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第14章
14.2 三角形全等的判定
题型1 全等三角形的判定 题型2 直角三角形全等的判定
题型3 全等三角形的判定与性质
题型1 全等三角形的判定
解｜题｜知｜识 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
【典例1】根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（　　）
A．∠C＝90°，AB＝6 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D．AB＝3，BC＝4，CA＝8
【变式1】如图，在△ABC和△DEF中，点A、E、B、D在同一条直线上，∠A＝∠D，AC＝DF，只添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（　　）
A．AE＝DB B．∠C＝∠F C．BC＝EF D．∠ABC＝∠DEF
【变式2】沙燕风筝是中国传统风筝的典型样式，被列入国家级非遗名录．在如图所示的“风筝”骨架图中，若AB＝AD，AC＝AE，则添加如下条件仍不能证明△ABC≌△ADE的是（　　）
A．∠BAC＝∠DAE B．∠BAE＝∠DAC C．∠B＝∠D D．BC＝DE
【变式3】我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，AE＝AF，GE＝GF，则△AEG≌△AFG的依据是（　　）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【变式4】如图，AD是△ABC的高，AE平分∠CAD交BC于点E，过点B作BF⊥AE，垂足为点F，并交AD于点G．若AF＝BF，则下列结论中：①∠ABF＝45°；②△AFG≌△BFE；③AG+CE＝AC；④BC＞BG+2GF．所有正确结论的序号是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【变式5】如图，已知AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，求证：△ABC≌△ADE．
题型2 直角三角形全等的判定
解｜题｜知｜识 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
【典例1】下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是（　　）
A．两条直角边分别相等
B．斜边和一个锐角分别相等
C．两个锐角分别相等
D．斜边和一条直角边分别相等
【变式1】如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是（　　）
A．∠B＝∠D B．∠ACB＝∠CAD C．AB＝CD D．AD＝CB
【变式2】如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（　　）
A．AE＝DF B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AB＝DC
【变式3】在课堂上，李老师发给每人一张印有Rt△ABC（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个Rt△A′B′C′，使得Rt△A′B′C′≌Rt△ABC．小宏同学先画出了∠MB′N＝90°之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是（　　）
A．SAS B．AAS C．ASA D．HL
【变式4】如图，已知AC⊥BD，垂足为点O，AO＝CO，要根据“HL”证明Rt△ABO≌Rt△CDO，还需要添加的一个条件是（　　）
A．AB∥CD B．OB＝OD C．∠A＝∠C D．AB＝CD
【变式5】如图，AB＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，点D是EF上一点，AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE＝CF，求证：Rt△ADE≌Rt△CDF．
题型3 全等三角形的判定与性质
解｜题｜知｜识 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
【典例1】如图，C为线段AB上一动点（不与点A、B重合），在AB同侧分别作正三角形ACD和正三角形BCE，AE与BD交于点F，AE与CD交于点G，BD与CE交于点H，连接GH．以下五个结论：，①AE＝BD；②GH∥AB；③AD＝DH；④GE＝HB；⑤∠AFD＝60°，正确的个数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式1】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接CE．请根据小明的方法进行思考，求得AD的取值范围是（　　）
A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7
【变式2】如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳OA与地面垂直，摆绳长2m，O点距地面高度2.5m，摆动水平距离BD为1.6m，然后向后摆到最高点C处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且OB与OC成90°角，则小丽在C处时距离地面的高度是（　　）
A．0.9m B．1.3m C．1.6m D．2m
【变式3】如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD和CE交于点F，若AB＝7，BE＝3，则DF的长为（　　）
A．1 B．1.2 C．0.8 D．0.6
【变式4】如图，在正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，则∠1和∠2的关系是（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠2＝2∠1
C．∠2＝90°+∠1 D．∠1+∠2＝180°
【变式5】如图，OA＝OB＝4，∠AOB＝60°，点P，Q分别在OA，OB上，如果平面内存在点E，使得∠EPQ＝∠EQP＝∠AOB（点E，P，Q按逆时针排列），则称点E是线段PQ的“等角点”．当点P，Q分别在线段OA，OB上运动时，线段PQ的所有“等角点”E所形成的区域的面积为 ．
如图，已知∠CAB＝∠DAB，则添加下列一个条件不一定能使△ABC≌△ABD的是（　　）
A．BC＝BD B．∠C＝∠D C．AC＝AD D．∠ABC＝∠ABD
工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别在取OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线，这里构造全等三角形的依据是（　　）
A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
如图，在△ABC和△DCE中，点A、D、C在同一直线上，已知∠ACB＝∠E，BC＝CE，添加以下条件后，仍不能判定△ABC≌△DCE的是（　　）
A．AB＝CD B．AB∥DE C．AC＝DE D．∠B＝∠DCE
尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到∠MBN＝∠PAQ，在用直尺和圆规作图的过程中，得到△ACD≌△BEF的依据是（　　）
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B．连接AC并延长到点D，使CD＝CA．连接BC并延长到点E，使CE＝CB．连接DE，可证△ABC≌△DEC，那么测量出DE的长就是池塘两端A，B的距离．证明△ABC≌△DEC的依据是（　　）
A．SAS B．ASA C．AAS D．HL
△ABC中，AB＝AC＝12厘米，∠B＝∠C，BC＝8厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为　 　 ．
如图所示，已知AC＝BD，∠ABC＝∠DCB＝90°，则Rt△ABC≌Rt△DCB的理由是（　　）
A．SAS B．HL C．AAS D．ASA
如图，在四边形ABCD中，CD⊥AD，CB⊥AB，垂足分别是D、B，CD＝CB．求证：Rt△ADC≌Rt△ABC．以下是排乱的证明过程：
①∴∠D＝∠B＝90°；
②∴Rt△ADC≌Rt△ABC（HL）；
③∵CD⊥AD，CB⊥AB；
④∵在Rt△ADC和Rt△ABC中，．
证明步骤正确的顺序是（　　）
A．③②④① B．③①④② C．①②③④ D．①③④②
如图所示，在Rt△ACD和Rt△BCE中，AD＝BE，DC＝EC，则下列结论不正确的是（　　）
A．Rt△ACD≌Rt△BCE B．OA＝OB
C．点E是AC的中点 D．AE＝BD
如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE，若要用“斜边直角边（H．L．）”直接证明Rt△ABC≌Rt△DEF，则还需补充条件： ．
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，线段PQ＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP＝　 　 时，△ABC和△PQA全等．
如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2．
（1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由；
（2）△CDE是不是直角三角形？并说明理由．
如图，已知在△ABC中，CD平分∠BCA，DE垂直平分AB，DF⊥CA交CA的延长线于点F，连接BD，若∠BCD＝α，则∠BDE可以表示为（　　）
A．90°﹣α B．2α C． D．30°+α
嘉淇在解决问题时，给出的推理过程如下：
如图，点D在AC上，点E在AB上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：CD＝BE． 证明：在△ADB和△AEC中，， ∴△ADB≌△AEC， ∴CD＝BE．
小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∴△ADB≌△AEC”和“∴CD＝BE”之间作补充，下列说法正确的是（　　）
A．嘉淇的推理严谨，不需要补充
B．应补充“∴AD＝AE”
C．应补充“∴AB＝AC”
D．应补充“∴CE＝BD”
如图，在△ABD和△ACE中，AB＝AD，AC＝AE，AB＞AC，∠DAB＝∠CAE＝50°连接BE，CD交于点F，连接AF．下列结论：①BE＝CD；②∠EFC＝50°；③AF平分∠DAE；④FA平分∠DFE．其中正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
木工是古代社会中一种很重要的手工业，木工师傅积累的许多经验可以用数学知识解释．如画角平分线：在已知的∠AOB的两边分别取OM＝ON，将无弹性的绳子对折标记折痕（即绳子中点P），从折痕点P处拉直绳子，点P在平面∠AOB内，则OP平分∠AOB．原理是构造全等三角形，根据全等三角形对应角相等得出∠AOP＝∠BOP．这里三角形全等的判定方法是（　　）
A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，要想使△ABC≌△AED，还需要再添加一个条件，那么在①AB＝AE，②BC＝ED，③∠C＝∠D，④∠B＝∠E，这四个关系中可以选择的是 　 　 .（填写序号）
如图，小杰将两把宽度相等的矩形直尺放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P，边OA与其中一把直尺边缘的交点为C，点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是1.9cm、5.1cm，则OC的长度是 　 　 cm．第14章
14.2 三角形全等的判定
题型1 全等三角形的判定 题型2 直角三角形全等的判定
题型3 全等三角形的判定与性质
题型1 全等三角形的判定
解｜题｜知｜识 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
【典例1】根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（　　）
A．∠C＝90°，AB＝6 B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4 D．AB＝3，BC＝4，CA＝8
【答案】C
【解答】解：A．如图Rt△ACB和Rt△ADB的斜边都是AB，但是两三角形不一定全等，故本选项不符合题意；
B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意；
C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4，符合全等三角形的判定定理ASA，能画出唯一的三角形，故本选项符合题意；
D．3+4＜8，不符合三角形的三边关系定理，不能画出三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【变式1】如图，在△ABC和△DEF中，点A、E、B、D在同一条直线上，∠A＝∠D，AC＝DF，只添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（　　）
A．AE＝DB B．∠C＝∠F C．BC＝EF D．∠ABC＝∠DEF
【答案】C
【解答】解：A、∵AE＝DB，
∴AE+EB＝DB+EB，
即AB＝DE，
又∠A＝∠D，AC＝DF，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
故不符合题意；
B、∠C＝∠F，AC＝DF，∠A＝∠D，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
故不符合题意；
C、BC＝EF，不能判断△ABC≌△DEF，
故符合题意；
D、∠ABC＝∠DEF，∠A＝∠D，AC＝DF，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
故不符合题意，
故选：C．
【变式2】沙燕风筝是中国传统风筝的典型样式，被列入国家级非遗名录．在如图所示的“风筝”骨架图中，若AB＝AD，AC＝AE，则添加如下条件仍不能证明△ABC≌△ADE的是（　　）
A．∠BAC＝∠DAE B．∠BAE＝∠DAC C．∠B＝∠D D．BC＝DE
【答案】C
【解答】解：A、添加∠BAC＝∠DAE，可利用SAS证明△ABC≌△ADE，故此选项不符合题意；
B、添加∠BAE＝∠DAC可得∠BAC＝∠DAE，可利用SAS证明△ABC≌△ADE，故此选项不符合题意；
C、添加∠B＝∠D，它们不是对应边的夹角相等，不能证明△ABC≌△ADE，故此选项符合题意；
D、添加BC＝DE，由SSS可得△ABC≌△ADE，故此选项不符合题意；
故选：C．
【变式3】我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，AE＝AF，GE＝GF，则△AEG≌△AFG的依据是（　　）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【答案】D
【解答】解：在△AEG和△AFG中，
，
∴△AEG≌△AFG（SSS），
故选：D．
【变式4】如图，AD是△ABC的高，AE平分∠CAD交BC于点E，过点B作BF⊥AE，垂足为点F，并交AD于点G．若AF＝BF，则下列结论中：①∠ABF＝45°；②△AFG≌△BFE；③AG+CE＝AC；④BC＞BG+2GF．所有正确结论的序号是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【解答】解：∵BF⊥AE于点F，
∴∠AFB＝90°，
∵AF＝BF，
∴∠ABF＝∠BAF＝45°，
故①正确；
∵AD是△ABC的高，
∴AD⊥BC于点D，
∴∠AFG＝∠BFE＝∠ADE＝90°，
∴∠GAF＝∠EBF＝90°﹣∠AEB，
在△AFG和△BFE中，
∴△AFG≌△BFE（ASA），
故②正确；
∴AG＝BE，
∴AG+CE＝BE+CE＝BC，
∵AE平分∠CAD交BC于点E，
∴∠GAF＝∠CAE，
∴∠EBF＝∠CAE，
∴∠CBA＝∠EBF+∠ABF＝∠CAE+∠BAF＝∠CAB，
∴BC＝AC，
∴AG+CE＝AC，
故③正确；
∵BG+2GF＝BG+GF+GF＝BF+EF＝AF+EF＝AE，又AE＜AC＝BC，
∴BC＞BG+2GF，故④正确．
综上，正确结论的序号为①②③④．
故选：D．
【变式5】如图，已知AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，求证：△ABC≌△ADE．
【答案】证明见解答过程．
【解答】证明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS）．
题型2 直角三角形全等的判定
解｜题｜知｜识 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
【典例1】下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是（　　）
A．两条直角边分别相等
B．斜边和一个锐角分别相等
C．两个锐角分别相等
D．斜边和一条直角边分别相等
【答案】C
【解答】解：A、两条直角边分别相等的两个直角三角形，根据SAS可证明这两个直角三角形是全等三角形，故A选项不符合题意；
B、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形，根据AAS可证明这两个直角三角形是全等三角形，故B选项不符合题意；
C、两个锐角分别相等的两个直角三角形，不能得出这两个直角三角形是全等三角形，故C选项符合题意；
D、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形，根据HL可证明这两个直角三角形是全等三角形，故D选项不符合题意；
故选：C．
【变式1】如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是（　　）
A．∠B＝∠D B．∠ACB＝∠CAD C．AB＝CD D．AD＝CB
【答案】D
【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD＝∠CDB＝90°，
在Rt△ABD和Rt△CDB中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），
∴用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，需要添加的条件是AD＝CB．
故选：D．
【变式2】如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（　　）
A．AE＝DF B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AB＝DC
【答案】D
【解答】解：条件是AB＝CD，
理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠CFD＝∠AEB＝90°，
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），
故选：D．
【变式3】在课堂上，李老师发给每人一张印有Rt△ABC（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个Rt△A′B′C′，使得Rt△A′B′C′≌Rt△ABC．小宏同学先画出了∠MB′N＝90°之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是（　　）
A．SAS B．AAS C．ASA D．HL
【答案】D
【解答】解：由图示知，小宏第一步为截取线段B′C′＝BC，第二步为作线段C′A′＝CA，判定方法为HL，
综上所述，只有选项D正确，符合题意，
故选：D．
【变式4】如图，已知AC⊥BD，垂足为点O，AO＝CO，要根据“HL”证明Rt△ABO≌Rt△CDO，还需要添加的一个条件是（　　）
A．AB∥CD B．OB＝OD C．∠A＝∠C D．AB＝CD
【答案】D
【解答】解：∵AC⊥BD，
∴∠AOB＝∠COD＝90°，
已知AO＝CO，
从图中可知AB、CD分别为Rt△ABO和Rt△CDO的斜边，
根据“HL”定理，证明Rt△ABO≌Rt△CDO，
还需补充一对斜边相等，
即AB＝CD，
故选：D．
【变式5】如图，AB＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，点D是EF上一点，AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，AE＝CF，求证：Rt△ADE≌Rt△CDF．
【答案】见解析．
【解答】解：连接BD，
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
在Rt△ABD和Rt△CBD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△CBD（HL），
∴AD＝CD，
∵AE⊥EF于E，CF⊥EF于F，
∴∠E＝∠F＝90°，
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）．
题型3 全等三角形的判定与性质
解｜题｜知｜识 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
【典例1】如图，C为线段AB上一动点（不与点A、B重合），在AB同侧分别作正三角形ACD和正三角形BCE，AE与BD交于点F，AE与CD交于点G，BD与CE交于点H，连接GH．以下五个结论：，①AE＝BD；②GH∥AB；③AD＝DH；④GE＝HB；⑤∠AFD＝60°，正确的个数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【解答】解：∵△ACD和△BCE是等边三角形，
∴AD＝AC＝CD，CE＝CB＝BE，∠ACD＝∠BCE＝60°．
∵∠ACB＝180°，
∴∠DCE＝60°．
∴∠DCE＝∠BCE．
∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，
∴∠ACE＝∠DCB．
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE＝BD，∠CAE＝∠CDB，∠AEC＝∠DBC．
在△CEG和△CBH中，
，
∴△CEG≌△CBH（ASA），
∴CG＝CH，GE＝HB，
∴△CGH为等边三角形，
∴∠GHC＝60°，
∴∠GHC＝∠BCH，
∴GH∥AB．
∵∠AFD＝∠EAB+∠CBD，
∴∠AFD＝∠CDB+∠CBD＝∠ACD＝60°．
∵∠DHC＝∠HCB+∠HBC＝60°+∠HBC，∠DCH＝60°
∴∠DCH≠∠DHC，
∴CD≠DH，
∴AD≠DH．
综上所述，正确的有：①②④⑤．
故选：C．
【变式1】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接CE．请根据小明的方法进行思考，求得AD的取值范围是（　　）
A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7
【答案】C
【解答】解：由题意，延长AD至点E，使DE＝AD，连接CE，
∵点D是BC的中点，
∴BD＝DC．
在△ABD和△ECD中
∴△ABD≌△ECD（SAS）．
∴AB＝CE＝8，
∴CE﹣AC＜AE＜AC+CE，
即2＜AE＜14．
∴1＜AD＜7．
故选：C．
【变式2】如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳OA与地面垂直，摆绳长2m，O点距地面高度2.5m，摆动水平距离BD为1.6m，然后向后摆到最高点C处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且OB与OC成90°角，则小丽在C处时距离地面的高度是（　　）
A．0.9m B．1.3m C．1.6m D．2m
【答案】A
【解答】解：如图，∠BOC＝90°，过点C作CE⊥OA于点E，则∠OEC＝90°，
∴∠BOD+∠COE＝90°，∠COE+∠OCE＝90°，
∴∠BOD＝∠OCE，
由题意可知，OA＝OB＝OC＝2m，BD＝1.6m，
∵∠BDO＝∠OEC＝90°，
在△OBD和△COE中，
，
∴△OBD≌△COE（AAS），
∴OE＝BD＝1.6m，
∴EF＝OF﹣OE＝2.5﹣1.6＝0.9（m），
即小丽在C处时距离地面的高度是0.9m，
故选：A．
【变式3】如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD和CE交于点F，若AB＝7，BE＝3，则DF的长为（　　）
A．1 B．1.2 C．0.8 D．0.6
【答案】D
【解答】解：如图，连接BF，
∵∠BAC＝45°，CE⊥AB，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴AE＝CE，
∵AB＝7，BE＝3，
∴AE＝4＝CE，
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠AEC＝∠BEC＝∠ADB＝90°，
∴∠B+∠BAD＝90°＝∠B+∠BCE，
∴∠BAD＝∠BCE，
∴△AEF≌△CEB（ASA），
∴EB＝EF＝3，
∴CF＝1，
∵BE＝3，CE＝4，
∴BC5，
∵S△BCFCF BEBC DF，
∴1×3＝5DF，
∴DF＝0.6，
故选：D．
【变式4】如图，在正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，则∠1和∠2的关系是（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠2＝2∠1
C．∠2＝90°+∠1 D．∠1+∠2＝180°
【答案】D
【解答】解：如图，由方格可得：BC＝EF，∠EFD＝∠BCA＝90°，AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠1＝∠ABC（全等三角形对应角相等），
∵∠ABC+∠2＝180°，
∴∠1+∠2＝180°．
故选：D．
【变式5】如图，OA＝OB＝4，∠AOB＝60°，点P，Q分别在OA，OB上，如果平面内存在点E，使得∠EPQ＝∠EQP＝∠AOB（点E，P，Q按逆时针排列），则称点E是线段PQ的“等角点”．当点P，Q分别在线段OA，OB上运动时，线段PQ的所有“等角点”E所形成的区域的面积为　　 ．
【答案】．
【解答】解：连接AB，过点A作AH⊥OB于点H，
∵∠AHO＝90°，∠AOH＝60°，
∴∠OAH＝90°﹣∠AOH＝90°﹣60°＝30°，
∵OA＝OB＝4，∠AOB＝60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴，，
∴．
当点P与点A重合，点Q与点B重合时，得到△ABE′，
则∠E′AB＝∠E′BA＝60°，
∵在等边△AOB中，∠BAO＝∠ABO＝60°，
∴∠E′AB＝∠OAB，∠E′BA＝∠OBA，
∵AB＝AB，
在△E′AB和△OAB中，
，
∴△E′AB≌△OAB（ASA），
∴，
观察图形可知，当点P，Q分别在线段OA，OB上运动时，线段PQ的所有“等角点”E所形成的区域是四边形OAE′B，
面积．
故答案为：．
如图，已知∠CAB＝∠DAB，则添加下列一个条件不一定能使△ABC≌△ABD的是（　　）
A．BC＝BD B．∠C＝∠D C．AC＝AD D．∠ABC＝∠ABD
【答案】A
【解答】解：A．AB＝AB，BC＝BD，∠CAB＝∠DAB，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△ABD，故本选项符合题意；
B．∠C＝∠D，∠CAB＝∠DAB，AB＝AB，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△ABD，故本选项不符合题意；
C．AB＝AB，∠CAB＝∠DAB，AC＝AD，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△ABD，故本选项不符合题意；
D．∠ABC＝∠ABD，AB＝AB，∠CAB＝∠DAB，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△ABD，故本选项不符合题意；
故选：A．
工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别在取OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线，这里构造全等三角形的依据是（　　）
A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
【答案】A
【解答】解：由题意可得，
OC＝OD，MC＝MD，
又∵OM＝OM，
∴△OMC≌△OMD（SSS），
故选：A．
如图，在△ABC和△DCE中，点A、D、C在同一直线上，已知∠ACB＝∠E，BC＝CE，添加以下条件后，仍不能判定△ABC≌△DCE的是（　　）
A．AB＝CD B．AB∥DE C．AC＝DE D．∠B＝∠DCE
【答案】A
【解答】解：A、∠ACB和∠E分别是AB和CD的对边，不能判定△ABC≌△DCE，故A符合题意；
B、由AB∥DE推出∠A＝∠CDE，而∠ACB＝∠E，BC＝CE，由AAS判定△ABC≌△DCE，故B不符合题意；
C、AC＝DE，而∠ACB＝∠E，BC＝CE，由SAS判定△ABC≌△DCE，故C不符合题意；
D、∠B＝∠DCE，而∠ACB＝∠E，BC＝CE，由ASA判定△ABC≌△DCE，故D不符合题意．
故选：A．
尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到∠MBN＝∠PAQ，在用直尺和圆规作图的过程中，得到△ACD≌△BEF的依据是（　　）
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
【答案】B
【解答】解：根据作法可知：AC＝BE，AD＝BF，CD＝EF，
∴△ACD≌△BEF（SSS），
∴∠MBN＝∠PAQ，
故选：B．
如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B．连接AC并延长到点D，使CD＝CA．连接BC并延长到点E，使CE＝CB．连接DE，可证△ABC≌△DEC，那么测量出DE的长就是池塘两端A，B的距离．证明△ABC≌△DEC的依据是（　　）
A．SAS B．ASA C．AAS D．HL
【答案】A
【解答】解：在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
故选：A．
△ABC中，AB＝AC＝12厘米，∠B＝∠C，BC＝8厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为　2或3　 ．
【答案】2或3
【解答】解：当BD＝PC时，△BPD与△CQP全等，
∵点D为AB的中点，
∴BDAB＝6cm，
∵BD＝PC，
∴BP＝8﹣6＝2（cm），
∵点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，
∴运动时间时1s，
∵△DBP≌△PCQ，
∴BP＝CQ＝2cm，
∴v＝2÷1＝2；
当BD＝CQ时，△BDP≌△CQP，
∵BD＝6cm，PB＝PC，
∴QC＝6cm，
∵BC＝8cm，
∴BP＝4cm，
∴运动时间为4÷2＝2（s），
∴v＝6÷2＝3（m/s），
故答案为：2或3．
如图所示，已知AC＝BD，∠ABC＝∠DCB＝90°，则Rt△ABC≌Rt△DCB的理由是（　　）
A．SAS B．HL C．AAS D．ASA
【答案】B
【解答】解：在Rt△ABC和Rt△DCB中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），
故选：B．
如图，在四边形ABCD中，CD⊥AD，CB⊥AB，垂足分别是D、B，CD＝CB．求证：Rt△ADC≌Rt△ABC．以下是排乱的证明过程：
①∴∠D＝∠B＝90°；
②∴Rt△ADC≌Rt△ABC（HL）；
③∵CD⊥AD，CB⊥AB；
④∵在Rt△ADC和Rt△ABC中，．
证明步骤正确的顺序是（　　）
A．③②④① B．③①④② C．①②③④ D．①③④②
【答案】B
【解答】解：∵CD⊥AD，CB⊥AB，
∴∠D＝∠B＝90°，
在Rt△ADC和Rt△ABC中，
，
，∴Rt△ADC≌Rt△ABC（HL），
故顺序为③①④②，
故选：B．
如图所示，在Rt△ACD和Rt△BCE中，AD＝BE，DC＝EC，则下列结论不正确的是（　　）
A．Rt△ACD≌Rt△BCE B．OA＝OB
C．点E是AC的中点 D．AE＝BD
【答案】C
【解答】解：A、∵∠C＝90°，
∴△ACD和△BCE是直角三角形，
在Rt△ACD和Rt△BCE中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△BCE（HL），正确；
B、∵Rt△ACD≌Rt△BCE，
∴∠B＝∠A，CB＝CA，
∵CD＝CE，
∴AE＝BD，
在△AOE和△BOD中，
，
∴△AOE≌△BOD（AAS），
∴AO＝OB，正确，不符合题意；
AE＝BD，CE＝CD，不能推出AE＝CE，错误，符合题意；
D、∵Rt△ACD≌Rt△BCE，
∴∠B＝∠A，CB＝CA，
∵CD＝CE，
∴AE＝BD，正确，不符合题意．
故选：C．
如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE，若要用“斜边直角边（H．L．）”直接证明Rt△ABC≌Rt△DEF，则还需补充条件：BC＝EF ．
【答案】BC＝EF
【解答】解：在Rt△ABC和Rt△DFE中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DFE（HL），
故答案为：BC＝EF
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，线段PQ＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP＝　5或10　 时，△ABC和△PQA全等．
【答案】5或10
【解答】解：当AP＝5或10时，△ABC和△PQA全等，
理由是：∵∠C＝90°，AO⊥AC，
∴∠C＝∠QAP＝90°，
①当AP＝5＝BC时，
在Rt△ACB和Rt△QAP中
∴Rt△ACB≌Rt△QAP（HL），
②当AP＝10＝AC时，
在Rt△ACB和Rt△PAQ中
∴Rt△ACB≌Rt△PAQ（HL），
故答案为：5或10．
如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2．
（1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由；
（2）△CDE是不是直角三角形？并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）全等，理由是：
∵∠1＝∠2，
∴DE＝CE，
在Rt△ADE和Rt△BEC中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）；
（2）是直角三角形，理由是：
∵Rt△ADE≌Rt△BEC，
∴∠3＝∠4，
∵∠3+∠5＝90°，
∴∠4+∠5＝90°，
∴∠DEC＝90°，
∴△CDE是直角三角形．
如图，已知在△ABC中，CD平分∠BCA，DE垂直平分AB，DF⊥CA交CA的延长线于点F，连接BD，若∠BCD＝α，则∠BDE可以表示为（　　）
A．90°﹣α B．2α C． D．30°+α
【答案】A
【解答】解：连接DA，过D作DG⊥BC于G，
∵CD平分∠BCA，DF⊥CA交CA的延长线于点F，
∴DG＝DF，
∵DE垂直平分AB，
∴DB＝DA，
在Rt△DBG与Rt△DAF中，
，
∴Rt△DBG≌Rt△DAF（HL），
∴∠BDG＝∠ADF，
∴∠BDG+∠GDA＝∠GDA+∠ADF，
即∠BAD＝∠GDF＝180°﹣∠BCA＝180°﹣2α＝2∠BDE，
∴∠BDE＝90°﹣α，
故选：A．
嘉淇在解决问题时，给出的推理过程如下：
如图，点D在AC上，点E在AB上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：CD＝BE． 证明：在△ADB和△AEC中，， ∴△ADB≌△AEC， ∴CD＝BE．
小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∴△ADB≌△AEC”和“∴CD＝BE”之间作补充，下列说法正确的是（　　）
A．嘉淇的推理严谨，不需要补充
B．应补充“∴AD＝AE”
C．应补充“∴AB＝AC”
D．应补充“∴CE＝BD”
【答案】B
【解答】解：因为AB＝AC，欲证明CD＝BE，需要AC﹣AE＝AB﹣AD，即AD＝AE．
所以此题证明△ADB≌△AEC之后，需要补充全等三角形的对应边相等，即AD＝AE．
故选：B．
如图，在△ABD和△ACE中，AB＝AD，AC＝AE，AB＞AC，∠DAB＝∠CAE＝50°连接BE，CD交于点F，连接AF．下列结论：①BE＝CD；②∠EFC＝50°；③AF平分∠DAE；④FA平分∠DFE．其中正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：∵∠DAB＝∠CAE＝50°，
∴∠BAE＝∠DAC＝50°+∠BAC，
在△BAE和△DAC中，
，
∴△BAE≌△DAC（SAS），
∴BE＝CD，∠AEB＝∠ACD，
故①正确；
设BE交AC于点G，
∴∠EFC＝∠CGE﹣∠ACD＝∠CGE﹣∠AEB＝∠CAE＝50°，
故②正确；
作AI⊥BE于点I，AJ⊥CD于点J，
∵S△BAE＝S△DAC，
∴AI BEAJ CD，
∴AI＝AJ，
∴点A在∠DFE的平分线上，
∴FA平分∠DFE，
故④正确；
假设∠DAF＝∠EAF，则∠DAF﹣∠DAB＝∠EAF﹣∠CAE，
∴∠BAF＝∠CAF，
∵∠AFD＝∠AFE，∠BFD＝∠CFE，
∴∠AFD+∠BFD＝∠AFE+∠CFE，
∴∠AFB＝∠AFC，
在△AFB和△AFC中，
，
∴△AFB≌△AFC（ASA），
∴AB＝AC，与已知条件相矛盾，
∴∠DAF≠∠EAF，
故③错误，
∴①②④这3个结论正确，
故选：C．
木工是古代社会中一种很重要的手工业，木工师傅积累的许多经验可以用数学知识解释．如画角平分线：在已知的∠AOB的两边分别取OM＝ON，将无弹性的绳子对折标记折痕（即绳子中点P），从折痕点P处拉直绳子，点P在平面∠AOB内，则OP平分∠AOB．原理是构造全等三角形，根据全等三角形对应角相等得出∠AOP＝∠BOP．这里三角形全等的判定方法是（　　）
A．SSS B．SAS C．ASA D．HL
【答案】A
【解答】解：由题意得：OM＝ON，PM＝PN，
在△POM和△PON中，
，
∴△POM≌△PON（SSS），
∴∠MOP＝∠NOP，即∠AOP＝∠BOP，
由此可知，这里三角形全等的判定方法是SSS，
故选：A．
如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，要想使△ABC≌△AED，还需要再添加一个条件，那么在①AB＝AE，②BC＝ED，③∠C＝∠D，④∠B＝∠E，这四个关系中可以选择的是 　①③④　 .（填写序号）
【答案】①③④．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠EAB＝∠2+∠EAB，即∠CAB＝∠DAE，
当AB＝AE时，△ABC≌△AED（SAS），
当∠C＝∠D时，△ABC≌△AED（ASA），
当∠B＝∠E时，△ABC≌△AED（AAS），
当BC＝ED时，不能判断△ABC≌△AED，
故答案为：①③④．
如图，小杰将两把宽度相等的矩形直尺放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P，边OA与其中一把直尺边缘的交点为C，点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是1.9cm、5.1cm，则OC的长度是 　3.2　 cm．
【答案】3.2．
【解答】解：过点P作PF⊥OB于点F，如图所示：
∵点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是1.9cm、5.1cm，
∴PC＝5.1﹣1.9＝3.2（cm），
∵两把直尺的宽度相同，
∴PE＝PF，∠OEP＝∠OFP＝90°，
在Rt△OEP和Rt△OFP中，
，
∴Rt△OEP≌Rt△OFP（HL），
∴∠EOP＝∠FOP，
∵CP∥OF，
∴∠CPO＝∠FOP，
∴∠EOP＝∠CPO，
∴OC＝CP＝3.2（cm），
∴OC的长度是3.2cm．
故答案为：3.2．

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