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2026-2027学年秋学期高一基本不等式专项练习
进阶篇
考试时间：120 分钟 满分：150 分
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
1.已知正实数 满足 ，则 的值为
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
2.已知正实数 满足 ，则 的最值情况为
A.无固定最值 B. 最大值
C. 最小值 D. 最小值
3.已知 ，则代数式 的最大值为
A. B. C. D.
4.已知正实数 满足 ，则 的最小值为
A. 12 B. 14 C. 16 D. 18
5.若对任意 ，不等式 恒成立，则正数 的最小值为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6.已知 ，则 的最小值为
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
7.已知正实数 满足 ，则 的最大值为
A. 2 B. C. 3 D.
8. ，条件 ：；条件 ： 在 定值下取最小值,则 是 的
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分）
9.下列代数式能够求出唯一确定常数最值的有
A. ， B. ，
C. ， D. ，
10.已知正实数 满足 ，则下列结论正确的有
A. 的最小值为6 B. 的最小值为12
C. 的最小值为 D. 的最小值为
11.已知正实数 满足 ，下列结论正确的有（）
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12.已知 ，则 的最小值为________。
13.已知正实数 满足 ，则 的最小值为________。
14.若 ，不等式 恒成立，则实数 的最大值为________。
四、解答题（共5小题，总分77分）
15.【13分】
分析下列解题过程的正误，若错误，写出错误原因，并书写完整正确解答：
(1) 已知 ，推导：，故式子最小值为 ；
(2) 已知 ，推导：，故式子最小值为2；
(3) 已知正实数 ，推导：，故 最大值为9。
16.【15分】
求解下列代数式最值，验证取等条件并说明定义域有效性：
(1) 若 ，求 的最小值；
(2) 若 ，求 的最大值。
17.【15分】
已知正实数 满足 ：
(1) 恒等变形推导倒数约束等式；
(2) 求 的最小值及对应变量取值；
(3) 求 的最小值。
18.【17分】
(1) 已知 ，求 的最小值；（7分）
(2) 已知正实数 满足 ，证明：；（5分）
(3) 已知 ，求 的最小值。（5分）
19.【17分】
设 ，定义两个命题：
命题 ：若存在正常数 使得 为定值，则 有最大值；
命题 ：若 为定值，则对任意正常数， 有最小值。
(1) 分别证明命题 均为真命题；
(2) 分析 的逻辑关联，说明二者是否等价、是否可互相推导；
(3) 写出两个命题的否定形式，逐一判定真假并写明核心依据。
2026-2027学年秋学期高一基本不等式专项练习
进阶篇参考答案与解析
考试时间：120 分钟 满分：150 分
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
1.详细解析：由 整理得 ，即 。代入得 。
答案：B
2.详细解析：由 ，两边同除 得 。，由基本不等式 ，故 。
答案：D
3.详细解析： 满足和定结构，理论最大值在 处取得，值为 。
答案：D
4.详细解析：正实数 ，两边同除 得 。由基本不等式 ，化简得 ，平方得 ，即 最小值为12，取等条件 ，即 ，符合定义域。
答案：A
5.详细解析：，，不等式恒成立即最小值大于等于4。故 ，解得 ，正数 的最小值为4。
答案：D
6.详细解析：令 ，则 ，代入原式：。由基本不等式 ，原式最小值为 ，取等 即 。
答案：C
7.详细解析：由基本不等式 ，代入 ，得 ，化简得 ，取等条件 ，符合正实数约束。
答案：B
8.详细解析：积定和最小模型中，正变量和取最小值的充要条件为两变量相等。 可推出和最小，和最小必然满足 ，双向等价，故为充要条件。
答案：A
二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分）
9.详细解析：ABC可求确定常数最值，D无定值约束无固定最值。A配凑 求最小值；B和定积结构可求最大值；C负变量提负号转化正变量，可求最大值；D变量无约束，值域无上下界。
答案：ABC
10.详细解析：由 化简判定：A正确，，得 ；B正确，乘1法求得 ；C正确，配凑可得对应最小值；D错误，最小值不为 ，配凑结构不满足定值。
答案：ABC
11.详细解析：已知 。A正确：，；B正确：乘1法展开求得最小值 ；C正确：代入消元结合二次函数求得最小值 ；D错误： 无该最值，计算不成立。
答案：ABC
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12.详细解析：原式配凑：， 则 。由基本不等式 ，故原式最小值为 。
答案：9
13.详细解析：由 变形得 。，取等条件 ，即 ，最小值为9。
答案：9
14.详细解析：令，原式化为 。由基本不等式得最小值为。不等式恒成立即 式子最小值，故 最大值为 。
答案：
四、解答题（共5小题，总分77分）
15.（13分）
(1) 错误。核心错因：无定值条件，变形结果 仍含变量，不是固定常数，无法作为最值。正确结论：该形式配凑无效，无法直接求最值，不满足基本不等式求常数最值的核心要求。
(2) 错误。核心错因：取等条件定义域失效，式子取等需 ，与 无交集，无法取等。正确结论：该区间内式子无最小值，值域为 。
(3) 错误。核心错因：结构配凑逻辑错误，和定积最大需保证两变量和为定值，原式应配凑 ，正确最大值为 ，而非9。
16.（15分）
(1) 由 得 ，原式变形：。由基本不等式：，故原式最小值为 。取等条件：，解得 ，在定义域内，有效。
(2) 由 ，化简原式 ，定义域内函数单调递增，无最大值。严格论证：原式化简为一次函数，无最值，原分式结构无基本不等式适配模型。
17.（15分）
(1) 证明： 为正实数，，对 两边同除 ，得 ，等式得证。
(2) 。取等条件 ，即 ，最小值为。
(3) 由约束得 ，结合 代入，结合不等式配凑可得 最小值为。
第18题（17分）
(1) ，取等 ，最小值为。
(2) ，代入 ，得 ，立方得 ，得证，取等 。
(3) 令 ，原式为 ，得最小值，取等 ，即 。
19.（17分）
(1) 命题p证明：（定值），由基本不等式 ，变形得 ，右侧为常数，故 存在最大值，p为真。命题q证明：（定值），，右侧为常数，故 存在最小值，q为真。
(2) 逻辑关系：不等价、无推出关系。p为“和定推积最值”，q为“积定推和最值”，二者是基本不等式两套独立核心模型，推导逻辑不可逆、无法互相证明，属于并列独立命题。
(3) 命题否定：：存在正常数 及正实数 ，满足 ，但 无最大值（假）；：存在正常数 及正实数 ，满足 ，但 无最小值（假）。依据：定值约束下，基本不等式必然给出固定边界最值，否定命题违背核心原理。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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