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第6节　利用空间向量求空间距离
[课程标准要求]
能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题,体会向量方法在研究几何问题中的作用.
夯实·必备知识
知识梳理
1.两点间的距离
基础自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)平面α上不共线的三点到平面β的距离相等,则α∥β.(　　)
(2)点到直线的距离也就是该点到直线上任一点连线的长度.(　　)
(3)直线l平行于平面α,则直线l上各点到平面α的距离相等.(　　)
(4)直线l上两点到平面α的距离相等,则l平行于平面α.(　　)
×
√
×
×
2.(人教A版选择性必修第一册P35练习T2改编)已知直线l过定点A(2,3,1),且u=(0,0,1)为其一个方向向量,则点P(4,3,2)到直线l的距离为　　　　.
2
4.(人教A版选择性必修第一册P35练习T1改编)已知两平行平面 α,β 分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且两平面的一个法向量n=(-1,0,1),则两平面间的距离是　　　　.
提升·关键能力
用空间向量求点到直线的距离
考点1
[例1] (2026·江苏扬州模拟)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AA1=2,AD=4,点E在棱BC上,且BC=4BE,点G为△AB1C的重心,则点G到直线AE的距离为
(　　)
A
解题策略
·
利用空间向量求点到直线距离的常用方法
方法一:建立空间直角坐标系,利用垂直与共线关系求出垂足的位置,再由两点间的距离公式求解.
[针对训练] (2026·浙江湖州模拟)已知空间中三点A(1,0,1),B(0,1,0),C(1,1,1),则点C到直线AB的距离是(　　)
C
用空间向量求点到平面的距离
考点2
[例2] 如图,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是菱形,棱AA1⊥平面ABCD,
AA1=A1B1=1,AB=2,∠ABC=60°,则点B到平面ACD1的距离为　　　　.
解题策略
·
用向量法求点面距离的步骤
(1)建系:建立恰当的空间直角坐标系.
(2)求点坐标:写出(求出)相关点的坐标.
D
用空间向量求线线、线面、面面的距离
考点3
[例3] 已知正方体ABCD-1B1C1D1的棱长为1,E为D1C1的中点.
(1)求D1C到平面A1BE的距离;
(2)求平面A1DB与平面D1CB1的距离.
(1)线线距离常常转化为点到直线或点到平面的距离求解.已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线,公垂线与两条直线相交的点所形成的线段,叫做这两条异面直线的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长度,叫做这两条异面直线的距离.
解题策略
·
(2)若一条直线l与一个平面α平行,则可在直线l上任取一点P,将线面距离转化为点P到平面α的距离求解.
(3)若两个平面α,β互相平行,则可在其中一个平面α内任取一点P,将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解.
解题策略
·
C
D
谢谢观赏第6节　利用空间向量求空间距离
[课程标准要求] 能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题,体会向量方法在研究几何问题中的作用.
1.两点间的距离
(1)利用A,B两点间的距离为||,结合向量的模和数量积求解.
(2)设点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则||=.
2.点到直线的距离
如图,已知直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的定点,P是直线l外一点,设=a,则向量在直线l上的投影向量=(a·u)u.在Rt△APQ中,由勾股定理,得
PQ= =.
3.点到平面的距离
如图,已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则n是直线l的方向向量,且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量 的长度,因此PQ=|·|=||=.
4.相互平行的直线与平面之间的距离
如图,如果直线l与平面α平行,n是平面α的一个法向量,A,B分别是l上和α内的点,那么直线l与平面α之间的距离为d=.
5.相互平行的平面与平面之间的距离
如图,如果平面α与平面β平行,n是平面β的一个法向量(当然也是平面α的一个法向量),A和B分别是平面α与平面β内的点,那么平面α与平面β之间的距离为d=.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)平面α上不共线的三点到平面β的距离相等,则α∥β.(　　)
(2)点到直线的距离也就是该点到直线上任一点连线的长度.(　　)
(3)直线l平行于平面α,则直线l上各点到平面α的距离相等.(　　)
(4)直线l上两点到平面α的距离相等,则l平行于平面α.(　　)
【答案】 (1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2.(人教A版选择性必修第一册P35练习T2改编)已知直线l过定点A(2,3,1),且u=(0,0,1)为其一个方向向量,则点P(4,3,2)到直线l的距离为　　　　.
【答案】 2
【解析】 设a==(2,0,1),u=(0,0,1),则a·u=1,则点P到直线l的距离d===2.
3.(人教A版选择性必修第一册P34例6改编)已知平面ABC的一个法向量为n=(1,2,1),向量 =(0,,0),则点F到平面ABC的距离为　　　　.
【答案】
【解析】 由题意,点F到平面ABC的距离为==.
4.(人教A版选择性必修第一册P35练习T1改编)已知两平行平面 α,β 分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且两平面的一个法向量n=(-1,0,1),则两平面间的距离是　　　　.
【答案】
【解析】 因为两平行平面 α,β 分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),=(2,1,1),且两平面的一个法向量n=(-1,0,1), 所以两平面间的距离d===.
用空间向量求点到直线的距离
[例1] (2026·江苏扬州模拟)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AA1=2,AD=4,点E在棱BC上,且BC=4BE,点G为△AB1C的重心,则点G到直线AE的距离为(　　)
A. B. C. D.
【答案】 A
【解析】 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,建立如图所示的空间直角坐标系,
由AB=1,AA1=2,AD=4,得A(0,0,0),C(1,4,0),B1(1,0,2),所以△AB1C的重心G(,,),
由点E在棱BC上,且BC=4BE,得E(1,1,0),
则=(1,1,0),=(,,),·=2,||=,||=,
所以点G到直线AE的距离d===.故选A.
利用空间向量求点到直线距离的常用方法
方法一:建立空间直角坐标系,利用垂直与共线关系求出垂足的位置,再由两点间的距离公式求解.
方法二:先求出直线的方向向量u,A是直线l上的定点,P是直线l外一点,则点P到直线l的距离为.
[针对训练] (2026·浙江湖州模拟)已知空间中三点A(1,0,1),B(0,1,0),C(1,1,1),则点C到直线AB的距离是(　　)
A. B. C. D.
【答案】 C
【解析】 因为A(1,0,1),B(0,1,0),C(1,1,1),所以=(-1,1,-1),=(0,1,0),
所以向量在向量上的投影向量的长为==,
所以点C到直线AB的距离是==.
故选C.
用空间向量求点到平面的距离
[例2] 如图,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是菱形,棱AA1⊥平面ABCD,AA1=
A1B1=1,AB=2,∠ABC=60°,则点B到平面ACD1的距离为　　　　.
【答案】
【解析】 因为底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,所以△ADC为等边三角形,
取CD的中点E,连接AE,则AE⊥CD,又AB∥CD,所以AE⊥AB,如图,建立空间直角坐标系,AE=,CE=DE=1,
则A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,,0),D1(-,,1),所以=(2,0,0),=(1,,0),=(-,,1),
设平面ACD1的法向量为n=(x,y,z),则取n=(,-1,)为平面ACD1的一个法向量,
所以点B到平面ACD1的距离d===.
用向量法求点面距离的步骤
(1)建系:建立恰当的空间直角坐标系.
(2)求点坐标:写出(求出)相关点的坐标.
(3)求向量:求出相关向量的坐标(如图,求出,平面α的法向量n).
(4)求距离:d=.
[针对训练] (2026·湖北武汉模拟)在四棱锥P-BCD中,=(1,1,-1),=(1,0,2),=(-5,1,1),则此四棱锥的高为(　　)
A. B. C.3 D.
【答案】 D
【解析】 设平面ABCD的法向量为n=(x,y,z),则所以
令x=2,可得y=-3,z=-1,所以n=(2,-3,-1)为平面ABCD的一个法向量,
又=(-5,1,1),所以向量在法向量n=(2,-3,-1)上的投影向量的大小为
==,所以四棱锥P-BCD的高为.故选D.
用空间向量求线线、线面、面面的距离
[例3] 已知正方体ABCD-1B1C1D1的棱长为1,E为D1C1的中点.
(1)求D1C到平面A1BE的距离;
(2)求平面A1DB与平面D1CB1的距离.
【解】 (1)如图,建立空间直角坐标系,
则D(0,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),D1(0,0,1),E(0,,1).
=(-1,,0),=(0,1,-1),设m=(a,b,c)为平面A1BE的法向量,则即
即
令a=1,得m=(1,2,2),
取D1C与平面A1BE的两点向量为=(1,0,0),
故直线D1C到平面A1BE的距离为d==.
(2)=(1,0,1),=(1,1,0),=(0,1,-1),=(1,1,0),
设n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2)分别为平面A1DB,平面D1CB1的法向量,
所以
令x1=1,可得y1=-1,z1=-1,
所以n1=(1,-1,-1)为平面A1DB的一个法向量,
令x2=1,可得y2=-1,z2=-1,
所以n2=(1,-1,-1)为平面D1CB1的一个法向量,
因为n1=n2,
所以平面A1DB∥平面D1CB1,可得点A1到平面D1CB1的距离即为所求,=(1,0,0),
所以点A1到平面D1CB1的距离为d===,
故平面A1DB与平面D1CB1的距离为.
(1)线线距离常常转化为点到直线或点到平面的距离求解.已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线,公垂线与两条直线相交的点所形成的线段,叫做这两条异面直线的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长度,叫做这两条异面直线的距离.
(2)若一条直线l与一个平面α平行,则可在直线l上任取一点P,将线面距离转化为点P到平面α的距离求解.
(3)若两个平面α,β互相平行,则可在其中一个平面α内任取一点P,将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解.
[针对训练]
1.已知点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),P(1,-1,0),那么过点P平行于平面ABC的平面与平面ABC的距离是(　　)
A. B. C. D.
【答案】 C
【解析】 由题意得=(-1,1,0),=(-1,0,2),=(0,-1,0),
设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则即
令x=1,得y=1,z=,则n=(1,1,)为平面ABC的一个法向量,所以d==.
故选C.
2.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为正方形ABCD的中心,P为线段CC1的中点,E在A1C1上,且满足A1E=A1C1,则直线A1O到直线PE的距离为(　　)
A. B. C.1 D.
【答案】 D
【解析】 取A1C1的中点O1,连接CO1,由A1E=A1C1,知E为C1O1的中点,又P为CC1的中点,故EP∥CO1,
由正方体的性质可得OC∥A1O1且OC=A1O1,故四边形A1OCO1为平行四边形,所以A1O∥CO1,所以EP∥A1O,
故直线A1O到直线PE的距离等价于点P到直线A1O的距离,
以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,
则A1(1,0,1),O(,,0),P(0,1,),所以=(-,,-1),=(-,,),
故=(-,,-1)=(-,,-1),
所以·=×[(-)×(-)+×+(-1)×]=0,=++=,
故点P到直线A1O的距离为==.故选D.
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
点到直线的距离 1,8,12
点到平面的距离 2,4,11
线线、线面、面面距离 3,5,7,10
综合应用 6,9
一、选择题
1.(2026·湖北孝感模拟)已知空间向量=(0,1,0),=(-1,1,-1),则点B到直线AC的距离为(　　)
A. B. C. D.
【答案】 A
【解析】 因为=(0,1,0),=(-1,1,-1),所以在上的投影向量的模为d==
=,
故点B到直线AC的距离为==.故选A.
2.已知平面α的一个法向量为n=(-2,-2,1),点A(x,3,0)在平面α内,且P(-2,1,4)到平面α的距离为,则x的值为(　　)
A.1 B.11
C.-1或-11 D.-21
【答案】 C
【解析】 =(x+2,2,-4),而d==,即=,解得x=-1或x=-11.故选C.
3.(2026·江苏连云港模拟)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,MN是异面直线AC与C1D的公垂线段,点M在AC上且点N在C1D上,则MN的长为(　　)
A. B. C. D.
【答案】 C
【解析】
以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,
则A(0,0,0),C(1,1,0),
D(0,1,0),C1(1,1,1),所以=(1,1,0),=(1,0,1),
因为点M在AC上,点N在C1D上,
设M(m,m,0),N(n,1,n),所以=(n-m,1-m,n),
因为MN是异面直线AC与C1D的公垂线段,
所以·=0,·=0,
即解得
所以M(,,0),N(,1,),
所以异面直线AC与C1D间的距离为|MN|==.故选C.
4.已知点P(1,1,2),A(1,0,1),B(-1,3,0),C(0,0,2),则点P到平面ABC的距离为(　　)
A. B. C. D.
【答案】 C
【解析】 因为P(1,1,2),A(1,0,1),B(-1,3,0),C(0,0,2),所以=(0,1,1),=(-2,3,-1),=(-1,0,1),
设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则令x=1,则y=z=1,可得n=(1,1,1),
所以点P到平面ABC的距离d===.
故选C.
5.(2026·山东滨州模拟)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是正方形,AB=2,AA1=3,点N在棱CC1上,若直线A1B1到平面ABN的距离为,则的值为(　　)
A.1 B. C. D.
【答案】 C
【解析】 由题意知,该几何体为长方体,建立空间直角坐标系如图所示,
则A(2,0,0),B(2,2,0),B1(2,2,3),设N(0,2,t)(0≤t≤3).
因为A1B1∥AB,A1B1 平面ABN,AB 平面ABN,故A1B1∥平面ABN,
故直线A1B1到平面ABN的距离为B1到平面ABN的距离.
=(0,2,0),=(-2,0,t),=(0,0,3),
设平面ABN的法向量为n=(x,y,z),则由可得取n=(t,0,2),
故B1到平面ABN的距离d===,解得t=1,故=.故选C.
6.(多选)(2026·湖南邵阳模拟)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为线段DD1的中点,F为线段BB1的中点,则(　　)
A.点A1到直线B1E的距离是
B.直线FC1到直线AE的距离是
C.点A1到平面AB1E的距离是
D.直线FC1到平面AB1E的距离是
【答案】 ABD
【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系,
则A1(1,0,1),B1(1,1,1),E(0,0,),F(1,1,),C1(0,1,1),A(1,0,0).
对于A,因为=(-1,-1,-),u==(-,-,-),=(0,1,0),所以·u=-,
所以点A1到直线B1E的距离为==,A正确;
对于B,因为=(-1,0,),=(-1,0,),所以∥,即AE∥FC1,
所以点F到直线AE的距离即为直线FC1到直线AE的距离,
p==(-,0,),=(0,1,),=,·p=,
所以直线FC1到直线AE的距离为=,B正确;
对于C,设平面AB1E的法向量为n=(x,y,z),=(0,1,1),=(-1,0,),=(0,0,1),
由令z=2,则y=-2,x=1,即n=(1,-2,2)为平面AB1E的一个法向量.
设点A1到平面AB1E的距离为d,则d==,即点A1到平面AB1E的距离为,C错误;
对于D,因为AE∥FC1,FC1 平面AB1E,AE 平面AB1E,所以FC1∥平面AB1E,
所以直线FC1到平面AB1E的距离等于C1到平面AB1E的距离,
=(1,0,0),由C选项的分析可得平面AB1E的一个法向量为n=(1,-2,2),
所以C1到平面AB1E的距离为=,所以直线FC1到平面AB1E的距离为,D正确.
故选ABD.
二、填空题
7.(2026·福建泉州模拟)已知平面AB1C∥平面A1C1D,=(-1,0,0),平面A1C1D的一个法向量为m=(1,1,1),则平面AB1C与平面A1C1D之间的距离为　　　　.
【答案】
【解析】 由题意得平面AB1C与平面A1C1D之间的距离为==.
8.(2026·安徽六安模拟)已知四棱锥A-EBCD,AE⊥平面BCDE,底面EBCD是∠E为直角,EB∥DC的直角梯形,如图所示,且CD=2EB=2AE=4,DE=2,点F为AD的中点,则F到直线BC的距离为　　　　.
【答案】
【解析】 由题意知,AE⊥平面BCDE,BE,ED 平面BCDE,所以AE⊥BE,AE⊥ED,
又BE⊥ED,故以E为原点,EB,ED,EA所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(0,0,2),B(2,0,0),C(4,2,0),D(0,2,0),F(0,,1),
所以=(2,2,0),=(2,-,-1),记c==(,,0),a==(2,-,-1),
则|a|==2,a·c=1-=-,所以F到直线BC的距离为d===.
三、解答题
9.如图所示的多面体是底面为矩形ABCD的长方体被 AEC1F所在平面截得的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.
(1)求点C到平面AEC1F的距离;
(2)设过点B且平行于平面AEC1F的平面为α,求平面AEC1F与平面α之间的距离.
【解】
(1)由题意,以D为原点,DA,DC,DF所在直线分别为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系,如图所示,可得A(2,0,0),B(2,4,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3),
设F(0,0,z),因为四边形AEC1F为平行四边形,可得=,即(-2,0,z)=(-2,0,2),所以z=2,即F(0,0,2),
则=(0,4,1),=(-2,0,2),
设平面AEC1F的法向量为n=(x,y,z),则
取x=1,可得y=-,z=1,所以n=(1,-,1)为平面AEC1F的一个法向量,又由=(-2,4,0),
所以点C到平面AEC1F的距离为d1===.
(2)由(1)知平面AEC1F的一个法向量为n=(1,-,1),
又由=(0,0,1),可得点B到平面AEC1F的距离为d2===,
因为过点B且平行于平面AEC1F的平面为α,所以平面AEC1F与平面α之间的距离等于点B到平面AEC1F的距离,
即平面AEC1F与平面α之间的距离为.
10.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥底面ABCD,E是AB上一点,PE⊥EC.已知PD=,CD=2,AE=.
(1)求直线AD与平面PBC间的距离;
(2)求异面直线EC与PB间的距离.
【解】 (1)以D为原点,DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,
设A(x,0,0),x>0,由题意得,D(0,0,0),P(0,0,),E(x,,0),C(0,2,0),=(x,,-),=(x,-,0).
因为PE⊥EC,所以·=x2-=0,解得x=.
即A(,0,0),B(,2,0),=(0,2,-),=(-,0,0).
设平面PBC的法向量为n=(x1,y1,z1),则令y1=1得n=(0,1,)为平面PBC的一个法向量.
因为AD∥BC,AD 平面PBC,BC 平面PBC,所以AD∥平面PBC,则AD与平面PBC间的距离即D到平面PBC的距离.
又因为=(0,2,0),所以直线AD与平面PBC间的距离d1===.
(2)设m=(x2,y2,z2),满足m⊥,m⊥,因为=(-,,0),=(,2,-),
所以令y2=1,得m=(,1,),
又因为=(,0,0),所以异面直线EC与PB间的距离d2===.
11.(2026·山东淄博模拟)在四棱锥S-ABCD中,=(4,-1,0),=(0,3,0),=(-3,1,-4),则三棱锥S-ABD的体积为(　　)
A.5 B.6 C.8 D.9
【答案】 C
【解析】 设平面ABD的法向量为m=(x,y,z),则取m=(0,0,1)为平面ABD的一个法向量,
则点S到平面ABD的距离为d===4.
又·=-3,||=3,
则点B到直线AD的距离为==4,
则S△ABD=×4×3=6,
故三棱锥S-ABD的体积为S△ABD·d=×6×4=8.故选C.
12.(2026·江苏常州模拟)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,点P到直线AA1的距离的最小值为(　　)
A. B. C. D.
【答案】 A
【解析】 以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,
则D1(0,0,2),E(1,2,0),A(2,0,0),A1(2,0,2),可得=(1,2,-2),=(0,0,2),
设=λ=(λ,2λ,-2λ),λ∈[0,1],所以可得P(λ,2λ,2-2λ),因此=(λ-2,2λ,-2λ),
点P到直线AA1的距离为
==
=≥=,当λ=时,等号成立,即点P到直线AA1的距离的最小值为.故
选A.第6节　利用空间向量求空间距离
[课程标准要求] 能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题,体会向量方法在研究几何问题中的作用.
1.两点间的距离
(1)利用A,B两点间的距离为||,结合向量的模和数量积求解.
(2)设点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则||=　 .
2.点到直线的距离
如图,已知直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的定点,P是直线l外一点,设=a,则向量在直线l上的投影向量=(a·u)u.在Rt△APQ中,由勾股定理,得
PQ= =　 .
3.点到平面的距离
如图,已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则n是直线l的方向向量,且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量 的长度,因此PQ=|·|=||=　　　　.
4.相互平行的直线与平面之间的距离
如图,如果直线l与平面α平行,n是平面α的一个法向量,A,B分别是l上和α内的点,那么直线l与平面α之间的距离为d=.
5.相互平行的平面与平面之间的距离
如图,如果平面α与平面β平行,n是平面β的一个法向量(当然也是平面α的一个法向量),A和B分别是平面α与平面β内的点,那么平面α与平面β之间的距离为d=.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)平面α上不共线的三点到平面β的距离相等,则α∥β.(　　)
(2)点到直线的距离也就是该点到直线上任一点连线的长度.(　　)
(3)直线l平行于平面α,则直线l上各点到平面α的距离相等.(　　)
(4)直线l上两点到平面α的距离相等,则l平行于平面α.(　　)
2.(人教A版选择性必修第一册P35练习T2改编)已知直线l过定点A(2,3,1),且u=(0,0,1)为其一个方向向量,则点P(4,3,2)到直线l的距离为　　　　.
3.(人教A版选择性必修第一册P34例6改编)已知平面ABC的一个法向量为n=(1,2,1),向量 =(0,,0),则点F到平面ABC的距离为　　　　.
4.(人教A版选择性必修第一册P35练习T1改编)已知两平行平面 α,β 分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且两平面的一个法向量n=(-1,0,1),则两平面间的距离是　　　　.
用空间向量求点到直线的距离
[例1] (2026·江苏扬州模拟)在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=1,AA1=2,AD=4,点E在棱BC上,且BC=4BE,点G为△AB1C的重心,则点G到直线AE的距离为(　　)
A. B. C. D.
听课记录:
利用空间向量求点到直线距离的常用方法
方法一:建立空间直角坐标系,利用垂直与共线关系求出垂足的位置,再由两点间的距离公式求解.
方法二:先求出直线的方向向量u,A是直线l上的定点,P是直线l外一点,则点P到直线l的距离为.
[针对训练] (2026·浙江湖州模拟)已知空间中三点A(1,0,1),B(0,1,0),C(1,1,1),则点C到直线AB的距离是(　　)
A. B. C. D.
用空间向量求点到平面的距离
[例2] 如图,在四棱台ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD是菱形,棱AA1⊥平面ABCD, AA1=A1B1=1,AB=2,∠ABC=60°,则点B到平面ACD1的距离为　　　　.
听课记录:
用向量法求点面距离的步骤
(1)建系:建立恰当的空间直角坐标系.
(2)求点坐标:写出(求出)相关点的坐标.
(3)求向量:求出相关向量的坐标(如图,求出,平面α的法向量n).
(4)求距离:d=.
[针对训练] (2026·湖北武汉模拟)在四棱锥PABCD中,=(1,1,-1),=(1,0,2),=(-5,1,1),则此四棱锥的高为(　　)
A. B. C.3 D.
用空间向量求线线、线面、面面的距离
[例3] 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,E为D1C1的中点.
(1)求D1C到平面A1BE的距离;
(2)求平面A1DB与平面D1CB1的距离.
听课记录:
(1)线线距离常常转化为点到直线或点到平面的距离求解.已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线,公垂线与两条直线相交的点所形成的线段,叫做这两条异面直线的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长度,叫做这两条异面直线的距离.
(2)若一条直线l与一个平面α平行,则可在直线l上任取一点P,将线面距离转化为点P到平面α的距离求解.
(3)若两个平面α,β互相平行,则可在其中一个平面α内任取一点P,则将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解.
[针对训练]
1.已知点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),P(1,-1,0),那么过点P平行于平面ABC的平面与平面ABC的距离是(　　)
A. B. C. D.
2.如图,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,O为正方形ABCD的中心,P为线段CC1的中点,E在A1C1上,且满足A1E=A1C1,则直线A1O到直线PE的距离为(　　)
A. B.
C.1 D.
第7节　利用空间向量求空间角
[课程标准要求] 能用向量方法解决异面直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题,并能描述解决这一类问题的程序,体会向量方法在研究空间角问题中的作用.
1.两条异面直线所成角的求法
设a,b分别是两异面直线l1,l2的方向向量,则
项目 l1与l2所成的角θ a与b的夹角β
范围 (0,] 　　　
求法 cos θ=　　　 cos β=
2.直线与平面所成角的求法
设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为θ,a与n的夹角为β,则sin θ=　　　　= 　　　　.
3.二面角的求法
(1)如图(1),AB,CD分别是二面角αlβ的两个半平面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小θ=<,>.
(2)如图(2)和图(3),n1,n2分别是二面角αlβ的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足|cos θ|=　　　　=　　　　,二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).
(3)平面α与平面β相交,形成四个二面角,这四个二面角中　　　　的二面角称为平面α与平面β的夹角.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)两条直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.(　　)
(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.(　　)
(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面的夹角.(　　)
(4)两异面直线夹角的范围是(0,],直线与平面所成角的范围是[0,],二面角的范围是[0,π].(　　)
(5)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.(　　)
2.(人教A版选择性必修第一册P38练习T1改编)如图,在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA1=2AB=2,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
3.若平面α的一个法向量为n=(4,1,1),直线l的一个方向向量为a=(-2,-3,3),则直线l与平面α所成角的正弦值为　　　　.
4.(北师大版选择性必修第一册P140习题34 A组 T7改编)已知两平面的法向量分别为(0,-1,3),(2,2,4),则这两个平面所成角的余弦值为　　　　.
5.(人教A版选择性必修第一册P41练习T1改编)如图,二面角αlβ的棱上有A,B两点,线段AC,BD分别在这个二面角的两个面内,且都垂直于棱l.已知AB=1,AC=2,BD=3,CD=2,则平面α与平面β的夹角为　　　　.
用空间向量求异面直线所成的角
[例1] (2026·山西晋城模拟)已知圆柱的底面半径为,高为2,如图,矩形ABCD是圆柱的轴截面,点E是圆柱下底面圆上一点,且满足∠BAE=,则异面直线AE与BD所成角的余弦值为(　　)
A. B.-
C. D.-
听课记录:
用向量法求异面直线所成的角的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系.
(2)确定异面直线的方向向量.
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值.
(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值.
[针对训练] (2026·湖北武汉模拟)如图,在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形)ABCD中,M,N分别为BC,AD的中点,则直线AM和CN夹角的正弦值为(　　)
A. B. C. D.
用空间向量求直线与平面所成的角
[例2] (2026·广东潮州模拟)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是菱形,PD⊥平面ABCD,平面PAB⊥平面PAD,E为PA的中点,PD=AD=2.
(1)求证:AB⊥平面PAD.
(2)求直线DE与平面PBC所成角的大小.
听课记录:
利用空间向量求直线与平面所成的角的解题步骤
[针对训练] (2026·贵州安顺模拟)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,底面△ABC是边长为2的正三角形,AA1⊥底面ABC,AA1=3,D,E分别是AC,A1C1的中点,点F在线段BB1上,且=.
(1)证明:DE∥平面ABB1A1.
(2)求直线AF与平面DAB1所成角的正弦值.
用空间向量求二面角
[例3] (2026·浙江金华模拟)如图(1)所示,四边形BCDE满足BC∥DE,过点B作BA⊥DE,点A在线段DE上,且满足BC=AB=3AD=3,将△ABE沿直线AB翻折到△PAB的位置[图(2)], PB⊥AC.
(1)求证:AB⊥PD.
(2)若PD=2,求平面PBC与平面ABCD夹角的余弦值.
听课记录:
利用空间向量计算二面角大小的常用方法
(1)找法向量:分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量,然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角的大小.
(2)找与两平面交线垂直的向量:分别在二面角的两个半平面内找到与两平面交线垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.
[针对训练] (2026·江苏南通模拟)如图,在三棱台ABCA1B1C1中,CC1⊥平面ABC,AC⊥BC, AB=2AC=2CA1=4.
(1)证明:平面A1BC⊥平面ACC1A1.
(2)若二面角A1ABC的余弦值为,求CC1的长度.第6节　利用空间向量求空间距离
课时作业
选题明细表
知识点、方法 题号
点到直线的距离 1,8,12
点到平面的距离 2,4,11
线线、线面、面面距离 3,5,7,10
综合应用 6,9
一、选择题
1.(2026·湖北孝感模拟)已知空间向量=(0,1,0),=(-1,1,-1),则点B到直线AC的距离为(　　)
A. B. C. D.
【答案】 A
【解析】 因为=(0,1,0),=(-1,1,-1),所以在上的投影向量的模为d==
=,
故点B到直线AC的距离为==.故选A.
2.已知平面α的一个法向量为n=(-2,-2,1),点A(x,3,0)在平面α内,且P(-2,1,4)到平面α的距离为,则x的值为(　　)
A.1 B.11
C.-1或-11 D.-21
【答案】 C
【解析】 =(x+2,2,-4),而d==,即=,解得x=-1或x=-11.故选C.
3.(2026·江苏连云港模拟)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,MN是异面直线AC与C1D的公垂线段,点M在AC上且点N在C1D上,则MN的长为(　　)
A. B. C. D.
【答案】 C
【解析】
以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,
则A(0,0,0),C(1,1,0),
D(0,1,0),C1(1,1,1),所以=(1,1,0),=(1,0,1),
因为点M在AC上,点N在C1D上,
设M(m,m,0),N(n,1,n),所以=(n-m,1-m,n),
因为MN是异面直线AC与C1D的公垂线段,
所以·=0,·=0,
即解得
所以M(,,0),N(,1,),
所以异面直线AC与C1D间的距离为|MN|==.故选C.
4.已知点P(1,1,2),A(1,0,1),B(-1,3,0),C(0,0,2),则点P到平面ABC的距离为(　　)
A. B. C. D.
【答案】 C
【解析】 因为P(1,1,2),A(1,0,1),B(-1,3,0),C(0,0,2),所以=(0,1,1),=(-2,3,-1),=(-1,0,1),
设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则令x=1,则y=z=1,可得n=(1,1,1),
所以点P到平面ABC的距离d===.
故选C.
5.(2026·山东滨州模拟)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是正方形,AB=2,AA1=3,点N在棱CC1上,若直线A1B1到平面ABN的距离为,则的值为(　　)
A.1 B. C. D.
【答案】 C
【解析】 由题意知,该几何体为长方体,建立空间直角坐标系如图所示,
则A(2,0,0),B(2,2,0),B1(2,2,3),设N(0,2,t)(0≤t≤3).
因为A1B1∥AB,A1B1 平面ABN,AB 平面ABN,故A1B1∥平面ABN,
故直线A1B1到平面ABN的距离为B1到平面ABN的距离.
=(0,2,0),=(-2,0,t),=(0,0,3),
设平面ABN的法向量为n=(x,y,z),则由可得取n=(t,0,2),
故B1到平面ABN的距离d===,解得t=1,故=.故选C.
6.(多选)(2026·湖南邵阳模拟)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为线段DD1的中点,F为线段BB1的中点,则(　　)
A.点A1到直线B1E的距离是
B.直线FC1到直线AE的距离是
C.点A1到平面AB1E的距离是
D.直线FC1到平面AB1E的距离是
【答案】 ABD
【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系,
则A1(1,0,1),B1(1,1,1),E(0,0,),F(1,1,),C1(0,1,1),A(1,0,0).
对于A,因为=(-1,-1,-),u==(-,-,-),=(0,1,0),所以·u=-,
所以点A1到直线B1E的距离为==,A正确;
对于B,因为=(-1,0,),=(-1,0,),所以∥,即AE∥FC1,
所以点F到直线AE的距离即为直线FC1到直线AE的距离,
p==(-,0,),=(0,1,),=,·p=,
所以直线FC1到直线AE的距离为=,B正确;
对于C,设平面AB1E的法向量为n=(x,y,z),=(0,1,1),=(-1,0,),=(0,0,1),
由令z=2,则y=-2,x=1,即n=(1,-2,2)为平面AB1E的一个法向量.
设点A1到平面AB1E的距离为d,则d==,即点A1到平面AB1E的距离为,C错误;
对于D,因为AE∥FC1,FC1 平面AB1E,AE 平面AB1E,所以FC1∥平面AB1E,
所以直线FC1到平面AB1E的距离等于C1到平面AB1E的距离,
=(1,0,0),由C选项的分析可得平面AB1E的一个法向量为n=(1,-2,2),
所以C1到平面AB1E的距离为=,所以直线FC1到平面AB1E的距离为,D正确.
故选ABD.
二、填空题
7.(2026·福建泉州模拟)已知平面AB1C∥平面A1C1D,=(-1,0,0),平面A1C1D的一个法向量为m=(1,1,1),则平面AB1C与平面A1C1D之间的距离为　　　　.
【答案】
【解析】 由题意得平面AB1C与平面A1C1D之间的距离为==.
8.(2026·安徽六安模拟)已知四棱锥A-EBCD,AE⊥平面BCDE,底面EBCD是∠E为直角,EB∥DC的直角梯形,如图所示,且CD=2EB=2AE=4,DE=2,点F为AD的中点,则F到直线BC的距离为　　　　.
【答案】
【解析】 由题意知,AE⊥平面BCDE,BE,ED 平面BCDE,所以AE⊥BE,AE⊥ED,
又BE⊥ED,故以E为原点,EB,ED,EA所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(0,0,2),B(2,0,0),C(4,2,0),D(0,2,0),F(0,,1),
所以=(2,2,0),=(2,-,-1),记c==(,,0),a==(2,-,-1),
则|a|==2,a·c=1-=-,所以F到直线BC的距离为d===.
三、解答题
9.如图所示的多面体是底面为矩形ABCD的长方体被 AEC1F所在平面截得的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.
(1)求点C到平面AEC1F的距离;
(2)设过点B且平行于平面AEC1F的平面为α,求平面AEC1F与平面α之间的距离.
【解】
(1)由题意,以D为原点,DA,DC,DF所在直线分别为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系,如图所示,可得A(2,0,0),B(2,4,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3),
设F(0,0,z),因为四边形AEC1F为平行四边形,可得=,即(-2,0,z)=(-2,0,2),所以z=2,即F(0,0,2),
则=(0,4,1),=(-2,0,2),
设平面AEC1F的法向量为n=(x,y,z),则
取x=1,可得y=-,z=1,所以n=(1,-,1)为平面AEC1F的一个法向量,又由=(-2,4,0),
所以点C到平面AEC1F的距离为d1===.
(2)由(1)知平面AEC1F的一个法向量为n=(1,-,1),
又由=(0,0,1),可得点B到平面AEC1F的距离为d2===,
因为过点B且平行于平面AEC1F的平面为α,所以平面AEC1F与平面α之间的距离等于点B到平面AEC1F的距离,
即平面AEC1F与平面α之间的距离为.
10.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥底面ABCD,E是AB上一点,PE⊥EC.已知PD=,CD=2,AE=.
(1)求直线AD与平面PBC间的距离;
(2)求异面直线EC与PB间的距离.
【解】 (1)以D为原点,DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,
设A(x,0,0),x>0,由题意得,D(0,0,0),P(0,0,),E(x,,0),C(0,2,0),=(x,,-),=(x,-,0).
因为PE⊥EC,所以·=x2-=0,解得x=.
即A(,0,0),B(,2,0),=(0,2,-),=(-,0,0).
设平面PBC的法向量为n=(x1,y1,z1),则令y1=1得n=(0,1,)为平面PBC的一个法向量.
因为AD∥BC,AD 平面PBC,BC 平面PBC,所以AD∥平面PBC,则AD与平面PBC间的距离即D到平面PBC的距离.
又因为=(0,2,0),所以直线AD与平面PBC间的距离d1===.
(2)设m=(x2,y2,z2),满足m⊥,m⊥,因为=(-,,0),=(,2,-),
所以令y2=1,得m=(,1,),
又因为=(,0,0),所以异面直线EC与PB间的距离d2===.
11.(2026·山东淄博模拟)在四棱锥S-ABCD中,=(4,-1,0),=(0,3,0),=(-3,1,-4),则三棱锥S-ABD的体积为(　　)
A.5 B.6 C.8 D.9
【答案】 C
【解析】 设平面ABD的法向量为m=(x,y,z),则取m=(0,0,1)为平面ABD的一个法向量,
则点S到平面ABD的距离为d===4.
又·=-3,||=3,
则点B到直线AD的距离为==4,
则S△ABD=×4×3=6,
故三棱锥S-ABD的体积为S△ABD·d=×6×4=8.故选C.
12.(2026·江苏常州模拟)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,点P到直线AA1的距离的最小值为(　　)
A. B. C. D.
【答案】 A
【解析】 以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,
则D1(0,0,2),E(1,2,0),A(2,0,0),A1(2,0,2),可得=(1,2,-2),=(0,0,2),
设=λ=(λ,2λ,-2λ),λ∈[0,1],所以可得P(λ,2λ,2-2λ),因此=(λ-2,2λ,-2λ),
点P到直线AA1的距离为
==
=≥=,当λ=时,等号成立,即点P到直线AA1的距离的最小值为.故
选A.第6节　利用空间向量求空间距离
一、选择题
1.(2026·湖北孝感模拟)已知空间向量=(0,1,0),=(-1,1,-1),则点B到直线AC的距离为(　　)
A. B. C. D.
2.已知平面α的一个法向量为n=(-2,-2,1),点A(x,3,0)在平面α内,且P(-2,1,4)到平面α的距离为,则x的值为(　　)
A.1 B.11
C.-1或-11 D.-21
3.(2026·江苏连云港模拟)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,MN是异面直线AC与C1D的公垂线段,点M在AC上且点N在C1D上,则MN的长为(　　)
A. B. C. D.
4.已知点P(1,1,2),A(1,0,1),B(-1,3,0),C(0,0,2),则点P到平面ABC的距离为(　　)
A. B. C. D.
5.(2026·山东滨州模拟)在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD是正方形,AB=2,AA1=3,点N在棱CC1上,若直线A1B1到平面ABN的距离为,则的值为(　　)
A.1 B. C. D.
6.(多选)(2026·湖南邵阳模拟)在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,E为线段DD1的中点,F为线段BB1的中点,则(　　)
A.点A1到直线B1E的距离是
B.直线FC1到直线AE的距离是
C.点A1到平面AB1E的距离是
D.直线FC1到平面AB1E的距离是
二、填空题
7.(2026·福建泉州模拟)已知平面AB1C∥平面A1C1D,=(-1,0,0),平面A1C1D的一个法向量为m=(1,1,1),则平面AB1C与平面A1C1D之间的距离为　　　　.
8.(2026·安徽六安模拟)已知四棱锥AEBCD,AE⊥平面BCDE,底面EBCD是∠E为直角,EB∥DC的直角梯形,如图所示,且CD=2EB=2AE=4,DE=2,点F为AD的中点,则F到直线BC的距离为　　　　.
三、解答题
9.如图所示的多面体是底面为矩形ABCD的长方体被 AEC1F所在平面截得的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.
(1)求点C到平面AEC1F的距离;
(2)设过点B且平行于平面AEC1F的平面为α,求平面AEC1F与平面α之间的距离.
10.如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥底面ABCD,E是AB上一点,PE⊥EC.已知PD=,CD=2,AE=.
(1)求直线AD与平面PBC间的距离;
(2)求异面直线EC与PB间的距离.
11.(2026·山东淄博模拟)在四棱锥SABCD中,=(4,-1,0),=(0,3,0),=(-3,1,-4),则三棱锥SABD的体积为(　　)
A.5 B.6 C.8 D.9
12.(2026·江苏常州模拟)如图,在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,点P到直线AA1的距离的最小值为(　　)
A. B. C. D.

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