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第15章
15.1 图形的轴对称
题型1 线段垂直平分线的性质 题型2 生活中的轴对称现象
题型3 轴对称的性质 题型4 轴对称图形
题型1 线段垂直平分线的性质
解｜题｜知｜识 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　 　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　 　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
【典例1】如图，在△ABC中，∠B＝90°，DE垂直平分AC，DB＝DE，则∠C的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】C
【解答】解：连接CD，
∵∠B＝90°，
∴∠A+∠ACB＝90°，
∵DE垂直平分AC，
∴∠A＝∠ACD，
∵DB＝DE，
∴CD是∠ACB的平分线，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴∠A＝∠ACD＝∠BCD，
∴∠ACD（∠A+∠ACB）90°＝30°，
∴∠ACB＝2∠ACD＝60°．
故选：C．
【变式1】如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为点E，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为（　　）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【答案】B
【解答】解：∵DE垂直平分AC，
∴AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD
又∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠ACD＝100°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣100°＝30°，
故选：B．
【变式2】如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．若AB＝5，AC＝8，则△ABD的周长是（　　）
A．13 B．5 C．8 D．26
【答案】A
【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，
∴△ABD的周长是AB+BD+AD＝AB+CD+AD＝AB+AC＝13．
故选：A．
【变式3】12．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°．
（1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；
②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图，点D，射线AE即为所求．
（2）∵DF垂直平分线段AB，
∴DB＝DA，
∴∠DAB＝∠B＝30°，
∵∠C＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110°，
∴∠CAD＝110°﹣30°＝80°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE∠DAC＝40°．
题型2 生活中的轴对称现象
解｜题｜知｜识 （1）轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴． （2）轴对称包含两层含义： ①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同； ②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合．
【典例1】下列四个图案中，具有一个共有性质．则下面四个数字中，满足上述性质的一个是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【解答】解：四个图形都是轴对称图形，在6，7，8，9中是轴对称图形的只有8．
故选：C．
【变式1】数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，∠1＝∠2，若∠3＝35°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1为（　　）
A．65° B．60° C．55° D．50°
【答案】C
【解答】解：∵∠2+∠3＝90°，∠3＝35°，
∴∠2＝55°，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝55°，
故选：C．
【变式2】如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　）
A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋
【答案】B
【解答】解：如图所示，该球最后落入2号袋．
故选：B．
【变式3】桌面上有A，B两球，若要将B球射向桌面任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示8个点中，可以瞄准的点有（　　）个．
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【解答】解：
由图可知可以瞄准的点有2个．．
故选：B．
题型3 轴对称的性质
解｜题｜知｜识 轴对称的性质 （1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． （2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
【典例1】已知∠ABC、线段PQ、线段MN，小明利用尺规画出它们的对称轴，如图所示（②中O为PQ外任一点），则不一定正确的是（　　）
A．① B．② C．③ D．①和②
【答案】B
【解答】解：根据尺规作图基本要求逐项分析判断如下：
①如图是作∠ABC的角平分线，则该射线所在的直线为∠ABC的对称轴，故该作图不符合题意；
②如图是过一点作线段PQ所在直线的垂线，则该垂线不一定平分线段PQ，即该垂线不一定是线段PQ的垂直平分线，则该垂线不一定是线段PQ的对称轴，故该作图符合题意；
③如图是作线段MN的垂直平分线，则该垂线所在的直线为MN的对称轴，故该作图不符合题意；
故选：B．
【变式1】如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是△ABC的（　　）
A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线
C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线
【答案】C
【解答】解：由题知，
由图①的折叠方式可知，
∠BAD＝∠CAD，
所以AD是△ABC的角平分线．
由图②的折叠方式可知，
∠ADB＝∠ADB′，
又因为∠ADB+∠ADB′＝180°，
所以∠ADB＝∠ADB′＝90°，
即AD⊥BC，
所以AD是△ABC的高线．
由图③的折叠方式可知，
CD＝BD，
所以AD是△ABC的中线．
故选：C．
【变式2】如图所示，∠MON＝45°，点P为∠MON内一点，点P关于OM、ON的对称点分别为点P1、P2，连接OP、OP1、PP1、PP2、P1P2，P1P2分别与OM、ON交于点A、B，连接AP、BP，则∠P1PP2的度数为（　　）
A．45° B．90° C．135° D．150°
【答案】C
【解答】解：∵点P关于OM、ON的对称点分别为点P1、P2，
∴△OAP≌△OAP1，△OBP≌△OBP2，
∴∠AOP＝∠AOP1，∠OPA＝∠OP1A，∠BOP＝∠BOP2，∠OPB＝∠OP2B，PA＝P1A，PB＝P2B，
∴∠AOP+∠BOP＝∠AOP1+∠BOP2，∠OPA+∠OPB＝∠OP1A+∠OP2B，
∵∠MON＝45°，
∴∠AOP+∠BOP＝∠MON＝45°，
∴∠AOP1+∠BOP2＝45°，
∴∠P1OP2＝∠AOP1+∠BOP2+∠MON＝90°，
∴△P1OP2是直角三角形，
∴∠OP1A+∠OP2B＝90°，
∴∠OPA+∠OPB＝∠OP1A+∠OP2B＝90°，
即∠APB＝90°，
∴△APB是直角三角形，
∴∠PAB+∠PBA＝90°，
∵PA＝P1A，PB＝P2B，
∴∠APP1＝∠AP1P，∠BPP2＝∠BP2P，
∵∠PAB是△APP1的外角，∠PBA是△BPP2的外角，
∴∠PAB＝∠APP1+∠AP1P＝2∠APP1，∠PBA＝∠BPP2+∠BP2P＝2∠BPP2，
∴∠PAB+∠PBA＝2∠APP1+2∠BPP2＝90°，
∴∠APP1+∠BPP2＝45°，
∴∠P1PP2＝∠APP1+∠BPP2+∠APB＝45°+90°＝135°．
故选：C．
【变式3】如图，在折纸活动中，小李制作了一张△ABC的纸片，点D，E分别在边AB，AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合．
（1）若∠B＝50°，∠C＝60°，求∠A的度数；
（2）若∠1+∠2＝130°，求∠A的度数；
（3）猜想：∠1+∠2与∠A的关系，请直接写出其关系式．
【答案】（1）70°；
（2）65°；
（3）∠1+∠2＝2∠A．
【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝60°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°；
（2）∵将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，
∴，，
∴∠1+∠2＝180°﹣∠AEA′+180°﹣∠ADA′＝360°﹣2∠AED﹣2∠ADE，
∵∠AED+∠ADE+∠A＝180°，
∴∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A，
∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A，
∵∠1+∠2＝130°，
∴；
（3）∵将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，
∴，，
∴∠1+∠2＝180°﹣∠AEA′+180°﹣∠ADA′＝360°﹣2∠AED﹣2∠ADE，
∵∠AED+∠ADE+∠A＝180°，
∴∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A，
∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A．
题型4 轴对称图形
解｜题｜知｜识 （1）轴对称图形的概念： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． （2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． （3）常见的轴对称图形： 等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
【典例1】下列图标是节水、节能、低碳和绿色食品的标志，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．
【变式1】下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：选项A、C、D均能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
选项B不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
故选：B．
【变式2】下面是人教版物理教材中部分电路元件的符号，不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：A．该图形是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B．该图形是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C．该图形是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D．该图形不是轴对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
【变式3】汉字是世界上最古老的文字之一，现存最早的汉字是公元前14世纪殷商时期的甲骨文，之后又产生了金文、小篆、隶书、草书、楷书、行书等多种字体，每种字体都有着鲜明的艺术特征．下面的汉字可以近似地看成轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：A选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：B．
如图，在△ABC中，DE，FG分别是线段AB，AC的垂直平分线，若∠DAF＝30°，则∠BAC的度数是（　　）
A．120° B．115° C．110° D．105°
【答案】D
【解答】解：∵DE，FG分别是线段AB，AC的垂直平分线，
∵DA＝DB，FA＝FC，
∴∠DAB＝∠B，∠FAC＝∠C，
∴∠DAB+∠FAC＝∠B+∠C，
∵∠DAF＝30°，
∴∠DAB+∠FAC+∠B+∠C＝180°﹣30°＝150°，
∴∠DAB+∠FAC＝75°，
∴∠BAC＝75°+30°＝105°．
故选：D．
如图，锐角三角形ABC中，O为三条边的垂直平分线的交点，I为三个角的平分线的交点，若∠BOC的度数为x，∠BIC的度数为y，则x、y之间的数量关系是（　　）
A．x+y＝90° B．x﹣2y＝90° C．x+180°＝2y D．4y﹣x＝360°
【答案】D
【解答】解：∵O为三条边的垂直平分线的交点，
∴点O为△ABC的外心，
∴x＝2∠A，
∵I为三个角的平分线的交点，
∴点I是△ABC的内心，
∴y＝90°A，
∴y＝90°x，
∴4y﹣x＝360°，
故选：D．
近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如图，A，B，C三地都想将高铁站的修建项目落户在当地，但是，国资委为了使A，B，C三地的民众都能享受高铁带来的便利，决定将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在（　　）
A．AB，BC两边垂直平分线的交点处
B．AB，BC两边高线的交点处
C．AB，BC两边中线的交点处
D．∠B，∠C两内角的平分线的交点处
【答案】A
【解答】解：根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可得：将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在AB，BC两边垂直平分线的交点处，
故选：A．
如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，则∠BDC的度数为（　　）
A．72° B．36° C．60° D．82°
【答案】A
【解答】解：法一、∵DE垂直平分AB，∠A＝36°，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD＝36°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝36°+36°＝72°．
故选：A．
法二、∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD＝36°，
∴∠DBC＝36°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝72°．
故选：A．
如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（　　）
A．∠A、∠B两内角的平分线的交点处
B．AC、AB两边高线的交点处
C．AC、AB两边中线的交点处
D．AC、AB两边垂直平分线的交点处
【答案】D
【解答】解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，超市应建在AC、AB两边垂直平分线的交点处，
故选：D．
如图是“一带一路”示意图，若记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，分别连接AB、AC、BC，形成了一个三角形．若想建立一个货物中转仓，使其到A、B、C三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（　　）
A．三边垂直平分线的交点
B．三边中线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三边上高的交点
【答案】A
【解答】解：∵中转仓到A、B、C三地的距离相等，
∴中转仓的位置应选在△ABC三边的垂直平分线的交点处，
故选：A．
如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，的△ABD周长为13cm，则△ABC的周长为 　19　 cm．
【答案】19．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，AC＝2AE＝6cm，
又∵△ABD的周长＝AB+BD+AD＝13cm，
∴AB+BD+CD＝13cm，
即AB+BC＝13cm，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝13+6＝19cm．
故答案为：19．
如图，已知△ABC的三条内角平分线相交于点I，三边的垂直平分线相交点O，若∠BOC＝148°，则∠BIC＝　127°　 ．
【答案】127°．
【解答】解：如图，连接OC，
由条件可知OA＝OB＝OC，
∴∠CBO＝∠BCO，∠BAO＝∠ABO，∠CAO＝∠ACO，
又∵∠BOC＝148°，
∴∠OBC＝∠OCB＝16°，
∠BAC＝∠BAO+∠CAO
＝∠BAO+∠ABO+∠CAO+∠ACO
＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB
＝180°﹣16°﹣16°
＝74°，
∴∠BIC＝180°﹣∠IBC+∠ICB＝180°﹣12180°﹣∠BAC＝127°，
故答案为：127°．
如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C
【解答】解：与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形有△ABG、△CDF、△AEF、△DBH，△BCG共5个，
故选：C．
如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，则∠NCF的度数为（　　）
A．18° B．19° C．20° D．21°
【答案】C
【解答】解：∵∠A＝30°，∠B＝50°，
∴∠ACB＝100°，
∵将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，
∴∠ACN＝∠A＝30°，∠FCE＝∠B＝50°，
∴∠NCF＝100°﹣30°﹣50°＝20°，
故选：C．
如图，若△ABC与△A1B1C1关于直线MN对称，BB1交MN于点O，则下列说法不一定正确的是（　　）
A．AC＝A1C1 B．BO＝B1O C．CC1⊥MN D．AB∥B1C1
【答案】D
【解答】解：∵△ABC与△A1B1C1关于直线MN对称，
∴AC＝A1C1，BO＝B1O，CC1⊥MN，
故选项A、B、C正确，不符合题意；
AB∥B1C1不一定成立，
故选项D错误，符合题意；
故选：D．
《哪吒之魔童闹海》以震撼特效、精彩故事、鲜活形象和浓厚文化，展现了中国动画电影的强劲实力．下列四个图中，能由如图经过轴对称得到的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解答】解：根据轴对称图形的概念可知：能由如图经过轴对称得到的是第二个图形．
故选：B．
如图，若△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列说法不一定正确的是（　　）
A．AC＝A′C′ B．BO＝B′O C．AA′⊥MN D．AB∥B′C′
【答案】D
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，
∴AC＝A′C′，AA′⊥MN，BO＝B′O，故A、B、C选项正确，
AB∥B′C′不一定成立，故D选项错误，
所以，不一定正确的是D．
故选：D．
如图，在平面直角坐标系中，△ABO为等边三角形，O为坐标原点，点A关于y轴的对称点为D，连接．AD．，BD，OD，若点B在x轴的负半轴上，则∠BDO的度数为　30°　 ；
【答案】30°．
【解答】解：设AD交y轴于E，如图，
∵△ABO为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，OA＝OB，
∴∠AOE＝90°﹣∠AOB＝90°﹣60°＝30°，
∵点A关于y轴的对称点为D，
∴∠AOE＝∠DOE＝30°，
∴∠BOD＝∠AOB+∠AOE+∠DOE＝120°，OA＝OD，
∴OB＝OD，
∴，
故答案为：30°．
如图所示，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2＝15，则△PMN的周长为 　15　 ．
【答案】15
【解答】解：∵P点关于OA的对称是点P1，P点关于OB的对称点P2，
∴PM＝P1M，PN＝P2N．
∴△PMN的周长为PM+PN+MN＝MN+P1M+P2N＝P1P2＝15．
故答案为：15
如图，草地边缘OM与小河河岸ON在点O处形成30°的夹角．已知OA＝3km，牧民赶着羊从A地出发，先让羊到草地吃草，然后再去河边饮水，最后回到A地．
（1）能否求出整个过程所走的最短路程？　能　 ．（用“能”或“否”填空）；
（2）如果能，请你直接写出整个过程所走的最短路程；如果不能，请说明理由　3km ．
【答案】（1）能；
（2）3km．
【解答】解：（1）由“两点之间，线段最短”即轴对称的性质可知能求出整个过程所走的最短路程；
故答案为：能；
（2）作点A关于OM的对称点A1，作点A关于ON的对称点A2，连接A1A2，分别交直线OM，ON于点B，C，连接AC，AB，AC+AB+BC即为放牧所走的最短路线，如图，
连接OA1，OA2，
由条件可知A1B＝AB，A2C＝AC，∠A1OB＝∠AOB，∠A2OC＝∠AOC，OA1＝OA2＝OA＝3km，
即AC+AB+BC＝A2C+A1B+BC＝A1A2，∠A1OA2＝∠A1OB+∠A2OC+∠AOB+∠AOC＝2（∠AOB+∠AOC）＝60°，
∵OA1＝OA2，
∴△OA1A2是等边三角形，
∴OA1＝OA2＝A1A2＝3km．
故答案为：3km．
交通安全不仅是对自己生命的尊重，也是对他人的尊重，每一个交通参与者的行为都会影响到其他人的安全，下列交通标志中，属于轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：选项D的交通标志能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
选项A、B、C的交通标志均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
故选：D．
第19届杭州亚运会刚刚落下帷幕，在以下给出的运动图片中，属于轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A，B，C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：D．
下面有四幅交通警告图标，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：A．选项中的图形是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．选项中的图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C．选项中的图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D．选项中的图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：A．
下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意；
B、图形不是轴对称图形，不符合题意；
C、图形不是轴对称图形，不符合题意；
D、图形是轴对称图形，正确，符合题意，
故选：D．
围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．如图是对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：C选项中的图形是轴对称图形，符合题意；
A、B、D选项中的图形不是轴对称图形，不符合题意，
故选：C．
殷墟甲骨文是中国商朝后期都城遗址——河南安阳小屯殷墟出土的王室占卜记事用的龟甲兽骨上的文字，它是我国的一种古代文字，是汉字的最早形式．下列甲骨文中，可以看作轴对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解答】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意；
B、图形是轴对称图形，符合题意；
C、图形不是轴对称图形，不符合题意；
D、图形不是轴对称图形，不符合题意．
故选：B．
下列三角形一定是轴对称图形的是（　　）
A．等腰三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
【答案】A
【解答】解：A．等腰三角形是轴对称图形，故该选项正确，符合题意；
B．锐角三角形，不是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意；
C．直角三角形不是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意；
D．钝角三角形不是轴对称图形，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A．
在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：由题意知，B，C，D三个选项中的图形均不是轴对称图形，只有选项A中的图形是轴对称图形．
故选：A．第15章
15.1 图形的轴对称
题型1 线段垂直平分线的性质 题型2 生活中的轴对称现象
题型3 轴对称的性质 题型4 轴对称图形
题型1 线段垂直平分线的性质
解｜题｜知｜识 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　 　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　 　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
【典例1】如图，在△ABC中，∠B＝90°，DE垂直平分AC，DB＝DE，则∠C的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【变式1】如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，垂足为点E，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为（　　）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【变式2】如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．若AB＝5，AC＝8，则△ABD的周长是（　　）
A．13 B．5 C．8 D．26
【变式3】12．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°．
（1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；
②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．
题型2 生活中的轴对称现象
解｜题｜知｜识 （1）轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴． （2）轴对称包含两层含义： ①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同； ②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合．
【典例1】下列四个图案中，具有一个共有性质．则下面四个数字中，满足上述性质的一个是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
【变式1】数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，∠1＝∠2，若∠3＝35°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1为（　　）
A．65° B．60° C．55° D．50°
【变式2】如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　）
A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋
【变式3】桌面上有A，B两球，若要将B球射向桌面任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示8个点中，可以瞄准的点有（　　）个．
A．1 B．2 C．4 D．6
题型3 轴对称的性质
解｜题｜知｜识 轴对称的性质 （1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． （2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
【典例1】已知∠ABC、线段PQ、线段MN，小明利用尺规画出它们的对称轴，如图所示（②中O为PQ外任一点），则不一定正确的是（　　）
A．① B．② C．③ D．①和②
【变式1】如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是△ABC的（　　）
A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线
C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线
【变式2】如图所示，∠MON＝45°，点P为∠MON内一点，点P关于OM、ON的对称点分别为点P1、P2，连接OP、OP1、PP1、PP2、P1P2，P1P2分别与OM、ON交于点A、B，连接AP、BP，则∠P1PP2的度数为（　　）
A．45° B．90° C．135° D．150°
【变式3】如图，在折纸活动中，小李制作了一张△ABC的纸片，点D，E分别在边AB，AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合．
（1）若∠B＝50°，∠C＝60°，求∠A的度数；
（2）若∠1+∠2＝130°，求∠A的度数；
（3）猜想：∠1+∠2与∠A的关系，请直接写出其关系式．
题型4 轴对称图形
解｜题｜知｜识 （1）轴对称图形的概念： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． （2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． （3）常见的轴对称图形： 等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
【典例1】下列图标是节水、节能、低碳和绿色食品的标志，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【变式1】下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【变式2】下面是人教版物理教材中部分电路元件的符号，不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【变式3】汉字是世界上最古老的文字之一，现存最早的汉字是公元前14世纪殷商时期的甲骨文，之后又产生了金文、小篆、隶书、草书、楷书、行书等多种字体，每种字体都有着鲜明的艺术特征．下面的汉字可以近似地看成轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
如图，在△ABC中，DE，FG分别是线段AB，AC的垂直平分线，若∠DAF＝30°，则∠BAC的度数是（　　）
A．120° B．115° C．110° D．105°
如图，锐角三角形ABC中，O为三条边的垂直平分线的交点，I为三个角的平分线的交点，若∠BOC的度数为x，∠BIC的度数为y，则x、y之间的数量关系是（　　）
A．x+y＝90° B．x﹣2y＝90° C．x+180°＝2y D．4y﹣x＝360°
近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如图，A，B，C三地都想将高铁站的修建项目落户在当地，但是，国资委为了使A，B，C三地的民众都能享受高铁带来的便利，决定将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在（　　）
A．AB，BC两边垂直平分线的交点处
B．AB，BC两边高线的交点处
C．AB，BC两边中线的交点处
D．∠B，∠C两内角的平分线的交点处
如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，则∠BDC的度数为（　　）
A．72° B．36° C．60° D．82°
如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（　　）
A．∠A、∠B两内角的平分线的交点处
B．AC、AB两边高线的交点处
C．AC、AB两边中线的交点处
D．AC、AB两边垂直平分线的交点处
如图是“一带一路”示意图，若记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，分别连接AB、AC、BC，形成了一个三角形．若想建立一个货物中转仓，使其到A、B、C三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（　　）
A．三边垂直平分线的交点
B．三边中线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三边上高的交点
如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，的△ABD周长为13cm，则△ABC的周长为 　 　 cm．
如图，已知△ABC的三条内角平分线相交于点I，三边的垂直平分线相交点O，若∠BOC＝148°，则∠BIC＝　 　 ．
如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，则∠NCF的度数为（　　）
A．18° B．19° C．20° D．21°
如图，若△ABC与△A1B1C1关于直线MN对称，BB1交MN于点O，则下列说法不一定正确的是（　　）
A．AC＝A1C1 B．BO＝B1O C．CC1⊥MN D．AB∥B1C1
《哪吒之魔童闹海》以震撼特效、精彩故事、鲜活形象和浓厚文化，展现了中国动画电影的强劲实力．下列四个图中，能由如图经过轴对称得到的是（　　）
A．
B．
C．
D．
如图，若△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列说法不一定正确的是（　　）
A．AC＝A′C′ B．BO＝B′O C．AA′⊥MN D．AB∥B′C′
如图，在平面直角坐标系中，△ABO为等边三角形，O为坐标原点，点A关于y轴的对称点为D，连接．AD．，BD，OD，若点B在x轴的负半轴上，则∠BDO的度数为　 　 ；
如图所示，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2＝15，则△PMN的周长为 　 　 ．
如图，草地边缘OM与小河河岸ON在点O处形成30°的夹角．已知OA＝3km，牧民赶着羊从A地出发，先让羊到草地吃草，然后再去河边饮水，最后回到A地．
（1）能否求出整个过程所走的最短路程？　 　 ．（用“能”或“否”填空）；
（2）如果能，请你直接写出整个过程所走的最短路程；如果不能，请说明理由　 ．
交通安全不仅是对自己生命的尊重，也是对他人的尊重，每一个交通参与者的行为都会影响到其他人的安全，下列交通标志中，属于轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
第19届杭州亚运会刚刚落下帷幕，在以下给出的运动图片中，属于轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
下面有四幅交通警告图标，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．如图是对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
殷墟甲骨文是中国商朝后期都城遗址——河南安阳小屯殷墟出土的王室占卜记事用的龟甲兽骨上的文字，它是我国的一种古代文字，是汉字的最早形式．下列甲骨文中，可以看作轴对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
下列三角形一定是轴对称图形的是（　　）
A．等腰三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．

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