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3.2.1 波的描述 导学案
1.理解波的图像的物理意义，能用图像描述机械波。
2.掌握波长、频率、波速的概念及其关系式
3.能根据波的图像判断波的传播方向或质点的振动方向。
1. 理解波的图像的物理意义，能从图像中提取信息（重点）。
2. 掌握波长、频率、波速的定义和关系（重点）。
3. 能运用“带动法”“上下坡法”等判断振动方向或波的传播方向（难点）。
【知识回顾】
（一）初中知识回顾
1.振动：物体在平衡位置附近的往复运动。
2.力的作用：物体间通过弹力相互作用，如弹簧弹力F = kx
（二）高中已学知识
1.机械振动：物体或物体的一部分在平衡位置附近的往复运动。
2.简谐运动：位移随时间按正弦规律变化的振动，如弹簧振子。
【自主预习】
（一）波的图像
1．波的图像的画法
(1)建立坐标系，描点
用横坐标x表示在波的传播方向上各质点的 ，纵坐标y表示某一时刻各质点 。得到一系列坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，…的点。
(2)连线
用一条 的曲线把各点连接起来就是这一时刻 ，有时也称 。
2．简谐波(正弦波)
(1)如果波的图像是 ，这样的波叫作正弦波，也叫简谐波。
(2)简谐波中各质点的振动是 ，各质点振动的振幅均 。
3．波形图与振动图像
(1)简谐波的波形图与质点的振动图像都是 。
(2)波形图表示介质中的“各个质点”在“ ”的位移。
(3)振动图像表示介质中“某一质点”在“ ”的位移。
（二）波长、频率和波速
1．波长λ
(1)定义：在波的传播方向上，振动相位总是 的两个 质点间的距离。
(2)特征
①在横波中，两个相邻 或两个相邻 之间的距离等于波长。
②在纵波中，两个相邻 或两个相邻 之间的距离等于波长。
2．周期T、频率f
(1)周期(频率)：在波动中，各个质点的 叫作波的周期(或频率)。
(2)周期T和频率f的关系： 。
(3)决定因素：由 决定。
(4)波长与周期的关系：经过一个周期T，振动在介质中传播的距离等于 。
3．波速
(1)定义：机械波在 中的传播速度。
(2)决定因素：由 本身的性质决定，在不同的介质中，波速是 (选填“相同”或“不同”)的。
(3)波长、周期、频率和波速的关系： 。
一、波的图像
【案例引入】
如图所示，观察甲、乙两个图像可知：
(1)________图为波的图像；________图为振动图像。(均选填“甲”或“乙”)
(2)甲图中M、P、Q三个点坐标的意义分别是什么？其中P点的振幅是多少？
(3)乙图中M′、P′、Q′三个点坐标的意义分别是什么？
【例题分析】
【例1】如图2-2甲所示，用手握住长绳的一端，t＝0时刻在手的带动下绳上A点开始上下振动，其振动图像如图2-2乙所示，则能正确反映t1时刻绳上形成的波形的是( )
【总结归纳】
1．某一时刻简谐波中各个质点的位移可能不同，但各个质点的振幅是相同的。
2．简谐波中的所有质点都做简谐运动，它们的周期均相同。
二、【波长、频率和波速】
【案例引入】
1．如图所示为某一波形图，介质中A、B两质点平衡位置之间的距离为5 m，波源完成一次全振动的时间为2 s。
(1)该波的波长为________ m，波的周期为________ s。
(2)波的波速为________。
(3)若该时刻此波刚好传播到B点，试画出经过2 s时的波形图。
2．声波由空气传入水中，波的频率和波长怎样变化？
【例题分析】
【例2】图中的实线是一列正弦波在某一时刻的波形图。经过0.5 s 后，其波形如图中虚线所示。设该波的周期 T 大于 0.5 s。
（1）如果波是向左传播的，波的速度是多大？波的周期是多大？
（2）如果波是向右传播的，波的速度是多大？波的周期是多大？
【例3】湖面上停着A、B两条小船，它们相距20 m。一列水波正在湖面上沿AB连线的方向由A向B传播，每条小船每分钟上下浮动20次。当A船位于波峰时，B船在波谷，两船之间还有一个波峰。求水波的波速。
三、【质点振动方向与波传播方向的关系】
【例题分析】
【例4】（多选）“波”字最早用于描述水纹起伏之状,唐代诗人韦应物有“微风动柳生水
波”的描述。“微风动柳”在水面引起水波向四周传播,如图是t=0时刻水波沿x轴方
向传播的部分波形图,此后质点A比质点B先回到平衡位置且时间差为0.1 s,已知A点纵
坐标yA=- cm。下列说法正确的是 ( )
【例5】(多选)如图所示为一列简谐波在某一时刻的波形图，此时刻质点F的振动方向如图所示。则( )
A．该波向右传播
B．质点B和D的运动方向相同
C．质点C比质点B先回到平衡位置
D．此时质点F和H的加速度相同
五、【课堂小结—核心知识点】
一、波的图像
1．某一时刻简谐波中各个质点的位移可能不同，但各个质点的振幅是相同的。
2．简谐波中的所有质点都做简谐运动，它们的周期均相同。
二、波长、频率和波速
波长的三种确定方法
(1)定义法：在波动中，振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离等于一个波长。
注意：两个关键词：“振动相位总是相同”、“两个相邻质点”。“振动相位总是相同”的两质点，在波的图像上振动位移总是相同，振动速度总是相同。
(2)图像法
①在波的图像上，无论从什么位置开始，一个完整的正(余)弦曲线对应的水平距离为一个波长。
②在波的图像上，振动位移总是相同的两个相邻质点间的距离为一个波长。
(3)公式法：根据公式λ＝vT来确定。
三、质点振动方向与波传播方向的关系
1．带动法：后面质点依次重复前面质点的振动。
2．同侧法：在水平传播的波的图像上的某一点，沿竖直方向画出一个箭头表示质点振动方向，并设想在同一点沿水平方向画一个箭头表示波的传播方向，那么这两个箭头总是在曲线的同侧，如图所示
3．上下坡法：如图所示，沿波的传播方向，“上坡”的质点向下振动，如D、E、F；“下坡”的质点向上振动，如A、B、C。
4．微平移法：如图所示，实线为t时刻的波形图，作出微小时间Δt(Δt<)后的波形如虚线所示，由图可知t时刻的质点P1(P2)经Δt后运动到P1′(P2′)处，这样就可以判断质点的运动方向了。
考点一 波的图像
1．(多选)如图所示为一列简谐横波在某时刻的波形图，a、b、c、d为介质中的四个质点，a在波峰，d在波谷，c在平衡位置，b的位移大小等于振幅的一半．四个质点的加速度大小分别为aa、ab、ac、ad，速度大小分别为va、vb、vc、vd，则( )
A．acab>aa＝ad＝0
C．va＝vd>vb>vc D．va＝vd2．(2022·北京市密云区期末)如图所示是一列简谐横波在某时刻的波形图。已知波沿着x轴的正方向传播，关于波上的三个质点K、L、M，下列说法正确的是( )
A．此时质点K和M的运动方向相同
B．此时质点K和M的回复力方向相同
C．此时质点L的速度最大
D．质点K经过一段时间会沿x轴运动到质点M的位置
3．(多选)(2022·雅安市期末)取一条较长的软绳，用手握住一端(O点)连续上下抖动，在绳上形成一列简谐横波。已知O点完成一次全振动所用的时间为T，某一时刻的波形如图所示，绳上a、b两质点均处于平衡位置，下列说法正确的是( )
A．此时a、b两质点振动方向相同
B．此时a、b两质点的振动方向相反
C．再经，b质点将运动到波峰位置
考点二 质点振动方向与波的传播方向的关系
4．(2021·北京卷)一列简谐横波某时刻的波形图如图所示。此后K质点比L质点先回到平衡位置．下列判断正确的是( )
A．该简谐横波沿x轴负方向传播
B．此时K质点沿y轴正方向运动
C．此时K质点的速度比L质点的小
D．此时K质点的加速度比L质点的小
5．某一列沿x轴传播的简谐横波，在t＝时刻的波形图如图所示，P、Q为介质中的两质点，质点P正在向动能增大的方向运动。下列说法正确的是( )
A．波沿x轴正方向传播
B．t＝时刻，Q比P的速度大
C．t＝时刻，Q到达平衡位置
D．t＝时刻，P沿y轴正方向运动
考点三 波长、频率和波速
6．(多选)对机械波的相关公式v＝λf，下列说法正确的是( )
A．v＝λf适用于一切波
B．由v＝λf知，f增大，则波速也增大
C．v、λ、f三个量中，对同一列波来说，在不同介质中传播时保持不变的只有f
D．由v＝λf知，波长为2 m的声波是波长为4 m的声波传播速度的
7．(多选)(2022·湖北四地七校期中联考)如图为一列简谐横波在某时刻的波形图，已知图中质点b的起振时刻比质点a超前了0.2 s，则以下说法正确的是( )
A．这列波沿x轴负方向传播
B．该时刻质点P正沿y轴正方向运动
C．这列波的频率为5 Hz
D．这列波的波速为10 m/s
课后反思
1.波的图像和振动图像有哪些区别？请从横轴、纵轴、物理意义三个方面说明。
2.如何用“上下坡法”判断质点的振动方向？请画图说明。
3.波速由什么因素决定？频率由什么因素决定？波长呢？
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3.2.1 波的描述 导学案
1.理解波的图像的物理意义，能用图像描述机械波。
2.掌握波长、频率、波速的概念及其关系式
3.能根据波的图像判断波的传播方向或质点的振动方向。
1. 理解波的图像的物理意义，能从图像中提取信息（重点）。
2. 掌握波长、频率、波速的定义和关系（重点）。
3. 能运用“带动法”“上下坡法”等判断振动方向或波的传播方向（难点）。
【知识回顾】
（一）初中知识回顾
1.振动：物体在平衡位置附近的往复运动。
2.力的作用：物体间通过弹力相互作用，如弹簧弹力F = kx
（二）高中已学知识
1.机械振动：物体或物体的一部分在平衡位置附近的往复运动。
2.简谐运动：位移随时间按正弦规律变化的振动，如弹簧振子。
【自主预习】
（一）波的图像
1．波的图像的画法
(1)建立坐标系，描点
用横坐标x表示在波的传播方向上各质点的平衡位置，纵坐标y表示某一时刻各质点偏离平衡位置的位移。得到一系列坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，…的点。
(2)连线
用一条平滑的曲线把各点连接起来就是这一时刻波的图像，有时也称波形图。
2．简谐波(正弦波)
(1)如果波的图像是正弦曲线，这样的波叫作正弦波，也叫简谐波。
(2)简谐波中各质点的振动是简谐运动，各质点振动的振幅均相同。
3．波形图与振动图像
(1)简谐波的波形图与质点的振动图像都是正弦曲线。
(2)波形图表示介质中的“各个质点”在“某一时刻”的位移。
(3)振动图像表示介质中“某一质点”在“各个时刻”的位移。
（二）波长、频率和波速
1．波长λ
(1)定义：在波的传播方向上，振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离。
(2)特征
①在横波中，两个相邻波峰或两个相邻波谷之间的距离等于波长。
②在纵波中，两个相邻密部或两个相邻疏部之间的距离等于波长。
2．周期T、频率f
(1)周期(频率)：在波动中，各个质点的振动周期(或频率)叫作波的周期(或频率)。
(2)周期T和频率f的关系：f＝。
(3)决定因素：由波源决定。
(4)波长与周期的关系：经过一个周期T，振动在介质中传播的距离等于一个波长λ。
3．波速
(1)定义：机械波在介质中的传播速度。
(2)决定因素：由介质本身的性质决定，在不同的介质中，波速是不同(选填“相同”或“不同”)的。
(3)波长、周期、频率和波速的关系：v＝＝λf。
一、波的图像
【案例引入】
如图所示，观察甲、乙两个图像可知：
(1)________图为波的图像；________图为振动图像。(均选填“甲”或“乙”)
(2)甲图中M、P、Q三个点坐标的意义分别是什么？其中P点的振幅是多少？
(3)乙图中M′、P′、Q′三个点坐标的意义分别是什么？
答案 (1)甲 乙
(2)题图甲中M、P、Q三个点的坐标分别表示x＝1 m、x＝2 m、x＝4 m处三个质点此时的位移为10 cm、0、0；质点P的振幅为10 cm。
(3)题图乙中M′、P′、Q′三个点的坐标分别表示同一质点在t＝1 s、t＝2 s、t＝4 s时的位移为10 cm、0、0。
【例题分析】
【例1】如图2-2甲所示，用手握住长绳的一端，t＝0时刻在手的带动下绳上A点开始上下振动，其振动图像如图2-2乙所示，则能正确反映t1时刻绳上形成的波形的是( B )
【总结归纳】
1．某一时刻简谐波中各个质点的位移可能不同，但各个质点的振幅是相同的。
2．简谐波中的所有质点都做简谐运动，它们的周期均相同。
二、【波长、频率和波速】
【案例引入】
1．如图所示为某一波形图，介质中A、B两质点平衡位置之间的距离为5 m，波源完成一次全振动的时间为2 s。
(1)该波的波长为________ m，波的周期为________ s。
(2)波的波速为________。
(3)若该时刻此波刚好传播到B点，试画出经过2 s时的波形图。
答案 (1)4 2 (2)2 m/s (3)
2．声波由空气传入水中，波的频率和波长怎样变化？
答案 波在不同介质中传播时，其频率总与波源振动频率相同，故频率保持不变，因v＝fλ，λ＝，v变大，则λ变大。
【例题分析】
【例2】图中的实线是一列正弦波在某一时刻的波形图。经过0.5 s 后，其波形如图中虚线所示。设该波的周期 T 大于 0.5 s。
（1）如果波是向左传播的，波的速度是多大？波的周期是多大？
（2）如果波是向右传播的，波的速度是多大？波的周期是多大？
【例3】湖面上停着A、B两条小船，它们相距20 m。一列水波正在湖面上沿AB连线的方向由A向B传播，每条小船每分钟上下浮动20次。当A船位于波峰时，B船在波谷，两船之间还有一个波峰。求水波的波速。
答案 见解析
解析 如图所示，据题意可知，A、B两船之间的距离为1.5个波长，即1.5λ＝20 m，得λ＝ m
船每分钟上下浮动20次，说明水波的频率f＝ Hz＝ Hz
则水波的波速v＝λf＝× m/s＝ m/s。
三、【质点振动方向与波传播方向的关系】
【例题分析】
【例4】（多选）“波”字最早用于描述水纹起伏之状,唐代诗人韦应物有“微风动柳生水
波”的描述。“微风动柳”在水面引起水波向四周传播,如图是t=0时刻水波沿x轴方
向传播的部分波形图,此后质点A比质点B先回到平衡位置且时间差为0.1 s,已知A点纵
坐标yA=- cm。下列说法正确的是 ( AC )
答案：AC
【例5】(多选)如图所示为一列简谐波在某一时刻的波形图，此时刻质点F的振动方向如图所示。则( )
A．该波向右传播
B．质点B和D的运动方向相同
C．质点C比质点B先回到平衡位置
D．此时质点F和H的加速度相同
答案 CD
解析 由“上下坡”法可知，波向左传播，得质点D的运动方向也向下，而质点A、B、H的运动方向向上，质点F、H相对各自平衡位置的位移相同，由a＝－可知，两质点的加速度相同，因质点C直接从最大位移处回到平衡位置，即tC＝，而质点B要先运动到最大位移处，再回到平衡位置，故tB＞＝tC，故C、D正确。
五、【课堂小结—核心知识点】
一、波的图像
1．某一时刻简谐波中各个质点的位移可能不同，但各个质点的振幅是相同的。
2．简谐波中的所有质点都做简谐运动，它们的周期均相同。
二、波长、频率和波速
波长的三种确定方法
(1)定义法：在波动中，振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离等于一个波长。
注意：两个关键词：“振动相位总是相同”、“两个相邻质点”。“振动相位总是相同”的两质点，在波的图像上振动位移总是相同，振动速度总是相同。
(2)图像法
①在波的图像上，无论从什么位置开始，一个完整的正(余)弦曲线对应的水平距离为一个波长。
②在波的图像上，振动位移总是相同的两个相邻质点间的距离为一个波长。
(3)公式法：根据公式λ＝vT来确定。
三、质点振动方向与波传播方向的关系
1．带动法：后面质点依次重复前面质点的振动。
2．同侧法：在水平传播的波的图像上的某一点，沿竖直方向画出一个箭头表示质点振动方向，并设想在同一点沿水平方向画一个箭头表示波的传播方向，那么这两个箭头总是在曲线的同侧，如图所示
3．上下坡法：如图所示，沿波的传播方向，“上坡”的质点向下振动，如D、E、F；“下坡”的质点向上振动，如A、B、C。
4．微平移法：如图所示，实线为t时刻的波形图，作出微小时间Δt(Δt<)后的波形如虚线所示，由图可知t时刻的质点P1(P2)经Δt后运动到P1′(P2′)处，这样就可以判断质点的运动方向了。
考点一 波的图像
1．(多选)如图所示为一列简谐横波在某时刻的波形图，a、b、c、d为介质中的四个质点，a在波峰，d在波谷，c在平衡位置，b的位移大小等于振幅的一半．四个质点的加速度大小分别为aa、ab、ac、ad，速度大小分别为va、vb、vc、vd，则( )
A．acab>aa＝ad＝0
C．va＝vd>vb>vc D．va＝vd答案 AD
解析 质点所受回复力的大小与位移的大小成正比，因而加速度的大小与位移的大小成正比，所以这四个质点的加速度大小关系为aa＝ad>ab>ac，A正确，B错误；而质点越衡位置速度越大，位移越大则速度越小，所以四个质点的速度大小关系为va＝vd2．(2022·北京市密云区期末)如图所示是一列简谐横波在某时刻的波形图。已知波沿着x轴的正方向传播，关于波上的三个质点K、L、M，下列说法正确的是( )
A．此时质点K和M的运动方向相同
B．此时质点K和M的回复力方向相同
C．此时质点L的速度最大
D．质点K经过一段时间会沿x轴运动到质点M的位置
答案 B
解析 因为该波沿着x轴的正方向传播，根据波的传播方向与质点的运动方向的关系，可得质点K向下运动，M向上运动，质点K和M的运动方向相反，A错误；根据回复力与平衡位置的关系，可知此时质点K和M的回复力方向相同，B正确；由题中波形图可知，此时质点L处于波谷，其速度为零，C错误；质点不会沿波运动，故质点K经过一段时间不会运动到质点M的位置，D错误。
3．(多选)(2022·雅安市期末)取一条较长的软绳，用手握住一端(O点)连续上下抖动，在绳上形成一列简谐横波。已知O点完成一次全振动所用的时间为T，某一时刻的波形如图所示，绳上a、b两质点均处于平衡位置，下列说法正确的是( )
A．此时a、b两质点振动方向相同
B．此时a、b两质点的振动方向相反
C．再经，b质点将运动到波峰位置
D．再经，a质点将运动到b质点位置
答案 BC
解析 根据波的传播规律，利用“同侧法”可知，a质点在向下运动，b质点在向上运动，A错误，B正确；b质点在平衡位置且向上运动，再经将运动到波峰位置，C正确；质点只在平衡位置附近振动，不会随波迁移，D错误。
考点二 质点振动方向与波的传播方向的关系
4．(2021·北京卷)一列简谐横波某时刻的波形图如图所示。此后K质点比L质点先回到平衡位置．下列判断正确的是( )
A．该简谐横波沿x轴负方向传播
B．此时K质点沿y轴正方向运动
C．此时K质点的速度比L质点的小
D．此时K质点的加速度比L质点的小
答案 D
解析 由题知，K质点比L质点先回到平衡位置，则K质点此时的振动方向沿y轴负方向，结合同侧法可知波沿x轴正方向传播，A、B错误；此时L质点的速度为零、K质点的速度大于零，C错误；此时K质点偏离平衡位置的位移比L质点的小，由a＝－可知，此时K质点的加速度比L质点的小，D正确。
5．某一列沿x轴传播的简谐横波，在t＝时刻的波形图如图所示，P、Q为介质中的两质点，质点P正在向动能增大的方向运动。下列说法正确的是( )
A．波沿x轴正方向传播
B．t＝时刻，Q比P的速度大
C．t＝时刻，Q到达平衡位置
D．t＝时刻，P沿y轴正方向运动
答案 D
解析 越衡位置质点运动速度越大，质点P正在向动能增大的方向运动，则P向下运动，波沿x轴负方向传播，故A错误；t＝时刻，Q到达波谷位置，速度为零。P在平衡位置和波峰位置之间，速度不为零，所以Q比P的速度小，故B错误；t＝时刻，Q到达波峰位置，故C错误；t＝时刻，P沿y轴正方向运动，故D正确。
考点三 波长、频率和波速
6．(多选)对机械波的相关公式v＝λf，下列说法正确的是( )
A．v＝λf适用于一切波
B．由v＝λf知，f增大，则波速也增大
C．v、λ、f三个量中，对同一列波来说，在不同介质中传播时保持不变的只有f
D．由v＝λf知，波长为2 m的声波是波长为4 m的声波传播速度的
答案 AC
解析 一切波均满足v＝λf，故A正确；机械波的波速由介质决定，与频率、波长无关，故B、D错误；同一列波在不同介质中传播，频率不变，波速和波长改变，故C正确。
7．(多选)(2022·湖北四地七校期中联考)如图为一列简谐横波在某时刻的波形图，已知图中质点b的起振时刻比质点a超前了0.2 s，则以下说法正确的是( )
A．这列波沿x轴负方向传播
B．该时刻质点P正沿y轴正方向运动
C．这列波的频率为5 Hz
D．这列波的波速为10 m/s
答案 AD
解析 质点b起振比质点a早，可知波沿x轴负方向传播，故A正确；根据平移法可知，该时刻质点P正沿y轴负方向运动，故B错误；质点b的起振时刻比质点a超前了0.2 s，由题图可知周期是0.4 s，所以这列波的频率f＝2.5 Hz，故C错误；由题图可知波长λ＝4 m，波速v＝＝ m/s＝10 m/s，故D正确。
课后反思
1.波的图像和振动图像有哪些区别？请从横轴、纵轴、物理意义三个方面说明。
2.如何用“上下坡法”判断质点的振动方向？请画图说明。
3.波速由什么因素决定？频率由什么因素决定？波长呢？
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