，过点E作DF∥BC，交AB于点D，且EC平分∠BEF．
（1）若∠ADE＝50°，求∠BEC的度数；
（2）若∠ADE＝α，则∠AED＝　 　 （含α的代数式表示）．
如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂AB与操作台BC的夹角∠ABC＝120°，支撑臂BD为∠ABC的平分线．物体被吊起后，机械臂AB的位置不变，支撑臂绕点B旋转一定的角度并缩短，此时∠CBD＝2∠ABD，∠BDC增大了10°，则∠DCE的变化情况为（　　）
A．增大10° B．减小10° C．增大30° D．减小30°
下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③△ABC中，∠A，∠B都是锐角，④△ABC的三个外角的度数之比为3：4：5．其中能判定△ABC是直角三角形的是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
如图，AD是△ABC的高，交AD于点E．若∠C＝76°，∠BED＝64°，∠ABE＝25°，则∠BAC的度数为（　　）
A．39° B．43° C．51° D．53°
如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④
如图是嘉禾同学在珠海航展上观察到的带底座的无人机简易模型，其中AB∥EF，CG⊥EF，若∠ACD＝105°，∠B＝69°，则∠A+∠BDC的度数是（　　）
A．15° B．21° C．36° D．48°
如图，BC⊥ED，垂足为O，∠A＝27°，∠D＝20°，求∠ACB与∠B的度数．
下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝∠B＝∠C，④∠A＝90°﹣∠B能确定△ABC是直角三角形的有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②④ D．①②③④
在下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝∠B＝2∠C；④∠A∠C；⑤∠A＝∠B∠C中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
在Rt△ABC中，∠B＝50°，CD平分∠ACB，则∠1等于（　　）
A．10° B．20° C．25° D．30°
在下列条件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC≠AB，AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的4倍多15°，则两个锐角分别 为　 　 ．

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