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第6节　数列中的综合问题
[课程标准要求]
1.了解数列是一种特殊函数,能在具体的问题情境中,发现数列的等差、等比关系,并解决相应的问题.2.掌握数列与函数、不等式相结合的综合问题求解方法,提升逻辑推理的核心素养.
提升·关键能力
等差、等比数列的综合问题
考点1
[例1] (2026·河北邯郸模拟)已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且a1=1,a2=
b1,2a5=b3+2,a4=b2.
(1)求{an},{bn}的通项公式;
解题策略
·
等差、等比数列综合问题的解题策略
(1)确定解题顺序:求和需要先求出通项公式,求通项公式需要先求出首项和公差(公比).
(2)注意解题细节:在数列的通项公式问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示.
[针对训练] (2026·重庆沙坪坝模拟)设{an}是等差数列,前n项和为Sn,{bn}是各项均为正的等比数列,其前n项和为Tn.已知b1=1,b2=b3-2,b4=a3+a5,b5=
a4+2a6.
(1)求an和Tn;
(2)若Sn+2Tn=2an+4bn,求正整数n的值.
数列与不等式的综合问题
考点2
角度1　放缩问题
[例2] (2026·浙江杭州模拟)设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的前n项和为Tn,若a2是a1与a4的等比中项,a6=12,a1b1=a2b2=1.
(1)求an,Sn与Tn.
放缩法的解题策略以及注意事项
(1)对于“和式”数列不等式,若能够直接求和,则考虑先求和再放缩;若不能求和,则可考虑先放缩后求和.放缩的最主要目的是通过放缩,把原数列变为可求和的数列.
(2)明确放缩的方向:若要证明小于某值,则放大;若要证明大于某值,则缩小.
(3)放缩的项数:不一定对所有项进行放缩,可从第一项开始,或从第二项、第三项等开始.
解题策略
·
[针对训练] (2026·四川成都模拟)已知递增数列{an}和{bn}分别为等差数列和等比数列,且a1=3b1,a4=2b2,a7=b3,a1+b2=6.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式.
角度2　恒(能)成立问题
[例3] (2026·陕西安康模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a6=11,S10=100,
{bn}是等比数列,且b3=a5,b4=a14.
(1)求{an},{bn}的通项公式;
数列是特殊的函数,有关数列不等式的恒(能)成立问题,须注意数列中自变量的取值范围不是连续的实数,而是正整数集.
解题策略
·
[针对训练] (2026·江苏南京模拟)已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn+an=3.
(1)求{an}的通项公式;
数列中的子数列问题
考点3
[例4] (2026·湖北武汉模拟)已知等差数列{an}中,a2=8,前10项和S10=185.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若从数列{an}中依次取出第2,4,8,…,2n,…项,按原来的顺序排列成一个新的数列{bn},若cn=(an-2)bn,求数列{cn}的前n项和Tn.
(1)子数列是数列中的一种常见题型.将原数列问题转化为子数列问题,一般适用于某个数列由几个有规律的数列组合而成,如数列含奇数项与偶数项问题、数列的公共项问题、数列的增减项问题等;具体求解时,要搞清楚子数列的项在原数列中的位置,以及在子数列中的位置,即项不变化,项数变化.
(2)两个等差数列的公共项是等差数列,且公差是两个等差数列公差的最小公倍数,两个等比数列的公共项是等比数列,公比是两个等比数列公比的最小公倍数.
解题策略
·
(3)对于数列的中间插项或减项构成新数列问题,我们要把握两点:先判断数列之间共插入(减少)了多少项(运用等差、等比求和或者项数公式去看),再根据题目给出的条件确定它包含了哪些项.
解题策略
·
[针对训练] (2026·安徽芜湖模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,an+1=
Sn+2(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
【解】 (1)由an+1=Sn+2(n∈N*),得an=Sn-1+2(n≥2),
则an+1-an=an(n≥2),即an+1=2an(n≥2),
又a2=S1+2=a1+2=4,满足an+1=2an,所以an+1=2an(n∈N*),
所以{an}是首项为2,公比为2的等比数列,故an=2n.
(2)保持{an}的各项顺序不变,在ak和ak+1之间插入k个1,使它们与数列{an}的项组成一个新的数列{bn},记{bn}的前n项和为Tn,求T55.
教考衔接13　角谷猜想
[教材母题] [人教A版选择性必修第二册P56复习参考题4 T10]任取一个正整数,若是奇数,就将该数乘3再加上1;若是偶数,就将该数除以2.反复进行上述两种运算,经过有限次步骤后,必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”等).如取正整数m=6,根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1,共需经过8个步骤变成1(简称为8步
“雹程”).
现给出冰雹猜想的递推关系如下:
(1)当m=17时,试确定使得an=1需要多少步雹程;
【解】 (1)当m=17时,根据上述运算法则得出:
17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1,
故当m=17时,使得an=1需要12步雹程.
(2)若a8=1,求m所有可能的取值集合M.
【解】 (2)若a8=1,根据上述运算法则进行逆推,a7=2,a6=4,a5=8或a5=1;
若a5=8,则a4=16,a3=32或a3=5;
当a3=32时,a2=64,a1=128或a1=21;
当a3=5时,a2=10,a1=20或a1=3;
若a5=1,则a4=2,a3=4,a2=8或a2=1;
当a2=8时,a1=16;
当a2=1时,a1=2,
故m所有可能的取值集合M={2,3,16,20,21,128}.
[名师解读]
1.角谷猜想:该猜想由数学家角谷静夫发现,又称为“3n+1猜想”.取一个数字:
如n=11,根据上述公式,得出 11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→
16→8→4→2→1.(步骤中最大的数是52,共有14个步骤)
若a6=1,求:
(1)m,a2 025,S2 025的值;
【解】 (1)因为a6=1,所以a1=32,a2=16,a3=8,a4=4,a5=2,a6=1或a1=5,a2=16,
a3=8,a4=4,a5=2,a6=1或a1=4,a2=2,a3=1,a4=4,a5=2,a6=1,即m=32或5或4.
因为a6=1,所以从a4=4开始,周期为3,
又(2 025-3)÷3=674,所以a2 025=1.
当a1=32时,S2 025=32+16+8+(4+2+1)×674=4 774;
当a1=5时,S2 025=5+16+8+(4+2+1)×674=4 747;
当a1=4时,S2 025=(4+2+1)×675=4 725.
所以S2 025的值为4 774或4 747或4 725.
(2)m最小时的“雹程”.(“雹程”为m变成1所经过的步骤数)
【解】 (2)由(1)得m的最小值为4,故“雹程”是2步.
谢谢观赏第6节　数列中的综合问题
[课程标准要求] 1.了解数列是一种特殊函数,能在具体的问题情境中,发现数列的等差、等比关系,并解决相应的问题.2.掌握数列与函数、不等式相结合的综合问题求解方法,提升逻辑推理的核心素养.
等差、等比数列的综合问题
[例1] (2026·河北邯郸模拟)已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且a1=1,a2=b1,
2a5=b3+2,a4=b2.
(1)求{an},{bn}的通项公式;
(2)若cn=,求数列{cn}的前n项和Sn.
【解】 (1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.
因为a1=1,a2=b1,2a5=b3+2,a4=b2,所以
由b1≠0得d≠-1.
由①③得q=,④
把①④代入②得,8d=(1+d)·,解得d=1,故b1=2,q==2,
所以an=1+(n-1)×1=n,bn=2×2n-1=2n.
(2)由(1)得,cn====-,
所以Sn=-+-+…+-=1-=.
等差、等比数列综合问题的解题策略
(1)确定解题顺序:求和需要先求出通项公式,求通项公式需要先求出首项和公差(公比).
(2)注意解题细节:在数列的通项公式问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示.
[针对训练] (2026·重庆沙坪坝模拟)设{an}是等差数列,前n项和为Sn,{bn}是各项均为正的等比数列,其前n项和为Tn.已知b1=1,b2=b3-2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6.
(1)求an和Tn;
(2)若Sn+2Tn=2an+4bn,求正整数n的值.
【解】 (1)设等比数列{bn}的公比为q(q>0),
由b1=1,b2=b3-2,可得q2-q-2=0,所以q=2或q=-1(舍去),所以bn=2n-1.
所以Tn==2n-1.设等差数列{an}的公差为d,b4=a3+a5,可得a1+3d=4,
由b5=a4+2a6,可得3a1+13d=16,所以a1=d=1,所以an=n.
(2)Sn=,由Sn+2Tn=2an+4bn得+2(2n-1)=2n+2n+1,
所以n2-3n-4=0,解得n=4或n=-1(舍去),故n的值为4.
数列与不等式的综合问题
角度1　放缩问题
[例2] (2026·浙江杭州模拟)设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的前n项和为Tn,若a2是a1与a4的等比中项,a6=12,a1b1=a2b2=1.
(1)求an,Sn与Tn.
(2)若cn=,求证:c1+c2+…+cn<.
(1)【解】 设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.
由题意得解得
故an=a1+(n-1)d=2n,Sn==n(n+1),a1b1=a2b2=1,得2b1=4b1q=1,解得b1=,q=,
则bn=b1qn-1=,Tn==1-,n∈N*.
(2)【证明】 由(1)可知cn=,
又0<1-<1,
则所以c1+c2+…+cn<1+2+3+…+n+n=+n=,
即c1+c2+…+cn<成立.
放缩法的解题策略以及注意事项
(1)对于“和式”数列不等式,若能够直接求和,则考虑先求和再放缩;若不能求和,则可考虑先放缩后求和.放缩的最主要目的是通过放缩,把原数列变为可求和的数列.
(2)明确放缩的方向:若要证明小于某值,则放大;若要证明大于某值,则缩小.
(3)放缩的项数:不一定对所有项进行放缩,可从第一项开始,或从第二项、第三项等开始.
[针对训练] (2026·四川成都模拟)已知递增数列{an}和{bn}分别为等差数列和等比数列,且a1=3b1,a4=2b2,a7=b3,a1+b2=6.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式.
(2)若cn=,证明:c1c2…cn≤.
(1)【解】 设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,
由题意可得前两式化简后有
由上述式子可得a1(a1+6d)=,
化简得(a1+9d)(a1-3d)=0,则a1=-9d或a1=3d.
若a1=-9d,可得b1=b2=b3=-3d,数列{bn}为常数列,故舍去;
若a1=3d,可得q=3,又由a1+6d=b1q2,a1+b1q=6,解得d=1,a1=3,b1=1.
于是得到数列{an}的通项公式为an=n+2,数列{bn}的通项公式为bn=3n-1.
(2)【证明】 由(1)可得cn==lo=lo(3n-1+2),
当n∈N*时,3n-(3n-1+2)=2(3n-1-1)≥0,则3n≥3n-1+2(当且仅当n=1时,等号成立),
所以cn=lo(3n-1+2)≤lo3n=,
则c1c2…cn≤··…·=(当且仅当n=1时,等号成立).
所以c1c2…cn≤.
角度2　恒(能)成立问题
[例3] (2026·陕西安康模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a6=11,S10=100,{bn}是等比数列,且b3=a5,b4=a14.
(1)求{an},{bn}的通项公式;
(2)设cn=,数列{cn}的前n项和为Tn,若不等式λTn+1>0对任意正整数n恒成立,求λ的取值范围.
【解】 (1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,
由题意得
即解得所以an=2n-1,
所以b3=a5=9,b4=a14=27,所以q===3,所以bn=b3qn-3=9×3n-3=3n-1.
(2)因为cn=,由bn=3n-1,得log3bn=n-1,log3bn+1=n,
所以cn==2(-),
所以Tn=c1+c2+c3+…+cn=2[(1-)+(-)+(-)+…+(-)]=2(1-)=,
所以不等式λTn+1>0可转化为-λTn<1,即-λ<(1+).
因为y=1+在(0,+∞)上单调递减,所以数列{1+}为递减数列,且1<1+,所以-λ≤,
即λ≥-,所以λ的取值范围为[-,+∞).
数列是特殊的函数,有关数列不等式的恒(能)成立问题,须注意数列中自变量的取值范围不是连续的实数,而是正整数集.
[针对训练] (2026·江苏南京模拟)已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn+an=3.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设数列{bn}满足bn=(n+1)an,记数列{bn}的前n项和为Tn,若存在n∈N*使得Tn≥+λan成立,求λ的取值范围.
【解】 (1)2Sn+an=3,当n=1时,a1=1,当n≥2,n∈N*时,2Sn+an=3,2Sn-1+an-1=3,
两式相减得3an=an-1,=,而a1=1,
即{an}是以1为首项,为公比的等比数列,所以an=.
(2)bn=(n+1)an=(n+1),所以Tn=2+3()+4+5+…+(n+1),
Tn=2()+3+4+5+…++(n+1),
两式相减得(1-)Tn=2+++++…+-(n+1)=
2+-(n+1)=-,
Tn=-(n+),
由Tn≥+λan得,λ≤-(n+),
即存在n∈N*使λ≤-(n+)成立,因为{-(n+)}为递减数列,
所以λ≤-,
故λ的取值范围是(-∞,-].
数列中的子数列问题
[例4] (2026·湖北武汉模拟)已知等差数列{an}中,a2=8,前10项和S10=185.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若从数列{an}中依次取出第2,4,8,…,2n,…项,按原来的顺序排列成一个新的数列{bn},若cn=(an-2)bn,求数列{cn}的前n项和Tn.
【解】 (1)设等差数列{an}的公差为d,
由题意得
解得所以an=5+3(n-1)=3n+2.
(2)bn==3·2n+2,则cn=(an-2)bn=3n·(3·2n+2)=9n·2n+6n,
设Cn=1×2+2×22+…+n·2n,
则Tn=9Cn+3n(n+1),
又因为2Cn=1×22+2×23+…+n·2n+1,
所以-Cn=2+22+…+2n-n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1,
则Cn=(n-1)2n+1+2,
所以Tn=9(n-1)2n+1+3n(n+1)+18.
(1)子数列是数列中的一种常见题型.将原数列问题转化为子数列问题,一般适用于某个数列由几个有规律的数列组合而成,如数列含奇数项与偶数项问题、数列的公共项问题、数列的增减项问题等;具体求解时,要搞清楚子数列的项在原数列中的位置,以及在子数列中的位置,即项不变化,项数变化.
(2)两个等差数列的公共项是等差数列,且公差是两个等差数列公差的最小公倍数,两个等比数列的公共项是等比数列,公比是两个等比数列公比的最小公倍数.
(3)对于数列的中间插项或减项构成新数列问题,我们要把握两点:先判断数列之间共插入(减少)了多少项(运用等差、等比求和或者项数公式去看),再根据题目给出的条件确定它包含了哪些项.
[针对训练] (2026·安徽芜湖模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,an+1=Sn+2(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)保持{an}的各项顺序不变,在ak和ak+1之间插入k个1,使它们与数列{an}的项组成一个新的数列{bn},记{bn}的前n项和为Tn,求T55.
【解】 (1)由an+1=Sn+2(n∈N*),得an=Sn-1+2(n≥2),
则an+1-an=an(n≥2),即an+1=2an(n≥2),
又a2=S1+2=a1+2=4,满足an+1=2an,所以an+1=2an(n∈N*),
所以{an}是首项为2,公比为2的等比数列,故an=2n.
(2)由题知=an=2n,数列{bn}的其余项为1,
则T55=(b1+b3+b6+b10+b15+b21+b28+b36+b45+b55)+45×1
=(a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10)+45
=S10+45=+45=2 091.
教考衔接13　角谷猜想
[教材母题] [人教A版选择性必修第二册P56复习参考题4 T10]任取一个正整数,若是奇数,就将该数乘3再加上1;若是偶数,就将该数除以2.反复进行上述两种运算,经过有限次步骤后,必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”等).如取正整数m=6,根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1,共需经过8个步骤变成1(简称为8步“雹程”).
现给出冰雹猜想的递推关系如下:
已知数列{an}满足:a1=m(m为正整数),an+1=
(1)当m=17时,试确定使得an=1需要多少步雹程;
(2)若a8=1,求m所有可能的取值集合M.
【解】 (1)当m=17时,根据上述运算法则得出:17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1,
故当m=17时,使得an=1需要12步雹程.
(2)若a8=1,根据上述运算法则进行逆推,a7=2,a6=4,a5=8或a5=1;
若a5=8,则a4=16,a3=32或a3=5;
当a3=32时,a2=64,a1=128或a1=21;
当a3=5时,a2=10,a1=20或a1=3;
若a5=1,则a4=2,a3=4,a2=8或a2=1;
当a2=8时,a1=16;
当a2=1时,a1=2,
故m所有可能的取值集合M={2,3,16,20,21,128}.
[名师解读]
1.角谷猜想:该猜想由数学家角谷静夫发现,又称为“3n+1猜想”.取一个数字:
如n=11,根据上述公式,得出 11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→
2→1.(步骤中最大的数是52,共有14个步骤)
2.“角谷猜想”的递推关系:已知数列{an}满足:a1=m(m为正整数),an+1=(n∈N*)
[对接高考] (2026·云南昆明模拟)已知“冰雹猜想”的递推关系如下:已知数列{an}满足a1=m(m为正整数),an+1=(n∈N*)
若a6=1,求:
(1)m,a2 025,S2 025的值;
(2)m最小时的“雹程”.(“雹程”为m变成1所经过的步骤数)
【解】 (1)因为a6=1,所以a1=32,a2=16,a3=8,a4=4,a5=2,a6=1或a1=5,a2=16,a3=8,a4=4,a5=2,a6=1或a1=4,a2=2,a3=1,a4=4,a5=2,a6=1,即m=32或5或4.
因为a6=1,所以从a4=4开始,周期为3,
又(2 025-3)÷3=674,所以a2 025=1.
当a1=32时,S2 025=32+16+8+(4+2+1)×674=4 774;
当a1=5时,S2 025=5+16+8+(4+2+1)×674=4 747;
当a1=4时,S2 025=(4+2+1)×675=4 725.
所以S2 025的值为4 774或4 747或4 725.
(2)由(1)得m的最小值为4,故“雹程”是2步.
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
等差、等比数列的综合问题 1,3
数列与不等式的综合问题 2,3,4
数列中的子数列问题 1
1.(2026·广东广州模拟)已知公差不为零的等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1,且a1,2a2,4a4成等比数列,4b2,2b3,b4成等差数列.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)令cn=,去掉数列{cn}中的第3k项(k∈N*),余下的项顺序不变,构成新数列{tn},写出数列{tn}的前4项并求{tn}的前2n项和S2n.
【解】 (1)设等差数列的公差为d(d≠0),等比数列的公比为q,由题意得则又a1=b1=1,d≠0,解得d=1,q=2,
所以an=1+n-1=n,bn=1×2n-1=2n-1.
(2)由(1)得cn==3n,去掉第3k项后,前4项依次为3,9,81,243,
则S2n=t1+t2+t3+…+t2n=c1+c2+c4+c5+…+c3n-2+c3n-1=(c1+c4+…+c3n-2)+(c2+c5+…+c3n-1)
=(31+34+…+33n-2)+(32+35+…+33n-1)=+=,
综上,S2n=.
2.(2026·辽宁葫芦岛模拟)设数列{an}是公差大于1的等差数列,{an},{bn}满足=-,记Sn,Tn分别为数列{an},{bn}的前n项和,且2a1=a2,S2+T2=16.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若存在n∈N*,使得10Tn-9n+t+t2<3,求实数t的取值范围.
【解】 (1)设等差数列{an}的公差为d,因为2a1=a2,所以2a1=a1+d,解得a1=d,a2=2d;
S2=a1+a2=3d,
由=-,
可知=,b1==,=,b2===,
又T2=b1+b2=+=,
所以S2+T2=3d+=16,
即3d2-16d+5=0,
解得d=5或d=(舍去),
所以an=a1+(n-1)·d=5n.
(2)由(1)知,an=5n,=-可知,=,
解得bn=n+,
所以{bn}为等差数列,故Tn===,
存在n∈N*,有10Tn-9n+t+t2<3,即+t+t2<3,
又10Tn-9n=n2-6n=(n-3)2-9,所以=-9,
故-9+t+t2<3,整理t2+t-12<0,解得-43.已知数列{an}是公比q≠1的等比数列,且a4=27,3a1,2a2,a3成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)设b1=a1,=an+1,cn=,记Tn=c1+c2+c3+…+cn,求证:Tn<1.
(1)【解】 由3a1,2a2,a3成等差数列,得3a1+a3=4a2,即3a1+a1q2=4a1q,
两边同时除以a1得q2-4q+3=0,解得q=1(舍去)或q=3,
由a4=27得a1×33=27,所以a1=1,所以an=a1qn-1=3n-1.
(2)【证明】 由(1)得=an=3n-1(n≥2),b1=a1=1,
所以bn=b1···…·=1×3×32×…×3n-1=31+2+3+…+(n-1)=(n≥2),
又b1=1满足上式,故bn=.
所以cn==<=-,
所以Tn=c1+c2+c3+…+cn<1-+-+…+-=1-<1.
4.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=3且Sn=an+1-3n-3(n∈N*).
(1)求出a2,并求出an与an+1的递推关系;
(2)证明数列是等比数列,并求出数列{an}的通项公式;
(3)在an与an+1之间插入n个数,使得包括an与an+1在内的这n+2个数成等差数列,其公差为bn,若对任意n∈N*,有λ≥恒成立,求实数λ的最小值.
【解】 (1)当n=1时,S1=a2-3×1-3,
而S1=a1=3,
所以3=a2-3-3,
解得a2=9,
当n≥2时,Sn=an+1-3n-3,①
Sn-1=an-3(n-1)-3,②
①-②得an=an+1-an-3,
整理得an+1=2an+3,
经检验,a1=3,a2=9满足上式,
所以an+1=2an+3.
(2)由an+1=2an+3得an+1+3=2(an+3),又a1+3=6≠0,
所以数列是以6为首项,2为公比的等比数列,所以an+3=6×2n-1,所以an=6×2n-1-3.
(3)由题意得bn==,由(2)可知,an+1-an=6×2n-3-(6×2n-1-3)=6×2n-1,
所以bn=,所以=,令cn=,
则λ≥,
而cn+1-cn=-=<0,
所以cn+1即数列{cn}是递减数列,
故=c1=,所以λ≥,
所以λ的最小值为.第6节　数列中的综合问题
[课程标准要求] 1.了解数列是一种特殊函数,能在具体的问题情境中,发现数列的等差、等比关系,并解决相应的问题.2.掌握数列与函数、不等式相结合的综合问题求解方法,提升逻辑推理的核心素养.
等差、等比数列的综合问题
[例1] (2026·河北邯郸模拟)已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且a1=1,a2=b1,2a5=b3+2,
a4=b2.
(1)求{an},{bn}的通项公式;
(2)若cn=,求数列{cn}的前n项和Sn.
听课记录:
等差、等比数列综合问题的解题策略
(1)确定解题顺序:求和需要先求出通项公式,求通项公式需要先求出首项和公差(公比).
(2)注意解题细节:在数列的通项公式问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示.
[针对训练] (2026·重庆沙坪坝模拟)设{an}是等差数列,前n项和为Sn,{bn}是各项均为正的等比数列,其前n项和为Tn.已知b1=1,b2=b3-2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6.
(1)求an和Tn;
(2)若Sn+2Tn=2an+4bn,求正整数n的值.
数列与不等式的综合问题
角度1　放缩问题
[例2] (2026·浙江杭州模拟)设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的前n项和为Tn,若a2是a1与a4的等比中项,a6=12,a1b1=a2b2=1.
(1)求an,Sn与Tn.
(2)若cn=,求证:c1+c2+…+cn<.
听课记录:
放缩法的解题策略以及注意事项
(1)对于“和式”数列不等式,若能够直接求和,则考虑先求和再放缩;若不能求和,则可考虑先放缩后求和.放缩的最主要目的是通过放缩,把原数列变为可求和的数列.
(2)明确放缩的方向:若要证明小于某值,则放大;若要证明大于某值,则缩小.
(3)放缩的项数:不一定对所有项进行放缩,可从第一项开始,或从第二项、第三项等开始.
[针对训练] (2026·四川成都模拟)已知递增数列{an}和{bn}分别为等差数列和等比数列,且a1=3b1,a4=2b2,a7=b3,a1+b2=6.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式.
(2)若cn=,证明:c1c2…cn≤.
角度2　恒(能)成立问题
[例3] (2026·陕西安康模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a6=11,S10=100,{bn}是等比数列,且b3=a5,b4=a14.
(1)求{an},{bn}的通项公式;
(2)设cn=,数列{cn}的前n项和为Tn,若不等式λTn+1>0对任意正整数n恒成立,求λ的取值范围.
听课记录:
数列是特殊的函数,有关数列不等式的恒(能)成立问题,须注意数列中自变量的取值范围不是连续的实数,而是正整数集.
[针对训练] (2026·江苏南京模拟)已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn+an=3.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设数列{bn}满足bn=(n+1)an,记数列{bn}的前n项和为Tn,若存在n∈N*使得Tn≥+λan成立,求λ的取值范围.
数列中的子数列问题
[例4] (2026·湖北武汉模拟)已知等差数列{an}中,a2=8,前10项和S10=185.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若从数列{an}中依次取出第2,4,8,…,2n,…项,按原来的顺序排列成一个新的数列{bn},若cn=(an-2)bn,求数列{cn}的前n项和Tn.
听课记录:
(1)子数列是数列中的一种常见题型.将原数列问题转化为子数列问题,一般适用于某个数列由几个有规律的数列组合而成,如数列含奇数项与偶数项问题、数列的公共项问题、数列的增减项问题等;具体求解时,要搞清楚子数列的项在原数列中的位置,以及在子数列中的位置,即项不变化,项数变化.
(2)两个等差数列的公共项是等差数列,且公差是两个等差数列公差的最小公倍数,两个等比数列的公共项是等比数列,公比是两个等比数列公比的最小公倍数.
(3)对于数列的中间插项或减项构成新数列问题,我们要把握两点:先判断数列之间共插入(减少)了多少项(运用等差、等比求和或者项数公式去看),再根据题目给出的条件确定它包含了哪些项.
[针对训练] (2026·安徽芜湖模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,an+1=Sn+2(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)保持{an}的各项顺序不变,在ak和ak+1之间插入k个1,使它们与数列{an}的项组成一个新的数列{bn},记{bn}的前n项和为Tn,求T55.
教考衔接13　角谷猜想
[教材母题] [人教A版选择性必修第二册P56复习参考题4 T10]任取一个正整数,若是奇数,就将该数乘3再加上1;若是偶数,就将该数除以2.反复进行上述两种运算,经过有限次步骤后,必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”等).如取正整数m=6,根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1,共需经过8个步骤变成1(简称为8步“雹程”).
现给出冰雹猜想的递推关系如下:
已知数列{an}满足:a1=m(m为正整数),an+1=
(1)当m=17时,试确定使得an=1需要多少步雹程;
(2)若a8=1,求m所有可能的取值集合M.
[名师解读]
1.角谷猜想:该猜想由数学家角谷静夫发现,又称为“3n+1猜想”.取一个数字:
如n=11,根据上述公式,得出 11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1.(步骤中最大的数是52,共有14个步骤)
2.“角谷猜想”的递推关系:已知数列{an}满足:a1=m(m为正整数),an+1=(n∈N*)
[对接高考] (2026·云南昆明模拟)已知“冰雹猜想”的递推关系如下:已知数列{an}满足a1=m(m为正整数),an+1=(n∈N*)
若a6=1,求:
(1)m,a2 025,S2 025的值;
(2)m最小时的“雹程”.(“雹程”为m变成1所经过的步骤数)第6节　数列中的综合问题
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
等差、等比数列的综合问题 1,3
数列与不等式的综合问题 2,3,4
数列中的子数列问题 1
1.(2026·广东广州模拟)已知公差不为零的等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1,且a1,2a2,4a4成等比数列,4b2,2b3,b4成等差数列.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)令cn=,去掉数列{cn}中的第3k项(k∈N*),余下的项顺序不变,构成新数列{tn},写出数列{tn}的前4项并求{tn}的前2n项和S2n.
【解】 (1)设等差数列的公差为d(d≠0),等比数列的公比为q,由题意得则又a1=b1=1,d≠0,解得d=1,q=2,
所以an=1+n-1=n,bn=1×2n-1=2n-1.
(2)由(1)得cn==3n,去掉第3k项后,前4项依次为3,9,81,243,
则S2n=t1+t2+t3+…+t2n=c1+c2+c4+c5+…+c3n-2+c3n-1=(c1+c4+…+c3n-2)+(c2+c5+…+c3n-1)
=(31+34+…+33n-2)+(32+35+…+33n-1)=+=,
综上,S2n=.
2.(2026·辽宁葫芦岛模拟)设数列{an}是公差大于1的等差数列,{an},{bn}满足=-,记Sn,Tn分别为数列{an},{bn}的前n项和,且2a1=a2,S2+T2=16.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若存在n∈N*,使得10Tn-9n+t+t2<3,求实数t的取值范围.
【解】 (1)设等差数列{an}的公差为d,因为2a1=a2,所以2a1=a1+d,解得a1=d,a2=2d;
S2=a1+a2=3d,
由=-,
可知=,b1==,=,b2===,
又T2=b1+b2=+=,
所以S2+T2=3d+=16,
即3d2-16d+5=0,
解得d=5或d=(舍去),
所以an=a1+(n-1)·d=5n.
(2)由(1)知,an=5n,=-可知,=,
解得bn=n+,
所以{bn}为等差数列,故Tn===,
存在n∈N*,有10Tn-9n+t+t2<3,即+t+t2<3,
又10Tn-9n=n2-6n=(n-3)2-9,所以=-9,
故-9+t+t2<3,整理t2+t-12<0,解得-43.已知数列{an}是公比q≠1的等比数列,且a4=27,3a1,2a2,a3成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)设b1=a1,=an+1,cn=,记Tn=c1+c2+c3+…+cn,求证:Tn<1.
(1)【解】 由3a1,2a2,a3成等差数列,得3a1+a3=4a2,即3a1+a1q2=4a1q,
两边同时除以a1得q2-4q+3=0,解得q=1(舍去)或q=3,
由a4=27得a1×33=27,所以a1=1,所以an=a1qn-1=3n-1.
(2)【证明】 由(1)得=an=3n-1(n≥2),b1=a1=1,
所以bn=b1···…·=1×3×32×…×3n-1=31+2+3+…+(n-1)=(n≥2),
又b1=1满足上式,故bn=.
所以cn==<=-,
所以Tn=c1+c2+c3+…+cn<1-+-+…+-=1-<1.
4.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=3且Sn=an+1-3n-3(n∈N*).
(1)求出a2,并求出an与an+1的递推关系;
(2)证明数列是等比数列,并求出数列{an}的通项公式;
(3)在an与an+1之间插入n个数,使得包括an与an+1在内的这n+2个数成等差数列,其公差为bn,若对任意n∈N*,有λ≥恒成立,求实数λ的最小值.
【解】 (1)当n=1时,S1=a2-3×1-3,
而S1=a1=3,
所以3=a2-3-3,
解得a2=9,
当n≥2时,Sn=an+1-3n-3,①
Sn-1=an-3(n-1)-3,②
①-②得an=an+1-an-3,
整理得an+1=2an+3,
经检验,a1=3,a2=9满足上式,
所以an+1=2an+3.
(2)由an+1=2an+3得an+1+3=2(an+3),又a1+3=6≠0,
所以数列是以6为首项,2为公比的等比数列,所以an+3=6×2n-1,所以an=6×2n-1-3.
(3)由题意得bn==,由(2)可知,an+1-an=6×2n-3-(6×2n-1-3)=6×2n-1,
所以bn=,所以=,令cn=,
则λ≥,
而cn+1-cn=-=<0,
所以cn+1即数列{cn}是递减数列,
故=c1=,所以λ≥,
所以λ的最小值为.第6节　数列中的综合问题
1.(2026·广东广州模拟)已知公差不为零的等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1,且a1,2a2,4a4成等比数列,4b2,2b3,b4成等差数列.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)令cn=,去掉数列{cn}中的第3k项(k∈N*),余下的项顺序不变,构成新数列{tn},写出数列{tn}的前4项并求{tn}的前2n项和S2n.
2.(2026·辽宁葫芦岛模拟)设数列{an}是公差大于1的等差数列,{an},{bn}满足=-,记Sn,Tn分别为数列{an},{bn}的前n项和,且2a1=a2,S2+T2=16.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若存在n∈N*,使得10Tn-9n+t+t2<3,求实数t的取值范围.
3.已知数列{an}是公比q≠1的等比数列,且a4=27,3a1,2a2,a3成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)设b1=a1,=an+1,cn=,记Tn=c1+c2+c3+…+cn,求证:Tn<1.
4.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=3且Sn=an+1-3n-3(n∈N*).
(1)求出a2,并求出an与an+1的递推关系;
(2)证明数列是等比数列,并求出数列{an}的通项公式;
(3)在an与an+1之间插入n个数,使得包括an与an+1在内的这n+2个数成等差数列,其公差为bn,若对任意n∈N*,有λ≥恒成立,求实数λ的最小值.

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