资源简介

第16章
16.3 乘法公式
题型1 完全平方公式 题型2 完全平方公式的几何背景
题型3 平方差公式 题型4 平方差公式的几何背景
题型1 完全平方公式
解｜题｜知｜识 （1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2． 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． （2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． （3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
【典例1】若a﹣b＝6，ab＝﹣4，则a2+b2的值为（　　）
A．44 B．42 C．32 D．28
【答案】D
【解答】解：a2+b2
＝（a﹣b）2+2ab
＝62+2×（﹣4）
＝36﹣8
＝28．
故选：D．
【变式1】小华在利用完全平方公式计算时，墨迹将结果“＝4x2● +25y2”中的一项染黑了，则墨迹覆盖的这一项及其符号可能是（　　）
A．+10xy B．+10xy或﹣10xy
C．+20xy D．+20xy或﹣20xy
【答案】D
【解答】解：4x2＝（2x）2，25y2＝（5y）2，
∵（2x±5y）2＝4x2±20xy+25y2，
∴墨迹覆盖的这一项是±20xy，
故选：D．
【变式2】若4y2﹣my+16可以配成一个完全平方公式，则m的值为（　　）
A．﹣8 B．±8 C．16 D．±16
【答案】D
【解答】解：∵4y2﹣my+16是一个完全平方式，
∴﹣my＝±4 y 4，
解得：m＝±16．
故选：D．
【变式3】已知x+y＝3，xy＝2，求下列各式的值．
（1）x2+y2；
（2）（x﹣1）（y﹣1）．
【答案】（1）5；
（2）0．
【解答】解：（1）将x+y＝3两边平方得：
（x+y）2＝x2+2xy+y2＝9，
将xy＝2代入得：
x2+y2＝5；
（2）原式＝xy﹣（x+y）+1
＝2﹣3+1
＝0．
题型2 完全平方公式的几何背景
解｜题｜知｜识 （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． （2）常见验证完全平方公式的几何图形 （a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）
【典例1】如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，ab＝20，那么阴影部分的面积是（　　）
A．10 B．20 C．30 D．40
【答案】C
【解答】解：首先令直线BF与直线CD的交点为O；
则S△BDO+S△EFO＝S△BDC+S ECGF﹣S△BGF＝a a÷2+b b﹣（a+b） b÷2；①
S△DEF＝底EF 高DE÷2＝b （a﹣b）÷2； ②
S△CGF＝底CG 高GF÷2＝b b÷2； ③
∴阴影部分面积＝①+②+③
＝a2÷2+b2﹣（ab+b2）÷2+（ab﹣b2）÷2+b2÷2
＝{a2+2b2﹣（ab+b2 ）+（ab﹣b2）+b2}÷2
＝（a2+b2）÷2，④
由已知 a+b＝10，ab＝20，构造完全平方公式：
（ a+b）2＝102，
解得a2+b2+2ab＝100，
a2+b2＝100﹣2 20，
化简＝60代入④式，
得60÷2＝30，
∴S阴影部分＝30．
方法2：∵CF∥BD，
∴△BDF的面积＝△BCD的面积，
∴阴影部分的面积＝△BCD的面积+△CGF的面积（a2+b2），
∵a+b＝10，ab＝20，
∴（a2+b2）（a+b）2﹣ab＝50﹣20＝30；
故选：C．
【变式1】如图，麦麦用9张A类正方形卡片、1张B类正方形卡片和6张C类长方形卡片，拼成了一个大正方形，拼成的大正方形的边长是（　　）
A．a+b B．a+2b C．2a+b D．3a+b
【答案】D
【解答】解：由拼图可得拼成的大正方形的面积为9a2+6ab+b2，
而9a2+6ab+b2＝（3a+b）2，
所以正方形的边长为3a+b，
故选：D．
【变式2】现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连接DH、FH，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（　　）
A．3 B．19 C．21 D．28
【答案】B
【解答】解：设甲正方形边长为x，乙正方形边长为y，则AD＝x，EF＝y，AE＝x+y＝8，
∴（x+y）2＝64，
∴x2+y2+2xy＝64，
∵点H为AE的中点，
∴AH＝EH＝4，
∵图2的阴影部分面积＝（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝6，
∴（x+y）2+（x﹣y）2＝64+6，
∴x2+y2＝35，
∴图1的阴影部分面积＝x2+y24 x4 y
＝x2+y2﹣2（x+y）
＝35﹣2×8
＝19，
故选：B．
【变式3】【问题背景】小聪发现：利用如图1所示两个长方形和两个正方形能拼接成图2中的最大正方形．其面积的两种表示方式可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2．
【问题探究】
（1）小聪已拼出图3所示长方形，这个长方形的面积有两种表示方法，请你帮她完成这两种表示方法：
方法1：　（a+b）（a+2b）　 ，方法2：a2+3ab+2b2 ．
由上述“方法1”和“方法2”可列等式：　（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2 ．
【进阶探索】
（2）她要再拼成一个长为（a+3b），宽为（a+b）的长方形，需要A型卡片　1　 张，B型卡片　3　 张，C型卡片　4　 张．
【实践探究】
（3）小聪用5张C类卡片按图所示方式不重叠地放在长方形EFGH内，阴影部分的面积S1与S2的差与EH的长度无关，设EH的长为x，请探究a与b的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）（a+b）（a+2b），a2+3ab+2b2，（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2；
（2）1，3，4；
（3）（3）a＝2b，理由如下：
由图形4可知，S1＝a（x﹣3b）＝ax﹣3ab，S2＝2b （x﹣a）＝2bx﹣2ab，
∴S2﹣S1＝（2bx﹣2ab）﹣（ax﹣3ab）＝（2b﹣a）x+ab，
∵阴影部分的面积S1与S2的差与EH的长度无关，
∴2b﹣a＝0，
∴a＝2b﹒
【解答】解：（1）从整体上看长方形面积为（a+b）（a+2b），拼成长方形面积可以看作3个小长方形和3个正方形的和，面积为a2+3ab+2b2，由此可得等式（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2﹒
故答案为：（a+b）（a+2b），a2+3ab+2b2，（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2；
（2）∵（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2，
∴需要A型卡片1张，B型卡片3张，C型卡片4张﹒
故答案为：1，3，4；
（3）a＝2b，理由如下：
由图形4可知，S1＝a（x﹣3b）＝ax﹣3ab，S2＝2b （x﹣a）＝2bx﹣2ab，
∴S2﹣S1＝（2bx﹣2ab）﹣（ax﹣3ab）＝（2b﹣a）x+ab，
∵阴影部分的面积S1与S2的差与EH的长度无关，
∴2b﹣a＝0，
∴a＝2b﹒
题型3 平方差公式
解｜题｜知｜识 （1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
【典例1】已知M＝20252，N＝2024×2026，则M与N的大小关系是（　　）
A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．不能确定
【答案】A
【解答】解：N＝2024×2026＝（2025﹣1）（2025+1）＝20252﹣1，
∵20252＞20252﹣1，
∴M＞N，
故选：A．
【变式1】已知a2﹣b2＝10，a+b＝2，则a﹣b的值为（　　）
A．4 B．±4 C．5 D．±5
【答案】C
【解答】解：根据平方差公式 可知：a2﹣b2＝10，a+b＝2，
∴2（a﹣b）＝10，
∴a﹣b＝5．
故选：C．
【变式2】当n为正整数时，两个连续奇数2n+1和2n﹣1的平方差是（　　）
A．10的倍数 B．8的倍数 C．5的倍数 D．3的倍数
【答案】B
【解答】解：原式＝[（2n+1）﹣（2n﹣1）][（2n+1）+（2n﹣1）]
＝（2n+1﹣2n+1）（2n+1+2n﹣1）
＝2×4n
＝8n，
∴（2n+1）2﹣（2n﹣1）2一定是8的倍数．
故选：B．
【变式3】下列各式中，不能应用平方差公式进行计算的是（　　）
A．（a+b）（a﹣b） B．（﹣a+2b）（a+2b）
C．（a﹣b）（﹣a+b） D．（﹣2a+b）（﹣2a﹣b）
【答案】C
【解答】解：A、（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，能用平方差公式，故选项A不符合题意；
B、（﹣a+2b）（a+2b）＝（2b﹣a）（2b+a）＝（2b）2﹣a2，能用平方差公式，故选项B不符合题意；
C、（a﹣b）（﹣a+b），可变形为（a﹣b）[﹣（a﹣b）]＝﹣（a﹣b）2，属于完全平方的相反数，不能用平方差公式，故选项C符合题意；
D、（﹣2a+b）（﹣2a﹣b）＝（﹣2a）2﹣b2＝4a2﹣b2，能用平方差公式，故选项D不符合题意．
故选：C．
题型4 平方差公式的几何背景
解｜题｜知｜识 （1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）． （2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．
【典例1】如图，将图1中的阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（　　）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab
【答案】C
【解答】解：根据题意得：图1中阴影部分的面积为（a﹣b）2，
图2中阴影部分的面积a2﹣2ab+b2，
根据图1与图2中阴影部分的面积相等可得（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．
故选：C．
【变式1】如图，从边长为m的大正方形中剪掉一个边长为n的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开拼成右边的长方形，根据图形的变化过程，写出一个正确的等式是（　　）
A．（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2 B．m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）
C．（m﹣n）2＝m2﹣n2 D．m（m﹣n）＝m2﹣mn
【答案】B
【解答】解：根据题意可知，原来图形阴影部分的面积为：m2﹣n2，
减掉小正方形后阴影部分的面积为：（m+n）（m﹣n），
∴等式为：m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）．
故选：B．
【变式2】如图，阴影部分是在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼形成新的图形，下列四种割拼方法，能够验证平方差公式的有（　　）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】D
【解答】解；图（1）阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，拼成的是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，其面积为（a+b）（a﹣b），所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），因此选项A能够验证平方差公式；
图（2）阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，拼成的是底为a+b，高为a﹣b的平行四边形，其面积为（a+b）（a﹣b），所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），因此选项B能够验证平方差公式；
图（3）阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，拼成的是上底为2b，下底为2a，高为a﹣b的梯形，其面积为（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），因此选项C能够验证平方差公式；
图（4）阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，拼成的是底为a+b，高为a﹣b的平行四边形，其面积为（a+b）（a﹣b），所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），因此选项D能够验证平方差公式；
综上所述，能够验证平方差公式的图形有（1）（2）（3）（4），共4个，
故选：D．
【变式3】如图，将一张长方形大铁皮切割成九块（切痕为虚线），其中有两块是边长都为acm的大正方形，两块是边长都为bcm的小正方形，且a＞b．
（1）这张长方形大铁皮的长为 　（2a+b）　 cm，宽为 　（2b+a）　 cm；（用含a、b的代数式表示）
（2）①求这张长方形大铁皮的面积S（用含a、b的代数式表示）；
②若一个小长方形的周长为22cm，一个大正方形与一个小正方形的面积之差为33cm2，求a、b的值，并求这张长方形大铁皮的面积S．
【答案】（1）（2a+b），（2b+a）；（2）①S＝2a2+5ab+2b2；②a＝7，b＝4，这张长方形大铁皮的面积为270cm2．
【解答】解：（1）这张长方形大铁皮长为（2a+b）cm，宽为（2b+a）cm；
故答案为：（2a+b），（2b+a）；
（2）①S＝（2a+b）（2b+a）
＝2a2+5ab+2b2；
②根据题意得：2（a+b）＝22，a2﹣b2＝33，
整理得a+b＝11，（a+b）（a﹣b）＝33，
∴a﹣b＝3，
解得a＝7，b＝4，
∴5ab+2a2+2b2＝140+98+32＝270，
则这张长方形大铁皮的面积为270cm2．
下列运算：①（3x+y）2＝9x2+y2；②（a﹣2b）2＝a2﹣4b2；③（﹣x﹣y）2＝x2+2xy+y2；④．其中，运算错误的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：①（3x+y）2＝9x2+6xy+y2，故①运算错误；
②（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2，故②运算错误；
③（﹣x﹣y）2＝x2+2xy+y2，故③运算正确；
④，故④运算错误．
所以运算错误的有①②④，共3个．
故选：C．
已知（x+y）2＝30，（x﹣y）2＝6，则xy＝ 　6　 ．
【答案】6．
【解答】解：∵（x+y）2＝30，（x﹣y）2＝6，
∴（x+y）2﹣（x﹣y）2＝30﹣6，
x2+2xy+y2﹣x2+2xy﹣y2＝24，
4xy＝24，
xy＝6．
故答案为：6．
将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义ad﹣bc，上述记号就叫做2阶行列式，若6，则x＝　4　 ．
【答案】4
【解答】解：定义ad﹣bc，
可得（x﹣1）（x+1）﹣（x﹣1）2＝6，
解得：x＝4，
故答案为：4
阅读下列材料
若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．
设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
∴（4﹣x）2+（x﹣9）2＝（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值；
（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF为边作正方形．
①MF＝x﹣1　 ，DF＝x﹣3　 ；（用含x的式子表示）
②求阴影部分的面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设5﹣x＝a，x﹣2＝b，则（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3，
∴（5﹣x）2+（x﹣2）2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5；
（2）①MF＝DE＝x﹣1，DF＝x﹣3，
故答案为：x﹣1；x﹣3；
②（x﹣1）（x﹣3）＝48，
阴影部分的面积＝FM2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2．
设x﹣1＝a，x﹣3＝b，则（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝48，a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝22+4×48＝196，
∴a+b＝±14，
又∵a+b＞0，
∴a+b＝14，
∴（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝14×2＝28．
即阴影部分的面积是28．
（1）已知（a+b）2＝25，ab＝10，求a2+b2的值．
（2）已知（a+b）2＝17，（a﹣b）2＝13，求ab的值．
【答案】（1）5；
（2）1．
【解答】解：（1）∵（a+b）2＝25，
∴a2+2ab+b2＝25，
∵ab＝10，
∴a2+b2＝25﹣2×10＝5；
（2）∵（a+b）2＝17，（a﹣b）2＝13，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4，
∴a2+2ab+b2﹣a2+2ab﹣b2＝4，
即4ab＝4，
则ab＝1．
用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为x、y）拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积为36，中间空缺的小正方形的面积为4，则下列关系式中不正确的是（　　）
A．x+y＝6 B．x﹣y＝2 C．x y＝8 D．x2+y2＝36
【答案】D
【解答】解：∵大正方形的面积为36，中间空缺的小正方形的面积为4，
∴大正方形的边长是6，中间空缺的小正方形的边长为2，
∴x+y＝6，x﹣y＝2，
∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝36，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝4，
∴xy[（x+y）2﹣（x﹣y）2]＝8，x2+y2[（x+y）2+（x﹣y）2]＝20，
∴关系式中不正确的是x2+y2＝36．
故选：D．
如图，一块直径为（a+b）的圆形卡纸，从中挖去直径分别为a、b的两个圆，则剩下的卡纸的面积为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：由题意得：剩下的卡纸的面积为：
（）2π﹣（）2π﹣（）2π（a2+2ab+b2﹣a2﹣b2），
故选：C．
若一个正方形的边长增加2cm，它的面积增加了32cm2，则这个正方形的边长是（　　）
A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm
【答案】A
【解答】解：设原正方形的边长为acm．
根据题意，边长增加2cm后，新正方形的边长为（a+2）cm，
面积为（a+2）2cm2，
原正方形的面积为a2cm2，
面积增加量为：（a+2）2﹣a2＝a2+4a+4﹣a2＝4a+4，
依题意，面积增加了32cm2，
故有：4a+4＝32，
解得：4a＝28，
a＝7，
因此，原正方形的边长为7cm．
故选：A．
现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连结DH，FH，将乙纸片放到甲纸片的内部得到图2．已知甲、乙两个正方形边长之和为6，图2阴影部分的面积为4，则图1阴影部分的面积为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．15
【答案】B
【解答】解：设正方形乙的边长为b，正方形ABCD的边长为a，
∴（a﹣b）2＝4，a+b＝6，
∴（a+b）2＝36，
∴a2﹣2ab+b2＝4，a2+2ab+b2＝36，
两式相减得：ab＝8，
∵a+b＝6，
∴b＝2，a＝4，
∴S阴影部分＝S正方形甲+S正方形乙﹣S△EFH﹣S△ADH
＝16+4﹣6﹣3
＝11．
故选：B．
利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，例如，根据图甲，我们可以得到的数学公式是：（m+n）2＝m2+2mn+n2，你根据图乙能得到的数学公式是（　　）
A．m2﹣n2＝（m﹣n）2 B．（m+n）2＝m2+2mn+n2
C．（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2 D．m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）
【答案】C
【解答】解：∵根据图甲，我们可以得到的数学公式是：（m+n）2＝m2+2mn+n2，
∴图乙可得边长为（m﹣n）的正方形的面积＝（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2．
故选：C．
在学习完《整式乘法》后，数学兴趣小组探究了这样一个问题：如图，现有甲、乙两张正方形纸片．小勇将甲正方形移至乙正方形的左上角按方式一摆放，小伟将甲、乙正方形并列放置在一个更大的正方形中按方式二摆放．若按方式一摆放时阴影小正方形部分的面积为2，按方式二摆放时阴影部分的面积为8，则甲、乙两张正方形纸片的面积之和为（　　）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】B
【解答】解：根据题意，设甲的边长为a，乙的边长为b，
∵按方式一摆放时阴影小正方形部分的面积为2，
∴（b﹣a）2＝2，即b2﹣2ab+a2＝2，
∵方式二摆放时阴影部分的面积为8，
∴（a+b）2﹣（a2+b2）＝8，即2ab＝8，
∴b2+a2＝2+2ab＝10．
故选：B．
如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，两正方形的面积和S1+S2＝20，已知BG＝6，则图中阴影部分面积为 　4　 ．
【答案】4．
【解答】解：设BC＝a，CG＝b，则，，BG＝a+b＝6，
∴，
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2＝62＝36，
∴2ab＝36﹣20＝16，
∴ab＝8，
∴阴影部分的面积．
故答案为：4．
【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为 　（a+b）2＝a2+2ab+b2 ．
【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为 a2+b2＝（a+b）2﹣2ab ．
【应用】（1）根据图②所得的公式，若a+b＝10，ab＝5，则a2+b2＝　90　 ．
（2）若x满足（11﹣x）（x﹣8）＝2，求（11﹣x）2+（x﹣8）2的值．
【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地ABCD，AC⊥BD于点E，AE＝DE，BE＝CE．该校计划在△AED和△BEC区域内种花，在△CDE和△ABE的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，AC＝7，直接写出种草区域的面积和．
【答案】【教材原题】：（a+b）2＝a2+2ab+b2；
【类比探究】：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；
【应用】（1）90；
（2）（11﹣x）2+（x﹣8）2的值是5；
【拓展】种草区域的面积和为12．
【解答】解：【教材原题】：观察图①可得，（a+b）2＝a2+2ab+b2，
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；
【类比探究】：观察图②可得，图中阴影部分图形的面积和＝a2+b2，
a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；
【应用】：（1）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝100﹣10＝90，
故答案为：90；
（2）（11﹣x）2+（x﹣8）2＝[（11﹣x）+（x﹣8）]2﹣2（11﹣x）（x﹣8）＝9﹣4＝5，
∴（11﹣x）2+（x﹣8）2的值是5；
【拓展】：∵AC⊥BD，AE＝DE，BE＝CE，
∴S△ADEAE2，S△BECCE2，
∵种花区域的面积和为，
∴AE2+CE2＝25，
∵AC＝7，
∴AE CE＝12，
∴AE BE＝DE CE＝12，
∴种草区域的面积和（AE BE+DE CE）＝12．
【知识生成】
数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．（1）请写出图1，图2，阴影部分的面积分别能解释的乘法公式：
图1． 　（a+b）2＝a2+2ab+b2 ；图2． 　（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 ．
【拓展探究】
（2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系．
（3）根据（1），（2）中你探索发现的结论，完成下列计算：已知a﹣b＝10，ab＝﹣16，求a+b的值；（写出过程）
【解决问题】
（4）如图4，C是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边向两边作正方形ACDE和BCFG，设AB＝6，两正方形的面积和为20，求△AFC的面积．
【知识迁移】
（5）若（2023﹣m）（2024﹣m）＝6，则（2023﹣m）2+（2024﹣m）2＝ 　13　 ．（直接写出结果）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）图1：（a+b）2＝a2+2ab+b2；
图2：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；（a﹣b）2a2﹣2ab+b2；
（2）图3阴影的面积：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
（3）根据（2）可知（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝102+4×（﹣16）＝36，
∴a+b＝±6；
（4）由题意可知AC+BC＝6，S正方形ACDE+S正方形BCFG＝20，
∴AC2+BC2＝20，
∴（AC+BC）2﹣（AC2+BC2）＝62﹣20，
∴AC BC＝8，
∴S△ACFAC CFAC BC；
（5）（2023﹣m）2+（2024﹣m）2＝[（2023﹣m）﹣（2024﹣m）]2+2（2023﹣m）（2024﹣m），
＝1+2×6
＝13，
故答案为：13．
计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：原式
．
故选：A．
下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（　　）
A．（x+a）（x﹣a） B．（a+b）（﹣a﹣b）
C．（﹣x﹣b）（x﹣b） D．（b+m）（m﹣b）
【答案】B
【解答】解：A、C、D符合平方差公式的特点，故能运用平方差公式进行运算；
B、两项都互为相反数，故不能运用平方差公式进行运算．
故选：B．
如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“创新数”，如8＝32﹣12，16＝52﹣32，所以8，16都是“创新数”，下列整数是“创新数”的是（　　）
A．58 B．60 C．62 D．64
【答案】D
【解答】解：设两个连续奇数是2n﹣1和2n+1（其中n取正整数），
∵（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n 2＝8n，
∴由这两个连续奇数构造的“创新数”是8的倍数．
根据“创新数”的定义可知：58、60、62都不是8的倍数，
∴它们不是“创新数”，
∵64是8的倍数，利用平方差公式可知64＝172﹣152，
∴64是“创新数”．
故选：D．
若3x﹣2y＝3，则9x2﹣4y2﹣12y的值为（　　）
A．9 B．6 C．3 D．﹣3
【答案】A
【解答】解：原式＝（3x+2y）（3x﹣2y）﹣12y
＝3（3x+2y）﹣12y
＝9x+6y﹣12y
＝9x﹣6y
＝3（3x﹣2y）
＝3×3
＝9．
故选：A．
计算（a﹣b）（a+b）（a2+b2）（a4+b4）的结果是（　　）
A．a8+2a4b B．a8﹣2a4b4 C．a8+b8 D．a8﹣b8
【答案】D
【解答】解：原式＝（a2﹣b2）（a2+b2）（a4+b4）
＝（a4﹣b4）（a4+b4）
＝a8﹣b8，
故选：D．
在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图），通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（　　）
A．a2﹣ab＝a（a﹣b） B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
【答案】B
【解答】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2﹣b2；
拼成的长方形的面积：（a+b）×（a﹣b），
所以得出：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：B．
从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（图1），然后将剩余部分剪拼成一个梯形（图2）．这样操作能验证的等式是（　　）
A．a2+ab＝a（a+b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【答案】D
【解答】解：根据图①可得剩余部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，根据图②可得剩余部分的面积等于底为a+b，高为a﹣b的梯形的面积可知：
图①剩余部分的面积为：a2﹣b2，
图②拼成的梯形的底为a+b，高为a﹣b，
∴剩余部分的面积为（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
故a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：D．
如图，边长为2m+3的正方形纸片剪出一个边长为m+3的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为m，则另一边长是（　　）
A．3m+3 B．3m+6 C．2m+3 D．2m+6
【答案】B
【解答】解：∵边长为2m+3的正方形纸片的面积为：（2m+3）2，
边长为m+3的正方形纸片的面积为：（m+3）2，
∴拼成的长方形另一边长为：
[（2m+3）2﹣（m+3）2]÷m
＝[4m2+12m+9﹣（m2+6m+9）]÷m
＝（4m2+12m+9﹣m2﹣6m﹣9）÷m
＝（3m2+6m）÷m
＝3m2÷m+6m÷m
＝3m+6．
故选：B．
如图，边长为m+4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为4，则另一边长为　2m+4　 ．
【答案】2m+4
【解答】解：设另一边长为x，
根据题意得，4x＝（m+4）2﹣m2，
解得x＝2m+4．
则另一边长为2m+4，
故答案为：2m+4．
如图，大正方形与小正方形的面积之差是36，则阴影部分的面积是　18　 ．
【答案】18
【解答】解析：∵大正方形的面积为：AB2，小正方形的面积为：BE2，
∴AB2﹣BE2＝36，
∵BC＝AB，BD＝BE，
∴S阴影＝S△ACE+S△AED
＝18．
故答案为：18．第16章
16.3 乘法公式
题型1 完全平方公式 题型2 完全平方公式的几何背景
题型3 平方差公式 题型4 平方差公式的几何背景
题型1 完全平方公式
解｜题｜知｜识 （1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2． 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． （2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． （3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
【典例1】若a﹣b＝6，ab＝﹣4，则a2+b2的值为（　　）
A．44 B．42 C．32 D．28
【变式1】小华在利用完全平方公式计算时，墨迹将结果“＝4x2● +25y2”中的一项染黑了，则墨迹覆盖的这一项及其符号可能是（　　）
A．+10xy B．+10xy或﹣10xy
C．+20xy D．+20xy或﹣20xy
【变式2】若4y2﹣my+16可以配成一个完全平方公式，则m的值为（　　）
A．﹣8 B．±8 C．16 D．±16
【变式3】已知x+y＝3，xy＝2，求下列各式的值．
（1）x2+y2；
（2）（x﹣1）（y﹣1）．
题型2 完全平方公式的几何背景
解｜题｜知｜识 （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． （2）常见验证完全平方公式的几何图形 （a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）
【典例1】如图所示，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b＝10，ab＝20，那么阴影部分的面积是（　　）
A．10 B．20 C．30 D．40
【变式1】如图，麦麦用9张A类正方形卡片、1张B类正方形卡片和6张C类长方形卡片，拼成了一个大正方形，拼成的大正方形的边长是（　　）
A．a+b B．a+2b C．2a+b D．3a+b
【变式2】现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连接DH、FH，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（　　）
A．3 B．19 C．21 D．28
【变式3】【问题背景】小聪发现：利用如图1所示两个长方形和两个正方形能拼接成图2中的最大正方形．其面积的两种表示方式可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2．
【问题探究】
（1）小聪已拼出图3所示长方形，这个长方形的面积有两种表示方法，请你帮她完成这两种表示方法：
方法1：　 　 ，方法2： ．
由上述“方法1”和“方法2”可列等式：　 ．
【进阶探索】
（2）她要再拼成一个长为（a+3b），宽为（a+b）的长方形，需要A型卡片　 　 张，B型卡片　 　 张，C型卡片　 　 张．
【实践探究】
（3）小聪用5张C类卡片按图所示方式不重叠地放在长方形EFGH内，阴影部分的面积S1与S2的差与EH的长度无关，设EH的长为x，请探究a与b的数量关系，并说明理由
题型3 平方差公式
解｜题｜知｜识 （1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
【典例1】已知M＝20252，N＝2024×2026，则M与N的大小关系是（　　）
A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．不能确定
【变式1】已知a2﹣b2＝10，a+b＝2，则a﹣b的值为（　　）
A．4 B．±4 C．5 D．±5
【变式2】当n为正整数时，两个连续奇数2n+1和2n﹣1的平方差是（　　）
A．10的倍数 B．8的倍数 C．5的倍数 D．3的倍数
【变式3】下列各式中，不能应用平方差公式进行计算的是（　　）
A．（a+b）（a﹣b） B．（﹣a+2b）（a+2b）
C．（a﹣b）（﹣a+b） D．（﹣2a+b）（﹣2a﹣b）
题型4 平方差公式的几何背景
解｜题｜知｜识 （1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）． （2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．
【典例1】如图，将图1中的阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（　　）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab
【变式1】如图，从边长为m的大正方形中剪掉一个边长为n的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开拼成右边的长方形，根据图形的变化过程，写出一个正确的等式是（　　）
A．（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2 B．m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）
C．（m﹣n）2＝m2﹣n2 D．m（m﹣n）＝m2﹣mn
【变式2】如图，阴影部分是在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼形成新的图形，下列四种割拼方法，能够验证平方差公式的有（　　）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【变式3】如图，将一张长方形大铁皮切割成九块（切痕为虚线），其中有两块是边长都为acm的大正方形，两块是边长都为bcm的小正方形，且a＞b．
（1）这张长方形大铁皮的长为 　 　 cm，宽为 　 　 cm；（用含a、b的代数式表示）
（2）①求这张长方形大铁皮的面积S（用含a、b的代数式表示）；
②若一个小长方形的周长为22cm，一个大正方形与一个小正方形的面积之差为33cm2，求a、b的值，并求这张长方形大铁皮的面积S．
下列运算：①（3x+y）2＝9x2+y2；②（a﹣2b）2＝a2﹣4b2；③（﹣x﹣y）2＝x2+2xy+y2；④．其中，运算错误的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
已知（x+y）2＝30，（x﹣y）2＝6，则xy＝ 　 　 ．
将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义ad﹣bc，上述记号就叫做2阶行列式，若6，则x＝　 　 ．
阅读下列材料
若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．
设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
∴（4﹣x）2+（x﹣9）2＝（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值；
（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF为边作正方形．
①MF＝x﹣1　 ，DF＝x﹣3　 ；（用含x的式子表示）
②求阴影部分的面积．
（1）已知（a+b）2＝25，ab＝10，求a2+b2的值．
（2）已知（a+b）2＝17，（a﹣b）2＝13，求ab的值．
用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为x、y）拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积为36，中间空缺的小正方形的面积为4，则下列关系式中不正确的是（　　）
A．x+y＝6 B．x﹣y＝2 C．x y＝8 D．x2+y2＝36
如图，一块直径为（a+b）的圆形卡纸，从中挖去直径分别为a、b的两个圆，则剩下的卡纸的面积为（　　）
A． B．
C． D．
若一个正方形的边长增加2cm，它的面积增加了32cm2，则这个正方形的边长是（　　）
A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm
现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连结DH，FH，将乙纸片放到甲纸片的内部得到图2．已知甲、乙两个正方形边长之和为6，图2阴影部分的面积为4，则图1阴影部分的面积为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．15
利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，例如，根据图甲，我们可以得到的数学公式是：（m+n）2＝m2+2mn+n2，你根据图乙能得到的数学公式是（　　）
A．m2﹣n2＝（m﹣n）2 B．（m+n）2＝m2+2mn+n2
C．（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2 D．m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）
在学习完《整式乘法》后，数学兴趣小组探究了这样一个问题：如图，现有甲、乙两张正方形纸片．小勇将甲正方形移至乙正方形的左上角按方式一摆放，小伟将甲、乙正方形并列放置在一个更大的正方形中按方式二摆放．若按方式一摆放时阴影小正方形部分的面积为2，按方式二摆放时阴影部分的面积为8，则甲、乙两张正方形纸片的面积之和为（　　）
A．12 B．10 C．8 D．6
如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，两正方形的面积和S1+S2＝20，已知BG＝6，则图中阴影部分面积为 　 　 ．
【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为 　 ．
【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为 ．
【应用】（1）根据图②所得的公式，若a+b＝10，ab＝5，则a2+b2＝　 　 ．
（2）若x满足（11﹣x）（x﹣8）＝2，求（11﹣x）2+（x﹣8）2的值．
【拓展】如图③，某学校有一块梯形空地ABCD，AC⊥BD于点E，AE＝DE，BE＝CE．该校计划在△AED和△BEC区域内种花，在△CDE和△ABE的区域内种草．经测量种花区域的面积和为，AC＝7，直接写出种草区域的面积和．
【知识生成】
数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．（1）请写出图1，图2，阴影部分的面积分别能解释的乘法公式：
图1． 　 ；图2． 　 ．
【拓展探究】
（2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系．
（3）根据（1），（2）中你探索发现的结论，完成下列计算：已知a﹣b＝10，ab＝﹣16，求a+b的值；（写出过程）
【解决问题】
（4）如图4，C是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边向两边作正方形ACDE和BCFG，设AB＝6，两正方形的面积和为20，求△AFC的面积．
【知识迁移】
（5）若（2023﹣m）（2024﹣m）＝6，则（2023﹣m）2+（2024﹣m）2＝ 　 　 ．（直接写出结果）
计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（　　）
A．（x+a）（x﹣a） B．（a+b）（﹣a﹣b）
C．（﹣x﹣b）（x﹣b） D．（b+m）（m﹣b）
如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“创新数”，如8＝32﹣12，16＝52﹣32，所以8，16都是“创新数”，下列整数是“创新数”的是（　　）
A．58 B．60 C．62 D．64
若3x﹣2y＝3，则9x2﹣4y2﹣12y的值为（　　）
A．9 B．6 C．3 D．﹣3
计算（a﹣b）（a+b）（a2+b2）（a4+b4）的结果是（　　）
A．a8+2a4b B．a8﹣2a4b4 C．a8+b8 D．a8﹣b8
在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图），通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（　　）
A．a2﹣ab＝a（a﹣b） B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（图1），然后将剩余部分剪拼成一个梯形（图2）．这样操作能验证的等式是（　　）
A．a2+ab＝a（a+b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
如图，边长为2m+3的正方形纸片剪出一个边长为m+3的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为m，则另一边长是（　　）
A．3m+3 B．3m+6 C．2m+3 D．2m+6
如图，边长为m+4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为4，则另一边长为　 　 ．
如图，大正方形与小正方形的面积之差是36，则阴影部分的面积是　 　 ．

展开更多......

收起↑