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第14章
14.3 角的平分线
题型1 角平分线的性质 题型2 作图—基本作图
题型1 角平分线的性质
解｜题｜知｜识 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
【典例1】如图，BD为∠ABC的角平分线，DE⊥BC于点E，AB＝5，DE＝2，则△ABD的面积是（　　）
A．5 B．7 C．7.5 D．10
【答案】A
【解答】解：过D点作DH⊥AB于H，如图，
∵BD为∠ABC的角平分线，DE⊥BC，DH⊥AB，
∴DH＝DE＝2，
∴S△ABD5×2＝5．
故选：A．
【变式1】如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（　　）
①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解答】解：①过点P作PD⊥AC于D，
∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，
∴PM＝PN，PM＝PD，
∴PN＝PD，
∵PN⊥BF，PD⊥AC，
∴点P在∠ACF的角平分线上，故①正确；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，
∴∠ABC+∠MPN＝180°，
在Rt△PAM和Rt△PAD中，
，
∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），
∴∠APM＝∠APD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），
∴∠CPD＝∠CPN，
∴∠MPN＝2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确；
③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，
∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM∠ABC+∠APB，
∴∠ACB＝2∠APB，③正确；
④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）
∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，
∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④正确，
故选：D．
【变式2】三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　）
A．三条高线的交点
B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三边垂直平分线的交点
【答案】C
【解答】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，
根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处．
故选：C．
【变式3】如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　）
A．△ABC三条中线的交点
B．△ABC内任意一点
C．△ABC三条高所在直线的交点
D．△ABC三条角平分线的交点
【答案】D
【解答】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，
根据角平分线的性质得：凉亭的位置应该选择△ABC三条角平分线的交点，
故选：D．
【变式4】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝FC．求证：BD＝DF．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DC＝DE，
在△DCF和△DEB中，，
∴△DCF≌△DEB，（SAS），
∴BD＝DF．
【变式5】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB；
（2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DC＝DE，
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
，
∴Rt△DCF≌Rt△DEB（HL），
∴CF＝EB；
（2）AF+BE＝AE．
∵Rt△DCF≌Rt△DEB，
∴DC＝DE，
∴Rt△DCA≌Rt△DEA（HL），
∴AC＝AE，
∴AF+FC＝AE，
即AF+BE＝AE．
【变式6】如图所示，BD平分∠ABC，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，M、N为垂足．求证：PM＝PN．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：在△ABD和△CBD中，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB＝∠CDB．
又PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM＝PN．
题型2 作图—基本作图
解｜题｜知｜识 基本作图有： （1）作一条线段等于已知线段． （2）作一个角等于已知角． （3）作已知线段的垂直平分线． （4）作已知角的角平分线． （5）过一点作已知直线的垂线．
【典例1】如图，用三角尺作△ABC的边AB上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：△ABC的边AB上的高经过点C与AB垂直，
故选：D．
【变式1】已知△ABC，下列尺规作图的方法中，能确定∠BAD＝∠CAD的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：选项A，作图痕迹可知，D为BC中点，不能确定∠BAD＝∠CAD，不符合题意；
选项B，作图痕迹可知，D在AB的垂直平分线上，不能确定∠BAD＝∠CAD，不符合题意；
选项C，作图痕迹可知，AD是BC边上的高，不能确定∠BAD＝∠CAD，不符合题意；
选项D，作图痕迹可知，D在∠BAC的平分线上，能确定∠BAD＝∠CAD，故本选项符合题意；
故选：D．
【变式2】如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（　　）
A．AF＝BF B．∠AFD+∠FBC＝90°
C．DF⊥AB D．∠BAF＝∠CAF
【答案】D
【解答】解：由作图可知DF垂直平分线段AB，BE平分∠ABC，
∴FA＝FB，DF⊥AB，故选项A，C正确，
∴∠AFD＝∠BFD，
∵∠FBC＝∠FBD，∠FBD+∠BFD＝90°，
∴∠AFD+∠FBC＝90°，故选项B正确．
故选：D．
【变式3】作一个角等于已知角的尺规作图过程如图，要说明∠A′O′B′＝∠AOB，需要证明△D′O′C′≌△DOC，则这两个三角形全等的依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【答案】A
【解答】解：如图，在△D′O′C′与△DOC中，
，
∴△D′O′C′≌△DOC（SSS），
∴∠A′O′B′＝∠AOB，
故选：A．
【变式4】如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴负半轴于点M，交y轴负半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第三象限交于点P．若点P的坐标为（a，b），则a与b的数量关系为（　　）
A．a+b＝0 B．a+b＞0 C．a﹣b＝0 D．a﹣b＞0
【答案】C
【解答】解：根据作图方法可得点P在第三象限角平分线上，点P的坐标为（a，b），
∴点P到x轴、y轴的距离相等；
∵点P的坐标为（a，b），
∴a﹣b＝0．
故选：C．
【变式5】如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上，且AB＝5．
（1）BC边上的高的长为　4　 ；
（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出△ABC的角平分线BD，简要说明BD是如何找到的（不要求证明）：　取格点F，连接AF，找出AF的中点G，连接BG交AC于点D，则BD即为所求　 ．
【答案】（1）4；
（2）作图见解析，作法：取格点F，连接AF，找出AF的中点G，连接BG交AC于点D，则BD即为所求．
【解答】解：（1）如图所示，AE即为BC边上的高，AE＝4，
故答案为：4；
（2）如图所示，线段BD即为所求．
作法：取格点F，连接AF，找出AF的中点G，连接BG交AC于点D，则BD即为所求．
故答案为：取格点F，连接AF，找出AF的中点G，连接BG交AC于点D，则BD即为所求．
【变式6】如图，直线AB，CD交于点O，OE平分∠BOD．请按下列要求解答问题：
（1）尺规作图：在射线OC上方作∠COF，使∠COF＝∠AOC；（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若∠AOC＝66°，求∠EOF的度数．
【答案】（1）见解析；
（2）∠EOF的度数为81°．
【解答】（1）解：如图，COF即为所求；
（2）解：∵∠COF＝∠AOC，∠AOC＝66°，∠BOD＝∠AOC，
∴∠COF＝66°，∠BOD＝66°，
∴∠FOB＝180°﹣66°﹣66°＝48°，
∵OE平分∠BOD，
∴，
∴∠EOF＝48°+33°＝81°，
答：∠EOF的度数为81°．
如图，O是△ABC的三条角平分线的交点，连接OA，OB，OC，若△OAB，△OBC，△OAC的面积分别为S1，S2，S3，则下列关系正确的是（　　）
A．S1＞S2+S3 B．S1＝S2+S3 C．S1＜S2+S3 D．无法确定
【答案】C
【解答】解：过O点作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，如图，
∵O是△ABC的三条角平分线的交点，
∴OD＝OE＝OF，
∵S1 AB OD，S2+S3 BC OE AC OFOD （BC+AC），
而AB＜BC+AC，
∴S1＜S2+S3．
故选：C．
如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，若∠ADC＝100°，则∠MAB＝（　　）
A．50° B．40° C．30° D．35°
【答案】B
【解答】解：作MN⊥AD于点N，如图，
∵∠C＝90°，DM平分∠ADC，MN⊥AD，
∴CM＝MN，
∵M是BC的中点，
∴BM＝CM，
∴MN＝BM，
∵∠B＝90°，MN⊥AD，
∴AM平分∠DAB，
∵∠B＝∠C＝90°，∠ADC＝100°，
∴AB∥CD，
∴∠DAB＝180°﹣∠ADC＝80°，
∴，
故选：B．
如图，BD为∠ABC的角平分线，DE⊥BC于点E，DE＝2，则AD的长不可能是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【解答】解：过点D作DH⊥BA于点H，如图所示：
∵BD为∠ABC的角平分线，DE⊥BC于点E，DE＝2，
∴根据角平分线的性质可得，DH＝DE＝2，
∵AD≥DH，
∴AD≥2，
综上所述，AD的长度不可能为1，只有选项D正确，符合题意，
故选：D．
如图在△ABC中，∠A＝90°，BE是△ABC的角平分线，ED⊥BC于点D，CD＝4，△CDE周长为12，则AC的长是 　8　 ．
【答案】8．
【解答】解：∵CD＝4，△CDE周长为12，
∴CD+CE+DE＝12，
∴CE+DE＝12﹣CD＝8，
∵BE是△ABC的角平分线，∠A＝90°，ED⊥BC于点D，
∴AE＝DE，
∴CE+AE＝CE+DE＝8，
∴AC＝CE+AE＝8．
即AC的长为8．
故答案为：8．
如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是 　42　 ．
【答案】42
【解答】解：
过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，
∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，
∴OE＝OD，OD＝OF，
即OE＝OF＝OD＝4，
∴△ABC的面积是：S△AOB+S△AOC+S△OBC
AB×OEAC×OFBC×OD
4×（AB+AC+BC）
4×21＝42，
故答案为：42．
小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明的做法，其理论依据是 　在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上　 ．
【答案】在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上
【解答】解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴PE＝PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故答案为：在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上．
如图，AD∥BC，CP和DP分别平分∠BCD和∠ADC，AB过点P，且与AD垂直，垂足为A，交BC于点B，若AB＝10，则点P到DC的距离是 　5　 ．
【答案】5
【解答】解：如图，过点P作PE⊥DC于E，
∵AD∥BC，PA⊥AD，
∴PB⊥CB，
∵CP和DP分别平分∠BCD和∠ADC，
∴PA＝PE，PB＝PE，
∴PE＝PA＝PB，
∵PA+PB＝AB＝10，
∴PA＝PB＝5，
∴PE＝5．
故答案为：5．
如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，求证：DE＝DF．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
∵点D为BC中点，
∴DB＝DC，
∴在△DBE和△DCF中，
∴△DBE≌DCF（AAS），
∴DE＝DF．
解法二：连接AD，由等腰三角形三线合一 可以知道AD是△ABC的角平分线，再由DE⊥AB，DF⊥AC，及角平分线的性质可得结论．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，适当长为半径画弧，交AC，AB于D，E两点，再分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧交于点M．作射线AM交BC于点F，若BF＝5，BC＝9，则点F到AB的距离为（　　）
A．3 B．4 C．4.5 D．5
【答案】B
【解答】解：过F点作FH⊥AB于H点，如图，
∵BF＝5，BC＝9，
∴FC＝4，
由作图痕迹得AM平分∠BAC，
而FC⊥AC，FH⊥AB，
∴FH＝FC＝4，
点F到AB的距离为4．
故选：B．
如图，CD是△ABC的角平分线．按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，与边AB相交于点E，与边AC相交于点F；②以点B为圆心，AE长为半径画弧，与边BC相交于点G；③以点G为圆心，EF长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点H；④作射线BH，与CD相交于点M，与边AC相交于点N．则下列结论一定正确的是（　　）
A．∠ABN＝∠A B．BN⊥AC C．CM＝AD D．BM＝BD
【答案】D
【解答】解：由作图过程可知，∠CBN＝∠BAC．
∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠ACD＝∠BCD．
∵∠CAD+∠ACD+∠ADC＝180°，∠CBM+∠BCM+∠BMC＝180°，
∴∠ADC＝∠BMC，
∴∠BDM＝∠BMD，
∴BM＝BD，
故D选项一定正确．
故选：D．
如图，∠MON＝70°，点A在射线OM上，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交射线ON于点B．若分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C，连接AC，则∠OAC的大小为（　　）
A．120° B．115° C．110° D．105°
【答案】B
【解答】解：连接AB，BC，如图，由作法可得OA＝OB，AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，
在△AOC和△BOC中，
，
∴△AOC≌△BOC（SSS），
∴∠1＝∠2∠ACB＝30°，
∠3＝∠4∠AOB＝35°，
∴∠OAC＝180°﹣∠1﹣∠3＝180°﹣30°﹣35°＝115°．
故选：B．
用直尺和圆规作一个角等于已知角的依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【答案】A
【解答】解：以已知角顶点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB两边于D、C，
以新射线端点O′为圆心，相同半径画弧，交射线O′B′于C′，
用圆规量取DC距离，以C′为圆心画弧交前弧于D′，
连接O′D′，得∠A′O′B′，如下图：
在△OCD和△O′C′D′中，
，
∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），
∴∠A′O′B′＝∠AOB，
因此，用直尺和圆规作一个角等于已知角的依据是SSS，
故选：A．
如图，用三角板作△ABC的边AB上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A．作出的是△ABC中BC边上的高线，
故该选项三角板的摆放位置不正确，不符合题意；
B．作出的是△ABC中AC边上的高线，
故该选项三角板的摆放位置不正确，不符合题意；
C．不能作出△ABC的高，
故该选项三角板的摆放位置不正确，不符合题意；
D．作出的是△ABC中AB边上的高线，
故该选项符合题意．
故选：D．
如图，观察图中尺规作图的痕迹，下列结论不一定成立的是（　　）
A．∠AOE＝∠BOE B．∠CEO＝∠DEO C．OC＝CE D．OC＝OD
【答案】C
【解答】解：根据尺规作图的画法可知：OE是∠AOB的角平分线．
A、∠AOE＝∠BOE，A正确，不符合题意；
B、如图，连接CE，DE，
根据尺规作图的画法可知：OE是∠AOB的角平分线，OC＝OD，
∴∠AOE＝∠BOE，
∵OE＝OE，
∴△COE≌△DOE（SAS），
∴∠CEO＝∠DEO，B正确，不符合题意；
C、OC≠CE，C不正确，符合题意；
D、OC＝OD，D正确，不符合题意．
故选：C．
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P、连接AP并延长，交BC于点D．若CD＝3，则△ABD的面积是（　　）
A．30 B．20 C．15 D．10
【答案】C
【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，
由作图过程可知，AD为∠BAC的平分线，
∵∠C＝90°，
∴DE＝CD＝3，
∴△ABD的面积是15．
故选：C．
如图，在等腰△ABC中，在AB、AC上分别截取AP、AQ，使AP＝AQ．再分别以点P，Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R，作射线AR，交BC于点D．已知AB＝AC＝10，AD＝8，BC＝12．若点M、N分别是线段AD和线段AB上的动点，则BM+MN的最小值为　9.6　 ．
【答案】9.6
【解答】解：由作图步骤可得AD平分∠BAC，过点B作BH⊥AC于点H．
∵AC＝AB，
∴AD垂直平分BC，
∴AC，AB关于AD对称，
作点N关于AD的对称点N′，连接MN′，
∵′BH≤BM+NM＝BM+MN，
∴BM+MN的最小值为BH的长．
∵BC＝12，AB＝AC＝10，AD平分∠BAC，
∴BD＝CD＝6，AD⊥CB，
∵，AD＝8，
∴．
故答案为：9.6．第14章
14.3 角的平分线
题型1 角平分线的性质 题型2 作图—基本作图
题型1 角平分线的性质
解｜题｜知｜识 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
【典例1】如图，BD为∠ABC的角平分线，DE⊥BC于点E，AB＝5，DE＝2，则△ABD的面积是（　　）
A．5 B．7 C．7.5 D．10
【变式1】如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（　　）
①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（　　）
A．三条高线的交点
B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三边垂直平分线的交点
【变式3】如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　）
A．△ABC三条中线的交点
B．△ABC内任意一点
C．△ABC三条高所在直线的交点
D．△ABC三条角平分线的交点
【变式4】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝FC．求证：BD＝DF．
【变式5】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB；
（2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由．
【变式6】如图所示，BD平分∠ABC，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，M、N为垂足．求证：PM＝PN．
题型2 作图—基本作图
解｜题｜知｜识 基本作图有： （1）作一条线段等于已知线段． （2）作一个角等于已知角． （3）作已知线段的垂直平分线． （4）作已知角的角平分线． （5）过一点作已知直线的垂线．
【典例1】如图，用三角尺作△ABC的边AB上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【变式1】已知△ABC，下列尺规作图的方法中，能确定∠BAD＝∠CAD的是（　　）
A． B．
C． D．
【变式2】如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（　　）
A．AF＝BF B．∠AFD+∠FBC＝90°
C．DF⊥AB D．∠BAF＝∠CAF
【变式3】作一个角等于已知角的尺规作图过程如图，要说明∠A′O′B′＝∠AOB，需要证明△D′O′C′≌△DOC，则这两个三角形全等的依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【变式4】如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴负半轴于点M，交y轴负半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第三象限交于点P．若点P的坐标为（a，b），则a与b的数量关系为（　　）
A．a+b＝0 B．a+b＞0 C．a﹣b＝0 D．a﹣b＞0
【变式5】如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上，且AB＝5．
（1）BC边上的高的长为　 　 ；
（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出△ABC的角平分线BD，简要说明BD是如何找到的（不要求证明）：　 　 ．
【变式6】如图，直线AB，CD交于点O，OE平分∠BOD．请按下列要求解答问题：
（1）尺规作图：在射线OC上方作∠COF，使∠COF＝∠AOC；（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若∠AOC＝66°，求∠EOF的度数．
如图，O是△ABC的三条角平分线的交点，连接OA，OB，OC，若△OAB，△OBC，△OAC的面积分别为S1，S2，S3，则下列关系正确的是（　　）
A．S1＞S2+S3 B．S1＝S2+S3 C．S1＜S2+S3 D．无法确定
如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，若∠ADC＝100°，则∠MAB＝（　　）
A．50° B．40° C．30° D．35°
如图，BD为∠ABC的角平分线，DE⊥BC于点E，DE＝2，则AD的长不可能是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
如图在△ABC中，∠A＝90°，BE是△ABC的角平分线，ED⊥BC于点D，CD＝4，△CDE周长为12，则AC的长是 　 　 ．
如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是 　 ．
小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明的做法，其理论依据是 　 　 ．
如图，AD∥BC，CP和DP分别平分∠BCD和∠ADC，AB过点P，且与AD垂直，垂足为A，交BC于点B，若AB＝10，则点P到DC的距离是 ．
如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，求证：DE＝DF．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，适当长为半径画弧，交AC，AB于D，E两点，再分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧交于点M．作射线AM交BC于点F，若BF＝5，BC＝9，则点F到AB的距离为（　　）
A．3 B．4 C．4.5 D．5
如图，CD是△ABC的角平分线．按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，与边AB相交于点E，与边AC相交于点F；②以点B为圆心，AE长为半径画弧，与边BC相交于点G；③以点G为圆心，EF长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点H；④作射线BH，与CD相交于点M，与边AC相交于点N．则下列结论一定正确的是（　　）
A．∠ABN＝∠A B．BN⊥AC C．CM＝AD D．BM＝BD
如图，∠MON＝70°，点A在射线OM上，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交射线ON于点B．若分别以点A，B为圆心，AB长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C，连接AC，则∠OAC的大小为（　　）
A．120° B．115° C．110° D．105°
用直尺和圆规作一个角等于已知角的依据是（　　）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
如图，用三角板作△ABC的边AB上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（　　）
A． B．
C． D．
如图，观察图中尺规作图的痕迹，下列结论不一定成立的是（　　）
A．∠AOE＝∠BOE B．∠CEO＝∠DEO C．OC＝CE D．OC＝OD
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10．以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P、连接AP并延长，交BC于点D．若CD＝3，则△ABD的面积是（　　）
A．30 B．20 C．15 D．10
如图，在等腰△ABC中，在AB、AC上分别截取AP、AQ，使AP＝AQ．再分别以点P，Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R，作射线AR，交BC于点D．已知AB＝AC＝10，AD＝8，BC＝12．若点M、N分别是线段AD和线段AB上的动点，则BM+MN的最小值为　 　 ．

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