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第18章
18.5 分式方程
题型1 分式方程的定义 题型2 分式方程的解
题型3 解分式方程 题型4 由实际问题抽象出分式方程
题型5 分式方程的应用
题型1 分式方程的定义
解｜题｜知｜识 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数．
【典例1】下列方程不是分式方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：A、方程分母中含未知数，所以它是分式方程；故本选项错误；
B、方程分母中含未知数，所以它是分式方程；故本选项错误；
C、方程分母中含未知数，所以它是分式方程；故本选项错误；
D、方程分母中不含有表示未知数的字母，所以它不是分式方程；故本选项正确；
故选：D．
【变式1】下列是分式方程的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A、是一个代数式，不是方程，所以A不是分式方程，不符合题意；
B、是一元一次方程，是整式方程，所以B不是分式方程，不符合题意；
C、是一元一次方程，是整式方程，所以C不是分式方程，不符合题意；
D、分母含有未知数x，所以D是分式方程，符合题意．
故选：D．
题型2 分式方程的解
解｜题｜知｜识 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
【典例1】若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（　　）
A．m≤5 B．m＜5且m≠3 C．m≠3 D．m≤5且m≠3
【答案】D
【解答】解：去分母得，3＝x﹣2+m，
解得，x＝5﹣m，
∵分式方程的解为非负数，
∴5﹣m≥0，
∴m≤5，
又∵x≠2，
∴5﹣m≠2，m≠3，
∴m的取值范围是m≤5且m≠3，
故选：D．
【变式1】若分式方程无解，则整数m的值为（　　）
A．﹣2 B．1 C．﹣1 D．﹣2或1
【答案】D
【解答】解：分式方程去分母可得：
x＝3（x﹣1）+mx，
x＝3x﹣3+mx，
（m+2）x＝3，
当m+2＝0时，方程无解，此时，m＝﹣2；
当x﹣1＝0时，即x＝1时，方程无解，此时m＝1；
故选：D．
【变式2】若关于x的分式方程的解是非负数，则k的取值范围是（　　）
A．k＞4且k≠5 B．k≥﹣2且k≠﹣1
C．k≥4且k≠5 D．k＞﹣2且k≠﹣1
【答案】C
【解答】解：等式两边同时乘以x﹣1，去分母得k﹣2﹣3＝x﹣1，
整理得x＝k﹣4，
∵分式方程的解为非负数，
∴x≥0且x≠1，
∴k﹣4≥0且k﹣4≠1，
解得k≥4且k≠5，
故选：C．
【变式3】阅读：对于两个不等的非零实数a、b，若分式的值为零，则x＝a或x＝b．又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为x1＝ax2＝b．应用上面的结论解答下列问题：
（1）方程的两个解分别为x1＝﹣1，x2＝4，则p＝　﹣4　 ，q＝　3　 ；
（2）方程的两个解分别为x1＝a，x2＝b，求a4+b4的值；
（3）关于x的方程的两个解分别为x1，x2（x1＜x2），求的值．
【答案】（1）﹣4，3；
（2）82；
（3）1．
【解答】解：（1）∵方程的两个解分别为x1＝﹣1，x2＝4，
∴p＝x1 x2＝﹣1×4＝﹣4，q＝x1+x2＝﹣1+4＝3；
故答案为：﹣4，3；
（2）∵方程的两个解分别为x1＝a，x2＝b，
∴a+b＝4，ab＝3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝10，
∴a4+b4＝（a2+b2）2﹣2a2b2＝100﹣18＝82；
（3）∵，
∴2x+1（n+2）+（n﹣1），
∵x1＜x2，
∴2x1+1＝n﹣1，2x2+1＝n+2，
∴2x1＝n﹣2，2x2﹣3＝n﹣2，
∴1．
题型3 解分式方程
解｜题｜知｜识 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验．
【典例1】定义一种新运算：，若5※x＝2，则x的值为　　 ．
【答案】．
【解答】解：∵：，
∴当x＜5时，则，
解得：，
经检验当时，5﹣x≠0，
∴是原方程的解；
当x＞5时，则，
解得：，
经检验当时，x﹣5≠0，
∵，
∴不是原方程的解．
故答案为．
【变式1】定义：|a，b|为分式（a≠0，a，b为实数）的“关联数”，若“关联数”|m，m﹣3|相对应的分式的值为0，则关于x的方程的解是 　　 ．
【答案】．
【解答】解：∵|m，m﹣3|相对应的分式的值为0，
∴，
∴m﹣3＝0且m≠0，
解得m＝3，
∴可转化为，
方程两边同乘3（x﹣1），得3+x﹣1＝3（x﹣1），
解得，
检验：当时，3（x﹣1）≠0，
所以原分式方程的解是，
故答案为：．
【变式2】解分式方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）x＝7；
（2）无解．
【解答】解：（1）原方程去分母可得：
3＝2（x﹣2）﹣x，
3＝2x﹣4﹣x，
x＝7，
经检验，x＝7是该方程的解．
（2）原方程去分母可得：
（x﹣1）（x﹣1）﹣4＝x2﹣1，
x2+1﹣2x﹣4＝x2﹣1，
﹣2x＝2，
x＝﹣1，
当x＝﹣1时，分式和的分母为0，故x＝﹣1是方程的增根，即方程无解．
【变式3】（1）计算：（）；
（2）解方程：1．
【答案】（1）；
（2）无解．
【解答】解：（1）原式
；
（2）方程两边同时乘以（x﹣1）（x+2）得：
x（x+2）﹣3＝（x﹣1）（x+2），
x2+2x﹣3＝x2+x﹣2，
x＝1．
检验：把x＝1代入（x﹣1）（x+2）＝0，
所以原分式方程无解．
题型4 由实际问题抽象出分式方程
解｜题｜知｜识 由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系． （1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等． （2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路．
【典例1】小强和小东的家分别距离体育馆1800m和2400m．周六两人分别从家中同时出发到体育馆观看足球比赛，已知小东的速度是小强的1.5倍，结果小东比小强提前5min到达体育馆，设小强的速度是xm/min，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：由题意可得，
5，
故选：B．
【变式1】迅速发展的5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的100倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G网络比4G网络快49.5秒，求这两种网络的峰值速率．设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，依题意，可列方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：根据题意可得方程：．
故选：B．
【变式2】在物理学中，物质的密度ρ等于由物质组成的物体的质量m与它的体积V之比，即．已知A，B两个物体的密度之比为3：1，当物体A的质量是200g，物体B的质量是600g时，物体B的体积比物体A的体积大24cm3．如果设物体A的体积是xcm3，那么根据题意列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：由题意得：可列方程为，
故选：D．
【变式3】地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者购进了A型和B型两种玩具，已知用600元购进A型玩具的数量比用180元购进B型玩具的数量多64个，且A型玩具单价是B型玩具单价的1.2倍．
（1）求A、B两种型号玩具的单价各是多少元？
根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程：
甲： 乙：
则甲所列方程中的x表示：B型玩具的单价　 ；
乙所列方程中的x表示：A型玩具的数量　 ；
请你帮助甲同学完成剩下的解题过程．
（2）该经营者第二次进货恰好用了1150元，由于场地存放限制，要求总数量不超过200个，则最多可购进B型玩具多少个？
【答案】（1）B型玩具的单价；A型玩具的数量；A、B两种型号的玩具的单价分别为6元/个和5元/个，过程见解析；（2）最多购进B型玩具50个．
【解答】解：（1）甲所列方程中的x表示：B型玩具的单价；
乙所列方程中的x表示：A型玩具的数量；
，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的根，
且符合题意，
所以1.2x＝1.2×5＝6．
答：A、B两种型号的玩具的单价分别为6元/个和5元/个．
（2）由（1）知A、B两种型号的玩具的单价分别为6元/个和5元/个，
设购进B型玩具m个，根据题意得：
，
解得m≤50．
答：最多购进B型玩具50个．
题型5 分式方程的应用
解｜题｜知｜识 列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间 等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
【典例1】斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A﹣B﹣C横穿双向行驶车道，其中AB＝BC＝12米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过AC路段，其中通过BC路段的速度是通过AB路段速度的1.2倍，则小敏通过AB路段时的速度是（　　）
A．0.5米/秒 B．1米/秒 C．1.5米/秒 D．2米/秒
【答案】B
【解答】解：设小敏通过AB路段时的速度是x米/秒，则小敏通过BC路段时的速度是1.2x米/秒，
依题意得：22，
解得：x＝1，
经检验，x＝1是原方程的解，且符合题意，
∴小敏通过AB路段时的速度是1米/秒．
故选：B．
【变式1】根据《铁路互联网售票管理办法》，对于持二代居民身份证购买“G、D”字头列车车票的旅客，可以不用取票直接刷身份证进站，这样能够缩短旅客排队购票、取票的等待时间．已知采用刷身份证进站的方式后平均每分钟进站的旅客人数是原来的3倍，且300名旅客的进站的时间比原来200名旅客的进站时间还少5分钟，设原来平均每分钟进站旅客的人数是x人，列出方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：设每分钟进站旅客的人数是x人．
，
故选：A．
【变式2】某市为治理污水，需要铺设一段全长600m的污水排放管道，铺设120m后，为加快施工进度，后来每天比原计划多铺设20m，结果共用8天完成这一任务，则原计划每天铺设管道的长度为　60m ．
【答案】60m．
【解答】解：设原计划每天铺设管道的长度为xm，
由题意得：8，
解得：x＝60或x＝﹣5（舍去），
经检验，x＝60是所列方程的解，
即原计划每天铺设管道的长度为60m，
故答案为：60m．
【变式3】注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路，完成填空，并完成本题解答的全过程．如果你选用其他的解题方案，此时，不必填空，只需按照解答题的一般要求，进行解答即可．
近年来，电动汽车因环保、低噪、节能等优势深受顾客喜爱，经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每千米的充电费比燃油车平均每千米的加油费少0.4元，若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的5倍，求这款电动汽车平均每千米的充电费．
（1）设这款电动汽车平均每千米的充电费为x元，根据题意，用含有x的式子填空：燃油车平均每千米的加油费是　（x+0.4）　 元；充电费为200元时电动汽车可行驶的总路程是　　 千米，加油费为200元时燃油汽车可行驶的总路程是　　 千米．
（2）列出方程，完成本题解答．
【答案】（1）（x+0.4）；；；
（2）电动汽车平均每千米的充电费为0.1元．
【解答】解：（1）设这款电动汽车平均每千米的充电费用为x元，
则燃油车平均每千米的加油费为（x+0.4）元，
充电费为200元时电动汽车可行驶的总路程千米，
则加油费为200元时燃油汽车可行驶的总路程是千米；
故答案为：（x+0.4）；；；
（2）根据题意，得，
解得x＝0.1，
经检验，x＝0.1是原方程的解，且符合题意；
答：这款电动汽车平均每千米的充电费用为0.1元；
若关于x的一元一次不等式组无解，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（　　）
A．7 B．8 C．14 D．15
【答案】C
【解答】解：解不等式组，得，
∵不等式组无解，
∴a﹣1≤6，
∴a≤7．
解分式方程，得y，
∵y为非负整数，a≤7，
∴a＝﹣1或1或3或5或7，
∵a＝1时，y＝1，原分式方程无解，故将a＝1舍去，
∴符合条件的所有整数a的和是﹣1+3+5+7＝14，
故选：C．
若关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数m的和为　2　 ．
【答案】2．
【解答】解：解不等式组 得，
∵不等式组有解且至多有3个整数解，
∴不等式组的解集为，且至多有3个整数解，
∴，
∴，
解，得，
∵关于y的分式方程的解为整数，
∴20﹣m能被3整除，且y﹣5≠0，即，
∵，且m为整数，
∴m＝2，
即符合题意的整数m的值为2，
因此所有满足条件的整数m的和为2；
故答案为：2．
若关于x的不等式组至少有3个整数解，且关于y的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数a的和为 　﹣4　 ．
【答案】﹣4．
【解答】解：解不等式组，得1≤x≤2a+9，
∵原不等式组少有3个整数解，
∴2a+9≥3，
∴a≥﹣3；
解分式方程，得y，
∵y＝1是分式方程的增根，
∴1，
∴a≠2，
∴a≥﹣3且a≠2．
∵原分式方程有整数解，
∴a+2＝±4，±2，±1，
∴a＝﹣6，﹣4，﹣3，﹣1，0，2，
∵a≥﹣3且a≠2，
∴a＝﹣3，﹣1，0，
﹣3﹣1+0＝﹣4，
∴符合条件的所有整数a的和为﹣4．
故答案为：﹣4．
若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤a，且关于y的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 　17　 ．
【答案】17．
【解答】解：解不等式，
去分母得：3x﹣1≤2x+6，
移项合并同类项得：x≤7，
∵的解集为x≤a，
由“同小取小”得：a≤7；
解分式方程：，
分式方程去分母，得：y﹣a+2y﹣1＝2y﹣4，
移项合并同类项得：y＝a﹣3，
∵分式方程有正整数解，即y为正整数，
∴a﹣3＞0，
∴a＞3的整数，
又∵分式方程的增根是y＝2，
当y＝2时，即a﹣3＝2，解得a＝5，
因此a≠5，
∴3＜a≤7，且a≠5的整数，
∴a＝4或a＝6或a＝7，
，∴满足条件的整数a的和为7+6+4＝17．
故答案为：17．
给出定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对（a，b）称为关于x的分式方程的一个“k相关系数”．
例如：当a＝3，b＝2时，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对（3，2）称为关于x的分式方程的一个“1相关系数”．
（1）在数对①（1，0）；②（2，﹣3）；③中，　①　 （只填号）是关于x的分式方程的“1相关系数”；
（2）若数对（t﹣2，2+t）是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，求t的值；
（3）若数对（c+d，d）（c≠±1且c≠0）是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，且关于y的方程dy﹣c+1＝0有整数解，直接写出整数c的值．
【答案】（1）①；
（2）t＝1；
（3）c＝﹣2或c＝﹣3．
【解答】解：（1）当a＝1，b＝0时，使得关于x的分式方程的解是成立，
所以数对（1，0）是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，故①正确；
当 a＝2，b＝﹣3时，使得关于x的分式方程.的解是x＝﹣1，
，
所以数对 （2，﹣3）不是关于x的分式方程的一个“1相关系数”；故②错误；
当，时，使得关于x的分式方程的解是，
无意义，
所以数对不是关于x的分式方程的一个“1相关系数”；故③错误；
故答案为：①；
（2）根据定义，分式方程的解为，
故，
解得t＝1；
（3）根据数对（c+d，d）（c≠±1且c≠0）是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，
得关于x的分式方程的解是，
回代方程，得c2+cd﹣d＝1，
整理，得 （c﹣1）（c+1）+d（c﹣1）＝0，
∴（c﹣1）（c+d+1）＝0，
∵c≠±1且c≠0，
∴c+d+1＝0，
∴c＝﹣d﹣1，
∵方程 dy﹣c+1＝0的解为，
∴，
∵方程有整数解，
∴d＝±1，d＝±2，
当d＝±1时，c＝﹣2，c＝0（舍去）；
当d＝±2时，c＝﹣3，c＝1（舍去）；
故c＝﹣2或c＝﹣3．
类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题中的途径和方法．
请用类比的方法，解决以下问题：
（1）①已知，…，则依据此规律　　 ；
②请你利用十字相乘法进行因式分解：x2+5x+6＝　（x+3）（x+2）　 ；
（2）若a、b满足a2﹣2a+1+|2a﹣b|＝0．求的值；
（3）受此启发，解方程．
【答案】（1）①；②（x+3）（x+2）；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）①类比可得．
②x2+5x+6＝x2+2x+3x+6＝x（x+2）+3（x+2）＝（x+3）（x+2）．
故答案为：①；②（x+3）（x+2）；
（2）∵a，b满足a2﹣2a+1+|2a﹣b|＝0，即（a﹣1）2+|2a﹣b|＝0，
∴a﹣1＝0，2a﹣b＝0，
解得：a＝1，b＝2．
原式
；
（3），
，
，
，
x2+28＝x2+12x+32，
﹣12x＝4，
，
经检验，是原方程的解，
∴原方程的解为．
（1）因式分解：（x+2）（x+4）+1；
（2）解方程：．
【答案】（1）（x+3）2；
（2）x＝1．
【解答】解：（1）原式＝x2+6x+8+1
＝x2+6x+9
＝（x+3）2；
（2）去分母，得6x＝5x+1，
移项，合并同类项并系数化为1，解得x＝1，
经检验，x＝1是该分式方程的解，
故该方程的解为x＝1．
已知关于x的分式方程．
（1）已知m＝4，求方程的解；
（2）若该分式方程无解，试求m的值．
【答案】（1）；（2）﹣4或6或1．
【解答】解：（1）当m＝4时，
原方程为：，
2（x+2）+4x＝3（x﹣2），
解得：，
检验：当时，（x+2）（x﹣2）≠0，
∴是分式方程的解；
（2），
2（x+2）+mx＝3（x﹣2）①，
整理得（m﹣1）x＝﹣10②，
有三种情况：
第一种情况：当x﹣2＝0，即x＝2时，分式方程无解，
把x＝2代入①，得2×（2+2）+2m＝0，
解得：m＝﹣4；
第二种情况：当x+2＝0，即x＝﹣2时，分式方程无解，
把x＝﹣2代入①，得﹣2m＝﹣12，
解得：m＝6；
第三种情况：②（m﹣1）x＝﹣10，
当m﹣1＝0，即m＝1时，方程无解；
所以该分式方程无解时，m的值是﹣4或6或1．
DeepSeek掀起了“人工智能”的热潮，某单位利用DeepSeek公司研发的两个AI模型R1和R2共同处理一批数据．已知R2单独处理数据的时间比R1少2小时，若两模型合作处理，仅需1.5小时即可完成．设R2单独处理需要x小时，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：设R2单独处理需要x小时，则R1单独处理数据的时间（x+2）小时，
依题意得：．
故选：B．
C919是中国首款按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式中程干线客机．2024年3月，C919开始执行第三条定期商业航线——“上海虹桥一西安咸阳”．已知两地的航线距离约为1350km，C919的平均速度与普通客机的平均速度相比提高了约300km/h，航行时间节约了约．设C919客机的平均速度为xkm/h，则根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：根据题意，得．
故选：D．
某校用500元钱到商场去购买“84“消毒液，经过还价，每瓶便宜1.5元，结果比用原价多买了10瓶，求原价每瓶多少元？设原价每瓶x元，则可列出方程为（　　）
A．10 B．10
C．1.5 D．1.5
【答案】B
【解答】解：设原价每瓶x元，根据题意，得
10．
故选：B．
小王开车回家从家到单位有两条路可选择，路线A全程25千米的普通道路，路线B包含快速通道，全程21千米，走路线B比走路线A平均速度提高40%，时间节省20分钟，求走路线A和路线B的平均速度是多少？若设走路线A的平均速度为x千米/时，根据题意，可列方程为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解答】解：设走路线A的平均速度为x千米/小时，则走路线B的平均速度为（1+40%）x千米/时，
由题意得：，
故选：D．
小东一家自驾车去某地旅行，手机导航系统推荐了两条线路，线路一全程120千米，线路二全程150千米，汽车在线路二上行驶的平均时速是线路一上车速的2倍，线路二的用时预计比线路一用时少小时，如果设汽车在线路一上行驶的平均速度为x千米/时，则下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：设汽车在线路一上行驶的平均速度为x千米/时，则汽车在线路二上行驶的平均时速是2x千米/时，由题意得：
，
故选：A．
“人间烟火味，最抚凡人心”，个体商户是就业岗位的重要来源．某经营者购进了A型和B型两种玩具，已知用600元购进A型玩具的数量比用300元购进B型玩具的数量多10个，且A型玩具单价是B型玩具单价的1.5倍．求A、B两种型号玩具的单价各是多少元？
根据以上信息，解答下列问题：
（1）小凯同学设B型玩具的单价为x元，可列方程为　10　 ，小华同学设A型玩具的数量为y个，可列方程为 　1.5　 ．
（2）请帮助小凯同学完成剩下的解题过程．
【答案】（1）10，1.5；
（2）A、B两种型号玩具的单价各是15元，10元．
【解答】解：（1）小凯同学设B型玩具的单价为x元，可列方程为10，
小华同学设A型玩具的数量为y元，可列方程为1.5；
故答案为：10，1.5；
（2）去分母，得600﹣450＝15x，
解得，x＝10，
经检验，x＝10是原方程的解，
∴1.5x＝15，
答：A、B两种型号玩具的单价各是15元，10元．
智能机器人已广泛应用于各类工业生产领域，某化工厂要在规定时间内搬运2000千克化工原料，现有A，B两种智能机器人可供选择，已知B型机器人每小时完成的工作量是A型机器人每小时完成的工作量的2.5倍，B型机器人单独完成所需的时间比A型机器人单独完成所需的时间少20小时，求A，B型机器人每小时各搬运多少千克原料？
【答案】A型机器人每小时搬运60千克，B型机器人每小时搬运150千克．
【解答】解：设A型机器人每小时搬运x千克，则B型机器人每小时搬运2.5x千克，
根据题意得：20，
解得：x＝60，
经检验：x＝60为分式方程的解，
则2.5x＝150，
答：A型机器人每小时搬运60千克，B型机器人每小时搬运150千克．
小渝是一名建筑设计师，受甲方委托，负责为一栋建筑设计窗户．设计方案结合了平开窗和推拉窗两种形式．已确认项目总预算为14800元，其中推拉窗每平方米单价为平开窗的1.2倍．若将10000元用于采购平开窗，余下资金全部用于购买推拉窗，则所购平开窗的面积将比推拉窗面积多出15平方米．
（1）请分别求出平开窗和推拉窗的单价；
（2）设计过程中，甲方进一步提出：窗户全部按整数平方米分配，且用于推拉窗的资金不低于4000元．如果窗户规划总计为35平方米，那么在总费用不超出预算的前提下，小渝共有哪几种可行的设计方案？
【答案】（1）平开窗每平方米单价为400元，推拉窗每平方米单价为480元；
（2）一共有两种可行的设计方案：方案一，平开窗面积为25平方米，则推拉窗面积为10平方米；方案二，平开窗面积为26平方米，则推拉窗面积为9平方米．
【解答】解：（1）设平开窗每平方米单价为x元，
，
解得x＝400，
经检验，x＝400是原方程的解，
∴1.2x＝480，
答：平开窗每平方米单价为400元，推拉窗每平方米单价为480元；
（2）设平开窗面积为a平方米，
则，
解得，
∴a的值可以为25或26，
当a＝25时，35﹣a＝10，
当a＝26时，35﹣a＝9，
答：一共有两种可行的设计方案：方案一，平开窗面积为25平方米，则推拉窗面积为10平方米；方案二，平开窗面积为26平方米，则推拉窗面积为9平方米．
从春晚舞台到亚冬会赛场，从展会展台到车间一线，2025年被称为人形机器人的“量产元年”．目前中国机器人产业已稳居全球第一梯队，连续11年保持全球最大工业机器人市场地位，专利储备突破19万项，人形机器人的技术发展可谓日新月异，正以前所未有的速度向前迈进．某公司计划购买A，B两种型号的机器人，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg材料，且A型机器人搬运1000kg材料所用的时间与B型机器人搬运800kg材料所用的时间相同．
（1）求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料；
（2）该公司计划采购A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于2900kg，则至少购进A型机器人多少台？
【答案】（1）A型机器人每小时搬运150kg材料，B型机器人每小时搬运120kg材料；
（2）至少购进A型机器人17台．
【解答】解：（1）设B型机器人每小时搬运xkg材料，则A型机器人每小时搬运（x+30）kg材料，
根据题意列分式方程得，，
整理得，200x＝24000，
解得x＝120，
经检验，x＝120是所列方程的解，
当x＝120时，x+30＝150，
答：A型机器人每小时搬运150kg材料，B型机器人每小时搬运120kg材料；
（2）设购进A型机器人a台，则购进B型机器人（20﹣a）台，
150a+120×（20﹣a）≥2900，
解得，
∵a是整数，
∴a≥17，
∴a的最小值为a＝17，
答：至少购进A型机器人17台．
某商店购进甲、乙两种商品，已知每件甲种商品的价格比每件乙种商品的价格贵8元，用2400元购买甲种商品的件数恰好与用2000元购买乙种商品的件数相同．
（1）求甲、乙两种商品每件的价格各是多少元？
（2）计划购买这两种商品共80件，且投入的经费不超过3600元，那么最多可购买多少件甲种商品？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设每件乙种商品的价格为x元，每件甲种商品的价格为（x+8）元，
依题意得：，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意，
∴x+8＝40+8＝48．
答：每件甲种商品的价格为48元，每件乙种商品的价格为40元．
（2）设购买m件甲种商品，则购买（80﹣m）件乙种商品，
依题意得：48m+40（80﹣m）≤3600，
解得：m≤50，
∴m的最大值为50．
答：最多可购买50件甲种商品．
近日，在杭州市余杭区经济高质量发展大会上，Rokid创始人兼CEO祝铭明戴着一副AR+AI眼镜站在演讲台上．他没有低头看讲稿，也没有使用传统的提词器，就顺利完成了一场脱稿演讲．而当他说出“我的发言稿就在眼镜里，翻页通过手上的戒指完成”之后，“AI眼镜”也瞬间成为网络热词．请你根据以下素材，探索完成任务：
素材1 某科技公司推出的AI智能眼镜“灵眸X”和“智视Pro”因其宛如一台集摄像头、传感器、处理器和显示屏于一体的超迷你电脑，成为爆款．某科技商店被授权出售这两款眼镜，“灵眸X”的标价比“智视Pro”的标价贵700元，调查发现，商店不做活动时，用6000元购买“灵眸X”的数量与用3200元购买“智视Pro”的数量相同．
素材2 某公司计划购买这两款眼镜共20副，作为优秀员工的奖励，预算为20000元．
素材3 AI眼镜还处于起步阶段，为了让AI眼镜走近千家万户，商店此时正在降价促销：“灵眸X”按原价的8折出售，“智视Pro”比原价优惠50元．
问题解决
任务1 求每副“灵眸X”和“智视Pro”眼镜的标价；
任务2 最多能购买多少副“灵眸X”？
【答案】任务1：每副“灵眸X”的标价为1500元，“智视Pro”眼镜的标价为800元；
任务2：最多能购买11副“灵眸X”．
【解答】解：任务1：设每副“灵眸X”的标价为x元，则“智视Pro”眼镜的标价为（x﹣700）元，
由题意得：，
解得：x＝1500，
经检验，x＝1500是原方程的解，且符合题意，
∴x﹣700＝800，
答：每副“灵眸X”的标价为1500元，“智视Pro”眼镜的标价为800元；
任务2：设能购买m副“灵眸X”，则能购买（20﹣m）副“智视Pro”，
由题意得：1500×0.8m+（800﹣50）（20﹣m）≤20000，
解得：m，
∵m为正整数，
∴m的最大值为11，
答：最多能购买11副“灵眸X”．
随着科学技术的不断发展，无人机在农业生产中得到广泛应用．经实践调查，一架无人机每小时喷洒农药的亩数是一个人每小时喷洒农药亩数的6倍，90亩的农田利用一架无人机喷洒比一个人喷洒节省10小时．
（1）求一架无人机平均每小时喷洒农药多少亩；
（2）现有145亩农田需要人工和无人机同时喷洒农药，要求最多6小时完成喷洒工作，则无人机至少喷洒农药多少亩？
【答案】（1）45亩；
（2）无人机至少喷洒农药120亩．
【解答】解：（1）设一个人每小时喷洒农药x亩，一架无人机平均每小时喷洒农药6x亩，
则根据题意列分式方程得，，
整理得，60x＝450，
解得x＝7.5，
经检验，x＝7.5是分式方程的解且符合题意；
6x＝7.5×6＝45，
答：一架无人机平均每小时喷洒农药45亩；
（2）设无人机喷洒农药y亩，则人工喷洒农药（145﹣y）亩，
则根据题意列一元一次不等式得，，
解得120≤y≤145，
答：无人机至少喷洒农药120亩．第18章
18.5 分式方程
题型1 分式方程的定义 题型2 分式方程的解
题型3 解分式方程 题型4 由实际问题抽象出分式方程
题型5 分式方程的应用
题型1 分式方程的定义
解｜题｜知｜识 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数．
【典例1】下列方程不是分式方程的是（　　）
A． B． C． D．
【变式1】下列是分式方程的是（　　）
A． B．
C． D．
题型2 分式方程的解
解｜题｜知｜识 求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
【典例1】若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（　　）
A．m≤5 B．m＜5且m≠3 C．m≠3 D．m≤5且m≠3
【变式1】若分式方程无解，则整数m的值为（　　）
A．﹣2 B．1 C．﹣1 D．﹣2或1
【变式2】若关于x的分式方程的解是非负数，则k的取值范围是（　　）
A．k＞4且k≠5 B．k≥﹣2且k≠﹣1
C．k≥4且k≠5 D．k＞﹣2且k≠﹣1
【变式3】阅读：对于两个不等的非零实数a、b，若分式的值为零，则x＝a或x＝b．又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为x1＝ax2＝b．应用上面的结论解答下列问题：
（1）方程的两个解分别为x1＝﹣1，x2＝4，则p＝　 　 ，q＝　 　 ；
（2）方程的两个解分别为x1＝a，x2＝b，求a4+b4的值；
（3）关于x的方程的两个解分别为x1，x2（x1＜x2），求的值．
题型3 解分式方程
解｜题｜知｜识 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验．
【典例1】定义一种新运算：，若5※x＝2，则x的值为 　 ．
【变式1】定义：|a，b|为分式（a≠0，a，b为实数）的“关联数”，若“关联数”|m，m﹣3|相对应的分式的值为0，则关于x的方程的解是 　 ．
【变式2】解分式方程：
（1）；
（2）．
【变式3】（1）计算：（）；
（2）解方程：1．
题型4 由实际问题抽象出分式方程
解｜题｜知｜识 由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系． （1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等． （2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路．
【典例1】小强和小东的家分别距离体育馆1800m和2400m．周六两人分别从家中同时出发到体育馆观看足球比赛，已知小东的速度是小强的1.5倍，结果小东比小强提前5min到达体育馆，设小强的速度是xm/min，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【变式1】迅速发展的5G网络峰值速率为4G网络峰值速率的100倍，在峰值速率下传输500兆数据，5G网络比4G网络快49.5秒，求这两种网络的峰值速率．设4G网络的峰值速率为每秒传输x兆数据，依题意，可列方程是（　　）
A． B．
C． D．
【变式2】在物理学中，物质的密度ρ等于由物质组成的物体的质量m与它的体积V之比，即．已知A，B两个物体的密度之比为3：1，当物体A的质量是200g，物体B的质量是600g时，物体B的体积比物体A的体积大24cm3．如果设物体A的体积是xcm3，那么根据题意列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【变式3】地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者购进了A型和B型两种玩具，已知用600元购进A型玩具的数量比用180元购进B型玩具的数量多64个，且A型玩具单价是B型玩具单价的1.2倍．
（1）求A、B两种型号玩具的单价各是多少元？
根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程：
甲： 乙：
则甲所列方程中的x表示： 　 ；
乙所列方程中的x表示： 　 ；
请你帮助甲同学完成剩下的解题过程．
（2）该经营者第二次进货恰好用了1150元，由于场地存放限制，要求总数量不超过200个，则最多可购进B型玩具多少个？
题型5 分式方程的应用
解｜题｜知｜识 列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间 等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
【典例1】斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段A﹣B﹣C横穿双向行驶车道，其中AB＝BC＝12米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过AC路段，其中通过BC路段的速度是通过AB路段速度的1.2倍，则小敏通过AB路段时的速度是（　　）
A．0.5米/秒 B．1米/秒 C．1.5米/秒 D．2米/秒
【变式1】根据《铁路互联网售票管理办法》，对于持二代居民身份证购买“G、D”字头列车车票的旅客，可以不用取票直接刷身份证进站，这样能够缩短旅客排队购票、取票的等待时间．已知采用刷身份证进站的方式后平均每分钟进站的旅客人数是原来的3倍，且300名旅客的进站的时间比原来200名旅客的进站时间还少5分钟，设原来平均每分钟进站旅客的人数是x人，列出方程为（　　）
A． B．
C． D．
【变式2】某市为治理污水，需要铺设一段全长600m的污水排放管道，铺设120m后，为加快施工进度，后来每天比原计划多铺设20m，结果共用8天完成这一任务，则原计划每天铺设管道的长度为　 ．
【变式3】注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路，完成填空，并完成本题解答的全过程．如果你选用其他的解题方案，此时，不必填空，只需按照解答题的一般要求，进行解答即可．
近年来，电动汽车因环保、低噪、节能等优势深受顾客喜爱，经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每千米的充电费比燃油车平均每千米的加油费少0.4元，若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油汽车的5倍，求这款电动汽车平均每千米的充电费．
（1）设这款电动汽车平均每千米的充电费为x元，根据题意，用含有x的式子填空：燃油车平均每千米的加油费是　 　 元；充电费为200元时电动汽车可行驶的总路程是　 千米，加油费为200元时燃油汽车可行驶的总路程是 　 千米．
（2）列出方程，完成本题解答．
若关于x的一元一次不等式组无解，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（　　）
A．7 B．8 C．14 D．15
若关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数m的和为　 　 ．
若关于x的不等式组至少有3个整数解，且关于y的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数a的和为 　 　 ．
若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤a，且关于y的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 　 ．
给出定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对（a，b）称为关于x的分式方程的一个“k相关系数”．
例如：当a＝3，b＝2时，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对（3，2）称为关于x的分式方程的一个“1相关系数”．
（1）在数对①（1，0）；②（2，﹣3）；③中，　 　 （只填号）是关于x的分式方程的“1相关系数”；
（2）若数对（t﹣2，2+t）是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，求t的值；
（3）若数对（c+d，d）（c≠±1且c≠0）是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，且关于y的方程dy﹣c+1＝0有整数解，直接写出整数c的值．
类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题中的途径和方法．
请用类比的方法，解决以下问题：
（1）①已知，…，则依据此规律　 ；
②请你利用十字相乘法进行因式分解：x2+5x+6＝　 　 ；
（2）若a、b满足a2﹣2a+1+|2a﹣b|＝0．求的值；
（3）受此启发，解方程．
（1）因式分解：（x+2）（x+4）+1；
（2）解方程：．
已知关于x的分式方程．
（1）已知m＝4，求方程的解；
（2）若该分式方程无解，试求m的值．
DeepSeek掀起了“人工智能”的热潮，某单位利用DeepSeek公司研发的两个AI模型R1和R2共同处理一批数据．已知R2单独处理数据的时间比R1少2小时，若两模型合作处理，仅需1.5小时即可完成．设R2单独处理需要x小时，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
C919是中国首款按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式中程干线客机．2024年3月，C919开始执行第三条定期商业航线——“上海虹桥一西安咸阳”．已知两地的航线距离约为1350km，C919的平均速度与普通客机的平均速度相比提高了约300km/h，航行时间节约了约．设C919客机的平均速度为xkm/h，则根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
某校用500元钱到商场去购买“84“消毒液，经过还价，每瓶便宜1.5元，结果比用原价多买了10瓶，求原价每瓶多少元？设原价每瓶x元，则可列出方程为（　　）
A．10 B．10
C．1.5 D．1.5
小王开车回家从家到单位有两条路可选择，路线A全程25千米的普通道路，路线B包含快速通道，全程21千米，走路线B比走路线A平均速度提高40%，时间节省20分钟，求走路线A和路线B的平均速度是多少？若设走路线A的平均速度为x千米/时，根据题意，可列方程为（　　）
A．
B．
C．
D．
小东一家自驾车去某地旅行，手机导航系统推荐了两条线路，线路一全程120千米，线路二全程150千米，汽车在线路二上行驶的平均时速是线路一上车速的2倍，线路二的用时预计比线路一用时少小时，如果设汽车在线路一上行驶的平均速度为x千米/时，则下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
“人间烟火味，最抚凡人心”，个体商户是就业岗位的重要来源．某经营者购进了A型和B型两种玩具，已知用600元购进A型玩具的数量比用300元购进B型玩具的数量多10个，且A型玩具单价是B型玩具单价的1.5倍．求A、B两种型号玩具的单价各是多少元？
根据以上信息，解答下列问题：
（1）小凯同学设B型玩具的单价为x元，可列方程为　 　 ，小华同学设A型玩具的数量为y个，可列方程为 　 ．
（2）请帮助小凯同学完成剩下的解题过程．
智能机器人已广泛应用于各类工业生产领域，某化工厂要在规定时间内搬运2000千克化工原料，现有A，B两种智能机器人可供选择，已知B型机器人每小时完成的工作量是A型机器人每小时完成的工作量的2.5倍，B型机器人单独完成所需的时间比A型机器人单独完成所需的时间少20小时，求A，B型机器人每小时各搬运多少千克原料？
小渝是一名建筑设计师，受甲方委托，负责为一栋建筑设计窗户．设计方案结合了平开窗和推拉窗两种形式．已确认项目总预算为14800元，其中推拉窗每平方米单价为平开窗的1.2倍．若将10000元用于采购平开窗，余下资金全部用于购买推拉窗，则所购平开窗的面积将比推拉窗面积多出15平方米．
（1）请分别求出平开窗和推拉窗的单价；
（2）设计过程中，甲方进一步提出：窗户全部按整数平方米分配，且用于推拉窗的资金不低于4000元．如果窗户规划总计为35平方米，那么在总费用不超出预算的前提下，小渝共有哪几种可行的设计方案？
从春晚舞台到亚冬会赛场，从展会展台到车间一线，2025年被称为人形机器人的“量产元年”．目前中国机器人产业已稳居全球第一梯队，连续11年保持全球最大工业机器人市场地位，专利储备突破19万项，人形机器人的技术发展可谓日新月异，正以前所未有的速度向前迈进．某公司计划购买A，B两种型号的机器人，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg材料，且A型机器人搬运1000kg材料所用的时间与B型机器人搬运800kg材料所用的时间相同．
（1）求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料；
（2）该公司计划采购A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于2900kg，则至少购进A型机器人多少台？
某商店购进甲、乙两种商品，已知每件甲种商品的价格比每件乙种商品的价格贵8元，用2400元购买甲种商品的件数恰好与用2000元购买乙种商品的件数相同．
（1）求甲、乙两种商品每件的价格各是多少元？
（2）计划购买这两种商品共80件，且投入的经费不超过3600元，那么最多可购买多少件甲种商品？
近日，在杭州市余杭区经济高质量发展大会上，Rokid创始人兼CEO祝铭明戴着一副AR+AI眼镜站在演讲台上．他没有低头看讲稿，也没有使用传统的提词器，就顺利完成了一场脱稿演讲．而当他说出“我的发言稿就在眼镜里，翻页通过手上的戒指完成”之后，“AI眼镜”也瞬间成为网络热词．请你根据以下素材，探索完成任务：
素材1 某科技公司推出的AI智能眼镜“灵眸X”和“智视Pro”因其宛如一台集摄像头、传感器、处理器和显示屏于一体的超迷你电脑，成为爆款．某科技商店被授权出售这两款眼镜，“灵眸X”的标价比“智视Pro”的标价贵700元，调查发现，商店不做活动时，用6000元购买“灵眸X”的数量与用3200元购买“智视Pro”的数量相同．
素材2 某公司计划购买这两款眼镜共20副，作为优秀员工的奖励，预算为20000元．
素材3 AI眼镜还处于起步阶段，为了让AI眼镜走近千家万户，商店此时正在降价促销：“灵眸X”按原价的8折出售，“智视Pro”比原价优惠50元．
问题解决
任务1 求每副“灵眸X”和“智视Pro”眼镜的标价；
任务2 最多能购买多少副“灵眸X”？
随着科学技术的不断发展，无人机在农业生产中得到广泛应用．经实践调查，一架无人机每小时喷洒农药的亩数是一个人每小时喷洒农药亩数的6倍，90亩的农田利用一架无人机喷洒比一个人喷洒节省10小时．
（1）求一架无人机平均每小时喷洒农药多少亩；
（2）现有145亩农田需要人工和无人机同时喷洒农药，要求最多6小时完成喷洒工作，则无人机至少喷洒农药多少亩？

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