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2026-2027学年秋学期高一基本不等式专项练习
基础篇
考试时间：120 分钟 满分：150 分
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
1.现有四名同学对基本不等式使用规则给出结论，仅一人结论正确，正确的是
A. 甲：式子 对任意实数 都可以用基本不等式求最小值
B. 乙：只要两个数为正数，就一定能利用基本不等式求出最值
C. 丙：对任意正数 ，不等式 恒成立
D. 丁：基本不等式取等条件与定值条件可以相互替代
2.下列关于基本不等式最值存在性的命题，真命题为
A. 若 ，则 一定存在固定最小值
B. 若正实数 满足 ，则 必有最小值
C. 对任意负实数 ， 均存在最大值
D. 若两正数和为变量，则其积一定无最值
3.已知正数 ，若式子 存在最小值，则该式子必须满足的核心限定条件是
A. B. 为定值
C. 为定值 D. 为任意正数
4.已知 ，关于代数式 的最值，判断正确的是
A. 有最小值 B.无最值
C. 有最小值 D. 有最大值
5.某同学解题推导过程：当 时，，试图求解式子最小值。该推导错误的根本原因是
A. 不满足正数条件 B.计算公式错误
C. 不满足取等条件 D. 不满足定值条件
6.已知正数 满足 ，关于 的最值说法正确的是
A. 最小值 B. 最大值
C. 最小值 D. 最大值
7.设 ，则“”是“ 取得最小值”的
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
8.定义函数 ，则函数 的值域为
A. B.
C. D.
二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分）
9.下列式子中，在定义域内存在最值、且可通过基本不等式变形求解的有
A. B.
C. D.
10.已知正数 ，下列命题正确的有
A. 若 ，则 有最小值
B. 若 ，则 有最大值
C. 对任意正数恒成立
D. 仅在 时成立
11.已知正实数 满足 ，则下列结论正确的有（）
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最大值为
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12.基本不等式求解最值的三大核心条件为：一正、______、______；若 ，式子 的最小值为______。
13.若 ，则式子 的最大值为________，取得该最值时 ________。
14.已知正数 ，“”是“ 在 定值下取最小值”的________条件。
四、解答题（共5小题，总分77分）
15.【13分】
判断下列解题说法是否正确，若错误，请写出错误原因：
(1) 因为 ，所以 ，故该式子最小值为 ；
(2) 对任意实数 ，都有 ；
(3) 正数 满足 ，则 的最大值在 时取得。
16.【15分】
分别求解下列两个式子的最值，并验证取等条件：
(1) 当 时，求 的最小值；
(2) 当 时，求 的最大值；
17.【15分】
已知正数 ：
(1) 若 ，求 的最小值及取等条件；
(2) 若 ，求 的最大值及取等条件；
18.【17分】
(1) 对正数 ，配凑求解 的最小值；
(2) 论证：无定值约束的正数二元式子，不存在固定最值；
(3) 举反例说明：仅满足“一正、取等”，不满足“定值”，无法求出固定最值。
19.【17分】
设正数 ，定义两个均值命题：
命题 ：若 为定值，则 有最小值；
命题 ：若 为定值，则 有最大值。
(1) 分别证明 均为真命题；
(2) 判断 之间是否存在推出关系，说明理由；
(3) 写出 的命题否定，并判定否定命题的真假。
2026-2027学年秋学期高一基本不等式专项复习
基础篇参考答案与解析
考试时间：120 分钟 满分：150 分
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
1.详细解析：
A错误， 为负实数时式子无均值最值；
B错误，仅满足正数条件、无定值条件，无法求出常数最值；
C正确，对任意正数 ，由完全平方公式易得 恒成立；
D错误，定值条件与取等条件为两个独立条件，不可相互替代。
答案：C
2.详细解析：
A错误，式子无固定定值约束，无法求出常数最小值；
B正确，由变形得 ，可配凑定值求 最小值；
C错误，，可以判断不一定存在最大值，只有当时才存在最大值，因此要限定一个范围；
D错误，变量和变化时，积可能存在最值。
答案：B
3.详细解析：根据基本不等式“积定和最小”规则：正数二元和式存在定值最值的核心前提是两变量乘积为定值。A为取等条件，非最值存在条件；B和定对应积最大；D无定值约束，无固定最值。
答案：C
4.详细解析：由 ，得 ，对原式变形：。由基本不等式：，故 。当且仅当 即 时取等，式子有最大值 。
答案：D
5.详细解析：该推导满足正数前提、公式形式无误、也可满足取等条件，但推导结果 仍含变量，不是固定常数，不满足基本不等式求最值的“定值”核心条件，无法求解固定最值。
答案：D
6.详细解析：由基本不等式和定积最大模型：正数 （和为定值），则 ，当且仅当 时取等，故 最大值为 。
答案：B
7.详细解析： 时，，当且仅当 时取得最小值。充分性：，式子取最小值，充分成立；必要性：式子取最小值时必有 ，必要成立。故为充要条件。
答案：A
8.详细解析： 时，； 时，。故值域为 。
答案：D
二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分）
9.详细解析：ABD正确；A： 时，，有最小值；B： 时，，有最小值；C： 含正负，无统一最值；D：时可变形求解最大值。
答案：ABD
10.详细解析：ABC正确；D错误，不等式 对任意正数 恒成立， 时取最大值，并非仅 时式子成立。
答案：ABC
11.详细解析：由 ，乘1法计算：A正确，；B正确，；C正确，；D错误，无最大值。
答案：ABC
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12.详细解析：基本不等式求最值三大核心条件：一正、二定、三相等；当 时，，最小值为 。
答案：二定、三相等；8
13.详细解析：由 ，令 ，则 。，故原式 ，当且仅当 即 时取等。
答案：-10；-5
14.详细解析：正数 ， 为定值时， 取最小值的充要条件为 ，双向等价，故为充要条件。
答案：充要
四、解答题（共5小题，总分77分）
15.（13分）
(1) 错误。虽然不等式变形形式正确，但结果 仍含变量，不是固定常数，不满足基本不等式“定值”条件，无法确定式子最小值。
(2) 错误。实数 时，，式子 无意义，不满足全域成立。
(3) 错误。由和定积最大规则， 为定值时， 在 时取得最大值。
16.（15分）
(1) 当 时，，当且仅当 即 时取等，最小值为 。
(2) 当 时，，，，故原式 ，当且仅当 即 时取等，最大值为 。
17.（15分）
(1) 为定值，，当且仅当 时取等， 最小值为 。
(2) 为定值，，当且仅当 时取等， 最大值为 。
18.（17分）
(1) 配凑：，则 ，，原式最小值为 ，当且仅当 即 时取等。
(2) 论证：若式子无定值约束，变量可自由取值，对应代数式结果会随变量变化持续变动，无法固定为某一个常数，因此不存在固定最值。
(3) 反例：，式子 ，无定值约束，虽可满足取等条件 ，但式子值随参数变化无固定常数最值。
19.（17分）
(1) 证明：由基本不等式 ，若 定值，则 有固定最小值，命题 为真；由 ，若 定值，则 有固定最大值，命题 为真。
(2) 无推出关系。 描述积定和最小， 描述和定积最大，二者为独立规则，无法互相推导。
(3) 的否定：存在正数 ， 为定值，但 无最小值（假）； 的否定：存在正数 ， 为定值，但 无最大值（假）。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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