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内蒙古巴彦淖尔市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题
一、单选题
1．某书架有三层，上层有本不同的数学书，中层有本不同的语文书，下层有本不同的英语书.若从该书架任取本书.则不同的取法数为（ ）
A． B． C． D．
2．在的展开式中，二项式系数最大的项是（ ）
A．第3项 B．第4项
C．第5项 D．第6项
3．用这5个数字可以组成没有重复数字的四位数的个数为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数的导函数为，且的部分图象如图所示，则（ ）

A． B．
C． D．
5．已知变量y与变量x线性相关，y与x的样本相关系数为，且样本数据的平均数分别为，，则y关于x的经验回归方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数，若过点且与曲线相切的直线的斜率为，则（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
7．在的三条边上均有3个四等分点，以这9个等分点中的3个等分点为顶点的三角形的个数为（ ）
A．75 B．78 C．81 D．84
8．1号箱子中有2个红球和1个黑球，2号箱子中有1个红球和4个黑球.甲先随机选1个箱子，再随机从选出的箱子中取出1个球，已知取出的球是红球，则选择1号箱子的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数的导数为，且，则（ ）
A． B． C． D．
10．若，且，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．的最大值为1
C．若越大，则越大
D．若越大，则的正态密度曲线越“矮胖”
11．设关于X，Y，Z的三元方程的正整数解的组数为，其中a，b，c均为常数，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．若随机变量服从两点分布，且，则_________.
13．内蒙古自治区地域辽阔，旅游景点众多：东北部有呼伦贝尔大草原、额尔古纳湿地、阿尔山国家森林公园，中部有敕勒川草原、内蒙古博物院，西部有成吉思汗陵、响沙湾.某游客计划参观这七个景点，若要求参观东北部三个景点的顺序相邻、中部两个景点的顺序相邻、西部两个景点的顺序相邻，则不同的参观方案数为_________.
14．已知函数在上有两个极值点，则的取值范围为_________．
四、解答题
15．已知函数.
(1)当由0变到1时，求的平均变化率；
(2)求在上的值域.
16．为了研究学生参加校园社团与抗压能力强弱的关系，某调查中心随机抽取了120名学生进行调研，所得数据如下表所示：
校园社团 抗压能力 合计
弱 强
参加 20 40 60
不参加 35 25 60
合计 55 65 120
(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为学生参加校园社团与抗压能力强弱有关？
(2)从参加校园社团的学生中按抗压能力强弱采用分层随机抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取3名学生，记这3名学生中抗压能力弱的人数为，求的分布列与数学期望.
附：，其中.
0.05 0.01
3.841 6.635
17．在的展开式中，奇数项的二项式系数和为2048.
(1)求；
(2)求展开式中含的项；
(3)若展开式中奇数项、偶数项的系数和分别为，，求.
18．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3)证明：对任意，都有.
19．某同学进行投篮训练，投中1次记1分，未投中1次记分，n次投篮后累计得分为X，当或时，训练结束．设该同学每次投中的概率均为，各次投中与否相互独立．
(1)当时，求；
(2)求时训练结束的概率；
(3)记该同学恰好经过m次投篮后训练结束，证明：．
参考答案
1．B
【详解】由题知，从该书架任取本书，不同的取法数为.
2．C
【详解】展开式共有项，二项式系数最大的项是中间项，即第5项.
3．D
【详解】用这5个数字可以组成没有重复数字的四位数的个数为.
4．A
【详解】由的部分图象可知处于函数单调减区间上，故；
处于函数单调增区间上，故，
又当函数递增时，随着x的增大，函数值的增加速度越来越大，即曲线切线的斜率越来越大，
结合，可得，故.
5．B
【详解】因为x与y的样本相关系数为，可知x与y为负相关，故C，D错误；
又因为经验回归方程过样本中心点，
对于A项，，则，故A错误；
对于B项，，则，故B正确．
6．A
【详解】因为，设切点坐标为， ，
直线的斜率为，解得：，
所以直线的方程为，
将点代入直线的方程得，解得.
7．C
【详解】从9个点中任取3个点共有种方法，
当取得的三点在一条直线上时，构不成三角形，
故这样的三角形的个数是.
8．D
【详解】设事件表示选中号箱子，事件表示从选出的箱子中取出1个球是红球，
则，，，
所以，
则.
9．ABD
【详解】由题可知，
对于A，当时，，得，故A正确，
对于B，当时，，由，得，故B正确，
对于C，当时，由，，故C错误，
对于D，由，得，故D正确.
10．BC
【详解】由可得，
结合，可得；
对于A，正态分布，曲线关于对称，
因此，
由于 ，则，即均值，
在正态分布中，远离均值的右侧概率更小，因此，故A 错误；
对于B，，
当时，取最大值1，故B正确；
对于C，，是关于p的一次函数，该函数为单调递增函数，故C正确；
对于D，当时，单调递增，此时曲线随着p的增大变矮胖，
当时，单调递减，此时曲线随着p的增大变瘦高，故D错误.
11．BCD
【详解】选项A，由题意知，即的正整数解的组数，
由隔板法，正整数解组数为，故A错误.
选项B：，即的正整数解的组数，
由，得，
对分类： 当时，，共6组；当时，，共4组；当时，，共3组；当时，，共1组，
总和为，
，即的正整数解的组数，由，得，
对分类：当时，，共6组；当时，，共4组；当时，，共3组；当时，，共1组，
总和为，
两者相等，故B正确.
选项C：，即的正整数解的组数，
由，，得，故，
对每个，的正整数解组数为，
总组数为： ，C正确.
选项D：，即的正整数解的组数，
得，（），
总组数为，
，即的正整数解的组数，同理计算得总组数为，
显然，即，D正确.
12．0.54
【详解】根据两点分布的概率基本性质可得：
.
13．144
【详解】东北部3个景点，全排有种；
中部2个景点，全排有种；
西部2个景点，全排有种；
将东北部、中部、西部三个方位的景点看成3个整体，全排有种；
所以，不同的参观方案数为.
14．
【详解】由函数， ，
令，得.
令，由，得，
因为函数在区间上有两个极值点，所以方程在上有两个不同解.
当时：从递减到；当时：从递增到；
当时，与恒有两个不同交点，对应原函数两个不同极值点：
因此的取值范围是.
15．(1)
(2)
【详解】（1）因为，，
所以的平均变化率为.
（2）由题意得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在上的最小值为.
因为，
所以在上的最大值为.
故在上的值域为.
16．(1)认为学生参加校园社团与抗压能力强弱有关；
(2)分布列为
0 1 2
【详解】（1）零假设为：学生参加校园社团与抗压能力强弱无关.
根据表中的数据，可得.
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为学生参加校园社团与抗压能力强弱有关.
（2）这6名学生中抗压能力弱的有人，抗压能力强的有人，
则的所有可能取值为，，.
，
，
，
则的分布列为
0 1 2
故.
17．(1)
(2)
(3)9
【详解】（1）由题意得，得.
（2）展开式中含的项为.
（3）设，
则，
，
令，得，
令，得，
所以.
18．(1)
(2)的单调递增区间为；单调递减区间为，
(3)证明：设，则.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
所以，即.
当时，（当且仅当时，等号成立）.
因为（当且仅当，即时，等号成立），
所以（两个等号不能同时成立），所以,
所以对任意，都有.
【详解】（1）由得,
，得.
所以曲线在点处的切线方程为，
即;
（2）的定义域为.
由（1）知，令，得，
令，得，且，
所以的单调递增区间为；单调递减区间为，.
（3）略
19．(1)
(2)
(3)因为该同学恰好经过m次投篮后训练结束，所以为偶数，故的可能取值为，
；
；
；
.
则，
两边同乘以得，
，
两式作差得，
即
.
【详解】（1）2次投篮得分，说明1次投中，1次没有投中，
因此.
（2）时训练结束，说明前2次投篮为投中1次，未投中1次，得分．
第3次、第4次投篮为投中1次，未投中1次，得分．
第5次、第6次投篮为连续2次投中，或连续2次未投中，得分或．
故时训练结束的概率为．
（3）略

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