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2025-2026学年浙江省绍兴市诸暨市海亮中学八年级（下）期末
数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“在一副除去大小王的扑克牌中，抽取一张扑克牌恰好是红桃”这一事件是( )
A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 确定性事件
2.在中，，，，则的值为( )
A. B. C. D.
3.已知的半径为若点在外，则的长可能是( )
A. B. C. D.
4.设的小数部分是，则的值为( )
A. B. C. D.
5.下列是个已知角度的三角函数，值最大的是( )
A. B. C. D.
6.抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，恰好经过点，则的值是( )
A. B. C. D.
7.如图，将直角三角板的角顶点放在上，边，分别交于点，，若，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
8.对于一元二次方程，下列说法正确的个数是( )
若方程的两个根为和，则；
若，则方程一定有解；
若，且，则方程的两实数解一定互为相反数；
若，则．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
9.如图，菱形∽菱形，且相似比为，则下列说法错误的是( )
A. ，，，四点共线
B. 为的重心
C.
D.
10.如图，在中，，点为内心动点以的速度从点出发，沿折线运动线段的长单位：与点的运动时间单位：的关系如图所示其中，点是两段曲线的连接点，则下列说法正确的是( )
A. 图象最低点的纵坐标为或 B. 图象上纵坐标为的点有个
C. 图象最高点的横坐标为 D. 的面积为
二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
11.二次根式有意义，则的取值范围是 ．
12.若正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数是 ．
13.如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，其部分示意图如图所示，它是以点为圆心，分别以，为半径，圆心角形成的扇面，若，，则图中阴影部分的面积为 结果保留．
14.如图， 的对角线，相交于点，点，分别是线段，的中点，若厘米，的周长是厘米，则 厘米．
15.如图，在正方形中，点是上一点，过点作于点，于点，连结，若，则的最小值为 ．
16.已知二次函数，当时，函数的最大值为，则的取值范围为 ．
17.如图，将矩形分割为三块，拼成如图所示的矩形若点在图矩形的一条对角线上，则的值为 ．
18.如图， 中，，，，点、分别为边、上一点，且，四边形为平行四边形点在延长线上、点在边上，若，则 ．
三、计算题：本大题共1小题，共11分。
19.用合适的方法解下列方程
四、解答题：本题共5小题，共59分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.本小题分
解答：
已知，，求的值
若，求的值
21.本小题分
为统计某校八年级学生参与社区环境整治、图书馆整理、交通文明劝导三类志愿活动的次数，随机抽取该年级部分学生开展问卷调查，得到如下频数分布表：
志愿活动次数 次 次 次 次 次
频数人数
已知下列信息：
参与志愿活动次数为次的学生，占本次抽取总人数的；
参与志愿活动次数为次的学生，占本次抽取总人数的．
请根据以上信息解答下列问题：
表格中的 ， ，学生参与志愿活动次数的众数为 次
求本次抽查里，学生参与志愿活动次数的平均数
该校八年级有名学生，根据本次抽样结果，估计八年级志愿活动次数不低于次的学生总人数
22.本小题分
“弦图”被誉为数学界的图腾如图，该图由个全等的直角三角形围成一个大正方形和中间的一个小正方形，可以巧妙地证明勾股定理．依据“弦图”的结构特点，可联想、迁移解决一些“直角”相关问题
【问题发现】如图，“弦图”中，若，正方形的边长为，则的长为
【知识迁移】如图，在正方形中，为边上一点，作于点，的延长线于点，连结，若，求的长
23.本小题分
在 中，，，分别是，上的点，，相交于点，，连结．
如图，若，．
求证：．
若，求的度数．
如图，若，，求的长．
24.本小题分
【阅读理解】若抛物线的顶点落在直线上，称这样的抛物线为平衡抛物线如的顶点为落在直线上，是平衡抛物线．
【提出问题】
若抛物线，都是平衡抛物线，抛物线的对称轴为直线抛物线的对称轴为直线点在抛物线上，点在抛物线上，点与点关于直线对称设．
【解决问题】
求抛物线的解析式；
若．
判断线段的中点是否一定落在直线上？请你作出判断并说明理由；
当时，求的取值范围；
【拓展思考】
在点的运动过程中，若的最小值大于或等于，求的取值范围．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】
18.【答案】
19.【答案】【小题】
【小题】

20.【答案】【小题】利用平方差公式对、进行分母有理化可得：
，
，
，
，
，
【小题】，
移项得，
，
原式

21.【答案】【小题】
【小题】
学生参与志愿活动次数的平均数为
【小题】
八年级志愿活动次数不低于次的学生总人数为人

22.【答案】【小题】
【小题】
如图，将原图以与全等的三个直角三角形补成一个弦图，则四边形为正方形，，
，
四边形为矩形，
设，则
在中，，即，
解得，不合题意，舍去

23.【答案】解：四边形是平行四边形，且，，
平行四边形是正方形，
，
在和中，
，
≌，

四边形是正方形，
，

在中，
由≌，得
在中，，
，

过点作于，于

由平行四边形面积性质，，，
，即，
，
，
平分，
；
过点作于点，作于点，

和同理可得，
，
≌，

，
，
在中，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
24.【答案】；
线段的中点一定落在直线上，理由如下：
，
，
解得，
抛物线是平衡抛物线，
，
，
抛物线的解析式，
点与点关于直线对称，
，
，，
，
的中点为，即，
线段的中点一定落在直线上；
；
或
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