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第三章代数式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．蜜蜂是自然界神奇的“建筑师”，它能用最少的材料造成最牢固的建筑物“蜂窝”．如图，是由正六边形组成的“蜂窝图”，第1个图案是由4个正六边形组成，第2个图案是由7个正六边形组成，第3个图案是由10个正六边形组成，第4个图案是由13个正六边形组成，……，照这样的规律，若第n个图案由241个正六边形组成，则n的值为（ ）
A．70 B．75 C．78 D．80
2．下列选项中的两个量不成反比例关系的是（ ）
A．三角形的面积一定，这个三角形的底和高
B．工作量一定，每天的工作效率和工作天数
C．汽车的速度一定，行驶的时间和路程
D．快递的数量一定，快递员人数与人均送货量
3．如果多项式是关于的三次三项式，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
4．下列各式中，是代数式的是（ ）
A． B． C． D．
5．当时，代数式的值为（ ）
A． B． C．4 D．7
6．在式子：10，中，代数式有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
7．在下列各式中，不是代数式的是（ ）
A．7 B． C． D．
8．如图，下列四个式子中，不能表示阴影部分面积的是（ ）
A． B．
C． D．
9．当时，的值是（ ）
A．－6 B．6 C．8 D．－8
10．当时，代数式的值是1，则当时，代数式的值是（ ）
A．7 B．3 C．1 D．
11．按如图所示的运算程序，若输入m的值是2，则输出的结果是( )
A． B．3 C． D．7
12．根据图中的程序，当输入时，输出结果y=（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，把，，三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为U，则，当，，，时，U的值为_______．
14．雪山彩虹谷门票的价格为成人票每张20元，儿童票每张10元．若购买m张成人票和n张儿童票，则共需花费_____元．
15．如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第（是正整数）个图案由______________个基础图形组成．
16．（1）x的3倍与y的倒数的和用代数式表示为________；
（2）列式表示“x与y的和除以x与y的积”，________；
（3）用代数式表示“a的平方的3倍与b的平方的差”为________；
（4）用式子表示“的3次方的相反数与的2次方的3倍的和”为________．
17．用含x的代数式填空：
①若甲开车以x千米/时的速度行驶了3小时，则行驶路程为_________千米．
②若甲开车从A地以x千米/时的速度前往300千米外的B地，则所需的时间为_________小时．
③若小船在静水中航行的速度为x千米/时，水流的速度为6千米/时，则小船顺流航行的速度为_________千米/时，逆流航行的速度为_________千米/时．
三、解答题
18．，…；①
，…；②
，…．③
(1)第①行数按什么规律排列？
(2)取每行数的第9个数，计算这三个数的和．
19．根据下列，的值，分别求代数式与的值：
(1)，；
(2)，．
20．如图，我们可以将一个大正方形分割成4个或6个小正方形（注：分割的要求是“不重叠无剩余”——这些小正方形互不重叠，且面积之和恰为最大的正方形的面积）．
(1)小明想：“我可以在图（1）的基础上将一个大正方形分割成7个小正方形．”小红想：“我可以类比图（2）将一个大正方形分割成8个小正方形．”请你将他们的想法画出来．（画图工具不限）
(2)用两种不同的方法将一个大正方形分割成9个小正方形．（画图工具不限）
(3)能否将一个大正方形分割成n（n为正整数，）个小正方形？说明理由．
21．【综合与实践——制作收纳盒】
小亮和小丽尝试用家里的闲置纸板制作正方体和长方体形状的收纳盒（纸板厚度及接缝处忽略不计）．
【初步尝试】制作有盖正方体形收纳盒
（1）如图1，将长方形纸板（长80厘米，宽60厘米）分割成12个完全一样的小正方形，剪去多余的小正方形，剩下的6个小正方形刚好可以折叠成一个有盖的正方体形收纳盒．请你在图中画出三种不同的设计方案，剪去的小正方形用阴影表示；
小亮和小丽在操作中发现，制作无盖的长方体形收纳盒可以得到更大的容积，为此，他们开展了进一步的探究．
【实践探究】制作无盖长方体形收纳盒
（2）如图2，小丽和小亮在长方形纸板（长80厘米，宽60厘米）四个角各剪去一个边长为厘米的小正方形（如图中阴影部分所示），再把剩余部分沿图中虚线折叠，刚好折成一个无盖的长方体形收纳盒，这个盒子的容积为______；（用含的代数式表示）
（3）在操作中，小亮和小丽发现收纳盒的容积随着的变化而变化．为了探究容积的最大值，小亮和小丽对盒子的高度按整数值从小到大取值，依次计算长方体形收纳盒的容积，得到的数据如下表所示，则和的值分别是______，______；
…… 8 9 10 11 12 13 ……
容积 …… 22528 23436 24192 23868 ……
【归纳猜想】长方体形收纳盒容积变化规律
（4）观察表中数据，随着高度的增大，容积有怎样的变化规律？请你估计在哪个范围内取值时容积最大？
22．用代数式表示．
(1)与的和减去2倍的；
(2)某校以丰富多样的劳动项目为载体，有目的、有计划地组织学生参加日常生活劳动，让学生动手实践、出力流汗、接受锻炼、磨炼意志，培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．七年级（1）班将学生分为2个劳动小组，第一组有人，第二组比第一组的一半多6人，第二组的学生有多少人？
23．给定整数a，b，c满足，，是三个相邻的整数．
证明：a，b，c是三个相邻的整数．
24．将一串有理数按如下图所示的规律排列，回答下列问题：
(1)在A位置的数是正数还是负数？
(2)A，B，C，D中哪些位置的数是负数？
(3)第2025个数是正数还是负数？排在对应于A，B，C，D中的哪个位置？
《第三章代数式》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B A A B B A C A
题号 11 12
答案 B A
1．D
【分析】本题主要考查了图形类的规律，解题的关键在于能够根据题意总结出规律．
第1个图形中有：个建筑单位，第2个图形中有：个建筑单位，第3个图形中有：个建筑单位，第4个图形中有：个建筑单位，由此可以得出规律进行求解即可．
【详解】解：第1个图形中有：个建筑单位，
第2个图形中有：个建筑单位，
第3个图形中有：个建筑单位，
第4个图形中有：个建筑单位，
……
∴可以推出第个图形中有：个建筑单位，
，
．
故选：D．
2．C
【分析】本题考查了辨识反比例，解题的关键是看这两种相关联的量中相对应的两个数的乘积是否一定；判断两个相关联的量之间成反比例，就看这两个量如果是乘积一定，则成反比例，再逐项判断即可．
【详解】解：A．这三角形的面积底高(一定)，积一定，所以这三角形的底和高成反比例关系；
B．工作时间工作效率工作总量(一定)，乘积一定，所以工作时间和工作效率成反比例关系．
C．路程时间汽车的速度（一定），商一定，行驶的时间和路程成正比例关系；
D．快递员人数人均送货量快递的数量（一定），乘积一定，快递员人数与人均送货量成反比例关系；
故选：C．
3．B
【分析】本题考查多项式的项数，次数的求解，代数式求值，根据多项式的性质进行解答．多项式的次数是多项式中最高次项的次数，多项式的项数为组成多项式的单项式的个数．
【详解】解：多项式是关于的三次三项式，
，，
，，
．
故选：B．
4．A
【分析】此题主要考查了代数式的定义，代数式是指把数或表示数的字母用运算符号连接起来的式子，由此可得答案，正确理解代数式的定义是解题的关键．
【详解】解：A. 是代数式，故该选项正确，符合题意；
B. ，不是代数式，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，不是代数式，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，不是代数式，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A．
5．A
【分析】本题考查了代数式求值，熟练掌握代数式求值的方法是解题关键．将代入计算即可得．
【详解】解：将代入得：，
故选：A．
6．B
【分析】本题考查的是代数式的定义，判断每个式子是否为代数式．代数式是由数、字母和运算符号组成的式子，不含等号或不等号．根据代数式的定义逐个判断即可．
【详解】解：10，
10，，，是代数式；
故选：B．
7．B
【分析】本题主要考查的是代数式的定义，掌握代数式的定义是解题的关键．代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连结而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是一个代数式．
【详解】解：A、C、D、是代数式，B是不等式，不是代数式．
故选B．
8．A
【分析】本题考查了列代数式、长方形的面积，能把阴影部分的面积用不同的代数式表示出来是解题的关键．根据图形列出代数式即可．
【详解】解：A、不能表示图中阴影部分面积，符合题意；
B、阴影部分的面积等于上面两个小长方形组成的大长方形面积加上下面阴影部分的长方形面积，即，故此选项不符合题意；
C、阴影部分的面积等于右边两个小长方形组成的大长方形面积加上左边阴影部分的长方形面积，即，故此选项不符合题意；
D.阴影部分的面积等于大长方形的面积减去空白部分长方形的面积，即，故此选项不符合题意；
故选：A．
9．C
【解析】略
10．A
【分析】本题考查了求代数式的值．
先求出，将代入求出，进而计算即可．
【详解】∵当时，代数式的值是1，
∴，
∴
∴，
当时，，
故选：A．
11．B
【分析】本题考查了代数式求值，理解题意掌握代数式求值的方法是解题的关键．根据题意，再将代入中即可求解．
【详解】解：，
将代入中得：
，
故选：B．
12．A
【分析】本题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算，解答此题的关键是要明确：时，．
【详解】解：输入时，
，
故选：A．
13．220
【分析】根据代数式的值的计算方法解答即可．
本题考查了跨学科综合，逆用分配律，求代数式的值，熟练掌握学科综合是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得当，，，时，
．
故答案为：220．
14．
【分析】本题主要考查了列代数式，根据票价乘以对应票的数量分别求出成人票和儿童票的费用，然后求和即可得到答案．
【详解】解：∵雪山彩虹谷门票的价格为成人票每张20元，儿童票每张10元，且购买m张成人票和n张儿童票，
∴共需花费元，
故答案为：．
15．
【分析】根据题意，分析图形变化规律，即可获得答案．
【详解】解：根据题意，第1个图案中基础图形个数为个，
第2个图案中基础图形个数为个，
第3个图案中基础图形个数为个，
……，
所以，第n个图案中基础图形个数为个．
16．
【分析】本题考查列代数式，解题的关键是准确理解语句中的运算关系．
根据每个小题的文字描述，分析其中的运算顺序，从而列出对应的代数式．
【详解】解：（1）x的3倍与y的倒数的和为，
故答案为：；
（2）表示“x与y的和除以x与y的积”的式子为，
故答案为：；
（3）用代数式表示“a的平方的3倍与b的平方的差”为，
故答案为：；
（4）用式子表示“的3次方的相反数与的2次方的3倍的和”为，
故答案：．　
17．
【分析】本题考查了列代数式，理解题意是解题的关键．
（1）根据时间乘以速度等于路程列式即可；
（2）根据路程除以速度等于时间列式即可；
（3）根据行程问题的逆流及顺流列式即可．
【详解】①若甲开车以x千米/时的速度行驶了3小时，则行驶路程为千米．
②若甲开车从A地以x千米/时的速度前往300千米外的B地，则所需的时间为小时．
③若小船在静水中航行的速度为x千米/时，水流的速度为6千米/时，则小船顺流航行的速度为千米/时，逆流航行的速度为千米/时．
故答案为：，，，
18．(1)
解：第①行数的规律是从第一个数开始﹐后面一个数是前面一个数乘得到的，即2，，，，…；
(2)769
【分析】（1）观察第一行数字的规律，求解即可；
（2）求得每行数的第9个数，然后求和即可．
【详解】（1）略
（2）第①行数的第9个数是，
第②行数的第9个数是，
第③行数的第9个数是，
【点睛】此题考查了乘方运算，数字类规律的探索以及有理数的加法，解题的关键是正确找到每行的规律．
19．(1)，
(2)，
【分析】本题考查代数式求值，解题的关键是熟练掌握运算法则．
（1）将，的值代入代数式，计算即可；
（2）将，的值代入代数式，计算即可；
【详解】（1）解：当，时，
（2）解：当，时，
20．(1)
解：分割方式不唯一，如图；
(2)
解：分割方式不唯一，如图；
(3)可以，理由：
由上述讨论知，当时，可完成分割，
因为任意一个正方形可以分割成4个小正方形，即可以将正方形的个数增加3个，
所以当时，可完成分割，
以此类推，当，，（k为正整数，）时，一定可以完成分割，
所以当且n为正整数时，可将一个大正方形分割成n（n为正整数，）个小正方形．
【分析】本题考查了图形类规律以及作图，根据题意作图并找到规律是解题的关键；
（1）根据分割的要求及图（1）（2）的分割方法作图即可；
（2）根据分割的要求及图（1）（2）的分割方法作图即可；
（3）因为任意一个正方形可以分割成4个小正方形，即可以将正方形的个数增加3个，当，，（k为正整数，）时，一定可以完成分割，即可得出结论．
【详解】（1）略
（2）略
（3）略
21．
（1）有盖的正方体形收纳盒如白色部分：
（2）；（3）24000，24244；（4）容积先变大，后变小．在10到12之间时，容积最大．
【分析】本题主要考查了正方体展开图的认识，代数式表示式，代数式求值等知识．
（1）根据正方形的展开图制作有盖正方体形收纳盒即可．
（2）分别表示出无盖的长方体形收纳盒的长，宽，高，然后根据长方体体积公式用代数式表示出来即可．
（3）把和分别代入（2）长方体体积代数式里面计算即可．
（4）通过表中容积的变化可以直接得到结果；由表中容积的最大值得到结果；
【详解】解：（1）略
（2）无盖的长方体形收纳盒长为：，宽为，高为，
则无盖的长方体形收纳盒体积为：．
（3）当时，
则，
当时，
则
（4）通过表中容积的变化，可知容积先变大，后变小．
且在10到12之间时，容积最大．
22．(1)
(2)人
【分析】此题考查了列代数式，理解题意是解本题的关键．
（1）根据与的和减去2倍的列出代数式即可；
（2）根据第一组有人，第二组比第一组的一半多6人，列出代数式即可．
【详解】（1）解：与的和减去2倍的为：；
（2）解：∵第一组有人，第二组比第一组的一半多6人，
∴第二组的学生有人．
23．
证明：，，是三个相邻的整数，且a，b，c为整数，
，
，
，
是三个相邻的整数，
a，b，c是三个相邻的整数，且．
【分析】本题考查代数式，根据题意利用b分别表示出a，c，即可证明结论．
【详解】略
24．(1)在A位置的数是正数
(2)在B和D位置的数是负数
(3)第2025个数是负数，排在对应于B的位置
【分析】本题考查了数字变化规律，仔细观察图形，从箭头方向向下和向上两种情况对应的数的正负情况考虑求解是解题的关键．
（1）根据A是向上箭头的上方对应的数解答；
（2）根据箭头的方向与所对应的数的正、负情况解答；
（3）根据4个数为一个循环组依次循环，用2025除以4，根据余数的情况确定对应的位置即可．
【详解】（1）（1）A是向上箭头的上方对应的数，与4的符号相同，在A处的数是正数；
（2）（2）观察图形可知，向下箭头的上边的数是正数，下方是负数，向上箭头的下方是正数，上方是负数，
所以，B和D的位置是负数；
（3）（3），
∴第2025个数是负数，对应的是B的位置．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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