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5.3实际问题与一元一次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．春节来临之际，某花店老板购进大量的康乃馨、百合、玫瑰，打算采用三种不同方式搭配成花束，分别取名为“眷恋”、“永恒”、“守候”．三种花束的每一束成本分别为元、元和元．已知销售每束“眷恋”的利润率为，每束“永恒”的利润率为，每束“守候”的利润率为，当售出的三种花束数量之比为时，老板得到的总利润率为；当售出的三种花束数量之比为时，老板得到的总利润率为，则为（ ）
A． B． C． D．
2．10月30日4时27分，神舟十九号载人飞船的成功发射，不仅是中国航天事业的一大里程碑，也是国家科技实力和综合国力的生动展现．在加工一批航天十九号载人飞船零件过程中，甲单独做6天完成，乙单独做4天完成．若甲先做1天，然后甲，乙合作完成此项工作，若甲乙合作了天，则所列方程为（　　）
A． B． C． D．
3．某学校开展校园篮球比赛活动，规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，七年级（3）班共比赛8场，且保持不败战绩，得了22分．若设七年级（3）班胜了x场，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
4．已知A、B两地相距30千米，小华早上8点骑车从A地去B地，去时顺风，11点整到达B地；第二天早上8点，他从B地按原路返回，因为逆风，下午两点整才回到A地．他在两天往返中是否曾在同时刻到达同一地点？若有，这点距A地（ ）千米（假设往返的速度是匀速的）．
A．20 B．15 C．10 D．5
5．快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，设快马x天可以追上慢马，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．小王驾车计划用相同的时间往返甲、乙两地，从甲地到乙地的平均速度是每小时60千米，结果早到20分钟，从乙地到甲地的平均速度是每小时40千米，结果晚到5分钟，求甲、乙两地的距离．设甲、乙两地的距离是千米，则下列所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．《九章算术》是中国古代的一部重要数学著作，全书共分为九章，其中“盈不足”一章记载了一道数学问题，题目大意：有人合伙买狗，每人出5钱，还差90钱；每人出50钱，刚好够．问合伙人数有多少？若设有x人，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中记载了一道题，其大意为：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，由题意得 （ ）
A． B．
C． D．
9．足球比赛积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队进行了13场比赛，其中负了4场共得19分，那么该队胜了（ ）
A．2场 B．3场 C．4场 D．5场
10．某工艺品车间有20名工人，平均每人每天可制作3个大花瓶或8个小饰品．已知1个大花瓶需要配4个小饰品，为使每天制作的大花瓶和小饰品刚好配套，设安排名工人制作大花瓶，可得方程为（ ）
A． B． C． D．
11．星期天，妈妈做饭，小丁和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小丁单独完成，需；若爸爸单独完成，需．当天，小丁先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成了剩余的打扫任务，小丁和爸爸这次一共打扫了，则这次家庭卫生大扫除爸爸工作了（　　）小时．
A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
12．某个工厂有12名技术工人，平均每人每天可加工甲种零件24个或乙种零件15个，2个甲种零件和3个乙种零件可以配成一套．设安排名技术工人生产甲种零件，为使每天生产的甲乙零件刚好配套，则列出下列方程：①；②；③；④，其中正确的有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
二、填空题
13．有一块长、宽、高分别为的长方体橡皮泥，要用它来捏一个底面半径为的圆柱，若圆柱的高是，则可列方程为________．
14．某校根据国际田联标准和学校场地实际情况规划运动会比赛场地，第一分道实跑线长为米，第二分道实跑线长为米，第三分道实跑线长为米，小军沿着第一分道实跑线逆时针跑步，王教练沿着第二分道实跑线顺时针骑自行车，两人从图中起跑线的位置同时出发，经过秒两人在直道第一次相遇．王教练的平均速度是小军平均速度的倍，则小军跑步的平均速度是_________米/秒．
（注：在同侧直道，过两人所在点的直线与直跑道边线垂直时，称两人直道相遇．）
15．某种羽绒服的进价为800元，出售时标价为1400元，后来由于该羽绒服积压，商店准备打折销售，但保证利润率为，则可打__________折．
16．在学校一年一度的“庙会”上，李明同学把自己售卖的一件商品按标价的七折销售，此时他发现仍可赚得8元．已知这件商品的进价为20元，那么这件商品的标价是多少元？若设这件商品的标价为元，则根据题意列出方程______．
17．一套服装进价为 200 元，按标价的 8 折销售仍可获利 40 元，则该服装的标价为________元．
三、解答题
18．阅读下列材料，解答问题：
关于的方程的解是；的解是；
的解是．
(1)观察上述方程以及解的特征，请直接写出关于的方程的解为________．
(2)猜想：的解是________．
(3)①请验证第（2）问猜想的结论；
②利用第（2）问的结论，求解关于的方程的解（用含的代数式表示）．
19．如图1，已知点A，在数轴上表示的数分别为和10，若有一动点从数轴上点A出发，以每秒1.5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒．

(1)解决问题：
若点为线段的中点，点为线段的中点，点在线段上运动时，线段的长度是否发生变化？请说明理由；
(2)探索问题：
当点运动的同时，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动．
①在运动过程中，点表示的数为_______，点表示的数为_______．
②求运动多少秒时，点与点相距3个单位长度？
(3)知识迁移：
如图2，若线段与分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，，在时针与分针转动过程中，经过______分钟后，的度数第一次等于
20．数轴上点，，的位置如图所示．请回答下列问题：
(1)表示有理数的是点 ，将点向左移动4个单位长度得到点，则点表示的有理数是 ；
(2)在数轴上标出点D、E，其中点D、E分别表示有理数和；
(3)将，0，，这四个数用“”号连接的结果是　　．
21．用火柴棒按图中的方式搭图形：

(1)按图示规律填空：
图形编号 ① ② ③ ④ ⑤
火柴棒根数 7 12 17 ________ ________
(2)按照这种方式搭下去，请写出搭第个图形需要的火柴棒根数；
(3)小明发现：按照这种方式搭图形会产生若干个正方形，若使用2022根火柴棒搭图形，图中会产生多少个正方形？
思维分析
（1）已知图形中火柴棒根数是序数的5倍与2的和，据此可补全表格．
（2）根据以上所得规律可得答案．
（3）先根据使用2022根火柴棒搭图形得出图形序号，再利用第个图形中正方形的个数为可得答案．
22．某种商品的标价为元，为了吸引顾客，按九折出售，这时仍要盈利，求这种商品的进价是多少元
23．如图，点是线段上一点，且两点分别从点同时出发以的速度沿直线向右运动，后，点恰好分别为的中点．
(1)求的长度；
(2)求证：；
(3)若运动后，两点到点的距离相等，求的值．
24．如图，数轴上，所对应的数分别为，10，为原点，点为数轴上一动点且对应的数为.点以每秒2个单位长度，点以每秒3个单位长度，分别自，两点同时出发，在数轴上运动（不改变方向）.设运动时间为秒.

(1)若点，相向而行且，求的值.
(2)若点，在点处相遇，求出点对应的数.
(3)若点，相向而行，当时，求的值.
(4)若点，相向而行，同时一只宠物鼠以每秒4个单位长度从点出发，与点相向而行，宠物鼠遇到后立即返回，又遇到后立即返回，又遇到后立即返回，…，直到，相遇为止，求宠物鼠整个过程中的运动路程.
《5.3实际问题与一元一次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B A A D C A C D D
题号 11 12
答案 B A
1．A
【分析】本题考查利润、进价与利率关系，利用等式的基本性质求解未知数之间的等量关系，先根据三种花束的利润之和除以三种花束的进价之和等式，进行整理可得，，，即可求得，，进而可得答案．掌握利润、进价与利润率关系，列出等式是解决问题的关键．
【详解】解：三种花束的每一束成本分别为元、元和元，
则三种花束的每一束利润分别为，，，
当售出的三种花束数量之比为时，三种花束的数量分别为，，，
根据题意得：，
整理得：，
当售出的三种花束数量之比为时，三种花束的数量分别为，，，
根据题意：，
整理得：，则：，
将代入得：，则：，
∴，
故选：A．
2．B
【分析】本题考查了一元一次方程的应用．过程中，甲做了天，乙做了x天，然后根据总工作量为1即可列出方程．
【详解】解：设甲乙合做了x天，根据题意可得：；
故选：B．
3．A
【分析】此题考查了一元一次方程的应用，根据分数可得等量关系为：胜场的得分平场的得分分，列方程是解决本题的关键．
【详解】解：设七年级（3）班胜了x场，则平了场，
列方程得：，
故选：A．
4．A
【分析】本题主要考查实际问题与一元一次方程 ；利用速度=路程÷时间，可求出小华去时及返回时的速度，假设他在两天往返中曾在同时刻到达同一地点，设这点距A地x千米，则距B地千米，利用时间=路程÷速度，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，即可得出结论．
【详解】解：去时的速度为（千米/时），
返回时的速度为（千米/时）．
假设他在两天往返中曾在同时刻到达同一地点，设这点距A地x千米，则距B地千米，
根据题意得：，
解得：，
∵，
∴符合题意，
∴假设成立，即他在两天往返中曾在同时刻到达同一地点，这点距A地20千米．
故选：A．
5．D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
利用天快马走的路程天慢马走的路程慢马先走12天的路程，即可得出关于的一元一次方程，此题得解
【详解】解：根据题意得，
故选：D．
6．C
【分析】本睼主要考查根据实际问题列方程，根据题意可知：预定用相同的时间往返于甲、乙两地，设甲、乙两地之间的路程为x千米，根据时间=路程÷速度，即可求出去时、返回时的时间，用去时的时间加上是到的20分钟，返回的时间减去晚的5分钏，根据由往返所用时间相等即可列方程解答．
【详解】解：设两地的距离是x千米，根据题意得：
．
故答案为：C．
7．A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，设有x人，根据狗的总价钱不变，即可得出关于x的一元一次方程即可．
【详解】解：设有x人，
依题意，得：．
故选：A．
8．C
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意是解题关键．根据题意，快马花x天追上慢马，此时快马走的路程为里，由于慢马先走12天，所以慢马总共走的路程为里．当快马追上慢马时，它们所走的路程相等，即可列出方程．
【详解】解：根据题意，可列方程为．
故选：C．
9．D
【分析】本题主要考查了一元一次方程的运用，准确理解等量关系是解题的关键．设该队胜了场，根据题意列出方程进行求解即可．
【详解】解：设该队胜了场，故平了场，
，
解得．
故一共胜了场．
故选：D．
10．D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，设要安排名工人制作大花瓶，则安排名工人制作小饰品，根据每天制作的大花瓶和小饰品刚好配套，可得出关于的一元一次方程，找出等量关系，正确列出一元一次方程式是解题的关键．
【详解】解：根据题意得，，
故选：D．
11．B
【分析】本题是一道工程问题的应用题．设小丁打扫了，爸爸打扫了，根据总工作量各部分的工作量之和列出一元一次方程，然后求解即可．
【详解】解：设总工作量为1，小丁打扫了，爸爸打扫了，则小丁打扫任务的工作效率为，爸爸打扫任务的工作效率为，
由题意，得：，
解得：，
∴，
答：爸爸打扫了．
故选：B．
12．A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设安排x个技术工生产甲种零件，则安排个技术工生产乙种零件，根据2个甲种零件和3个乙种零件可以配成一套，即可得出关于x的一元一次方程，变形后即可得出结论．
【详解】解：设安排x个技术工生产甲种零件，则安排个技术工生产乙种零件，
依题意，得：
∴，
∴方程①②③正确．
故选：A．
13．
【分析】本题考查了列一元一次方程，理解题意找到等量关系是关键；根据体积不变原理，长方体的体积等于圆柱体的体积，从而列出方程．
【详解】解：长方体的体积计算公式为长、宽、高的积，即；
圆柱体的体积计算公式为底面积乘高，因此圆柱体积为；
由于体积相等，得方程．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用；根据题意分析两人在左边的直道上相遇，则两人的总路程的长为第一分道实跑线长加上第二分道实跑线长与一分道实跑线长的差的一半，设小军跑步的平均速度是，则王教练的平均速度是，列出一元一次方程，解方程，即可求解．
【详解】解：设小军跑步的平均速度是，则王教练的平均速度是，根据题意经过秒两人在直道第一次相遇，
解得：
答：小军跑步的平均速度是米/秒．
故答案为：．
15．6
【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据利润率的公式列一元一次方程是解题的关键．设可打折，依题意得，，计算求解即可．
【详解】解：设可打折，
依题意得，，
解得，．
∴可打6折．
故答案为：6．
16．
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．设这件商品的标价是元，根据“按标价的七折销售可赚得8元．”即可求解．
【详解】解：设这件商品的标价是元，根据题意得：
．
故答案为：．
17．300
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设该服装的标价为元，根据按标价的 8 折销售仍可获利 40 元，列出方程，解方程求标价．
【详解】解：设该服装的标价为元，
根据题意，按标价的8折销售，售价为元，
可获利40元，即售价减去进价等于40元，
得方程：，
解得，
故该服装的标价为300元．
故答案为：300．
18．(1)
(2)
(3)①见解析；②
【分析】本题考查了方程的解，（1）根据题干方程与方程解的规律即可得到该方程的解，（2）根据题干的规律，可以推导出该方程的解；（3）①用代入检验法检验第二问的猜想；②根据结论推导出的是的值，移项即可得到的值.
【详解】【小题1】解：根据题干可知：
关于的方程的解为：；
故答案为：.
【小题2】解：关于的方程的解为：；
故答案为：.
【小题3】解：①把代入等式的左边，
得，
左边右边，
的解为；
则第（2）问得证．
②由题意知，
，
；
故答案为：．
19．(1)
如图，点在线段上运动时，线段的长度不发生变化，理由如下：

∵点A、B在数轴上表示的数分别为和10，
∴，
∵点为线段的中点，点为线段的中点，
∴，，
∴ ，
∴点在线段上运动时，线段的长度不发生变化；
(2)①，；②6秒，或秒
(3)12
【分析】(1)先求出的长，根据中点定义得到，，再根据，即得；
(2)①根据点A表示的数为，点P从点A以每秒1.5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，得到点P表示的数为：，根据点B表示的数为10，点从点以每秒3个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，得到点表示的数为：；②点与点相距3个单位长度，分两种情况讨论：当点P在点Q左侧时，，解得，当点P在点Q右侧时，，解得，；
(3) 设经过分钟后，钟表上的时针与分针的夹角从第一次转到，得到，解得．
本题主要考查了数轴上的动点，钟面角．解题的关键是熟练掌握动点表示的数，两点间的距离公式，时针与分针转动的角速度和转过的角度，列方程解答．
【详解】（1）略
（2）①∵点A、在数轴上表示的数分别为和10，
∴在运动过程中，点表示的数为：，点表示的数为：，
故答案为：，；
②点与点相距3个单位长度，分两种情况：
当点在点左侧时，如图，
，
解得，

当点在点右侧时，如图，
，
解得，

综上所述，运动6秒或秒时，点与点相距3个单位长度；
（3）时针每小时转，分针每分钟转，
设经过分钟后，的度数第一次等于，
则，
解得，
∴经过12分钟后，的度数第一次等于．
故答案为：12．
20．(1)，
(2)
如图所示，
(3)
【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，数轴等知识点，
（1）根据图中的数轴，即可解答；
（2）在数轴上准确找到各数对应的点，即可解答；
（3）利用（2）的结论，即可解答；
准确熟练地在数轴上找到各数对应的点是解题的关键．
【详解】（1）解：由图知，表示有理数的点是点A．将点向左移动4个单位长度，得到点，则点表示的有理数是，
故答案为：A，；
（2）略
（3）解：由（2）可得：，
故答案为：．
21．(1)22 27
(2)搭第个图形需要的火柴棒根数为
(3)1211个
【分析】（1）由已知图形中火柴棒的根数是序数的5倍与2的和，据此可补全表格即可；
（2）根据以上数字总结规律即可解答；
（3）先根据使用2022根火柴搭图形得出图形序号，再利用图n中正方形的个数为即可解答．
【详解】（1）解：图①中火柴棒的根数，
图②中火柴棒的根数，
图③中火柴棒的根数，
图④中火柴棒的根数，
图⑤中火柴棒的根数．
故答案为：22，27．
（2）解：图①中火柴棒的根数，
图②中火柴棒的根数，
图③中火柴棒的根数，
图④中火柴棒的根数，
图⑤中火柴棒的根数，
……
搭第个图形需要的火柴棒根数．
（3）解：根据题意得：，解得：，
∵图n中正方形的个数为，
∴第404个图形中，正方形的个数为（个）．
【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，仔细观察图形得到后一个图形比前一个图形多5根火柴棒是解题的关键．
22．元
【分析】根据按九折出售，这时仍要盈利，可以列出相应的方程，然后求解即可．
本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
【详解】解：设这种商品的进价是元，
由题意可得：，
解得，
答：这种商品的进价是元．
23．(1)
(2)
证明：∵
∴，
∴，
当点在线段上时，，
；
当点在线段的延长线上时，
，
．
综上，．
(3)或15
【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，一元一次方程的应用：
（1）先求出，，则由线段中点的定义可得；
（2）先求出，则，再分当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，两种情况分别表示出，即可得到结论；
（3）分当点是线段的中点时，两点到点的距离相等，当点重合时，点在线段的延长线上，两种情况建立方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，后，，
点恰好分别为的中点，
．
（2）略
（3）解：当点是线段的中点时，两点到点的距离相等，
∴，
解得；
当点重合时，点在线段的延长线上，
，
解得．
综上，或15．
24．(1)的值是3或5
(2)
(3)的值是2或4
(4)宠物鼠整个过程中的运动路程是12个单位长度
【分析】（1）根据，即路程和，或P的路程的路程，列出关于t的方程求解即可；
（2）求出P点运动的路程，进一步求解即可；
（3）根据，分三种情况列出关于t的方程求解即可；
（4）根据路程=速度×时间，列式计算即可求解．
【详解】（1）依题意有，解得；
或，解得.
答：的值是3或5.
（2）若，相向而行，由（1）知：，
∴点所对应的数值为，
若，同向而行，
依题意得：，解得，
∴点所对应数值为.
（3）依题意有
①，解得；
②，解得；
答：的值是2或4.
（4）个单位长度.
答：宠物鼠整个过程中的运动路程是12个单位长度
【点睛】考查了一元一次方程的应用，两点间的距离的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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