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第5节　空间向量及空间位置关系
[课程标准要求]
1.理解空间向量的概念,掌握空间向量基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示,掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能判断向量的共线和垂直.3.理解直线的方向向量与平面的法向量,能用向量方法证明有关直线、平面位置关系的判定定理.
夯实·必备知识
知识梳理
1.空间向量及其有关概念
(1)空间向量的有关概念.
名称 概念 表示
零向量 长度为 的向量 0
单位向量 模为 的向量 —
相等向量 方向 且模 的向量
0
1
相同
相等
a=b
相反向量 方向 而长度 的向量 a的相反
向量为-a
共线向量 (平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相 的向量
共面向量 平行于同一个 的向量 —
相反
相等
平行或重合
a∥b
平面
(2)空间向量中的有关结论.
①对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb;
②如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb;
③空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.{a,b,c}叫做空间的一个 .
基底
2.空间向量的数量积及坐标运算
(1)两个非零空间向量的数量积.
①a·b= ;②a⊥b ;
|a||b|cos
a·b=0
(2)空间向量的坐标运算.
项目 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)
向量和 a+b=
向量差 a-b=
数量积 a·b=
共线 a∥b a=λb a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R,b≠0)
垂直 a⊥b a·b=0 (a≠0,b≠0)
夹角公式
(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
a1b1+a2b2+a3b3
a1b1+a2b2+a3b3=0
平行
释疑
·
(2)平面的法向量:直线l α,取直线l的方向向量a,则向量a为平面α的法向量.
4.空间位置关系的向量表示
⊥
位置关系 向量表示
直线l1,l2的方向向量分别为n1,n2 l1∥l2 n1∥n2 n1=λn2(λ∈R)
l1⊥l2 n1⊥n2 n1·n2=0
直线l的方向向量为n,平面α的法向量为m,l α l∥α n·m=0
l⊥α ∥ n=λm(λ∈R)
平面α,β的法向量分别为n,m α∥β n∥m n=λm(λ∈R)
α⊥β n⊥m n·m=0
n⊥m
n
m
重要结论
1.空间向量基本定理
(1)空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
(2)由于0与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面,故0不能作为基向量.
(3)基底选定后,空间的所有向量均可由基底唯一表示.
重要结论
重要结论
基础自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)对空间任意两个向量a,b,a∥b 存在λ∈R,使a=λb.(　　)
(2)若{a,b,c}是空间的一个基底,则a,b,c中至多有一个零向量.(　　)
(3)在空间直角坐标系中,在Oyz平面上的点的坐标一定是(0,b,c)(b,c∈R).(　 )
(4)若两直线的方向向量不平行,则两直线不平行.(　　)
(5)若空间向量a平行于平面α,则a所在直线与平面α平行.(　　)
×
√
×
√
×
2.(人教A版选择性必修第一册P22练习T1改编)已知a=(2,-3,1),则下列向量中与a平行的是(　　)
A.(1,1,1) B.(-4,6,-2)
C.(2,-3,-1) D.(-2,-3,1)
B
【解析】 因为(-4,6,-2)=-2×(2,-3,1)=-2a,所以向量(-4,6,-2)与a平行.故选B.
3.(人教B版选择性必修第一册P42练习A T1改编)已知平面α,β的法向量分别为n1=(2,3,5),n2=(-3,1,-4),则(　　)
A.α∥β B.α⊥β
C.α,β相交但不垂直 D.以上均不对
C
【解析】 因为n1≠λn2,且n1·n2=-23≠0,所以α,β相交但不垂直.故选C.
A
5.(人教A版选择性必修第一册P15习题1.2 T5改编)已知正四面体ABCD的棱长为2,E,F分别为BC,AD的中点,则EF的长为　　　　.
提升·关键能力
空间向量的线性运算及共线、共面定理
考点1
[例1] (1)设x,y是实数,已知三点A(1,5,-2),B(2,4,1),C(x,3,y+2)在同一条直线上,那么x+y等于(　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
D
(2)(2026·江苏淮安模拟)已知空间向量a=(2,1,3),b=(-1,2,-2),c=(7,6,λ),若向量a,b,c共面,则实数λ的值为(　　)
A.8 B.9
C.10 D.11
C
解题策略
·
用基向量表示指定向量的方法
(1)结合已知向量和所求向量观察图形.
(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中.
(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来.
C
B
空间向量的数量积及其应用
考点2
角度1　求空间向量数量积
A
解题策略
·
(1)空间向量的数量积运算有两条途径,一是根据数量积的定义,利用模与夹角直接计算;二是利用坐标运算.
(2)在涉及几何图形的空间向量数量积问题时,通常需要结合几何性质与向量运算来求解.
B
角度2　空间向量数量积的应用
[例3] 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=
90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC=2,M为PC的中点.
(1)求证:PB⊥DM.
(2)求DM的长.
解题策略
·
(1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系,也可以利用垂直关系,通过向量共线确定点在线段上的位置.
(2)利用夹角公式,可以求空间角.
C
利用空间向量证明平行、垂直
考点3
[例4] (2026·四川绵阳模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥
AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.求证:
(1)BE∥平面PAD;
(2)平面PCD⊥平面PBC.
利用空间向量证明垂直、平行的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系,建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系.
(2)建立空间图形与空间向量之间的关系,用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面等要素.
(3)通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量,再研究平行、垂直关系.
(4)根据运算结果解释相关问题.
注意:运用向量知识判定空间位置关系时,仍然离不开几何定理.如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行时,仍要强调直线在平面外.
解题策略
·
[针对训练] 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为AB,B1C的中点.用向量法证明:
(1)平面A1BD∥平面B1CD1;
【证明】 (1)如图,以D为原点建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则A1(2,0,2),B(2,2,0),B1(2,2,2),C(0,2,0),D(0,0,0),D1(0,0,2),
(2)MN⊥平面A1BD.
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[课程标准要求] 1.理解空间向量的概念,掌握空间向量基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示,掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能判断向量的共线和垂直.3.理解直线的方向向量与平面的法向量,能用向量方法证明有关直线、平面位置关系的判定定理.
1.空间向量及其有关概念
(1)空间向量的有关概念.
名称 概念 表示
零向量 长度为0的向量 0
单位向量 模为1的向量 —
相等向量 方向相同且模相等的向量 a=b
相反向量 方向相反而长度相等的向量 a的相反 向量为-a
共线向量 (平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 a∥b
共面向量 平行于同一个平面的向量 —
(2)空间向量中的有关结论.
①对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb;
②如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb;
③空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.{a,b,c}叫做空间的一个基底.
2.空间向量的数量积及坐标运算
(1)两个非零空间向量的数量积.
①a·b=|a||b|cos;②a⊥b a·b=0;
③设a=(x,y,z),则a2=|a|2,|a|=.
(2)空间向量的坐标运算.
项目 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)
向量和 a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
向量差 a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
数量积 a·b=a1b1+a2b2+a3b3
共线 a∥b a=λb a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R,b≠0)
垂直 a⊥b a·b=0 a1b1+a2b2+a3b3=0(a≠0,b≠0)
夹角公式 cos=
3.直线的方向向量和平面的法向量
(1)直线的方向向量:O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,则对于直线l上任意一点P,存在实数λ,使得=λa.与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量.
若A,B是直线l上的两点,则是直线l的一个方向向量.
(2)平面的法向量:直线l⊥α,取直线l的方向向量a,则向量a为平面α的法向量.
4.空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示
直线l1,l2的方向向量分别为n1,n2 l1∥l2 n1∥n2 n1=λn2(λ∈R)
l1⊥l2 n1⊥n2 n1·n2=0
直线l的方向向量为n,平面α的法向量为m,l α l∥α n⊥m n·m=0
l⊥α n∥m n=λm(λ∈R)
平面α,β的法向量分别为n,m α∥β n∥m n=λm(λ∈R)
α⊥β n⊥m n·m=0
1.空间向量基本定理
(1)空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
(2)由于0与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面,故0不能作为基向量.
(3)基底选定后,空间的所有向量均可由基底唯一表示.
2.证明空间任意三点共线的方法
对空间任意三点P,A,B可通过证明下列结论成立来证明三点共线:
(1)=λ(λ∈R).
(2)对空间任一点O,=+t(t∈R).
(3)对空间任一点O,=x+y(x+y=1).
3.证明空间任意四点共面的方法
对空间任意四点P,M,A,B,除空间向量基本定理外,也可通过证明下列结论成立来证明四点
共面:
(1)=x+y(x,y∈R).
(2)对空间任一点O,=+x+y(x,y∈R).
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)对空间任意两个向量a,b,a∥b 存在λ∈R,使a=λb.(　　)
(2)若{a,b,c}是空间的一个基底,则a,b,c中至多有一个零向量.(　　)
(3)在空间直角坐标系中,在Oyz平面上的点的坐标一定是(0,b,c)(b,c∈R).(　　)
(4)若两直线的方向向量不平行,则两直线不平行.(　　)
(5)若空间向量a平行于平面α,则a所在直线与平面α平行.(　　)
【答案】 (1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×
2.(人教A版选择性必修第一册P22练习T1改编)已知a=(2,-3,1),则下列向量中与a平行的是(　　)
A.(1,1,1) B.(-4,6,-2)
C.(2,-3,-1) D.(-2,-3,1)
【答案】 B
【解析】 因为(-4,6,-2)=-2×(2,-3,1)=-2a,所以向量(-4,6,-2)与a平行.故选B.
3.(人教B版选择性必修第一册P42练习A T1改编)已知平面α,β的法向量分别为n1=(2,3,5),
n2=(-3,1,-4),则(　　)
A.α∥β B.α⊥β
C.α,β相交但不垂直 D.以上均不对
【答案】 C
【解析】 因为n1≠λn2,且n1·n2=-23≠0,所以α,β相交但不垂直.故选C.
4.已知向量=(1,2,3),=(2,m,3),=(4,2,k),若是平面ABC的法向量,则mk的值是(　　)
A.3 B.2 C.6 D.4
【答案】 A
【解析】 由题意可得=-=(1,m-2,0),=-=(3,0,k-3),又为平面ABC的法
向量,
所以·=1×1+2×(m-2)+3×0=2m-3=0,解得m=,
·=1×3+2×0+3×(k-3)=3k-6=0,解得k=2,
所以mk=3.故选A.
5.(人教A版选择性必修第一册P15习题1.2 T5改编)已知正四面体ABCD的棱长为2,E,F分别为BC,AD的中点,则EF的长为　　　　.
【答案】
【解析】 ||2==(++)2=+++2(·+·+·)=12+22+12+
2×(1×2×cos 120°+0+2×1×cos 120°)=2,所以||=,所以EF的长为.
空间向量的线性运算及共线、共面定理
[例1] (1)设x,y是实数,已知三点A(1,5,-2),B(2,4,1),C(x,3,y+2)在同一条直线上,那么x+y等于(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
(2)(2026·江苏淮安模拟)已知空间向量a=(2,1,3),b=(-1,2,-2),c=(7,6,λ),若向量a,b,c共面,则实数λ的值为(　　)
A.8 B.9 C.10 D.11
【答案】 (1)D　(2)C
【解析】 (1)由已知可得=(1,-1,3),=(x-1,-2,y+4).
因为A,B,C三点共线,所以与共线,所以 = = ,解得x=3,y=2,所以x+y=5.故选D.
(2)因为向量a,b,c共面,所以存在实数m,n使得c=ma+nb,即(7,6,λ)=m(2,1,3)+n(-1,2,-2),
所以
解得
所以λ=10.故选C.
用基向量表示指定向量的方法
(1)结合已知向量和所求向量观察图形.
(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中.
(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来.
[针对训练]
1.在三棱柱ABC-A1B1C1中,E是BC的中点,=2,则=(　　)
A.-+
B.++
C.-++
D.-+-
【答案】 C
【解析】 因为=2,所以=,
所以=++=++=×(+)+(-)+=-+.故
选C.
2.已知空间中A,B,C,D四点共面,且其中任意三点均不共线,设P为空间中任意一点,若=6-4+λ,则λ=(　　)
A.2 B.-2 C.1 D.-1
【答案】 B
【解析】 因为=6-4+λ,所以-=6-4+λ,
整理得=6-3+λ,由A,B,C,D四点共面,且其中任意三点均不共线,可得6-3+λ=1,解得λ=-2.故选B.
空间向量的数量积及其应用
角度1　求空间向量数量积
[例2] (2026·四川宜宾模拟)如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,
∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°,则·的值为(　　)
A.1 B. C. D.-1
【答案】 A
【解析】 因为=++=-++,=+,
所以·=(-++)·(+)=--·+·++·+·=
-++·+·=-12+12+1×1×cos 60°+1×1×cos 60°=1.故选A.
(1)空间向量的数量积运算有两条途径,一是根据数量积的定义,利用模与夹角直接计算;二是利用坐标运算.
(2)在涉及几何图形的空间向量数量积问题时,通常需要结合几何性质与向量运算来求解.
[针对训练] (2026·河北张家口模拟)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=1,AA1=2且AB⊥BC,则·等于(　　)
A.2 B.4 C. D.
【答案】 B
【解析】 由题意得,直线BC,BA,BB1两两垂直,故以点B为坐标原点,BC,BA,BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz.
由AB=BC=1,AA1=2,得B1(0,0,2),C(1,0,0),A1(0,1,2),B(0,0,0),
则=(1,0,-2),=(0,-1,-2),所以·=(-2)×(-2)=4.故选B.
角度2　空间向量数量积的应用
[例3] 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC=2,M为PC的中点.
(1)求证:PB⊥DM.
(2)求DM的长.
(3)求cos<,>.
(1)【证明】 法一　结合题图,=-,=(+)=(-+-)=
+-,
由题意得·=·=·=0,||=||,
则·=(-)·(+-)=-=0,所以⊥,即PB⊥DM.
法二　以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则P(0,0,2),B(2,0,0),D(0,2,0),A(0,0,0),C(2,1,0).
因为M为PC的中点,所以M(1,,1),
所以=(2,0,-2),=(1,-,1),
又·=2×1+0×(-)+(-2)×1=0,所以⊥,即PB⊥DM.
(2)【解】 法一　由(1)知,=+-,从而==
+++·-·-·=×4+×4+×4+0-0-0=2+=,则||=,即DM的长为.
法二　由(1)知,=(1,-,1),则||==,所以DM的长为.
(3)【解】 法一　由于=-,=+,
因此||2=|-|2=||2-2·+||2=4-0+4=8,故||=2.
==+2·+=4+0+1=5,故||=.
·=(+)·(-)==2,故cos<,>==.
法二　=(2,1,0),=(0,2,-2),
所以·=2×0+1×2+0×(-2)=2,||=,||=2,则cos<,>===.
(1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系,也可以利用垂直关系,通过向量共线确定点在线段上的位置.
(2)利用夹角公式,可以求空间角.
(3)利用|a|=,将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解.
[针对训练] (2026·甘肃临夏模拟)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是线段A1B,B1D1上的点,且A1M=2MB,B1N=2ND1,若A1B1=A1D1=AA1=1,∠B1A1D1=90°,∠A1AB=∠A1AD=60°,则下列说法正确的是(　　)
A.与的夹角为45°
B.=++
C.线段A1C的长度为1
D.直线A1C与BB1所成的角为60°
【答案】 C
【解析】 对于A,=-=-,
所以·=·(-)=·-=-1,
||=|-|==,
所以cos<,>===-,因为<,>∈[0,π],所以<,>=,即135°,故A错误;
对于B,=-=(+)-(+)=(++)-(+)=
[+(-)]-(-)=-++,故B错误;
对于C,因为=-=+-,·=0,·=1×1×cos 60°=,·=
1×1×cos 60°=,
所以||==
==1,故C正确;
对于D,因为=+-,||=1,=,
又·=(+-)·=·+·-=+-1=0,
所以cos<,>=cos<,>==0,所以⊥,所以直线A1C与BB1所成的角为90°,故D错误.故选C.
利用空间向量证明平行、垂直
[例4] (2026·四川绵阳模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,
AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.求证:
(1)BE∥平面PAD;
(2)平面PCD⊥平面PBC.
【证明】 (1)依题意,以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系.
则A(0,0,0),B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).
由E为棱PC的中点,得E(1,1,1),则BE=(0,1,1).
因为PA⊥平面ABCD,AB 平面ABCD,
所以AB⊥PA,
又AB⊥AD,PA∩AD=A,PA,AD 平面PAD,所以AB⊥平面PAD,
所以=(1,0,0)为平面PAD的一个法向量,而·=(0,1,1)·(1,0,0)=0,
所以BE⊥AB,又BE 平面PAD,所以BE∥平面PAD.
(2)设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),又=(0,2,-2),=(2,0,0),
则即不妨令y=1,可得n=(0,1,1)为平面PCD的一个法向量.
设平面PBC的法向量为m=(a,b,c),又=(1,0,-2),=(1,2,0),
则即不妨令a=2,可得m=(2,-1,1)为平面PBC的一个法向量.
因为n·m=(0,1,1)·(2,-1,1)=0,
所以n⊥m.所以平面PCD⊥平面PBC.
利用空间向量证明垂直、平行的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系,建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系.
(2)建立空间图形与空间向量之间的关系,用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面等要素.
(3)通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量,再研究平行、垂直关系.
(4)根据运算结果解释相关问题.
注意:运用向量知识判定空间位置关系时,仍然离不开几何定理.如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行时,仍要强调直线在平面外.
[针对训练] 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为AB,B1C的中点.用向量法证明:
(1)平面A1BD∥平面B1CD1;
(2)MN⊥平面A1BD.
【证明】 (1)如图,以D为原点建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则A1(2,0,2),B(2,2,0),
B1(2,2,2),C(0,2,0),D(0,0,0),D1(0,0,2),
故=(2,0,2),=(2,2,0),=(-2,0,-2),=(-2,-2,0),
设平面A1BD的法向量为n1=(x1,y1,z1),则即令x1=1,则n1=(1,-1,-1)为平面A1BD的一个法向量.
设平面B1CD1的法向量为n2=(x2,y2,z2),则即令x2=1,则n2=(1,-1,-1)为平面B1CD1的一个法向量.
所以n1=n2,即n1∥n2,故平面A1BD∥平面B1CD1.
(2)由M,N分别为AB,B1C的中点可得,M(2,1,0),N(1,2,1),所以=(-1,1,1),
由=-n1得,∥n1,所以MN⊥平面A1BD.
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
空间向量的线性运算及共线、共面定理 1,2,6
空间向量的数量积及其应用 8,9,11
利用空间向量证明平行、垂直 3,4,5,7,10,12
一、选择题
1.已知a=(1,2,-y),b=(x,1,2)且(a+b)∥(2a-b),则(　　)
A.x=,y=1 B.x=,y=-4
C.x=2,y=- D.x=1,y=-1
【答案】 B
【解析】 由题意得a+b=(1+x,3,2-y),2a-b=(2-x,3,-2y-2),因为(a+b)∥(2a-b),
所以解得故选B.
2.(2026·福建漳州模拟)在三棱锥P-ABC中,M是平面ABC内一点,且9=8+t+2,则t等于(　　)
A.-1 B.1 C.2 D.3
【答案】 A
【解析】 由题意得,=++,因为A,B,C,M四点共面,所以++=1,解得t=-1.故
选A.
3.(2026·北京房山模拟)设直线l的方向向量为a,两个不同的平面α,β的法向量分别为n,m,则下列说法错误的是(　　)
A.若n⊥m,则α⊥β B.若n∥m,则α∥β
C.若a∥n,则l⊥α D.若a⊥n,则l∥α
【答案】 D
【解析】 对于A,若两个平面的法向量互相垂直,则两个平面垂直,A正确;
对于B,若两个不同平面的法向量互相平行,则两个平面互相平行,B正确;
对于C,若一直线的方向向量与一平面的法向量平行,则该直线垂直于该平面,C正确;
对于D,若一直线的方向向量与一平面的法向量垂直,则该直线平行于该平面或者在该平面内,D错误.故选D.
4.(2026·江西南昌模拟)已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,AC=AA1=2,E是侧棱CC1的中点,则下列直线中,与BE垂直的是(　　)
A.AC B.A1C C.AB1 D.A1B
【答案】 B
【解析】
因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,且底面△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,
所以BA,BC,BB1两两垂直,以B为原点,BC,BA,BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
由题意可得A(0,2,0),B(0,0,0),C(2,0,0),A1(0,2,2),B1(0,0,2),E(2,0,),
所以=(2,0,),=(2,-2,0),=(2,-2,-2),=(0,-2,2),=(0,-2,-2),
所以·=2×2+0×(-2)+×0=4,·=2×2+0×(-2)+×(-2)=0,
·=2×0+0×(-2)+×2=4,·=2×0+0×(-2)+×(-2)=-4,
所以BE⊥A1C.故选B.
5.(2025·河南洛阳模拟)如图,在四面体ABCD中,平面ACD⊥平面ABC,△ABC是边长为6的正三角形,△ACD是等腰直角三角形,∠ADC=90°,E是AC的中点,=,=λ,若AG∥平面DEF,则λ=(　　)
A. B. C. D.
【答案】 A
【解析】 如图,连接BE,由△ABC为等边三角形,得BE⊥AC,因为平面ACD⊥平面ABC,平面ACD∩平面ABC=AC,BE 平面ABC,
所以BE⊥平面ACD,又DE 平面ACD,所以BE⊥DE,
因为△ACD为等腰三角形,E是AC的中点,所以DE⊥AC.
以E为坐标原点,EA,EB,ED所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐
标系,
则E(0,0,0),A(3,0,0),B(0,3,0),C(-3,0,0),D(0,0,3).
所以=(0,0,3),=(-3,0,0),=(3,3,0),=+=(-2,,0),=(-3,0,3),
=(0,3,-3),=+=+λ=(-3,3λ,3-3λ).
设平面DEF的法向量为n=(x,y,z),则取x=,则n=(,2,0)是平面DEF的一个法向量.
因为AG∥平面DEF,所以n·=-3+2×3λ=0,解得λ=.
故选A.
6.(多选)(2026·山东济南模拟)给出下列说法,其中正确的是(　　)
A.若a∥b,则a,b与空间中其他任何向量都不能构成空间的一个基底向量
B.若2=+,则点M是线段AB的中点
C.若=+2-,则A,B,C,D四点共面
D.若平面α,β的法向量分别为n1=(2,1,-1),n2=(-1,t,1),且α⊥β,则t=3
【答案】 ABD
【解析】 对于A,因为a∥b,则a,b与任何向量都共面,所以a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底向量,故A正确;
对于B,因为2=+,即-=-,可得=,所以M为AB的中点,故B正确;
对于C,因为=+2-,且1+2-1=2≠1,所以A,B,C,D四点不共面,故C不正确;
对于D,平面α,β的法向量分别为n1=(2,1,-1),n2=(-1,t,1),当α⊥β时,n1⊥n2,
可得n1·n2=-2+t-1=0,解得t=3,故D正确.故选ABD.
二、填空题
7.(2026·云南昆明模拟)已知n=(-3,1,2)是平面α的一个法向量,A(0,-3,-1),B(k,2k,2)都在平面α内,则k=　　　　.
【答案】 9
【解析】 由题意得=(k,2k+3,3),
由n=(-3,1,2)是平面α的一个法向量,且A,B∈α,得n·=0,因此-3k+(2k+3)+2×3=0,所以k=9.
8.(2026·贵州贵阳模拟)如图,在正四棱锥P-ABCD中,PA=AB,M为PA的中点,=μ.若MN⊥AD,则μ=　　　　.
【答案】 4
【解析】 由于PA=AB,且P-ABCD是正四棱锥,故⊥,且侧面均为等边三角形,
·=(-)·=(+-)·=(+-)·=[+(-)-]·=·+·-·-·=||2-|·|×=0,
故=,则μ=4.
三、解答题
9.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°.
(1)求体对角线AC1的长度.
(2)求证:四边形BDD1B1为正方形.
(1)【解】 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,=++=++,
由AB=AD=AA1=1,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°,得·=·=·=1×1×=,
所以||==
=.
(2)【证明】 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,BB1∥AA1∥DD1,BB1=AA1=DD1,则四边形BDD1B1为平行四边形.
由AB=AD=1,∠BAD=60°,得△ABD是等边三角形,即BD=1=DD1,则 BDD1B1为菱形.
又·=(-)·=·-·=-=0,则⊥,即BD⊥BB1,所以四边形BDD1B1为正方形.
10.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB∥DC,DA⊥AB,AB=AP=2,DA=DC=1,E为PC上一点,且PE=PC.求证:(请用空间向量法予以证明)
(1)AE⊥平面PBC;
(2)PA∥平面BDE.
【证明】 (1)如图,以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),P(0,0,2),
所以=(1,1,-2),=(0,0,2),=(1,-1,0),
因为PE=PC,所以=(,,-),所以=+=(,,),
所以·=+-=0,·=-+0=0,
所以⊥,⊥,即AE⊥PC,AE⊥CB,又因为PC∩CB=C,PC,CB 平面PBC,所以AE⊥平面PBC.
(2)由(1)可得=-=(,,)-(2,0,0)=(-,,),=(0,0,-2),=(-2,1,0).
设平面BDE的法向量为n=(x,y,z),则即令x=1,得n=(1,2,0)是平面BDE的一个法向量,
因为·n=(0,0,-2)·(1,2,0)=0,所以⊥n,因为PA 平面BDE,所以PA∥平面BDE.
11.(2026·甘肃酒泉模拟)在空间直角坐标系Oxyz中,=(-1,2,1),=(1,1,2),=(2,1,1),点Q在直线OP上运动,则·的最小值为(　　)
A.- B.- C. D.
【答案】 C
【解析】 由点Q在直线OP上运动,故可设=x=(2x,x,x),x∈R,
则=-=(-1-2x,2-x,1-x),=-=(1-2x,1-x,2-x),
所以·=(-1-2x,2-x,1-x)·(1-2x,1-x,2-x)=(-1-2x)·(1-2x)+(2-x)·(1-x)+(1-x)·(2-x)=
6x2-6x+3,
故当x=时,·取得最小值.故选C.
12.(2026·北京平谷模拟)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BC,AA1的中点,P是A1C1上的动点.则下列结论错误的是(　　)
A.存在点P,使得EP∥平面AA1B1B
B.DB1⊥EP
C.平面A1C1E截正方体所得截面为等腰梯形
D.平面B1FC1⊥平面A1C1E
【答案】 B
【解析】
如图,建立空间直角坐标系Dxyz,设正方体的棱长为2.
易得D(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(2,0,2),C1(0,2,2),B1(2,2,2),
因为E是BC的中点,所以E(1,2,0),因为点P在A1C1上,设=t,0≤t≤1,
所以=+=(1,-2,2)+t(-2,2,0)=(1-2t,2t-2,2).
对于A,平面AA1B1B的法向量可取为k=(1,0,0),若EP∥平面AA1B1B,则·k=1-2t=0,解得t=,即存在t=,使得EP∥平面AA1B1B,此时点P(1,1,2)恰为A1C1的中点,故A正确,不符合题意;
对于B,=(2,2,2),=(1-2t,2t-2,2),
由·=2(1-2t)+2(2t-2)+4=2≠0,可知DB1与EP不垂直,故B错误,符合题意;
对于C,如图,取AB的中点为G,连接EG,A1G,AC,易得EG∥AC,
因为AA1∥BB1∥CC1,AA1=BB1=CC1,
所以四边形A1ACC1为平行四边形,
所以A1C1∥AC,所以A1C1∥EG,
又平面A1B1C1D1∥平面ABCD,平面A1C1E∩平面A1B1C1D1=A1C1,
故EG即为平面A1C1E与平面ABCD的截线,
又A1G=C1E=,故平面A1C1E截正方体所得截面A1GEC1为等腰梯形,故C正确,不符合题意;
对于D,因为F为AA1的中点,所以F(2,0,1),=(0,-2,-1),=(-2,0,0),
设平面B1FC1的法向量为m=(x,y,z),则故可取m=(0,1,-2),
又=(-2,2,0),=(-1,2,-2),设平面A1C1E的法向量为n=(p,q,r),
则故可取n=(2,2,1),
由m·n=0×2+1×2-2×1=0,可得m⊥n,
所以平面B1FC1⊥平面A1C1E,故D正确,不符合题意.故选B.第5节　空间向量及空间位置关系
[课程标准要求] 1.理解空间向量的概念,掌握空间向量基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示,掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能判断向量的共线和垂直.3.理解直线的方向向量与平面的法向量,能用向量方法证明有关直线、平面位置关系的判定定理.
1.空间向量及其有关概念
(1)空间向量的有关概念.
名称 概念 表示
零向量 长度为　　的向量 0
单位向量 模为　　的向量 —
相等向量 方向　　且模　　的向量 　　　
相反向量 方向　　而长度　　的向量 a的相反 向量为-a
共线向量 (平行 向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相　的向量 　　　
共面向量 平行于同一个　　　的向量 —
(2)空间向量中的有关结论.
①对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb;
②如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb;
③空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.{a,b,c}叫做空间的一个　　　　.
2.空间向量的数量积及坐标运算
(1)两个非零空间向量的数量积.
①a·b=　　　　　　　　;②a⊥b 　　　　;
③设a=(x,y,z),则a2=|a|2,|a|=.
(2)空间向量的坐标运算.
项目 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)
向量和 a+b=　　　　　　　
向量差 a-b=　　　　　　　
数量积 a·b=　　　　　　　
共线 a∥b a=λb a1=λb1, a2=λb2,a3=λb3(λ∈R,b≠0)
垂直 a⊥b a·b=0 　　　　　　　 (a≠0,b≠0)
夹角 公式 cos=
3.直线的方向向量和平面的法向量
(1)直线的方向向量:O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,则对于直线l上任意一点P,存在实数λ,使得=λa.与向量a　　　　的非零向量称为直线l的方向向量.
若A,B是直线l上的两点,则是直线l的一个方向向量.
(2)平面的法向量:直线l　　　α,取直线l的方向向量a,则向量a为平面α的法向量.
4.空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示
直线l1,l2的方向向量分别为n1,n2 l1∥l2 n1∥n2 n1=λn2(λ∈R)
l1⊥l2 n1⊥n2 n1·n2=0
直线l的方向向量为n,平面α的法向量为m,l α l∥α 　　　　 n·m=0
l⊥α 　∥　 n=λm(λ∈R)
平面α,β的法向量分别为n,m α∥β n∥m n=λm(λ∈R)
α⊥β n⊥m n·m=0
1.空间向量基本定理
(1)空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
(2)由于0与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面,故0不能作为基向量.
(3)基底选定后,空间的所有向量均可由基底唯一表示.
2.证明空间任意三点共线的方法
对空间任意三点P,A,B可通过证明下列结论成立来证明三点共线:
(1)=λ(λ∈R).
(2)对空间任一点O,=+t(t∈R).
(3)对空间任一点O,=x+y(x+y=1).
3.证明空间任意四点共面的方法
对空间任意四点P,M,A,B,除空间向量基本定理外,也可通过证明下列结论成立来证明四点
共面:
(1)=x+y(x,y∈R).
(2)对空间任一点O,=+x+y(x,y∈R).
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)对空间任意两个向量a,b,a∥b 存在λ∈R,使a=λb.(　　)
(2)若{a,b,c}是空间的一个基底,则a,b,c中至多有一个零向量.(　　)
(3)在空间直角坐标系中,在Oyz平面上的点的坐标一定是(0,b,c)(b,c∈R).(　　)
(4)若两直线的方向向量不平行,则两直线不平行.(　　)
(5)若空间向量a平行于平面α,则a所在直线与平面α平行.(　　)
2.(人教A版选择性必修第一册P22练习T1改编)已知a=(2,-3,1),则下列向量中与a平行的是(　　)
A.(1,1,1) B.(-4,6,-2)
C.(2,-3,-1) D.(-2,-3,1)
3.(人教B版选择性必修第一册P42练习A T1改编)已知平面α,β的法向量分别为n1=(2,3,5), n2=(-3,1,-4),则(　　)
A.α∥β
B.α⊥β
C.α,β相交但不垂直
D.以上均不对
4.已知向量=(1,2,3),=(2,m,3),=(4,2,k),若是平面ABC的法向量,则mk的值是(　　)
A.3 B.2 C.6 D.4
5.(人教A版选择性必修第一册P15习题1.2 T5改编)已知正四面体ABCD的棱长为2,E,F分别为BC,AD的中点,则EF的长为　　　　.
空间向量的线性运算及共线、共面定理
[例1] (1)设x,y是实数,已知三点A(1,5,-2),B(2,4,1),C(x,3,y+2)在同一条直线上,那么x+y等于(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
(2)(2026·江苏淮安模拟)已知空间向量a=(2,1,3),b=(-1,2,-2),c=(7,6,λ),若向量a,b,c共面,则实数λ的值为(　　)
A.8 B.9 C.10 D.11
听课记录:
用基向量表示指定向量的方法
(1)结合已知向量和所求向量观察图形.
(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中.
(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来.
[针对训练]
1.在三棱柱ABCA1B1C1中,E是BC的中点,=2,则=(　　)
A.-+
B.++
C.-++
D.-+-
2.已知空间中A,B,C,D四点共面,且其中任意三点均不共线,设P为空间中任意一点,若=6-4+λ,则λ=(　　)
A.2 B.-2 C.1 D.-1
空间向量的数量积及其应用
角度1　求空间向量数量积
[例2] (2026·四川宜宾模拟)如图所示,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,
∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°,则·的值为(　　)
A.1 B. C. D.-1
听课记录:
(1)空间向量的数量积运算有两条途径,一是根据数量积的定义,利用模与夹角直接计算;二是利用坐标运算.
(2)在涉及几何图形的空间向量数量积问题时,通常需要结合几何性质与向量运算来求解.
[针对训练] (2026·河北张家口模拟)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB=BC=1,AA1=2且AB⊥BC,则·等于(　　)
A.2 B.4 C. D.
角度2　空间向量数量积的应用
[例3] 如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC=2,M为PC的中点.
(1)求证:PB⊥DM.
(2)求DM的长.
(3)求cos<,>.
听课记录:
(1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系,也可以利用垂直关系,通过向量共线确定点在线段上的位置.
(2)利用夹角公式,可以求空间角.
(3)利用|a|=,将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解.
[针对训练] (2026·甘肃临夏模拟)在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是线段A1B,B1D1上的点,且A1M=2MB,B1N=2ND1,若A1B1=A1D1=AA1=1,∠B1A1D1=90°,∠A1AB=∠A1AD=60°,则下列说法正确的是(　　)
A.与的夹角为45°
B.=++
C.线段A1C的长度为1
D.直线A1C与BB1所成的角为60°
利用空间向量证明平行、垂直
[例4] (2026·四川绵阳模拟)如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC, AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.求证:
(1)BE∥平面PAD;
(2)平面PCD⊥平面PBC.
听课记录:
利用空间向量证明垂直、平行的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系,建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系.
(2)建立空间图形与空间向量之间的关系,用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面等要素.
(3)通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量,再研究平行、垂直关系.
(4)根据运算结果解释相关问题.
注意:运用向量知识判定空间位置关系时,仍然离不开几何定理.如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行时,仍要强调直线在平面外.
[针对训练] 如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别为AB,B1C的中点.用向量法证明:
(1)平面A1BD∥平面B1CD1;
(2)MN⊥平面A1BD.第5节　空间向量及空间位置关系
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
空间向量的线性运算及共线、共面定理 1,2,6
空间向量的数量积及其应用 8,9,11
利用空间向量证明平行、垂直 3,4,5,7,10,12
一、选择题
1.已知a=(1,2,-y),b=(x,1,2)且(a+b)∥(2a-b),则(　　)
A.x=,y=1 B.x=,y=-4
C.x=2,y=- D.x=1,y=-1
【答案】 B
【解析】 由题意得a+b=(1+x,3,2-y),2a-b=(2-x,3,-2y-2),因为(a+b)∥(2a-b),
所以解得故选B.
2.(2026·福建漳州模拟)在三棱锥P-ABC中,M是平面ABC内一点,且9=8+t+2,则t等于(　　)
A.-1 B.1 C.2 D.3
【答案】 A
【解析】 由题意得,=++,因为A,B,C,M四点共面,所以++=1,解得t=-1.故
选A.
3.(2026·北京房山模拟)设直线l的方向向量为a,两个不同的平面α,β的法向量分别为n,m,则下列说法错误的是(　　)
A.若n⊥m,则α⊥β B.若n∥m,则α∥β
C.若a∥n,则l⊥α D.若a⊥n,则l∥α
【答案】 D
【解析】 对于A,若两个平面的法向量互相垂直,则两个平面垂直,A正确;
对于B,若两个不同平面的法向量互相平行,则两个平面互相平行,B正确;
对于C,若一直线的方向向量与一平面的法向量平行,则该直线垂直于该平面,C正确;
对于D,若一直线的方向向量与一平面的法向量垂直,则该直线平行于该平面或者在该平面内,D错误.故选D.
4.(2026·江西南昌模拟)已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,AC=AA1=2,E是侧棱CC1的中点,则下列直线中,与BE垂直的是(　　)
A.AC B.A1C C.AB1 D.A1B
【答案】 B
【解析】
因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,且底面△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,
所以BA,BC,BB1两两垂直,以B为原点,BC,BA,BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
由题意可得A(0,2,0),B(0,0,0),C(2,0,0),A1(0,2,2),B1(0,0,2),E(2,0,),
所以=(2,0,),=(2,-2,0),=(2,-2,-2),=(0,-2,2),=(0,-2,-2),
所以·=2×2+0×(-2)+×0=4,·=2×2+0×(-2)+×(-2)=0,
·=2×0+0×(-2)+×2=4,·=2×0+0×(-2)+×(-2)=-4,
所以BE⊥A1C.故选B.
5.(2025·河南洛阳模拟)如图,在四面体ABCD中,平面ACD⊥平面ABC,△ABC是边长为6的正三角形,△ACD是等腰直角三角形,∠ADC=90°,E是AC的中点,=,=λ,若AG∥平面DEF,则λ=(　　)
A. B. C. D.
【答案】 A
【解析】 如图,连接BE,由△ABC为等边三角形,得BE⊥AC,因为平面ACD⊥平面ABC,平面ACD∩平面ABC=AC,BE 平面ABC,
所以BE⊥平面ACD,又DE 平面ACD,所以BE⊥DE,
因为△ACD为等腰三角形,E是AC的中点,所以DE⊥AC.
以E为坐标原点,EA,EB,ED所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐
标系,
则E(0,0,0),A(3,0,0),B(0,3,0),C(-3,0,0),D(0,0,3).
所以=(0,0,3),=(-3,0,0),=(3,3,0),=+=(-2,,0),=(-3,0,3),
=(0,3,-3),=+=+λ=(-3,3λ,3-3λ).
设平面DEF的法向量为n=(x,y,z),则取x=,则n=(,2,0)是平面DEF的一个法向量.
因为AG∥平面DEF,所以n·=-3+2×3λ=0,解得λ=.
故选A.
6.(多选)(2026·山东济南模拟)给出下列说法,其中正确的是(　　)
A.若a∥b,则a,b与空间中其他任何向量都不能构成空间的一个基底向量
B.若2=+,则点M是线段AB的中点
C.若=+2-,则A,B,C,D四点共面
D.若平面α,β的法向量分别为n1=(2,1,-1),n2=(-1,t,1),且α⊥β,则t=3
【答案】 ABD
【解析】 对于A,因为a∥b,则a,b与任何向量都共面,所以a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底向量,故A正确;
对于B,因为2=+,即-=-,可得=,所以M为AB的中点,故B正确;
对于C,因为=+2-,且1+2-1=2≠1,所以A,B,C,D四点不共面,故C不正确;
对于D,平面α,β的法向量分别为n1=(2,1,-1),n2=(-1,t,1),当α⊥β时,n1⊥n2,
可得n1·n2=-2+t-1=0,解得t=3,故D正确.故选ABD.
二、填空题
7.(2026·云南昆明模拟)已知n=(-3,1,2)是平面α的一个法向量,A(0,-3,-1),B(k,2k,2)都在平面α内,则k=　　　　.
【答案】 9
【解析】 由题意得=(k,2k+3,3),
由n=(-3,1,2)是平面α的一个法向量,且A,B∈α,得n·=0,因此-3k+(2k+3)+2×3=0,所以k=9.
8.(2026·贵州贵阳模拟)如图,在正四棱锥P-ABCD中,PA=AB,M为PA的中点,=μ.若MN⊥AD,则μ=　　　　.
【答案】 4
【解析】 由于PA=AB,且P-ABCD是正四棱锥,故⊥,且侧面均为等边三角形,
·=(-)·=(+-)·=(+-)·=[+(-)-]·=·+·-·-·=||2-|·|×=0,
故=,则μ=4.
三、解答题
9.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°.
(1)求体对角线AC1的长度.
(2)求证:四边形BDD1B1为正方形.
(1)【解】 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,=++=++,
由AB=AD=AA1=1,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°,得·=·=·=1×1×=,
所以||==
=.
(2)【证明】 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,BB1∥AA1∥DD1,BB1=AA1=DD1,则四边形BDD1B1为平行四边形.
由AB=AD=1,∠BAD=60°,得△ABD是等边三角形,即BD=1=DD1,则 BDD1B1为菱形.
又·=(-)·=·-·=-=0,则⊥,即BD⊥BB1,所以四边形BDD1B1为正方形.
10.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB∥DC,DA⊥AB,AB=AP=2,DA=DC=1,E为PC上一点,且PE=PC.求证:(请用空间向量法予以证明)
(1)AE⊥平面PBC;
(2)PA∥平面BDE.
【证明】 (1)如图,以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),P(0,0,2),
所以=(1,1,-2),=(0,0,2),=(1,-1,0),
因为PE=PC,所以=(,,-),所以=+=(,,),
所以·=+-=0,·=-+0=0,
所以⊥,⊥,即AE⊥PC,AE⊥CB,又因为PC∩CB=C,PC,CB 平面PBC,所以AE⊥平面PBC.
(2)由(1)可得=-=(,,)-(2,0,0)=(-,,),=(0,0,-2),=(-2,1,0).
设平面BDE的法向量为n=(x,y,z),则即令x=1,得n=(1,2,0)是平面BDE的一个法向量,
因为·n=(0,0,-2)·(1,2,0)=0,所以⊥n,因为PA 平面BDE,所以PA∥平面BDE.
11.(2026·甘肃酒泉模拟)在空间直角坐标系Oxyz中,=(-1,2,1),=(1,1,2),=(2,1,1),点Q在直线OP上运动,则·的最小值为(　　)
A.- B.- C. D.
【答案】 C
【解析】 由点Q在直线OP上运动,故可设=x=(2x,x,x),x∈R,
则=-=(-1-2x,2-x,1-x),=-=(1-2x,1-x,2-x),
所以·=(-1-2x,2-x,1-x)·(1-2x,1-x,2-x)=(-1-2x)·(1-2x)+(2-x)·(1-x)+(1-x)·(2-x)=
6x2-6x+3,
故当x=时,·取得最小值.故选C.
12.(2026·北京平谷模拟)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BC,AA1的中点,P是A1C1上的动点.则下列结论错误的是(　　)
A.存在点P,使得EP∥平面AA1B1B
B.DB1⊥EP
C.平面A1C1E截正方体所得截面为等腰梯形
D.平面B1FC1⊥平面A1C1E
【答案】 B
【解析】
如图,建立空间直角坐标系Dxyz,设正方体的棱长为2.
易得D(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(2,0,2),C1(0,2,2),B1(2,2,2),
因为E是BC的中点,所以E(1,2,0),因为点P在A1C1上,设=t,0≤t≤1,
所以=+=(1,-2,2)+t(-2,2,0)=(1-2t,2t-2,2).
对于A,平面AA1B1B的法向量可取为k=(1,0,0),若EP∥平面AA1B1B,则·k=1-2t=0,解得t=,即存在t=,使得EP∥平面AA1B1B,此时点P(1,1,2)恰为A1C1的中点,故A正确,不符合题意;
对于B,=(2,2,2),=(1-2t,2t-2,2),
由·=2(1-2t)+2(2t-2)+4=2≠0,可知DB1与EP不垂直,故B错误,符合题意;
对于C,如图,取AB的中点为G,连接EG,A1G,AC,易得EG∥AC,
因为AA1∥BB1∥CC1,AA1=BB1=CC1,
所以四边形A1ACC1为平行四边形,
所以A1C1∥AC,所以A1C1∥EG,
又平面A1B1C1D1∥平面ABCD,平面A1C1E∩平面A1B1C1D1=A1C1,
故EG即为平面A1C1E与平面ABCD的截线,
又A1G=C1E=,故平面A1C1E截正方体所得截面A1GEC1为等腰梯形,故C正确,不符合题意;
对于D,因为F为AA1的中点,所以F(2,0,1),=(0,-2,-1),=(-2,0,0),
设平面B1FC1的法向量为m=(x,y,z),则故可取m=(0,1,-2),
又=(-2,2,0),=(-1,2,-2),设平面A1C1E的法向量为n=(p,q,r),
则故可取n=(2,2,1),
由m·n=0×2+1×2-2×1=0,可得m⊥n,
所以平面B1FC1⊥平面A1C1E,故D正确,不符合题意.故选B.第5节　空间向量及空间位置关系
一、选择题
1.已知a=(1,2,-y),b=(x,1,2)且(a+b)∥(2a-b),则(　　)
A.x=,y=1 B.x=,y=-4
C.x=2,y=- D.x=1,y=-1
2.(2026·福建漳州模拟)在三棱锥PABC中,M是平面ABC内一点,且9=8+t+2,则t等于(　　)
A.-1 B.1 C.2 D.3
3.(2026·北京房山模拟)设直线l的方向向量为a,两个不同的平面α,β的法向量分别为n,m,则下列说法错误的是(　　)
A.若n⊥m,则α⊥β B.若n∥m,则α∥β
C.若a∥n,则l⊥α D.若a⊥n,则l∥α
4.(2026·江西南昌模拟)已知在直三棱柱ABCA1B1C1中,底面△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,AC=AA1=2,E是侧棱CC1的中点,则下列直线中,与BE垂直的是(　　)
A.AC B.A1C C.AB1 D.A1B
5.(2025·河南洛阳模拟)如图,在四面体ABCD中,平面ACD⊥平面ABC,△ABC是边长为6的正三角形,△ACD是等腰直角三角形,∠ADC=90°,E是AC的中点,=,=λ,若AG∥平面DEF,则λ=(　　)
A. B. C. D.
6.(多选)(2026·山东济南模拟)给出下列说法,其中正确的是(　　)
A.若a∥b,则a,b与空间中其他任何向量都不能构成空间的一个基底向量
B.若2=+,则点M是线段AB的中点
C.若=+2-,则A,B,C,D四点共面
D.若平面α,β的法向量分别为n1=(2,1,-1),n2=(-1,t,1),且α⊥β,则t=3
二、填空题
7.(2026·云南昆明模拟)已知n=(-3,1,2)是平面α的一个法向量,A(0,-3,-1),B(k,2k,2)都在平面α内,则k=　　　　.
8.(2026·贵州贵阳模拟)如图,在正四棱锥PABCD中,PA=AB,M为PA的中点,=μ.若MN⊥AD,则μ=　　　　.
三、解答题
9.如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°.
(1)求体对角线AC1的长度.
(2)求证:四边形BDD1B1为正方形.
10.如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,AB∥DC,DA⊥AB,AB=AP=2,DA=DC=1,E为PC上一点,且PE=PC.求证:(请用空间向量法予以证明)
(1)AE⊥平面PBC;
(2)PA∥平面BDE.
11.(2026·甘肃酒泉模拟)在空间直角坐标系Oxyz中,=(-1,2,1),=(1,1,2),=(2,1,1),点Q在直线OP上运动,则·的最小值为(　　)
A.- B.- C. D.
12.(2026·北京平谷模拟)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是BC,AA1的中点,P是A1C1上的动点.则下列结论错误的是(　　)
A.存在点P,使得EP∥平面AA1B1B
B.DB1⊥EP
C.平面A1C1E截正方体所得截面为等腰梯形
D.平面B1FC1⊥平面A1C1E

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