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2026-2027学年秋学期高一基本不等式专项练习
拔高篇
考试时间：120 分钟 满分：150 分
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
1.已知正实数 满足 ，则 的最大值为
A. 1 B. C. 2 D.
2.已知正实数 满足 ，则 的最值情况为
A. 最小值18 B. 最小值27
C. 最大值18 D. 无最值,
3.已知 ，则代数式 的最大值为
A. B. C. D.
4.已知正实数 满足 ，则 的最小值为
A. 3 B. 4 C. 6 D. 12
5.对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的最大值为
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
6.已知 ，则 的最小值为
A. 7 B. C. D.
7.已知正实数 满足 ，则 的最大值为
A. 4 B. 8 C. D.
8. ，命题： 为定值；命题： 有最小值，则 是 的
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分）
9.已知正实数 满足 ，下列选项正确的有（）
A. 的最大值为2 B. 的最小值为2
C. 的最小值为 D. 的最小值为
10.已知正实数 满足 ，下列结论正确的有
A. 的最小值为4 B. 的最小值为8
C. 最小值为8 D. 最小值为
11.已知正实数 满足 ，下列选项正确的有（）
A. 的最小值为8 B. 的最小值为8
C. 的最小值为4 D. 的最小值为9
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12.知 ，代数式 的最小值为________。
13.已知正实数 满足 ，则 的最小值为________。
14.若 ，不等式 恒成立，则实数 的最大值为________。
四、解答题（共5小题，总分77分）
15.(13分)
已知正实数 满足 ：
(1)求 的最小值及对应 取值；
(2)求 的最小值。
16.（15分）
已知正实数 满足 ：
(1) 求证：；
(2) 求 的最小值；
(3) 求 的最小值。
17.（15分）
已知正实数 满足 ：
(1) 求 的最小值及对应 的取值；
(2) 求 的最小值。
18.（17分）
已知正实数 满足 ，且恒等式 成立，实数 满足：对所有符合条件的 ，不等式 恒成立。
(1) 证明： ；
(2) 求实数 的最大值。
19.（17分）
已知正实数 满足 ，且恒等式 成立，实数 满足不等式 对所有符合条件的 恒成立。
(1)证明： ；
(2)求代数式 的最小值；
(3)求实数 的最大值。
2026-2027学年秋学期高一基本不等式专项练习
拔高篇参考答案与解析
考试时间：120 分钟 满分：150 分
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
1.详细解析：由 ，得 ，，代入定值得 ，最大值为 。
答案：B
2.详细解析：由 得 ，即 （唯一定值）。代入得 。
答案：D
3.详细解析： 为和定结构，理论取等点 ，取等有效。最大值 。
答案：D
4.详细解析：正实数 ，两边同除 得 。
由基本不等式：，平方得 ，化简得 ，即 最小值为3。
答案：A
5.详细解析：令 ，原式化为 。由均值不等式 ，原式最小值为8。不等式恒成立即 ，得 ，故 最大值为9。
答案：D
6.详细解析：令 ，，代入原式：。最小值 ，取等合规。
答案：D
7.详细解析：由基本不等式 ，代入 ，得 ，即 ，故 ，最大值为8。
答案：B
8.详细解析：，必要成立；，不一定能推出积为定值，充分不成立。故 是 的必要不充分条件。
答案：C
二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分）
9.详细解析：已知 ，逐一验证选项：
选项A：，取等 ，即 ，最大值为2，A正确。
选项B：，取等 ，结合条件得 ，最小值为2，B正确。
选项C：由 ，代入得 ，二次函数最小值在 处，最小值为 ，C正确。
选项D：，无最小值，D错误。
答案：ABC
10.详细解析：由 逐一验证：A正确，均值推导得 ；B正确，乘1法求得 ；C正确，配凑得最小值8；D正确， 最小值等于 。
答案：ABCD
11.详细解析：由 化简得 。A正确，；B正确，乘1法得 ；C正确，均值配凑最小值为4；D错误， 最小值不等于9。
答案：ABC
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12.详细解析：原式配凑平移定值：， 则 。由均值不等式：，原式最小值 。
答案：15
13.详细解析：由 变形得 。乘1法展开：。
答案：
14.详细解析：令 ，原式化为 ，式子最小值为4。恒成立要求 ，故 最大值为4。
答案：4
四、解答题（共5小题，总分77分）
15.（13分）详细解析
(1) 。取等条件 ，最小值为 。
(2) 结合约束条件与均值不等式，配凑得 最小值为 ，取等条件合规有效。
16.（15分）详细解析
(1) 证明：，两边同时除以 （正实数不为0），得 ，得证。
(2) ，取等条件 ，最小值为9。
(3) 由约束条件得变量范围，结合基本不等式配凑，得 最小值为12。
17.（15分）详细解析
(1) ，取等 ，最小值为 。
(2) 由约束条件结合均值不等式 ，求得最小值为 。
18.（17分）详细解析
(1) 条件变形证明：由 ，因式配凑：。两边同除 ，得 ，等式得证。由定义域 ，满足一正条件。
(2) 构造目标式 ，配凑，求得 。由恒成立 ，得 。
19.（17分）详细解析
(1) 条件变形证明：
由 ，移项得 ，左右凑因式：。
对 两边同除 ，整理得：，原式得证。
由 ，得 ，满足基本不等式“一正”条件。
(2) 求 的最小值：
由 ，换元令 ，则 ，，且 。
代入得：。
由乘1法：。
取等条件 ，结合约束解得 。
故 ，最小值为7。
(3) 求 的最大值：
原式 ，代入换元式：。
结合定值约束 深度配凑，利用双均值嵌套求 最小值，最终求得 。
由恒成立条件 ，得 。
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