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2025-2026学年江苏省常州市第二中学高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.四名志愿者到个小区开展防诈骗宣传活动，向社区居民普及防诈骗、反诈骗的知识每名志愿者只去个小区，每个小区至少安排名志愿者，则不同的安排方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
3.求与直线平行且将圆的周长平分的直线方程为( )
A. B. C. D.
4.已知数列满足，则“”是“为等比数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 充分必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
5.如表是某企业在年月月的个月内购买某品牌碳酸锂价格单位：千元与月份代码的统计数据由表中数据计算得到经验回归方程为，则预测年月购买该品牌碳酸锂价格约为( )
月份代码
碳酸锂价格
A. 千元 B. 千元 C. 千元 D. 千元
6.已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上且横坐标为，为坐标原点，若的面积为，则该抛物线的准线方程为( )
A. B. C. D.
7.若，则的值为( )
A. B. C. D.
8.双曲线：的左，右焦点分别为，，过作垂直于轴的直线交双曲线于，两点，，，的内切圆圆心分别为，，，则的面积是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.事件，满足，，，则( )
A. B. C. D.
10.下列说法正确的是( )
A. 用，，，，能组成个不同的位数
B. 将个团员指标分到个班，每班要求至少得个，有种分配方法
C. 小明去书店看了本不同的书，想借回去至少本，有种方法
D. 甲、乙、丙、丁各写了一份贺卡，四人互送贺卡，每人各拿一张贺卡且每人不能拿到自己写的贺卡，有种不同的方法
11.已知直线：交轴于点，圆：，过点作圆的两条切线，切点分别为，，直线与交于点，则( )
A. 若直线与圆相切，则
B. 当时，四边形的面积为
C. 直线经过一定点
D. 已知点，则为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.假设有两箱零件，第一箱内装有件，其中有件次品；第二箱内装有件，其中有件次品．现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取个零件，则取出的零件是次品的概率是 ．
13.已知椭圆的一个顶点为，直线交椭圆于，两点，如果的重心恰好为椭圆的右焦点，则直线方程为 ．
14.已知数列满足，若，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上．
求圆的方程；
已知直线：与圆相交于、两点，求所得弦长的值．
16.本小题分
已知等差数列的首项，公差，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．
求数列的通项公式；
设，，是否存在最大的整数，使得对任意的均有总成立？若存在，求出；若不存在，请说明理由．
17.本小题分
某公司为了解年研发资金投入量单位：亿元对年销售额单位：亿元的影响对公司近年的年研发资金投入量和年销售额的数据，进行了对比分析，建立了两个模型：，，其中，，，均为常数，为自然对数的底数，并得到一些统计量的值令，，，经计算得如下数据：
请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？
根据的分析及表中数据，求关于的回归方程．
附：相关系数；
线性回归方程中，的计算公式分别为：，．
18.本小题分
已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，右顶点坐标．
求椭圆的标准方程；
直线与椭圆交于、两点，、是椭圆上位于直线两侧的动点，且直线的斜率为．
求四边形面积的最大值；
设直线的斜率为，直线的斜率为，判断的值是否为常数，并说明理由．
19.本小题分
在二十大报告中，体育、健康等关键词被多次提及，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国是全面建设社会主义现代化国家的一个重要目标某校为丰富学生的课外活动，加强学生体质健康，拟举行羽毛球团体赛，赛制采取局胜制，每局都是单打模式，每队有名队员，比赛中每个队员至多上场一次且是否上场是随机的，每局比赛结果互不影响经过小组赛后，最终甲、乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队种子选手对乙队每名队员的胜率均为，甲队其余名队员对乙队每名队员的胜率均为注：比赛结果没有平局
求甲队最终：获胜且种子选手上场的概率；
已知甲队：获得最终胜利，求种子选手上场的概率．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：由题意可得，圆心为，半径为．
则圆的方程为．
圆心到的距离为，，
．
16.【答案】【解答】
解：由题意得，
整理得．
，解得舍，．
，
．
假设存在整数总成立．
又，
数列是单调递增的．
．
又，
适合条件的的最大值为．
17.【答案】解：设模型和的相关系数分别为，．
由题意可得，，
，
所以，由相关系数的相关性质可得，模型的拟合程度更好；
因为，可得，即，
可得，，
所以关于的线性回归方程为，即关于的回归方程为．
18.【答案】 ，
19.【答案】解：设事件“种子选手第局上场”，
事件“甲队最终：获胜且种子选手上场”，
由全概率公式知，，
因为每名队员上场顺序随机，故，
，
，
，
所以，
，
所以甲队最终：获胜且种子选手上场的概率为；
设事件“种子选手未上场”，事件“甲队：获得胜利”，
，，
，
，
因为，由
知，所以，
所以，已知甲队：获得最终胜利，种子选手上场的概率为．
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