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第14章
14.1 全等三角形及其性质
题型1 全等图形 题型2 全等三角形的性质
题型1 全等图形
解｜题｜知｜识 （1）全等形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形． （2）全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． （3）三角形全等的符号 “全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上． （4）对应顶点、对应边、对应角 把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．
【典例1】下列各组图形中，是全等形的是（　　）
A．两个含60°角的直角三角形
B．腰对应相等的两个等腰直角三角形
C．边长为3和4的两个等腰三角形
D．一个钝角相等的两个等腰三角形
【变式1】如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1+∠2等于（　　）
A．180° B．150° C．90° D．210°
【变式2】下列各组中的两个图形属于全等图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【变式3】如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2＝ 　 　 ．
【变式4】如图，在3×3的正方形网格中，则∠1+∠2+∠3+∠4＝　 　 °．
【变式5】如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝　 　 ．
【变式6】如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，则∠A的大小是　 　 ．
题型2 全等三角形的性质
解｜题｜知｜识 （1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等 说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等 ②全等三角形的周长相等，面积相等 ③平移、翻折、旋转前后的图形全等 （2）关于全等三角形的性质应注意 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．
【典例1】如图，△ABC≌△ADE，连接BD，若∠CAE＝90°，AB＝2，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1】如图，△ACE≌△DBF，CD＝3，BC＝2，则AC＝（　　）
A．2 B．8 C．5 D．3
【变式2】已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（　　）
A．50° B．58° C．60° D．72°
【变式3】已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（　　）
A．72° B．60° C．58° D．50°
【变式4】如图，△ABC≌△DEF，BC＝7，EC＝4，则CF的长为（　　）
A．2 B．3 C．5 D．7
【变式5】如图，△ABC≌△ADE，点D在BC上，下列结论中不一定成立的是（　　）
A．∠BAD＝∠CDE B．BC＝DE C．AB＝AD D．AB＝BD
【变式6】如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，AB＝8cm，BC＝6cm．AC＝5cm．若△CBD≌△EBD，求△ADE的周长．
2025年国际篮联亚洲杯在沙特阿拉伯吉达举行，中国男篮获得亚军，女篮获得季军．下列与体育赛事相关的图标中，是由同一种全等图形组合而成的是（　　）
A． B．
C． D．
如果两个图形全等，那么这两个图形必定是（　　）
A．形状和大小均相同 B．形状相同，大小不同
C．形状和大小均不相同 D．大小相同，形状不同
下列各组图形中，属于全等形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
下列各组图形、是全等图形的是（　　）
A． B．
C． D．
如图，在3×3的正方形网格中，∠1+∠2等于（　　）
A．60° B．75° C．90° D．105°
下列说法：①全等图形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等，其中正确的说法为（　　）
A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③④
下列各组图形中，属于全等图形的是（　　）
A． B．
C． D．
如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为 　 　 ．
如图，图中的两个三角形全等，则∠α等于（　　）
A．45° B．60° C．70° D．75°
如图，△ABC≌△DEC，点E在线段AB上，∠B＝75°，则∠ACD的度数为（　　）
A．20° B．25° C．30° D．40°
已知△ABC≌△DCB，若BC＝10，AB＝6，AC＝7，则CD＝（　　）
A．6 B．7 C．10 D．无法确定
已知△ABC≌△DEF，△DEF的周长是15，那么△ABC的周长是　 　 ．
已知△ABC的三边长分别为3，5，7，△DEF的三边长分别为3，3x﹣2，2x﹣1，若这两个三角形全等，则x等于 　 　 ．
如图，AC⊥BE，DE⊥BE，若△ABC≌△BDE，AC＝7，DE＝3，则CE等于 　 ．
已知一个三角形的三条边的长分别是5，7，10，另一个三角形的三条边的长分别是5，2x+1，3x+1．若这两个三角形全等，则x的值是　 　 ．
如图，已知△ABC≌△DAE，点A、C、D在同一条直线上．
（1）请判断AB与DE的位置关系，并说明理由；
（2）若ED＝3，CD＝4，求线段AB的长．第14章
14.1 全等三角形及其性质
题型1 全等图形 题型2 全等三角形的性质
题型1 全等图形
解｜题｜知｜识 （1）全等形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形． （2）全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． （3）三角形全等的符号 “全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上． （4）对应顶点、对应边、对应角 把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．
【典例1】下列各组图形中，是全等形的是（　　）
A．两个含60°角的直角三角形
B．腰对应相等的两个等腰直角三角形
C．边长为3和4的两个等腰三角形
D．一个钝角相等的两个等腰三角形
【答案】B
【解答】解：A、两个含60°角的直角三角形，缺少对应边相等，所以不是全等形；
B、腰对应相等的两个等腰直角三角形，符合AAS或ASA，或SAS，是全等形；
C、边长为3和4的两个等腰三角形有可能是3，3，4或4，4，3不一定全等对应关系不明确不一定全等；
D、一个钝角相等的两个等腰三角形．缺少对应边相等，不是全等形．
故选：B．
【变式1】如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1+∠2等于（　　）
A．180° B．150° C．90° D．210°
【答案】A
【解答】解：由题意得：AB＝ED，BC＝DC，∠D＝∠B＝90°，
∴△ABC≌△EDC（SAS），
∴∠BAC＝∠1，
∴∠1+∠2＝180°．
故选：A．
【变式2】下列各组中的两个图形属于全等图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：A、两个图形一个是圆形、一个是方形，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
B、两个图形，一个是正六边形、一个是正五边形，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
C、两个心形图案能完全重合，是全等图形，符合题意；
D、两个图形一大一小，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意，
故选：C．
【变式3】如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2＝ 　135°　 ．
【答案】135°
【解答】解：如图所示：
由题意可得：∠1＝∠3，
则∠1+∠2＝∠2+∠3＝135°．
故答案为：135°．
【变式4】如图，在3×3的正方形网格中，则∠1+∠2+∠3+∠4＝　180　 °．
【答案】180
【解答】解：∵∠1和∠4所在的三角形全等，
∴∠1+∠4＝90°，
∵∠2和∠3所在的三角形全等，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠1+∠2+∠3十∠4＝180°．
故答案为：180．
【变式5】如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝　135°　 ．
【答案】135°
【解答】解：∵在△ABC和△DBE中，
∴△ABC≌△DBE（SAS），
∴∠3＝∠ACB，
∵∠ACB+∠1＝90°，
∴∠1+∠3＝90°，
∴∠1+∠2+∠3＝90°+45°＝135°，
故答案为：135°．
【变式6】如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，则∠A的大小是　95°　 ．
【答案】95°．
【解答】解：∵四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'，
∴∠D＝∠D′＝130°，
∴∠A＝360°﹣∠B﹣∠C﹣∠D＝360°﹣75°﹣60°﹣130°＝95°，
故答案为：95°．
题型2 全等三角形的性质
解｜题｜知｜识 （1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等 说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等 ②全等三角形的周长相等，面积相等 ③平移、翻折、旋转前后的图形全等 （2）关于全等三角形的性质应注意 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．
【典例1】如图，△ABC≌△ADE，连接BD，若∠CAE＝90°，AB＝2，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∠CAE＝90°，AB＝2，
∴AD＝AB＝2，∠BAC＝∠DAE，S△ABC＝S△ADE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD＝90°，
又∵S△ABC＝S△ADE，
∴S阴影，
故选：B．
【变式1】如图，△ACE≌△DBF，CD＝3，BC＝2，则AC＝（　　）
A．2 B．8 C．5 D．3
【答案】C
【解答】解：∵△ACE≌△DBF，
∴AC＝BD，
∵CD＝3，BC＝2，
∴AC＝BD＝BC+CD＝2+3＝5，
故选：C．
【变式2】已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（　　）
A．50° B．58° C．60° D．72°
【答案】D
【解答】解：∵图中的两个三角形全等，
∴由全等三角形的性质得，第二个图中∠1的对边为a（全等三角形对应角相等），
∵第一个图中边a的对角为72°，
∴∠1＝72°（全等三角形对应角相等），
∴选项D正确，符合题意，
故选：D．
【变式3】已知图中的两个三角形全等，则∠α等于（　　）
A．72° B．60° C．58° D．50°
【答案】D
【解答】解：∵图中的两个三角形全等，
∴∠α＝50°．
故选：D．
【变式4】如图，△ABC≌△DEF，BC＝7，EC＝4，则CF的长为（　　）
A．2 B．3 C．5 D．7
【答案】B
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴EF＝BC＝7，
∵EC＝4，
∴CF＝3，
故选：B．
【变式5】如图，△ABC≌△ADE，点D在BC上，下列结论中不一定成立的是（　　）
A．∠BAD＝∠CDE B．BC＝DE C．AB＝AD D．AB＝BD
【答案】D
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴BC＝DE，AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CDE，
即选项A、选项B、选项C正确，选项D不一定正确，
故选：D．
【变式6】如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，AB＝8cm，BC＝6cm．AC＝5cm．若△CBD≌△EBD，求△ADE的周长．
【答案】7cm．
【解答】解：∵△CBD≌△EBD，
∴BE＝BC＝6cm，CD＝DE，
∴AE＝AB﹣BE＝2cm，
∴△ADE的周长为AD+DE+AE＝AD+DC+AE＝AC+AE＝5+2＝7（cm）．
答：△ADE的周长为7cm．
2025年国际篮联亚洲杯在沙特阿拉伯吉达举行，中国男篮获得亚军，女篮获得季军．下列与体育赛事相关的图标中，是由同一种全等图形组合而成的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：选项ABC的图形不是由同一种全等图形组合而成的，故都不符合题意；
选项D的图形是由五个全等的平行四边形构成，是由同一种全等图形组合而成的，故该选项符合题意；
故选：D．
如果两个图形全等，那么这两个图形必定是（　　）
A．形状和大小均相同 B．形状相同，大小不同
C．形状和大小均不相同 D．大小相同，形状不同
【答案】A
【解答】解：两个图形全等时，两个图形的形状和大小均相同．
故选：A．
下列各组图形中，属于全等形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解答】解：能够互相重合的图形是全等图形，各组图形中，属于全等形的是C，
故选：C．
下列各组图形、是全等图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
B、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
C、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
D、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意；
故选：D．
如图，在3×3的正方形网格中，∠1+∠2等于（　　）
A．60° B．75° C．90° D．105°
【答案】C
【解答】解：
∵AC＝ED，∠ACB＝∠DEF，BC＝EF，
∴△ACB≌△DEF（SAS），
∴∠1＝∠FDE，
∵∠2+∠FDE＝90°，
∴∠2+∠1＝90°．
故选：C．
下列说法：①全等图形的形状相同、大小相等；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等，其中正确的说法为（　　）
A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③④
【答案】A
【解答】解：由全等三角形的概念可知：全等的图形是完全重合的，所以①全等图形的形状相同、大小相等是正确的；重合则对应边、对应角是相等的，周长与面积也分别相等，所以①②③④都正确的
故选：A．
下列各组图形中，属于全等图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：A、两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意；
B、两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意；
C、两个图形能够完全重合，是全等图形，则此项符合题意；
D、两个图形的形状不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意；
故选：C．
如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则∠1+∠2的度数为 　45°　 ．
【答案】45°
【解答】解：如图，
在△ABC与△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（SAS），
∴∠1＝∠CED，
∵∠CED+∠2＝45°，
∴∠1+∠2＝45°，
故答案为：45°．
如图，图中的两个三角形全等，则∠α等于（　　）
A．45° B．60° C．70° D．75°
【答案】B
【解答】解：因为图中的两个三角形全等，且∠α的对边为b，
所以∠α＝180°﹣45°﹣75°＝60°．
故选：B．
如图，△ABC≌△DEC，点E在线段AB上，∠B＝75°，则∠ACD的度数为（　　）
A．20° B．25° C．30° D．40°
【答案】C
【解答】解：∵△ABC≌△DEC，
∴∠ACB＝∠DCE，BC＝EC，
∴∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE，
即∠BCE＝∠ACD，
∠BEC＝∠B＝75°，
∴∠BCE＝180°﹣∠B﹣∠BEC＝30°，
∴∠ACD＝30°．
故选：C．
已知△ABC≌△DCB，若BC＝10，AB＝6，AC＝7，则CD＝（　　）
A．6 B．7 C．10 D．无法确定
【答案】A
【解答】解：∵△ABC≌△DCB，BC＝10，AB＝6，AC＝7，
∴CD＝AB＝6．
故选：A．
已知△ABC≌△DEF，△DEF的周长是15，那么△ABC的周长是　15　 ．
【答案】15．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF，
∴△ABC的周长＝△DEF的周长．
∵△DEF的周长为15，
∴△ABC的周长为15．
故答案为：15．
已知△ABC的三边长分别为3，5，7，△DEF的三边长分别为3，3x﹣2，2x﹣1，若这两个三角形全等，则x等于 　3　 ．
【答案】3
【解答】解∵△ABC三边长分别为3，5，7，△DEF三边长分别为3，3x﹣2，2x﹣1，
∵△ABC和△DEF全等，
∴有以下分为两种情况：
①当5＝3x﹣2，7＝2x﹣1时，△ABC和△DEF全等，
由5＝3x﹣2，解得：x，
由7＝2x﹣1，解得：x＝4，
此时x的值不相同，故不符合题意，舍去；
②当7＝3x﹣2，5＝2x﹣1时，△ABC和△DEF全等，
由7＝3x﹣2，解得：x＝3，
由5＝2x﹣1，解得：x＝3，
此时x的值相等，故符合题意，
∴当x＝3时，△ABC和△DEF全等．
故答案为：3．
如图，AC⊥BE，DE⊥BE，若△ABC≌△BDE，AC＝7，DE＝3，则CE等于 　4　 ．
【答案】4
【解答】解：∵△ABC≌△BDE，
∴EB＝AC＝7，BC＝DE＝3，
∴CE＝BE﹣BC＝4．
故答案为：4．
已知一个三角形的三条边的长分别是5，7，10，另一个三角形的三条边的长分别是5，2x+1，3x+1．若这两个三角形全等，则x的值是　3　 ．
【答案】3．
【解答】解：∵两个三角形全等，
∴2x+1＝7，3x+1＝10，
解得：x＝3，
故答案为：3．
如图，已知△ABC≌△DAE，点A、C、D在同一条直线上．
（1）请判断AB与DE的位置关系，并说明理由；
（2）若ED＝3，CD＝4，求线段AB的长．
【答案】（1）AB∥DE，理由见解析．
（2）7．
【解答】解：（1）AB∥DE，理由如下：
∵△ABC≌△DAE，
∴∠D＝∠CAB，
∴AB∥DE；
（2）∵△ABC≌△DAE，
∴AC＝ED＝3，AB＝AD，
∵AD＝AC+CD＝4+3＝7，
∴AB＝7．

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