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(共56张PPT)
第3节　空间直线、平面的平行
[课程标准要求]
1.从定义和基本事实出发,借助长方体,通过直观感知,了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系,归纳出有关平行的性质定理和判定定理,并加以证明.2.能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题.
夯实·必备知识
知识梳理
1.直线与平面平行的判定定理和性质定理
定理 文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线 ,那么该直线与此平面平行(线线平行 线面平行) , ,
l∥α
性质 定理 一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行(线面平行 线线平行) , ,
l∥b
l∥a
平行
a α
l α
l∥α
l β
α∩β=b
(1)若直线l与平面α平行,则直线l与平面α内的任意直线平行或异面.
(2)线面平行强调的是平面外的直线与平面内的直线的平行关系.
释疑
·
2.平面与平面平行的判定定理和性质定理
定理 文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行(线面平行 面面平行) , ,
, ,
α∥β
性质 定理 两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行(面面平行 线线平行) , ,
a∥b
a∥β
b∥β
a∩b=P
a α
b α
α∥β
α∩γ=a
β∩γ=b
(1)若两个平面平行,则其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.
(2)判定定理的推论:如果一个平面内的两条相交直线与另一平面内的两条相交直线分别对应平行,那么这两个平面平行.
释疑
·
1.平行间的三种转化关系
2.平行关系中的三个重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a⊥α,a⊥β,则α∥β.
(2)平行于同一平面的两个平面平行,即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.
(3)垂直于同一个平面的两条直线平行,即若a⊥α,b⊥α,则a∥b.
重要结论
3.平行问题中的唯一性
(1)过直线外一点与该直线平行的直线有且只有一条.
(2)过平面外一点,与该平面平行的平面有且只有一个.
重要结论
基础自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)若一条直线平行于一个平面内的两条直线,则这条直线平行于这个平面.
(　　)
(2)直线a∥直线b,那么过直线b且平行于直线a的平面只有一个.(　　)
(3)若直线a 平面α,直线b 平面β,a∥b,则α∥β.(　　)
(4)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线也相互平行.
(　　)
×
×
×
×
2.(人教A版必修第二册P143习题8.5 T1改编)如果直线 a∥平面α,那么直线a
(　　)
A.仅与平面α内的一条直线不相交
B.仅与平面α内的两条直线不相交
C.与平面α内的无数条直线不相交
D.与平面α内的任意一条直线都不相交
【解析】 因为直线a∥平面α,直线a与平面α无公共点,因此直线a与平面α内的任意一条直线都不相交.故选D.
D
3.(人教A版必修第二册P138例3改编)如图所示是长方体被一平面所截得的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为　　 　　.
平行四边形
【解析】 因为平面ABFE∥平面DCGH,又平面EFGH∩平面DCGH=HG,且平面EFGH∩平面ABFE=EF,所以EF∥HG,同理EH∥FG,所以四边形EFGH是平行四边形.
4.(人教A版必修第二册P144习题8.5 T12改编)在三棱锥A-BCD中,AB=CD=1,过线段BC的中点E作平面EFGH与直线AB,CD都平行,且分别交BD,AD,AC于点F,G,H,则四边形EFGH的周长为　　　　.
2
提升·关键能力
直线与平面平行的判定与性质
考点1
角度1　直线与平面平行的判定
[例1] 如图,在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,BC=2B1C1.求证:BB1∥平面ACD1.
【证明】 如图,连接BD交AC于点E,连接ED1,B1D1,
BD,B1D1分别是正四棱台的对角面BDD1B1与下底面和上底面的交线,
则BD∥B1D1,
即BE∥B1D1;
又BC=2B1C1,所以BD=2B1D1=2BE,即BE=B1D1,
所以四边形BED1B1是平行四边形,
所以BB1∥ED1,
又BB1 平面ACD1,ED1 平面ACD1,所以BB1∥平面ACD1.
证明线面平行问题的解题策略
证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线,解题的思路是利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行及面面平行的性质,或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.
解题策略
·
[针对训练] 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,
N为线段AB的中点.证明:AC1∥平面B1CN.
【证明】如图,连接BC1交B1C于点O,连接ON,
则O为BC1的中点,又N为AB的中点,
则AC1∥ON,因为AC1 平面B1CN,
ON 平面B1CN,所以AC1∥平面B1CN.
角度2　直线与平面平行的性质
[例2] (2026·福建莆田模拟)如图,在三棱锥A-BCD中,平行于AD与BC的截面分别交AB,AC,CD,BD于点E,F,G,H.求证:截面EFGH为平行四边形.
【证明】 由题意知,AD∥平面EFGH,BC∥平面EFGH,
因为AD 平面ACD,AD 平面ABD,平面ACD∩平面EFGH=FG,
平面ABD∩平面EFGH=EH,
所以FG∥AD,EH∥AD,
所以FG∥EH.
因为BC 平面ABC,BC 平面BCD,平面ABC∩平面EFGH=EF,
平面BCD∩平面EFGH=HG,
所以EF∥BC,HG∥BC,所以EF∥HG.
所以截面EFGH为平行四边形.
解题策略
·
应用线面平行性质定理的关键是确定交线的位置,有时需要利用已知直线作辅助平面来确定交线.
[针对训练] 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,Q为AD的中点,点M在侧棱PC上且PM=tPC.若PA∥平面MQB,试确定实数t的值.
平面与平面平行的判定与性质
考点2
[例3] 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中
点.求证:平面EFA1∥平面BCHG.
[变式探究1] 在本例中,若将条件“E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点”改为“若D1,D分别为B1C1,BC的中点”,求证:平面A1BD1∥平面AC1D.
【证明】如图所示,连接A1C,AC1,设A1C与AC1的交点为M,连接DM,
因为四边形A1ACC1是平行四边形,所以M是A1C的中点,
因为D为BC的中点,所以A1B∥DM.
因为DM 平面A1BD1,A1B 平面A1BD1,所以DM∥平面A1BD1.
因为四边形BB1C1C为平行四边形,所以BC∥B1C1且BC=B1C1,
因为D,D1分别为BC,B1C1的中点,所以BD∥C1D1且BD=C1D1,
所以四边形BDC1D1为平行四边形,所以DC1∥BD1,
又DC1 平面A1BD1,BD1 平面A1BD1,所以DC1∥平面A1BD1.
因为DC1∩DM=D,DC1,DM 平面AC1D,所以平面A1BD1∥平面AC1D.
(1)判断、证明面面平行的方法.
①面面平行的定义;
②面面平行的判定定理:如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平
行,那么这两个平面平行;
③垂直于同一条直线的两个平面平行;
④如果两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行;
⑤利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化.
解题策略
·
(2)面面平行性质的应用.
①两平面平行,构造与之相交的第三个平面,可得交线平行;
②两平面平行,其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行,可用于证明线面平行.
解题策略
·
平行关系的综合应用
考点3
[例4] (2026·青海海东模拟)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是棱AB,BB1,A1B1的中点.
(1)【证明】 如图所示,连接EG,
因为E,G分别是棱AB,A1B1的中点,
所以EG∥BB1,EG=BB1,
由长方体的性质可知BB1∥CC1,BB1=CC1,则EG∥CC1且EG=CC1,
所以四边形CEGC1是平行四边形,所以CE∥C1G,
又因为CE 平面CEF,且C1G 平面CEF,所以C1G∥平面CEF.
(1)证明:C1G∥平面CEF.
(1)在解决有关线面、面面平行的判定的问题时,一般从“线线平行”到“线面平行”,再到“面面平行”;而在应用性质定理时,其顺序恰好相反.但也要注意,转化的方向总是由题目的具体条件而定,绝不可过于“模式化”.
(2)解答探索性问题的基本策略是先假设,再严格证明,先猜想再证明是学习和研究的重要思想方法.
解题策略
·
(1)求证:l∥AD.
(1)【证明】 因为在梯形ABCD中,BC∥AD,又BC 平面PAD,AD 平面PAD,所以BC∥平面PAD,因为BC 平面PBC,平面PBC∩平面PAD=l,所以BC∥l,因为BC∥AD,所以l∥AD.
(2)若M是线段CE上一动点,则线段AD上是否存在点N,使MN∥平面PAB 说明理由.
(2)【解】 当N为线段AD的中点时,MN∥平面PAB,理由如下:
如图,取AD的中点N,连接CN,EN,
因为E,N分别为PD,AD的中点,
所以EN∥PA,因为EN 平面PAB,PA 平面PAB,
所以EN∥平面PAB.
因为CE∩EN=E,CE,EN 平面CEN,所以平面CEN∥平面PAB,
因为M是CE上的动点,MN 平面CEN,
所以MN∥平面PAB,
所以当N为线段AD的中点时,MN∥平面PAB.
微点提能11　
空间几何体的截面问题
微点解读
1.在立体几何中,用一个平面去截几何体(包括圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥、长方体、正方体等),此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面,利用平面的性质确定截面形状是解决截面问题的关键.
2.确定截面的主要依据
(1)平面的基本事实.
(2)直线和平面平行的判定和性质.
(3)两个平面平行的性质.
(4)球的截面的性质.
微点解读
3.作截面的三种常用方法
一是直接法,解题关键是截面上的点在几何体的棱上,且两两在一个平面内,可以直接借助基本事实2作出截面.
二是作平行线法,解题关键是截面与几何体的两个平行平面相交,或者截面上有一条直线与几何体的某一个面平行,可借助线面平行的性质定理和面面平行的性质定理作出截面.
三是延长交线得交点,解题关键是截面上的点中至少有两个点在几何体的同一个面上,可通过作延长线得到的交点辅助得出截面与立体几何图形的交
点,进而得交线和截面图形.
题型一　截面的形状问题
[典例1] 已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是线段BB1上靠近B1的三等分点,点F是线段D1C1上靠近D1的三等分点,则平面AEF截正方体ABCD-A1B1C1D1形成的截面图形为(　　)
A.三角形 B.四边形
C.五边形 D.六边形
题型演绎
C
求解截面形状问题的关键点是确定截面与几何体各面的交线数量,从而确定截面边数.方法如下:
(1)从已知点出发,利用线面平行或面面平行性质,逐步延长线段找到与其他棱的交点,确保交线完整.
(2)注意几何体对称性对截面形状的影响(如正方体中中点连线常形成规则多边形).
(3)避免遗漏交线,尤其当截面跨越多面时,需逐一分析每个面与截面的交线.
解题策略
·
[拓展演练] (多选)(2026·安徽阜阳模拟)若用一平面去截一个四棱锥,则截面的形状可能是(　 　)
A.三角形 B.四边形
C.五边形 D.六边形
ABC
【解析】 如图所示,
(1)截面为三角形,
(2)截面为四边形,
(3)截面为五边形,
而四棱锥共5个面,故截面的形状不可能是六边形.故选ABC.
题型二　截面的周长或面积问题
[典例2] 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M,N,E,F分别是A1B1,AD,
B1C1,C1D1的中点,则过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面的面积为
　　　　.
(1)求解截面面积问题的关键点是明确截面多边形的形状(如三角形、四边形、五边形等),计算其面积.方法如下:
①对于规则多边形(如正六边形、等腰梯形),利用对应面积公式计算,对于不规则多边形,可分割为三角形、梯形等基本图形求和;
②借助相似三角形确定线段比例,进而求得关键边长或高;
③注意截面与几何体轴线的位置关系,可能影响高或边长的计算.
解题策略
·
(2)求解截面周长问题的关键点是准确求出截面各边的长度并求和.方法
如下:
①先确定截面各顶点在几何体棱上的位置,通过解三角形(如勾股定理、余弦定理)计算每条边的长度;
②利用几何体棱长与交点位置的比例关系(如中点、三等分点)计算;
③注意截面跨越多面时,相邻边的连接点需在同一平面内,确保周长计算的准确性.
解题策略
·
[拓展演练] (2026·河南郑州模拟)如图,已知正四棱锥P-ABCD的所有棱长均为4,点E为PB的中点,点F在PC上,FC=3PF,点G为AD的中点,则平面EFG截正四棱锥P-ABCD所得截面的周长为　　　　　　　　.
【解析】 如图,延长FE与CB的延长线交于点H,连接HG与AB交于点L,连接EL,延长HG与CD的延长线交于点M,连接FM与PD交于点N,连接GN,则平面EFG截正四棱锥P-ABCD所得的截面为五边形FELGN,如图所示,
谢谢观赏第3节　空间直线、平面的平行
[课程标准要求] 1.从定义和基本事实出发,借助长方体,通过直观感知,了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系,归纳出有关平行的性质定理和判定定理,并加以证明.2.能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题.
1.直线与平面平行的判定定理和性质定理
定理 文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行(线线平行 线面平行) l∥a, a α, l α l∥α
性质 定理 一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行(线面平行 线线平行) l∥α, l β, α∩β=b l∥b
(1)若直线l与平面α平行,则直线l与平面α内的任意直线平行或异面.
(2)线面平行强调的是平面外的直线与平面内的直线的平行关系.
2.平面与平面平行的判定定理和性质定理
定理 文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行(线面平行 面面平行) a∥β,b∥β, a∩b=P, a α,b α α∥β
性质 定理 两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行(面面平行 线线平行) α∥β, α∩γ=a, β∩γ=b a∥b
(1)若两个平面平行,则其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.
(2)判定定理的推论:如果一个平面内的两条相交直线与另一平面内的两条相交直线分别对应平行,那么这两个平面平行.
1.平行间的三种转化关系
2.平行关系中的三个重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a⊥α,a⊥β,则α∥β.
(2)平行于同一平面的两个平面平行,即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.
(3)垂直于同一个平面的两条直线平行,即若a⊥α,b⊥α,则a∥b.
3.平行问题中的唯一性
(1)过直线外一点与该直线平行的直线有且只有一条.
(2)过平面外一点,与该平面平行的平面有且只有一个.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)若一条直线平行于一个平面内的两条直线,则这条直线平行于这个平面.(　　)
(2)直线a∥直线b,那么过直线b且平行于直线a的平面只有一个.(　　)
(3)若直线a 平面α,直线b 平面β,a∥b,则α∥β.(　　)
(4)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线也相互平行.(　　)
【答案】 (1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2.(人教A版必修第二册P143习题8.5 T1改编)如果直线 a∥平面α,那么直线a(　　)
A.仅与平面α内的一条直线不相交
B.仅与平面α内的两条直线不相交
C.与平面α内的无数条直线不相交
D.与平面α内的任意一条直线都不相交
【答案】 D
【解析】 因为直线a∥平面α,直线a与平面α无公共点,因此直线a与平面α内的任意一条直线都不相交.故选D.
3.(人教A版必修第二册P138例3改编)如图所示是长方体被一平面所截得的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为　　　　.
【答案】 平行四边形
【解析】 因为平面ABFE∥平面DCGH,又平面EFGH∩平面DCGH=HG,且平面EFGH∩平面ABFE=EF,所以EF∥HG,同理EH∥FG,所以四边形EFGH是平行四边形.
4.(人教A版必修第二册P144习题8.5 T12改编)在三棱锥A-BCD中,AB=CD=1,过线段BC的中点E作平面EFGH与直线AB,CD都平行,且分别交BD,AD,AC于点F,G,H,则四边形EFGH的周长为　　　　.
【答案】 2
【解析】如图,因为AB∥平面EFGH,AB 平面ABC,
平面ABC∩平面EFGH=EH,所以AB∥EH,又点E为BC的中点,所以EH为△ABC的中位线,
故EH=AB=.同理,EF=FG=GH=,
所以四边形EFGH的周长为2.
直线与平面平行的判定与性质
角度1　直线与平面平行的判定
[例1] 如图,在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,BC=2B1C1.求证:BB1∥平面ACD1.
【证明】 如图,连接BD交AC于点E,连接ED1,B1D1,
BD,B1D1分别是正四棱台的对角面BDD1B1与下底面和上底面的交线,则BD∥B1D1,
即BE∥B1D1;
又BC=2B1C1,所以BD=2B1D1=2BE,即BE=B1D1,
所以四边形BED1B1是平行四边形,
所以BB1∥ED1,
又BB1 平面ACD1,ED1 平面ACD1,所以BB1∥平面ACD1.
证明线面平行问题的解题策略
证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线,解题的思路是利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行及面面平行的性质,或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.
[针对训练] 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,N为线段AB的中点.证明:AC1∥平面B1CN.
【证明】如图,连接BC1交B1C于点O,连接ON,则O为BC1的中点,又N为AB的中点,则AC1∥ON,因为AC1 平面B1CN,ON 平面B1CN,所以AC1∥平面B1CN.
角度2　直线与平面平行的性质
[例2] (2026·福建莆田模拟)如图,在三棱锥A-BCD中,平行于AD与BC的截面分别交AB,AC,CD,BD于点E,F,G,H.求证:截面EFGH为平行四边形.
【证明】 由题意知,AD∥平面EFGH,BC∥平面EFGH,
因为AD 平面ACD,AD 平面ABD,平面ACD∩平面EFGH=FG,平面ABD∩平面EFGH=EH,
所以FG∥AD,EH∥AD,
所以FG∥EH.
因为BC 平面ABC,BC 平面BCD,平面ABC∩平面EFGH=EF,平面BCD∩平面EFGH=HG,
所以EF∥BC,HG∥BC,所以EF∥HG.
所以截面EFGH为平行四边形.
应用线面平行性质定理的关键是确定交线的位置,有时需要利用已知直线作辅助平面来确定交线.
[针对训练] 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,Q为AD的中点,点M在侧棱PC上且PM=tPC.若PA∥平面MQB,试确定实数t的值.
【解】 如图,连接BD,AC,AC交BQ于点N,交BD于点O,连接MN,易知O为BD的中点.
因为BQ,AO分别为正三角形ABD的边AD,BD上的中线,所以N为正三角形ABD的中心.
设菱形ABCD的边长为a,则AN=AO=×a=a,AC=2AO=2×a=a.
因为PA∥平面MQB,PA 平面PAC,平面PAC∩平面MQB=MN,所以PA∥MN.
所以===.
即PM=PC,所以实数t的值为.
平面与平面平行的判定与性质
[例3] 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点.求证:平面EFA1∥平面BCHG.
【证明】 因为E,F分别为AB,AC的中点,所以EF∥BC,因为EF 平面BCHG,BC 平面BCHG,
所以EF∥平面BCHG.
因为在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1∥AB,且A1B1=AB,
所以A1G∥EB,且A1G=A1B1=AB=EB,所以四边形A1EBG是平行四边形,所以A1E∥GB,
因为A1E 平面BCHG,GB 平面BCHG,所以A1E∥平面BCHG.
因为A1E∩EF=E,A1E,EF 平面EFA1,
所以平面EFA1∥平面BCHG.
[变式探究1] 在本例中,若将条件“E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点”改为“若D1,D分别为B1C1,BC的中点”,求证:平面A1BD1∥平面AC1D.
【证明】如图所示,连接A1C,AC1,设A1C与AC1的交点为M,连接DM,
因为四边形A1ACC1是平行四边形,所以M是A1C的中点,
因为D为BC的中点,所以A1B∥DM.
因为DM 平面A1BD1,A1B 平面A1BD1,所以DM∥平面A1BD1.
因为四边形BB1C1C为平行四边形,所以BC∥B1C1且BC=B1C1,
因为D,D1分别为BC,B1C1的中点,所以BD∥C1D1且BD=C1D1,
所以四边形BDC1D1为平行四边形,所以DC1∥BD1,
又DC1 平面A1BD1,BD1 平面A1BD1,所以DC1∥平面A1BD1.
因为DC1∩DM=D,DC1,DM 平面AC1D,
所以平面A1BD1∥平面AC1D.
[变式探究2] 在本例中,若将条件“E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点”改为“若点D,D1分别是AC,A1C1上的点,且平面BC1D∥平面AB1D1”,试求的值.
【解】 如图,连接A1B交AB1于点O,连接OD1,
因为平面BC1D∥平面AB1D1,且平面A1BC1∩平面BC1D=BC1,平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O,所以BC1∥D1O,
同理可得AD1∥DC1,
所以==1,即D1为A1C1的中点,
所以D为AC的中点,即=1.
(1)判断、证明面面平行的方法.
①面面平行的定义;
②面面平行的判定定理:如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行;
③垂直于同一条直线的两个平面平行;
④如果两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行;
⑤利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化.
(2)面面平行性质的应用.
①两平面平行,构造与之相交的第三个平面,可得交线平行;
②两平面平行,其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行,可用于证明线面平行.
平行关系的综合应用
[例4] (2026·青海海东模拟)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是棱AB,BB1,A1B1的中点.
(1)证明:C1G∥平面CEF.
(2)在棱AA1上是否存在点H,使得平面C1GH∥平面CEF 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
(1)【证明】 如图所示,连接EG,
因为E,G分别是棱AB,A1B1的中点,
所以EG∥BB1,EG=BB1,
由长方体的性质可知BB1∥CC1,BB1=CC1,则EG∥CC1且EG=CC1,
所以四边形CEGC1是平行四边形,所以CE∥C1G,
又因为CE 平面CEF,且C1G 平面CEF,所以C1G∥平面CEF.
(2)【解】 在棱AA1上存在点H,使得平面C1GH∥平面CEF,理由如下:
如图,取棱AA1的中点H,连接GH,C1H,平面C1GH∥平面CEF,此时=.理由如下:
连接AB1,因为E,F分别为棱AB,BB1的中点,所以EF∥AB1,
因为G,H分别为棱A1B1,A1A的中点,所以GH∥AB1,所以GH∥EF,
因为EF 平面CEF,且GH 平面CEF,所以GH∥平面CEF,
由(1)可知C1G∥平面CEF,且C1G,GH 平面C1GH,C1G∩GH=G,
所以平面C1GH∥平面CEF,
故在棱AA1上存在点H,使得平面C1GH∥平面CEF,此时=.
(1)在解决有关线面、面面平行的判定的问题时,一般从“线线平行”到“线面平行”,再到“面面平行”;而在应用性质定理时,其顺序恰好相反.但也要注意,转化的方向总是由题目的具体条件而定,绝不可过于“模式化”.
(2)解答探索性问题的基本策略是先假设,再严格证明,先猜想再证明是学习和研究的重要思想方法.
[针对训练] (2026·安徽安庆模拟)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,BC∥AD,BC=AD,平面PBC∩平面PAD=l,E是PD的中点.
(1)求证:l∥AD.
(2)若M是线段CE上一动点,则线段AD上是否存在点N,使MN∥平面PAB 说明理由.
(1)【证明】 因为在梯形ABCD中,BC∥AD,又BC 平面PAD,AD 平面PAD,所以BC∥平面PAD,因为BC 平面PBC,平面PBC∩平面PAD=l,所以BC∥l,因为BC∥AD,所以l∥AD.
(2)【解】 当N为线段AD的中点时,MN∥平面PAB,理由如下:
如图,取AD的中点N,连接CN,EN,
因为E,N分别为PD,AD的中点,
所以EN∥PA,因为EN 平面PAB,PA 平面PAB,所以EN∥平面PAB.
取PA的中点F,连接EF,BF,
则EF∥AD,EF=AD,
则EF∥BC,且EF=BC,
所以四边形BCEF为平行四边形,则CE∥BF,
因为BF 平面PAB,CE 平面PAB,
所以CE∥平面PAB.
因为CE∩EN=E,CE,EN 平面CEN,所以平面CEN∥平面PAB,
因为M是CE上的动点,MN 平面CEN,所以MN∥平面PAB,所以当N为线段AD的中点时,MN∥平面PAB.
微点提能11　空间几何体的截面问题
1.在立体几何中,用一个平面去截几何体(包括圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥、长方体、正方体等),此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面,利用平面的性质确定截面形状是解决截面问题的关键.
2.确定截面的主要依据
(1)平面的基本事实.
(2)直线和平面平行的判定和性质.
(3)两个平面平行的性质.
(4)球的截面的性质.
3.作截面的三种常用方法
一是直接法,解题关键是截面上的点在几何体的棱上,且两两在一个平面内,可以直接借助基本事实2作出截面.
二是作平行线法,解题关键是截面与几何体的两个平行平面相交,或者截面上有一条直线与几何体的某一个面平行,可借助线面平行的性质定理和面面平行的性质定理作出截面.
三是延长交线得交点,解题关键是截面上的点中至少有两个点在几何体的同一个面上,可通过作延长线得到的交点辅助得出截面与立体几何图形的交点,进而得交线和截面图形.
题型一　截面的形状问题
[典例1] 已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是线段BB1上靠近B1的三等分点,点F是线段D1C1上靠近D1的三等分点,则平面AEF截正方体ABCD-A1B1C1D1形成的截面图形为(　　)
A.三角形 B.四边形
C.五边形 D.六边形
【答案】 C
【解析】如图,设AB=6,分别延长AE,A1B1交于点G,此时B1G=3,
连接FG交B1C1于H,连接EH,
设平面AEF与平面DCC1D1的交线为l,则F∈l,
因为平面ABB1A1∥平面DCC1D1,平面AEF∩平面ABB1A1=AE,平面AEF∩平面DCC1D1=l,所以l∥AE,
设l∩D1D=I,则FI∥AE,
此时△FD1I∽△ABE,故ID1=,连接AI,五边形AIFHE为所求截面图形.故选C.
求解截面形状问题的关键点是确定截面与几何体各面的交线数量,从而确定截面边数.方法如下:
(1)从已知点出发,利用线面平行或面面平行性质,逐步延长线段找到与其他棱的交点,确保交线完整.
(2)注意几何体对称性对截面形状的影响(如正方体中中点连线常形成规则多边形).
(3)避免遗漏交线,尤其当截面跨越多面时,需逐一分析每个面与截面的交线.
[拓展演练] (多选)(2026·安徽阜阳模拟)若用一平面去截一个四棱锥,则截面的形状可能是(　　)
A.三角形 B.四边形
C.五边形 D.六边形
【答案】 ABC
【解析】 如图所示,
(1)截面为三角形,
(2)截面为四边形,
(3)截面为五边形,
而四棱锥共5个面,故截面的形状不可能是六边形.故选ABC.
题型二　截面的周长或面积问题
[典例2] 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M,N,E,F分别是A1B1,AD,B1C1,C1D1的中点,则过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面的面积为　　　　.
【答案】 2
【解析】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设CD,BC的中点分别为H,G,连接HE,HG,GE,HF,ME,NH.
易知ME∥NH,ME=NH,所以四边形MEHN是平行四边形,所以MN∥HE.
因为MN 平面EFHG,HE 平面EFHG,所以MN∥平面EFHG,所以平面EFHG为过EF且与MN平行的平面,平面EFHG截正方体所得截面为矩形EFHG,EF=,FH=2,所以截面EFHG的面积为2×=2.
(1)求解截面面积问题的关键点是明确截面多边形的形状(如三角形、四边形、五边形等),计算其面积.方法如下:
①对于规则多边形(如正六边形、等腰梯形),利用对应面积公式计算,对于不规则多边形,可分割为三角形、梯形等基本图形求和;
②借助相似三角形确定线段比例,进而求得关键边长或高;
③注意截面与几何体轴线的位置关系,可能影响高或边长的计算.
(2)求解截面周长问题的关键点是准确求出截面各边的长度并求和.方法如下:
①先确定截面各顶点在几何体棱上的位置,通过解三角形(如勾股定理、余弦定理)计算每条边的长度;
②利用几何体棱长与交点位置的比例关系(如中点、三等分点)计算;
③注意截面跨越多面时,相邻边的连接点需在同一平面内,确保周长计算的准确性.
[拓展演练] (2026·河南郑州模拟)如图,已知正四棱锥P-ABCD的所有棱长均为4,点E为PB的中点,点F在PC上,FC=3PF,点G为AD的中点,则平面EFG截正四棱锥P-ABCD所得截面的周长为　　　　　　　　.
【答案】 4+2+2
【解析】 如图,延长FE与CB的延长线交于点H,连接HG与AB交于点L,连接EL,延长HG与CD的延长线交于点M,连接FM与PD交于点N,连接GN,则平面EFG截正四棱锥P-ABCD所得的截面为五边形FELGN,如图所示,
易知EL=NG=2,LG=2,
FE=FN===,
所以五边形FELGN的周长为4+2+2.
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
直线与平面平行的判定与性质 2,4,5,6,7
平面与平面平行的判定与性质 1,9
平行关系的综合应用 3,8,10,11,12
一、选择题
1.(2026·辽宁抚顺模拟)下列说法正确的是(　　)
A.一个平面内有一条直线与另外一个平面平行,则这两个平面平行
B.一个平面内有两条直线与另外一个平面平行,则这两个平面平行
C.一个平面内有无数条直线与另外一个平面平行,则这两个平面平行
D.一个平面内有两条相交直线与另外一个平面平行,则这两个平面平行
【答案】 D
【解析】 一个平面内有一条直线与另外一个平面平行,则这两个平面可能相交或平行,A错误;
一个平面内有两条直线与另外一个平面平行,则这两个平面可能相交或平行,B错误;
一个平面内有无数条直线与另外一个平面平行,则这两个平面可能相交或平行,C错误;
一个平面内有两条相交直线与另外一个平面平行,根据面面平行的判定定理可知,这两个平面平行,D正确.故选D.
2.设α,β是两个不同的平面,α∩β=l,m是异于l的一条直线,则“m∥l”是“m∥β且m∥α”的(　　)
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】 A
【解析】 当m∥l时,m可能在α内或者β内,故不能推出m∥β且m∥α,
所以充分性不成立;
当m∥β且m∥α时,设存在直线n α,n β,且n∥m,
因为m∥β,所以n∥β,根据直线与平面平行的性质定理,可得n∥l,所以m∥l,即必要性成立,故“m∥l”是“m∥β且m∥α”的必要不充分条件.故选A.
3.(2026·四川成都模拟)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,若K为棱A1B1的中点,过A,C,K三点作正方体的截面,则截面的周长为(　　)
A.2+3 B.6
C.2+3 D.+2+3
【答案】 A
【解析】如图,取B1C1的中点M,连接KM,MC,A1C1,则KM∥A1C1.
因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1∥CC1,AA1=CC1,所以四边形AA1C1C是平行四边形,所以AC∥A1C1,
又KM∥A1C1,所以KM∥AC,则四边形KMCA即为过A,C,K三点的截面,
因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,
所以AC=2,KM=,AK=MC==,
则截面的周长为AC+KM+AK+MC=2+++=2+3.故选A.
4.(2026·辽宁沈阳模拟)在四棱锥P-ABCD中,E,F分别是线段AP,BC上的点,=,则下列条件可以确定EF∥平面PCD的是(　　)
A.AB∥CD B.AD∥BC
C.BC∥平面PAD D.AB=AD,CB=CD
【答案】 A
【解析】如图,设点M是对角线AC上一点,满足=,
连接EM,FM,则有EM∥PC,又EM 平面PCD,PC 平面PCD,所以EM∥平面PCD,要使EF∥平面PCD,则平面EMF∥平面PCD,需使MF∥DC.
对于A,在四边形ABCD中,由AB∥CD,==,可得MF∥AB∥DC,故A正确;
对于B,因为AD∥BC,==,但AD与BC不一定相等,所以四边形ABCD不一定是平行四边形,从而得不到MF∥DC,故B错误;
对于C,因为BC∥平面PAD,BC 平面ABCD,平面ABCD∩平面PAD=AD,所以BC∥AD,结合B选项的分析,可得C错误;
对于D,结合B选项的分析,同样得不到MF∥DC,故D错误.故选A.
5.如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ平行的有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】 C
【解析】 对于①,如图,取BC中点O,连接OQ,则有OQ∥AB,又OQ∩平面MNQ=Q,所以AB与平面MNQ相交,故①错误;
对于②,如图,连接CD,由AB∥DC,MQ∥DC,得MQ∥AB,又MQ 平面MNQ,AB 平面MNQ,所以AB∥平面MNQ,故②正确;
对于③,如图,连接CD,由AB∥DC,MQ∥DC,得AB∥MQ,又MQ 平面MNQ,AB 平面MNQ,所以AB∥平面MNQ,故③正确;
对于④,如图,连接CD,由AB∥DC,NQ∥DC,得NQ∥AB,又NQ 平面MNQ,AB 平面MNQ,所以AB∥平面MNQ,故④正确.故选C.
6.(多选)(2026·江苏苏州模拟)在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为梯形,AB∥CD,则(　　)
A.平面ADD1A1内任意一条直线都不与BC平行
B.平面BCC1B1内存在无数条直线与平面ADD1A1平行
C.平面ABB1A1和平面CDD1C1的交线不与底面ABCD平行
D.平面ADD1A1和平面BCC1B1的交线不与底面ABCD平行
【答案】 ABD
【解析】如图,由条件可知,在梯形ABCD中,AD和BC是相交直线,且BC 平面ADD1A1,则直线BC与平面ADD1A1相交,所以平面ADD1A1内任意一条直线都不与BC平行,故A正确;
平面BCC1B1与平面ADD1A1相交,则平面BCC1B1内与交线平行的线都与平面ADD1A1平行,故B正确;
设平面ABB1A1和平面CDD1C1交于直线l,因为AB∥CD,AB 平面CDD1C1,CD 平面CDD1C1,所以AB∥平面CDD1C1,因为AB 平面ABB1A1,且平面ABB1A1∩平面CDD1C1=l,所以AB∥l,因为l 平面ABCD,AB 平面ABCD,所以l∥平面ABCD,故C错误;
设平面ADD1A1和平面BCC1B1交于直线m,若m∥平面ABCD,且平面ADD1A1∩平面ABCD=AD,平面BCC1B1∩平面ABCD=BC,则m∥AD,m∥BC,则AD∥BC,这与梯形的两腰不平行矛盾,故D正确.故选ABD.
二、填空题
7.(2026·江苏无锡模拟)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E是棱CC1的中点,D是棱BC上一点.若A1B∥平面ADE,则的值为　　　　.
【答案】 2
【解析】 连接A1C,与AE相交于点O,连接OD,
因为A1B∥平面ADE,平面A1BC∩平面ADE=OD,
A1B 平面A1BC,
所以A1B∥OD,
所以=,
因为AA1∥CE,所以△A1OA∽△COE,
所以==,则=,即=2.
8.如图所示是正方体的平面展开图.在这个正方体中,①BM∥平面AEND;②CN∥平面ABFE;③平面BDM∥平面AFN;④平面BDE∥平面NCF.以上四个命题中,正确命题的序号是　　　　.
【答案】 ①②③④
【解析】把正方体的平面展开图还原成正方体ABCD-EFMN,如图所示.
对于①,连接AN,则BM∥AN,BM 平面AEND,AN 平面AEND,所以BM∥平面AEND,命题①正确;
对于②,连接BE,则CN∥BE,CN 平面ABFE,BE 平面ABFE,所以CN∥平面ABFE,命题②正确;
对于③,因为BD∥FN,BD 平面AFN,FN 平面AFN,所以BD∥平面AFN,
又BM∥AN,BM 平面AFN,AN 平面AFN,
所以BM∥平面AFN,
又BD∩BM=B,BD,BM 平面BDM,所以平面BDM∥平面AFN,命题③正确;
对于④,因为BD∥FN,BD 平面NCF,FN 平面NCF,所以BD∥平面NCF,
又BE∥CN,BE 平面NCF,CN 平面NCF,所以BE∥平面NCF,
又BD∩BE=B,BD,BE 平面BDE,所以平面BDE∥平面NCF,命题④正确.
三、解答题
9.(2026·福建莆田模拟)如图,已知圆锥的母线长为2,底面圆的半径为1,点A,B,C为底面圆的三等分点,P,M,N分别是OA,OB,OC的中点.
(1)求证:平面PMN∥平面ABC.
(2)求三棱锥A-CMB的体积.
(1)【证明】 因为ON=NC,OM=MB,故MN∥BC,而MN 平面ABC,BC 平面ABC,故MN∥平面ABC,
同理PN∥平面ABC,而MN∩PN=N,MN,PN 平面PMN,故平面PMN∥平面ABC.
(2)【解】 因为圆锥的母线长为2,底面圆的半径为1,故圆锥的高为,
而点A,B,C为底面圆的三等分点,故△ABC为等边三角形,
因为其外接圆半径为1,故其边长为2sin =,
而===××××=.
10. (2026·山东济南模拟)如图,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点.
(1)求证:BC∥平面PAD.
(2)已知M,N分别是PC,AB的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于HG,求证:
①AP∥HG;
②MN∥平面PAD.
【证明】 (1)因为四边形ABCD是平行四边形,所以BC∥AD,又BC 平面PAD,AD 平面PAD,所以BC∥平面PAD.
(2)①连接AC,交BD于点O,连接MO,如图,
因为四边形ABCD是平行四边形,所以O是AC的中点,
又因为M是PC的中点,所以MO∥PA.
因为MO 平面BDM,PA 平面BDM,所以PA∥平面BDM.
又因为PA 平面PAHG,平面PAHG∩平面BDM=GH,所以AP∥HG.
②连接ON.
易知ON∥AD,显然ON 平面PAD,AD 平面PAD,所以ON∥平面PAD,
同理可得MO∥平面PAD,
又MO∩ON=O,MO,ON 平面MNO,
所以平面MNO∥平面PAD,
又因为MN 平面MNO,所以MN∥平面PAD.
11.(2026·湖北咸宁模拟)如图,在三棱锥P-ABC中,点D,F分别为棱PB,AC上的点,且PD=BD,AF=FC,E为线段BC上的点,若=λ,且满足AD∥平面PEF,则λ=(　　)
A. B. C. D.
【答案】 A
【解析】 如图,取BE的中点M,连接DM,AM,
由PD=BD,得D为PB的中点,因为M为BE的中点,所以MD∥PE,
又MD 平面PEF,PE 平面PEF,所以MD∥平面PEF,
因为AD∥平面PEF,且AD∩MD=D,AD,MD 平面ADM,
所以平面PEF∥平面ADM,
又AM 平面ADM,所以AM∥平面PEF.
又AM 平面ABC,平面ABC∩平面PEF=EF,所以AM∥EF.
因为AF=FC,所以ME=EC,所以=,故λ=.故选A.
12.(2026·上海杨浦模拟)如图所示,棱长为1的四面体木块,其四个面均为等边三角形,点P是△ABC的中心,过点P将木块锯开,使截面平行于直线AD和BC,则下列关于截面的说法正确的是(　　)
①截面是平行四边形;
②截面与侧面ABD的交线平行于侧面ACD.
A.① B.②
C.①② D.以上都不正确
【答案】 C
【解析】由题意可知,点P是△ABC的中心,过点P作EF∥BC,分别交AB,AC于点E,F,作FG∥AD交CD于G,设平面EFG与BD交于点H,如图,
由于BC 平面EFG,EF 平面EFG,故BC∥平面EFG,同理AD∥平面EFG,即四边形EFGH即为截面.
对于①,由于BC∥平面EFG,平面EFG∩平面BCD=HG,BC 平面BCD,
故BC∥HG,同理EH∥AD,又BC∥EF,FG∥AD,则HG∥EF,FG∥EH,故四边形EFGH为平行四边形,即截面是平行四边形,①正确;
对于②,由于截面与侧面ABD的交线为EH,且EH∥FG,FG 平面ACD,EH 平面ACD,故EH∥平面ACD,
即截面与侧面ABD的交线平行于侧面ACD,②正确.故选C.第3节　空间直线、平面的平行
[课程标准要求] 1.从定义和基本事实出发,借助长方体,通过直观感知,了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系,归纳出有关平行的性质定理和判定定理,并加以证明.2.能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题.
1.直线与平面平行的判定定理和性质定理
定理 文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线　　　　,那么该直线与此平面平行(线线平行 线面平行) 　　, 　　, 　　 l∥α
性质 定理 一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行(线面平行 线线平行) 　　, 　　, 　　　　 l∥b
(1)若直线l与平面α平行,则直线l与平面α内的任意直线平行或异面.
(2)线面平行强调的是平面外的直线与平面内的直线的平行关系.
2.平面与平面平行的判定定理和性质定理
定理 文字语言 图形语言 符号语言
判定 定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行(线面平行 面面平行) 　　,　　, 　　　　, 　　,　　 α∥β
性质 定理 两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行(面面平行 线线平行) 　　, 　　　　, 　　　　 a∥b
(1)若两个平面平行,则其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.
(2)判定定理的推论:如果一个平面内的两条相交直线与另一平面内的两条相交直线分别对应平行,那么这两个平面平行.
1.平行间的三种转化关系
2.平行关系中的三个重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a⊥α,a⊥β,则α∥β.
(2)平行于同一平面的两个平面平行,即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.
(3)垂直于同一个平面的两条直线平行,即若a⊥α,b⊥α,则a∥b.
3.平行问题中的唯一性
(1)过直线外一点与该直线平行的直线有且只有一条.
(2)过平面外一点,与该平面平行的平面有且只有一个.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)若一条直线平行于一个平面内的两条直线,则这条直线平行于这个平面.(　　)
(2)直线a∥直线b,那么过直线b且平行于直线a的平面只有一个.(　　)
(3)若直线a 平面α,直线b 平面β,a∥b,则α∥β.(　　)
(4)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线也相互平行.(　　)
2.(人教A版必修第二册P143习题8.5 T1改编)如果直线a∥ 平面α,那么直线a(　　)
A.仅与平面α内的一条直线不相交
B.仅与平面α内的两条直线不相交
C.与平面α内的无数条直线不相交
D.与平面α内的任意一条直线都不相交
3.(人教A版必修第二册P138例3改编)如图所示是长方体被一平面所截得的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为　　　　.
4.(人教A版必修第二册P144习题8.5 T12改编)在三棱锥ABCD中,AB=CD=1,过线段BC的中点E作平面EFGH与直线AB,CD都平行,且分别交BD,AD,AC于点F,G,H,则四边形EFGH的周长为　　　　.
直线与平面平行的判定与性质
角度1　直线与平面平行的判定
[例1] 如图,在正四棱台ABCDA1B1C1D1中,BC=2B1C1.求证:BB1∥平面ACD1.
听课记录:
证明线面平行问题的解题策略
证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线,解题的思路是利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行及面面平行的性质,或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.
[针对训练] 如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,N为线段AB的中点.证明:AC1∥平面B1CN.
角度2　直线与平面平行的性质
[例2] (2026·福建莆田模拟)如图,在三棱锥ABCD中,平行于AD与BC的截面分别交AB,AC,CD,BD于点E,F,G,H.求证:截面EFGH为平行四边形.
听课记录:
应用线面平行性质定理的关键是确定交线的位置,有时需要利用已知直线作辅助平面来确定交线.
[针对训练] 如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,Q为AD的中点,点M在侧棱PC上且PM=tPC.若PA∥平面MQB,试确定实数t的值.
平面与平面平行的判定与性质
[例3] 如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点.求证:平面EFA1∥平面BCHG.
听课记录:
[变式探究1] 在本例中,若将条件“E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点”改为“若D1,D分别为B1C1,BC的中点”,求证:平面A1BD1∥平面AC1D.
听课记录:
[变式探究2] 在本例中,若将条件“E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点”改为“若点D,D1分别是AC,A1C1上的点,且平面BC1D∥平面AB1D1”,试求的值.
听课记录:
(1)判断、证明面面平行的方法.
①面面平行的定义;
②面面平行的判定定理:如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行;
③垂直于同一条直线的两个平面平行;
④如果两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行;
⑤利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化.
(2)面面平行性质的应用.
①两平面平行,构造与之相交的第三个平面,可得交线平行;
②两平面平行,其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行,可用于证明线面平行.
平行关系的综合应用
[例4] (2026·青海海东模拟)如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,G分别是棱AB,BB1,A1B1的中点.
(1)证明:C1G∥平面CEF.
(2)在棱AA1上是否存在点H,使得平面C1GH∥平面CEF 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
听课记录:
(1)在解决有关线面、面面平行的判定的问题时,一般从“线线平行”到“线面平行”,再到“面面平行”;而在应用性质定理时,其顺序恰好相反.但也要注意,转化的方向总是由题目的具体条件而定,绝不可过于“模式化”.
(2)解答探索性问题的基本策略是先假设,再严格证明,先猜想再证明是学习和研究的重要思想方法.
[针对训练] (2026·安徽安庆模拟)如图所示,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为梯形, BC∥AD,BC=AD,平面PBC∩平面PAD=l,E是PD的中点.
(1)求证:l∥AD.
(2)若M是线段CE上一动点,则线段AD上是否存在点N,使MN∥平面PAB 说明理由.
微点提能11　空间几何体的截面问题
1.在立体几何中,用一个平面去截几何体(包括圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥、长方体、正方体等),此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面,利用平面的性质确定截面形状是解决截面问题的关键.
2.确定截面的主要依据
(1)平面的基本事实.
(2)直线和平面平行的判定和性质.
(3)两个平面平行的性质.
(4)球的截面的性质.
3.作截面的三种常用方法
一是直接法,解题关键是截面上的点在几何体的棱上,且两两在一个平面内,可以直接借助基本事实2作出截面.
二是作平行线法,解题关键是截面与几何体的两个平行平面相交,或者截面上有一条直线与几何体的某一个面平行,可借助线面平行的性质定理和面面平行的性质定理作出截面.
三是延长交线得交点,解题关键是截面上的点中至少有两个点在几何体的同一个面上,可通过作延长线得到的交点辅助得出截面与立体几何图形的交点,进而得交线和截面图形.
题型一　截面的形状问题
[典例1] 已知在正方体ABCDA1B1C1D1中,点E是线段BB1上靠近B1的三等分点,点F是线段D1C1上靠近D1的三等分点,则平面AEF截正方体ABCDA1B1C1D1形成的截面图形为(　　)
A.三角形 B.四边形
C.五边形 D.六边形
求解截面形状问题的关键点是确定截面与几何体各面的交线数量,从而确定截面边数.方法
如下:
(1)从已知点出发,利用线面平行或面面平行性质,逐步延长线段找到与其他棱的交点,确保交线完整.
(2)注意几何体对称性对截面形状的影响(如正方体中中点连线常形成规则多边形).
(3)避免遗漏交线,尤其当截面跨越多面时,需逐一分析每个面与截面的交线.
[拓展演练] (多选)(2026·安徽阜阳模拟)若用一平面去截一个四棱锥,则截面的形状可能是(　　)
A.三角形 B.四边形
C.五边形 D.六边形
题型二　截面的周长或面积问题
[典例2] 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,M,N,E,F分别是A1B1,AD,B1C1,C1D1的中点,则过EF且与MN平行的平面截正方体所得截面的面积为　　　　.
(1)求解截面面积问题的关键点是明确截面多边形的形状(如三角形、四边形、五边形等),计算其面积.方法如下:
①对于规则多边形(如正六边形、等腰梯形),利用对应面积公式计算,对于不规则多边形,可分割为三角形、梯形等基本图形求和;
②借助相似三角形确定线段比例,进而求得关键边长或高;
③注意截面与几何体轴线的位置关系,可能影响高或边长的计算.
(2)求解截面周长问题的关键点是准确求出截面各边的长度并求和.方法如下:
①先确定截面各顶点在几何体棱上的位置,通过解三角形(如勾股定理、余弦定理)计算每条边的长度;
②利用几何体棱长与交点位置的比例关系(如中点、三等分点)计算;
③注意截面跨越多面时,相邻边的连接点需在同一平面内,确保周长计算的准确性.
[拓展演练] (2026·河南郑州模拟)如图,已知正四棱锥PABCD的所有棱长均为4,点E为PB的中点,点F在PC上,FC=3PF,点G为AD的中点,则平面EFG截正四棱锥PABCD所得截面的周长为　　　　　　　　. 第3节　空间直线、平面的平行
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
直线与平面平行的判定与性质 2,4,5,6,7
平面与平面平行的判定与性质 1,9
平行关系的综合应用 3,8,10,11,12
一、选择题
1.(2026·辽宁抚顺模拟)下列说法正确的是(　　)
A.一个平面内有一条直线与另外一个平面平行,则这两个平面平行
B.一个平面内有两条直线与另外一个平面平行,则这两个平面平行
C.一个平面内有无数条直线与另外一个平面平行,则这两个平面平行
D.一个平面内有两条相交直线与另外一个平面平行,则这两个平面平行
【答案】 D
【解析】 一个平面内有一条直线与另外一个平面平行,则这两个平面可能相交或平行,A错误;
一个平面内有两条直线与另外一个平面平行,则这两个平面可能相交或平行,B错误;
一个平面内有无数条直线与另外一个平面平行,则这两个平面可能相交或平行,C错误;
一个平面内有两条相交直线与另外一个平面平行,根据面面平行的判定定理可知,这两个平面平行,D正确.故选D.
2.设α,β是两个不同的平面,α∩β=l,m是异于l的一条直线,则“m∥l”是“m∥β且m∥α”的(　　)
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】 A
【解析】 当m∥l时,m可能在α内或者β内,故不能推出m∥β且m∥α,
所以充分性不成立;
当m∥β且m∥α时,设存在直线n α,n β,且n∥m,
因为m∥β,所以n∥β,根据直线与平面平行的性质定理,可得n∥l,所以m∥l,即必要性成立,故“m∥l”是“m∥β且m∥α”的必要不充分条件.故选A.
3.(2026·四川成都模拟)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,若K为棱A1B1的中点,过A,C,K三点作正方体的截面,则截面的周长为(　　)
A.2+3 B.6
C.2+3 D.+2+3
【答案】 A
【解析】如图,取B1C1的中点M,连接KM,MC,A1C1,则KM∥A1C1.
因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1∥CC1,AA1=CC1,所以四边形AA1C1C是平行四边形,所以AC∥A1C1,
又KM∥A1C1,所以KM∥AC,则四边形KMCA即为过A,C,K三点的截面,
因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,
所以AC=2,KM=,AK=MC==,
则截面的周长为AC+KM+AK+MC=2+++=2+3.故选A.
4.(2026·辽宁沈阳模拟)在四棱锥P-ABCD中,E,F分别是线段AP,BC上的点,=,则下列条件可以确定EF∥平面PCD的是(　　)
A.AB∥CD B.AD∥BC
C.BC∥平面PAD D.AB=AD,CB=CD
【答案】 A
【解析】如图,设点M是对角线AC上一点,满足=,
连接EM,FM,则有EM∥PC,又EM 平面PCD,PC 平面PCD,所以EM∥平面PCD,要使EF∥平面PCD,则平面EMF∥平面PCD,需使MF∥DC.
对于A,在四边形ABCD中,由AB∥CD,==,可得MF∥AB∥DC,故A正确;
对于B,因为AD∥BC,==,但AD与BC不一定相等,所以四边形ABCD不一定是平行四边形,从而得不到MF∥DC,故B错误;
对于C,因为BC∥平面PAD,BC 平面ABCD,平面ABCD∩平面PAD=AD,所以BC∥AD,结合B选项的分析,可得C错误;
对于D,结合B选项的分析,同样得不到MF∥DC,故D错误.故选A.
5.如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ平行的有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】 C
【解析】 对于①,如图,取BC中点O,连接OQ,则有OQ∥AB,又OQ∩平面MNQ=Q,所以AB与平面MNQ相交,故①错误;
对于②,如图,连接CD,由AB∥DC,MQ∥DC,得MQ∥AB,又MQ 平面MNQ,AB 平面MNQ,所以AB∥平面MNQ,故②正确;
对于③,如图,连接CD,由AB∥DC,MQ∥DC,得AB∥MQ,又MQ 平面MNQ,AB 平面MNQ,所以AB∥平面MNQ,故③正确;
对于④,如图,连接CD,由AB∥DC,NQ∥DC,得NQ∥AB,又NQ 平面MNQ,AB 平面MNQ,所以AB∥平面MNQ,故④正确.故选C.
6.(多选)(2026·江苏苏州模拟)在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为梯形,AB∥CD,则(　　)
A.平面ADD1A1内任意一条直线都不与BC平行
B.平面BCC1B1内存在无数条直线与平面ADD1A1平行
C.平面ABB1A1和平面CDD1C1的交线不与底面ABCD平行
D.平面ADD1A1和平面BCC1B1的交线不与底面ABCD平行
【答案】 ABD
【解析】如图,由条件可知,在梯形ABCD中,AD和BC是相交直线,且BC 平面ADD1A1,则直线BC与平面ADD1A1相交,所以平面ADD1A1内任意一条直线都不与BC平行,故A正确;
平面BCC1B1与平面ADD1A1相交,则平面BCC1B1内与交线平行的线都与平面ADD1A1平行,故B正确;
设平面ABB1A1和平面CDD1C1交于直线l,因为AB∥CD,AB 平面CDD1C1,CD 平面CDD1C1,所以AB∥平面CDD1C1,因为AB 平面ABB1A1,且平面ABB1A1∩平面CDD1C1=l,所以AB∥l,因为l 平面ABCD,AB 平面ABCD,所以l∥平面ABCD,故C错误;
设平面ADD1A1和平面BCC1B1交于直线m,若m∥平面ABCD,且平面ADD1A1∩平面ABCD=AD,平面BCC1B1∩平面ABCD=BC,则m∥AD,m∥BC,则AD∥BC,这与梯形的两腰不平行矛盾,故D正确.故选ABD.
二、填空题
7.(2026·江苏无锡模拟)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E是棱CC1的中点,D是棱BC上一点.若A1B∥平面ADE,则的值为　　　　.
【答案】 2
【解析】 连接A1C,与AE相交于点O,连接OD,
因为A1B∥平面ADE,平面A1BC∩平面ADE=OD,
A1B 平面A1BC,
所以A1B∥OD,
所以=,
因为AA1∥CE,所以△A1OA∽△COE,
所以==,则=,即=2.
8.如图所示是正方体的平面展开图.在这个正方体中,①BM∥平面AEND;②CN∥平面ABFE;③平面BDM∥平面AFN;④平面BDE∥平面NCF.以上四个命题中,正确命题的序号是　　　　.
【答案】 ①②③④
【解析】把正方体的平面展开图还原成正方体ABCD-EFMN,如图所示.
对于①,连接AN,则BM∥AN,BM 平面AEND,AN 平面AEND,所以BM∥平面AEND,命题①正确;
对于②,连接BE,则CN∥BE,CN 平面ABFE,BE 平面ABFE,所以CN∥平面ABFE,命题②正确;
对于③,因为BD∥FN,BD 平面AFN,FN 平面AFN,所以BD∥平面AFN,
又BM∥AN,BM 平面AFN,AN 平面AFN,
所以BM∥平面AFN,
又BD∩BM=B,BD,BM 平面BDM,所以平面BDM∥平面AFN,命题③正确;
对于④,因为BD∥FN,BD 平面NCF,FN 平面NCF,所以BD∥平面NCF,
又BE∥CN,BE 平面NCF,CN 平面NCF,所以BE∥平面NCF,
又BD∩BE=B,BD,BE 平面BDE,所以平面BDE∥平面NCF,命题④正确.
三、解答题
9.(2026·福建莆田模拟)如图,已知圆锥的母线长为2,底面圆的半径为1,点A,B,C为底面圆的三等分点,P,M,N分别是OA,OB,OC的中点.
(1)求证:平面PMN∥平面ABC.
(2)求三棱锥A-CMB的体积.
(1)【证明】 因为ON=NC,OM=MB,故MN∥BC,而MN 平面ABC,BC 平面ABC,故MN∥平面ABC,
同理PN∥平面ABC,而MN∩PN=N,MN,PN 平面PMN,故平面PMN∥平面ABC.
(2)【解】 因为圆锥的母线长为2,底面圆的半径为1,故圆锥的高为,
而点A,B,C为底面圆的三等分点,故△ABC为等边三角形,
因为其外接圆半径为1,故其边长为2sin =,
而===××××=.
10. (2026·山东济南模拟)如图,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点.
(1)求证:BC∥平面PAD.
(2)已知M,N分别是PC,AB的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于HG,求证:
①AP∥HG;
②MN∥平面PAD.
【证明】 (1)因为四边形ABCD是平行四边形,所以BC∥AD,又BC 平面PAD,AD 平面PAD,所以BC∥平面PAD.
(2)①连接AC,交BD于点O,连接MO,如图,
因为四边形ABCD是平行四边形,所以O是AC的中点,
又因为M是PC的中点,所以MO∥PA.
因为MO 平面BDM,PA 平面BDM,所以PA∥平面BDM.
又因为PA 平面PAHG,平面PAHG∩平面BDM=GH,所以AP∥HG.
②连接ON.
易知ON∥AD,显然ON 平面PAD,AD 平面PAD,所以ON∥平面PAD,
同理可得MO∥平面PAD,
又MO∩ON=O,MO,ON 平面MNO,
所以平面MNO∥平面PAD,
又因为MN 平面MNO,所以MN∥平面PAD.
11.(2026·湖北咸宁模拟)如图,在三棱锥P-ABC中,点D,F分别为棱PB,AC上的点,且PD=BD,AF=FC,E为线段BC上的点,若=λ,且满足AD∥平面PEF,则λ=(　　)
A. B. C. D.
【答案】 A
【解析】 如图,取BE的中点M,连接DM,AM,
由PD=BD,得D为PB的中点,因为M为BE的中点,所以MD∥PE,
又MD 平面PEF,PE 平面PEF,所以MD∥平面PEF,
因为AD∥平面PEF,且AD∩MD=D,AD,MD 平面ADM,
所以平面PEF∥平面ADM,
又AM 平面ADM,所以AM∥平面PEF.
又AM 平面ABC,平面ABC∩平面PEF=EF,所以AM∥EF.
因为AF=FC,所以ME=EC,所以=,故λ=.故选A.
12.(2026·上海杨浦模拟)如图所示,棱长为1的四面体木块,其四个面均为等边三角形,点P是△ABC的中心,过点P将木块锯开,使截面平行于直线AD和BC,则下列关于截面的说法正确的是(　　)
①截面是平行四边形;
②截面与侧面ABD的交线平行于侧面ACD.
A.① B.②
C.①② D.以上都不正确
【答案】 C
【解析】由题意可知,点P是△ABC的中心,过点P作EF∥BC,分别交AB,AC于点E,F,作FG∥AD交CD于G,设平面EFG与BD交于点H,如图,
由于BC 平面EFG,EF 平面EFG,故BC∥平面EFG,同理AD∥平面EFG,即四边形EFGH即为截面.
对于①,由于BC∥平面EFG,平面EFG∩平面BCD=HG,BC 平面BCD,
故BC∥HG,同理EH∥AD,又BC∥EF,FG∥AD,则HG∥EF,FG∥EH,故四边形EFGH为平行四边形,即截面是平行四边形,①正确;
对于②,由于截面与侧面ABD的交线为EH,且EH∥FG,FG 平面ACD,EH 平面ACD,故EH∥平面ACD,
即截面与侧面ABD的交线平行于侧面ACD,②正确.故选C.第3节　空间直线、平面的平行
一、选择题
1.(2026·辽宁抚顺模拟)下列说法正确的是(　　)
A.一个平面内有一条直线与另外一个平面平行,则这两个平面平行
B.一个平面内有两条直线与另外一个平面平行,则这两个平面平行
C.一个平面内有无数条直线与另外一个平面平行,则这两个平面平行
D.一个平面内有两条相交直线与另外一个平面平行,则这两个平面平行
2.设α,β是两个不同的平面,α∩β=l,m是异于l的一条直线,则“m∥l”是“m∥β且m∥α”的(　　)
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.(2026·四川成都模拟)如图,已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,若K为棱A1B1的中点,过A,C,K三点作正方体的截面,则截面的周长为(　　)
A.2+3 B.6
C.2+3 D.+2+3
4.(2026·辽宁沈阳模拟)在四棱锥PABCD中,E,F分别是线段AP,BC上的点,=,则下列条件可以确定EF∥平面PCD的是(　　)
A.AB∥CD
B.AD∥BC
C.BC∥平面PAD
D.AB=AD,CB=CD
5.如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ平行的有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6.(多选)(2026·江苏苏州模拟)在四棱台ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD为梯形,AB∥CD,则(　　)
A.平面ADD1A1内任意一条直线都不与BC平行
B.平面BCC1B1内存在无数条直线与平面ADD1A1平行
C.平面ABB1A1和平面CDD1C1的交线不与底面ABCD平行
D.平面ADD1A1和平面BCC1B1的交线不与底面ABCD平行
二、填空题
7.(2026·江苏无锡模拟)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,E是棱CC1的中点,D是棱BC上一点.若A1B∥平面ADE,则的值为　　　　.
8.如图所示是正方体的平面展开图.在这个正方体中,①BM∥平面AEND;②CN∥平面ABFE;③平面BDM∥平面AFN;④平面BDE∥平面NCF.以上四个命题中,正确命题的序号是　　　　.
三、解答题
9.(2026·福建莆田模拟)如图,已知圆锥的母线长为2,底面圆的半径为1,点A,B,C为底面圆的三等分点,P,M,N分别是OA,OB,OC的中点.
(1)求证:平面PMN∥平面ABC.
(2)求三棱锥ACMB的体积.
10.(2026·山东济南模拟)如图,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点.
(1)求证:BC∥平面PAD.
(2)已知M,N分别是PC,AB的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于HG,求证:
①AP∥HG;
②MN∥平面PAD.
11.(2026·湖北咸宁模拟)如图,在三棱锥PABC中,点D,F分别为棱PB,AC上的点,且PD=BD,AF=FC,E为线段BC上的点,若=λ,且满足AD∥平面PEF,则λ=(　　)
A. B. C. D.
12.(2026·上海杨浦模拟)如图所示,棱长为1的四面体木块,其四个面均为等边三角形,点P是△ABC的中心,过点P将木块锯开,使截面平行于直线AD和BC,则下列关于截面的说法正确的是(　　)
①截面是平行四边形;
②截面与侧面ABD的交线平行于侧面ACD.
A.① B.②
C.①② D.以上都不正确

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