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第16章
16.1 幂的运算
题型1 同底数幂的乘法 题型2 幂的乘方与积的乘方
题型1 同底数幂的乘法
解｜题｜知｜识 （1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． am an＝am+n（m，n是正整数） （2）推广：am an ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数） 在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加． （3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
【典例1】下列各式中，正确的是（　　）
A．a4 a3＝a12 B．a4 a3＝a7 C．a4+a3＝a7 D．a4 a4＝2a4
【答案】B
【解答】解：A、a4 a3＝a7，不符合题意；
B、a4 a3＝a7，符合题意；
C、a4与a3不是同类项，所以不能合并，不符合题意；
D、a4 a4＝a8，不符合题意．
故选：B．
【变式1】已知2x＝5，则2x+3的值是（　　）
A．8 B．15 C．40 D．125
【答案】C
【解答】解：∵2x＝5，
∴2x+3
＝2x×23
＝5×8
＝40．
故选：C．
【变式2】已知m，n是正整数，且满足3m 3m 3m＝3n，则m与n的关系正确的是（　　）
A．3m＝n B．m3＝n C．m+3＝n D．m+1＝n
【答案】A
【解答】解：∵m，n是正整数，且满足3m 3m 3m＝3n，
∴33m＝3n，
∴3m＝n，
故选：A．
【变式3】若，则横线上应填（　　）
A．x B．x2 C．x3 D．x4
【答案】D
【解答】解：设横线上应填xa，
则x3 xa＝x3+a＝x7，
∴3+a＝7，
∴a＝4，
故横线上应填x4．
故选：D．
【变式4】定义运算★为：若ab＝N（其中：a＞0，a≠1，以下同），则a★N＝b．如23＝8，则2★8＝3．设a★m＝x，a★n＝y，则a★（mn）＝（　　）
A．xy B．x+y C．x﹣y D．|x﹣y|
【答案】B
【解答】解：设a★m＝x，a★n＝y，
∴ax＝m，ay＝n，
∴mn＝ax ay＝ax+y，
∴a★（mn）＝x+y．
故选：B．
【变式5】如果xn＝y，那么规定（x，y）＝n，例如：因为32＝9，所以（3，9）＝2，若（m，16）＝a，（m，5）＝b，（m，t）＝c，且满足a+b＝c，则t＝　80　 ．
【答案】80．
【解答】解：因为（m，16）＝a，（m，5）＝b，（m，t）＝c，
所以ma＝16，mb＝5，mc＝t，
因为a+b＝c，
所以ma mb＝ma+b＝16×5＝80，
所以ma+b＝mc＝t＝80．
故答案为：80．
【变式6】规定a*b＝2a×2b，求：
（1）求1*2的值；
（2）若2*（x+1）＝32，求x的值．
【答案】（1）8；
（2）x＝2．
【解答】解：（1）由题意得：
1*2
＝21×22
＝8；
（2）由题意得：
2*（x+1）
＝22×2（x+1）
＝22+x+1；
即22+x+1＝32＝25，
2+x+1＝5，
3+x＝5，
x＝2．
题型2 幂的乘方与积的乘方
解｜题｜知｜识 （1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． （am）n＝amn（m，n是正整数） 注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． （2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （ab）n＝anbn（n是正整数） 注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
【典例1】下列运算正确的是（　　）
A．（a2）3＝a5 B．（3a）2＝6a2 C．a2 a4＝a6 D．3a2﹣2a2＝1
【答案】C
【解答】解：A、∵（a2）3＝a2×3＝a6≠a5，故A选项不符合题意；
B、∵（3a）2＝32 a2＝9a2≠6a2，故B选项不符合题意；
C、∵a2 a4＝a2+4＝a6，故C选项符合题意；
D、∵3a2﹣2a2＝（3﹣2）a2＝a2≠1，故D选项符合题意．
故选：C．
【变式1】若3m﹣n﹣2＝0，则8m÷2n的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】D
【解答】解：由题意得，3m﹣n＝2，
∴原式＝（23）m÷2n
＝23m÷2n
＝23m﹣n＝22
＝4．
故选：D．
【变式2】在比较3500和4400的大小时，老师给出了如下的方法：3500＝35×100＝（35）100＝243100；4400＝44×100＝（44）100＝256100．∵243100＜256100，∴3500＜4400．
请你根据上面所提供的信息，判断344和255的大小关系为（　　）
A．344＜255 B．344＞255 C．344＝255 D．无法比较
【答案】B
【解答】解：仿照题干中的方法，将指数化为相同可得：
344＝34×11＝（34）11＝8111，255＝25×11＝（25）11＝3211，
∴8111＞3211，即 344＞255．
故选：B．
【变式3】下列计算中，错误的是（　　）
A．mn m2n+1＝m3n+1 B．（﹣am﹣1）2＝a2m﹣2
C．（a2b）n＝a2nbn D．（﹣3x2）3＝﹣9x6
【答案】D
【解答】解：A、mn m2n+1＝m3n+1，选项计算正确，不符合题意；
B、（﹣am﹣1）2＝a2m﹣2，选项计算正确，不符合题意；
C、（a2b）n＝a2nbn，选项计算正确，不符合题意；
D、（﹣3x2）3＝﹣27x6，选项计算错误，符合题意．
故选：D．
【变式4】若3m＝4，3n＝2，则3m+2n＝ 　16　 ．
【答案】16．
【解答】解：∵3m＝4，3n＝2，
∴3m+2n＝3m 32n＝3m （3n）2＝4×22＝16．
故答案为：16．
【变式5】若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．利用上面结论解决下面的问题；
（1）如果2x＝25，则x＝　5　 ；
（2）如果8x＝27，求x的值；
（3）如果3x+2﹣3x+1＝54，求x的值．
【答案】（1）5；
（2）x；
（3）x＝2．
【解答】解：（1）∵2x＝25，
∴x＝5，
故答案为：5；
（2）∵8x＝27，
∴（23）x＝27，
∴23x＝27，
∴3x＝7，
解得：x；
（3）∵3x+2﹣3x+1＝54，
∴3x+1 3﹣3x+1 1＝54，
∴3x+1 （3﹣1）＝54，
∴3x+1＝27，
∴3x+1＝33，
∴x+1＝3，
解得：x＝2．
【变式6】在幂的运算中规定：若ax＝ay，（a＞0）且a≠1，x、y是正整数），则x＝y，利用上面的结论解答下列问题：
（1）若9x＝36，求x的值；
（2）若64×2x＝210，求x的值．
【答案】（1）3；
（2）4．
【解答】解：（1）∵9x＝36，
∴（32）x＝36，
∴32x＝36，
∴2x＝6，
∴x＝3；
（2）∵64×2x＝210，
∴26×2x＝210，
∴26+x＝210，
∴6+x＝10，
∴x＝4．
计算（x﹣y）2 （y﹣x）5 （x﹣y）的结果是（　　）
A．﹣（x﹣y）8 B．（x﹣y）8 C．x8﹣y8 D．﹣x8+y8
【答案】A
【解答】解：原式＝（x﹣y）2 [﹣（x﹣y）5] （x﹣y）＝﹣（x﹣y）8．
故选：A．
若a、b为正整数，且满足3a+3a+3a＝3b×3b×3b，则下列a与b的关系正确的是（　　）
A．a＝3b B．a＝b3 C．a＝3b﹣1 D．a+1＝3b3
【答案】C
【解答】解：∵3a+3a+3a＝3b×3b×3b，
∴3×3a＝33b，
∴3a+1＝33b，
∴a+1＝3b，即a＝3b﹣1，
故选：C．
已知am＝2，an＝3，则am+n＝　6　 ．
【答案】6
【解答】解：am+n＝am an＝2×3＝6，
故答案为：6．
我们知道，同底数幂的乘法法则为am an＝am+n（其中a≠0，m，n为正整数），类似的，我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：h（m+n）＝h（m） h（n）．比如h（2）＝3，则h（4）＝h（2+2）＝h（2） h（2）＝3×3＝9．若h（2）＝k，则h（2n） h（2020）的结果是 kn+1010 ．
【答案】kn+1010．
【解答】解：h（2n）kn，
h（2020）k1010，
则h（2n） h（2020）＝kn k1010＝kn+1010．
故答案为：kn+1010．
电子文件的大小常用B，KB，MB，GB等作为单位，其中1GB＝210MB，1MB＝210KB，1KB＝210B．若某视频文件的大小约为8GB，可得8GB＝2nB，则n＝　33　 ．
【答案】33．
【解答】解：8GB＝8×210MB＝23×210MB＝213MB，
213MB＝213×210KB＝223KB，
223KB＝223×210B＝233B，
∵8GB＝2nB，
∴2nB＝233B，
∴n＝33，
故答案为：33．
若“*”是我们定义的一种新的运算符号，且规定a*b＝2a×2b．若2*（x+1）＝16，则x的值为　1　 ．
【答案】1．
【解答】解：∵a*b＝2a×2b，
∴2*（x+1）
＝22×2x+1
＝22+x+1
＝2x+3，
又∵2*（x+1）＝16，
∴2x+3＝16
∴x+3＝4，
解得x＝1．
故答案为：1．
已知2a＝3，2b＝6，2c＝12，下列结论：①c＝a+2；②a+b＝c+1；③2＜b＜3．其中所有正确结论的序号是 　①③　 ．
【答案】①③．
【解答】解：∵2a＝3，2b＝6，2c＝12，
∴2a 22＝3×4＝2c＝12，
∴22+a＝2c，
∴c＝a+2，
故①正确；
2a 2b＝2a+b＝3×6＝18，2c 2＝2c+1＝12×2＝24，
∵18≠24，
∴2a+b≠2c+1，
∴a+b≠c+1，
故②错误；
∵2b＝6，4＜6＜8，
∴22＜2b＜23，
∴2＜b＜3，
故③正确，
∴所有正确结论的序号是：①③，
故答案为：①③．
计算：（a﹣b）（b﹣a）2＝ 　（a﹣b）3 （结果用幂的形式表示）．
【答案】（a﹣b）3
【解答】解：（a﹣b）（b﹣a）2＝（a﹣b）（a﹣b）2＝（a﹣b）3，
故答案为：（a﹣b）3．
如果a+3b﹣2＝0，那么3a×27b的值为 　9　 ．
【答案】9．
【解答】解：∵a+3b﹣2＝0，
∴a+3b＝2，
则3a 27b＝3a×33b＝3a+3b＝32＝9．
故答案为：9．
已知a＝255，b＝522，则a，b的大小关系是 b＜a．　 （请用字母表示，并用“＜”连接）．
【答案】b＜a．
【解答】解：a＝255＝（25）11＝3211，
b＝522＝（52）11＝2511，
∵2511＜3211，
∴522＜255，
故答案为：b＜a．
定义一种新运算（a，b），若ac＝b，则（a，b）＝c，例（2，8）＝3，（3，81）＝4．已知（3，5）+（3，7）＝（3，x），则x的值为 　35　 ．
【答案】35
【解答】解：设3m＝5，3n＝7，
依题意（3，5）＝m，（3，7）＝n，
∴（3，5）+（3，7）＝m+n．
∴（3，x）＝m+n，
∴x＝3m+n
＝3m×3n
＝5×7
＝35．
故答案为：35．
计算：
①（3a2b）2＝　9a4b2 ；
②已知xa＝3，xb＝6，则x2a+b＝　54　 ．
【答案】①9a4b2；
②54．
【解答】解：①（3a2b）2＝9a4b2，
故答案为：9a4b2；
②∵xa＝3，xb＝6，
∴x2a+b＝x2a xb
＝（xa）2 xb
＝32×6
＝9×6
＝54．
若x＝1+2m，y＝4m（m为整数），用含x的代数式表示y，则y＝x2﹣2x+1　 ．
【答案】x2﹣2x+1．
【解答】解：由题意得：y＝4m＝（2m）2，
∵x＝1+2m，
∴2m＝x﹣1，
∴y＝（x﹣1）2＝x2﹣2x+1．
故答案为：x2﹣2x+1．
根据已知条件求值．
（1）已知am＝2，an＝5，求a3m+n的值．
（2）已知2x+5y﹣3＝0，求4x 32y的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵am＝2，an＝5，
∴a3m+n＝a3m an＝（am）3 an＝23×5＝40；
（2）∵2x+5y﹣3＝0，
∴2x+5y＝3，
∴4x 32y＝（22）x （25）y＝22x 25y＝22x+5y＝23＝8．
若am＝an（a＞0且a≠1，m，n是正有理数），则m＝n．利用该结论解决下面的问题：
（1）如果272x＝38，求x的值；
（2）如果2x+3+2x+4＝48，求x的值．
【答案】（1）；
（2）x＝1．
【解答】解：（1）∵272x＝38，
∴36x＝38．
∴6x＝8．
解得：；
（2）∵2x+3+2x+4＝48，
∴（1+2） 2x+3＝48．
∴2x+3＝16＝24．
∴x+3＝4．
解得：x＝1．
已知2x＝2，2y＝5．
（1）求代数式2x+y的值．
（2）求8x 4y的值．
【答案】（1）10；
（2）200．
【解答】解：（1）2x+y
＝2x 2y
＝2×5
＝10．
（2）8x 4y＝（23）x （22）y
＝（2x）3 （2y）2
＝23×52
＝200．第16章
16.1 幂的运算
题型1 同底数幂的乘法 题型2 幂的乘方与积的乘方
题型1 同底数幂的乘法
解｜题｜知｜识 （1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． am an＝am+n（m，n是正整数） （2）推广：am an ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数） 在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加． （3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
【典例1】下列各式中，正确的是（　　）
A．a4 a3＝a12 B．a4 a3＝a7 C．a4+a3＝a7 D．a4 a4＝2a4
【变式1】已知2x＝5，则2x+3的值是（　　）
A．8 B．15 C．40 D．125
【变式2】已知m，n是正整数，且满足3m 3m 3m＝3n，则m与n的关系正确的是（　　）
A．3m＝n B．m3＝n C．m+3＝n D．m+1＝n
【变式3】若，则横线上应填（　　）
A．x B．x2 C．x3 D．x4
【变式4】定义运算★为：若ab＝N（其中：a＞0，a≠1，以下同），则a★N＝b．如23＝8，则2★8＝3．设a★m＝x，a★n＝y，则a★（mn）＝（　　）
A．xy B．x+y C．x﹣y D．|x﹣y|
【变式5】如果xn＝y，那么规定（x，y）＝n，例如：因为32＝9，所以（3，9）＝2，若（m，16）＝a，（m，5）＝b，（m，t）＝c，且满足a+b＝c，则t＝　 　 ．
【变式6】规定a*b＝2a×2b，求：
（1）求1*2的值；
（2）若2*（x+1）＝32，求x的值．
题型2 幂的乘方与积的乘方
解｜题｜知｜识 （1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． （am）n＝amn（m，n是正整数） 注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． （2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （ab）n＝anbn（n是正整数） 注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
【典例1】下列运算正确的是（　　）
A．（a2）3＝a5 B．（3a）2＝6a2 C．a2 a4＝a6 D．3a2﹣2a2＝1
【变式1】若3m﹣n﹣2＝0，则8m÷2n的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．4
【变式2】在比较3500和4400的大小时，老师给出了如下的方法：3500＝35×100＝（35）100＝243100；4400＝44×100＝（44）100＝256100．∵243100＜256100，∴3500＜4400．
请你根据上面所提供的信息，判断344和255的大小关系为（　　）
A．344＜255 B．344＞255 C．344＝255 D．无法比较
【变式3】下列计算中，错误的是（　　）
A．mn m2n+1＝m3n+1 B．（﹣am﹣1）2＝a2m﹣2
C．（a2b）n＝a2nbn D．（﹣3x2）3＝﹣9x6
【变式4】若3m＝4，3n＝2，则3m+2n＝ 　 　 ．
【变式5】若am＝an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．利用上面结论解决下面的问题；
（1）如果2x＝25，则x＝　 　 ；
（2）如果8x＝27，求x的值；
（3）如果3x+2﹣3x+1＝54，求x的值．
【变式6】在幂的运算中规定：若ax＝ay，（a＞0）且a≠1，x、y是正整数），则x＝y，利用上面的结论解答下列问题：
（1）若9x＝36，求x的值；
（2）若64×2x＝210，求x的值．
计算（x﹣y）2 （y﹣x）5 （x﹣y）的结果是（　　）
A．﹣（x﹣y）8 B．（x﹣y）8 C．x8﹣y8 D．﹣x8+y8
若a、b为正整数，且满足3a+3a+3a＝3b×3b×3b，则下列a与b的关系正确的是（　　）
A．a＝3b B．a＝b3 C．a＝3b﹣1 D．a+1＝3b3
已知am＝2，an＝3，则am+n＝　 　 ．
我们知道，同底数幂的乘法法则为am an＝am+n（其中a≠0，m，n为正整数），类似的，我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：h（m+n）＝h（m） h（n）．比如h（2）＝3，则h（4）＝h（2+2）＝h（2） h（2）＝3×3＝9．若h（2）＝k，则h（2n） h（2020）的结果是 ．
电子文件的大小常用B，KB，MB，GB等作为单位，其中1GB＝210MB，1MB＝210KB，1KB＝210B．若某视频文件的大小约为8GB，可得8GB＝2nB，则n＝ 　 ．
若“*”是我们定义的一种新的运算符号，且规定a*b＝2a×2b．若2*（x+1）＝16，则x的值为　 　 ．
已知2a＝3，2b＝6，2c＝12，下列结论：①c＝a+2；②a+b＝c+1；③2＜b＜3．其中所有正确结论的序号是 　 　 ．
计算：（a﹣b）（b﹣a）2＝ 　 （结果用幂的形式表示）．
如果a+3b﹣2＝0，那么3a×27b的值为 　 　 ．
已知a＝255，b＝522，则a，b的大小关系是 　 （请用字母表示，并用“＜”连接）．
定义一种新运算（a，b），若ac＝b，则（a，b）＝c，例（2，8）＝3，（3，81）＝4．已知（3，5）+（3，7）＝（3，x），则x的值为 　 　 ．
计算：
①（3a2b）2＝　 ；
②已知xa＝3，xb＝6，则x2a+b＝　 　 ．
若x＝1+2m，y＝4m（m为整数），用含x的代数式表示y，则y＝ 　 ．
根据已知条件求值．
（1）已知am＝2，an＝5，求a3m+n的值．
（2）已知2x+5y﹣3＝0，求4x 32y的值．
若am＝an（a＞0且a≠1，m，n是正有理数），则m＝n．利用该结论解决下面的问题：
（1）如果272x＝38，求x的值；
（2）如果2x+3+2x+4＝48，求x的值．
已知2x＝2，2y＝5．
（1）求代数式2x+y的值．
（2）求8x 4y的值．

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