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第一章有理数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列四个数中，结果是负数的是（ ）
A． B． C． D．
2．定义：表示a，b两数中较大的一个；表示a，b两数中较小的一个．例如，，则的结果是（ ）
A． B． C． D．51
3．（ ）
A． B．2 C． D．1
4．的相反数是（ ）
A． B． C． D．
5．在直线上的数，在的（ ）边
A．左 B．右 C．上 D．无法确定
6．有理数，在数轴上所对应的点的位置如图所示，则（ ）

A． B． C． D．
7．如图所示，是的中线，的面积为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．以上答案都不对
8．如图所示数轴正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．若一个数的相反数是它本身，则这个数是（ ）
A．0 B． C．1 D．0或1
10．如图，正六边形（每条边长相等、每个角相等）在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为，．现将正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为1，像这样连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
11．如图，作业纸上的数轴有一处发生破损，则破损处的数可能是（ ）
A． B． C． D．
12．在2、3、、7这四个数中，任取两个数相乘，得到的积最小的是（ ）
A．6 B．35 C． D．
二、填空题
13．四个数，，，中，最小的数是________．
14．的相反数是______ ；的倒数是______ ；的绝对值是______．
15．的最大值是_____．
16．在有理数，，1，0，，中，整数有_______．负分数有_______，正数有_______．
17．若与互为相反数，则的值为_______；
三、解答题
18．计算：
(1)；
(2)
19．写出下列各数的绝对值．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)
20．在数轴上把下列数表示出来，并用“<”将它们连接起来．
7，，，，
21．如图是某市地铁1号线部分线路示意图及各站间的距离（单位：），规定向东为正方向，为1个单位长度．
(1)以C站为原点建立适当的数轴，并在数轴上标出其余各站的位置．
(2)在（1）的条件下，在数轴上到D站的距离为的站点表示的数为　 　 ．
22．已知，两点在数轴上所表示的数分别为，，且，满足：．
(1)求、的值；
(2)①情境：有一个玩具火车如图所示，放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点移动到点时，点所对应的数为，当点移动到点时，点所对应的数为．则玩具火车的长为 个单位长度；
②应用：如图所示，当火车匀速向右运动时，若火车完全经过点需要秒，则火车的速度为 个单位长度/秒．
(3)在（2）的条件下，当火车匀速向右运动，同时点和点从、出发，分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向左和向右运动，记火车运动后对应的位置为．是否存在常数使得的值与它们的运动时间无关？若存在，请求出和这个定值：若不存在，请说明理由．
23．如图，线段在射线上运动，，且．
(1)求线段、的长；
(2)点M、N分别为线段、的中点，若，求的长；
(3)当运动到某一时刻时，点D与点B重合，点P是线段延长线上任意一点求证：．
24．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：【阅读】：表示7与3差的绝对值，也可理解为7与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离：可以看作，表示7与的差的绝对值，也可理解为7与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
【探索】：（1）如果，那么 ；
（2）若，，且数a、b在数轴上表示的点分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是 ，最小距离是 ；
（3）求代数式的最小值，并写出此时x可取哪些整数值？
（4）若x表示一个有理数，则代数式有最大值吗？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由．
《第一章有理数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C A C A B C B A C
题号 11 12
答案 D D
1．A
【分析】本题考查了对正数和负数定义的理解，先利用有理数的相应的法则进行化简运算，然后再根据正负数的定义即可判断．
【详解】解：A．，是负数，符合题意；
B．，是正数，不符合题意；
C．，是正数，不符合题意；
D．，是正数，不符合题意；
故选：A．
2．C
【分析】本题考查了最大值与最小值的概念、负数的大小比较以及分步计算的思想，解题的关键在于准确理解题目中自定义的运算符含义，即“∨”代表取两数中较大者，“∧”代表取两数中较小者，并能将这一规则正确应用于具体数值的比较过程中，通过分步求解最终得出答案．根据定义的运算符（取较大值）和（取较小值）进行分步计算，首先分别计算两个括号内的结果，再对结果进行最终的运算，从而得到答案．
【详解】解：根据定义，，
，
，
，
，
．
　故选：C．
3．A
【分析】本题考查有理数的化简，根据题意可知同号得正，异号得负，即可得到答案．
【详解】解：，
故选：A．
4．C
【分析】本题考查了相反数的概念，解题的关键是先化简，再根据相反数的定义求出其相反数．
先运用去括号法则对进行化简，得到一个数，然后根据相反数的定义求出该数的相反数，最后对比选项得出答案．
【详解】．
根据相反数的定义，绝对值相等，正负号相反的两个数互为相反数，
所以的相反数是．对比选项，只有C选项符合．
故选：C．
5．A
【分析】本题考查了负数的大小比较．借助直线，可以直观地理解，将两个数表示在直线上，即可求解．
【详解】解：如图
在的左边，
故选：A．
6．B
【分析】本题考查了数轴．掌握数轴的知识是解题的关键．
在以向右为正方向的数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大，所以可以从数轴上按由左到右的顺序找出表示0，，的点，再比较大小即可．
【详解】解：由数轴图可知：，
所以选项A、C、D错误，不符合题意；选项B正确，符合题意；
故选B．
7．C
【分析】本题考查三角形中线的性质，三角形的中线将三角形分为两个面积相等的小三角形．根据三角形中线的性质求解即可．
【详解】解：∵是的中线，
∴．
故选：C．
8．B
【分析】本题考查了数轴的表示方法，根据数轴的表示方法逐项判断即可．
【详解】解：A．不正确，错误原因：数轴单位长度不一致；
B．正确；
C．不正确，错误原因：缺少正方向；
D．不正确，错误原因：缺少了原点．
故本题选：B．
9．A
【分析】根据相反数的性质，作答即可．
【详解】解：一个数的相反数是它本身，则这个数是0；
故选A．
【点睛】本题考查相反数的性质．熟练掌握0的相反数为0，是解题的关键．
10．C
【分析】本题考查了数轴，以及图形类规律探究，根据题意找出规律进行求解是解决本题的关键．
根据题意可得，翻转后数轴上点1，3，5，7，9，11的对应的点分别是A，B，C，D，E，F，根据规律进行判定即可得出答案．
【详解】解：根据题意可得，翻转后数轴上点1对应的是A，
数轴上点3对应的是B，
数轴上点5对应的是C，
数轴上点7对应的是D，
数轴上点9对应的是E，
数轴上点11对应的是F，
……
则，
所以连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是E．
故选：C．
11．D
【分析】本题考查了数轴，由数轴可得破损处的数大于，且小于，由此即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：由数轴可得：破损处的数大于，且小于，
破损处的数可能是，
故选：D．
12．D
【分析】本题考查了有理数的乘法，以及有理数的大小比较，熟练掌握相关法则是解题关键，根据两数相乘，同号得正、异号得负求两数的积，再由有理数大小比较法则，即可求解．
【详解】解：，，，，，，
，
得到的积最小的是，
故选：D．
13．
【分析】本题考查了有理数大小的比较，掌握其比较方法是关键．
根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，由此即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴最小的数是，
故答案为： ．
14．
【分析】本题考查了相反数，绝对值，倒数的概念，根据相反数和绝对值以及倒数的概念直接作答即可得出答案，掌握相反数，绝对值，倒数的概念是解题的关键．
【详解】解：的相反数是，的倒数是，的绝对值是，
故答案为：，，．
15．
【分析】本题考查了绝对值的非负性．熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键．
由题意知，，则，然后作答即可．
【详解】解：由题意知，，
∴，即，
故答案为：．
16． 1，0， ，， 1
【分析】本题考查有理数的分类、相反数，根据正数、负数、整数、分数的定义进行分类即可．
【详解】解：在有理数，，1，0，，中，
整数有1，0，；
负分数有，，；
正数有1，
故答案为：1，0，；，，；1．
17．
【分析】本题主要考查的是相反数的定义和非负数性质，根据互为相反数的两个数和为0列式求解即可．
【详解】解：与互为相反数，
，
，
，
．
故答案为：．
18．(1)1
(2)
【分析】本题考查了有理数的加减和乘法运算．
（1）先求一个数的绝对值，再计算有理数的加法即可求解；
（2）先求一个数的绝对值，再计算有理数的乘法即可求解．
【详解】（1）解：；
（2）解：．
19．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】本题考查绝对值，解题关键是理解绝对值的定义．
根据绝对值的定义逐个进行计算即可．
【详解】（1）解：．
（2）解：．
（3）解：．
（4）解：．
（5）解：．
20．
把数字表示在数轴上如图所示，
．
【分析】本题主要考查有理数与数轴的对应关系，有理数比较大小，根据数轴的特点，从左往右，数字逐渐增大即可求解．
【详解】 略
21．(1)见解析
(2)0，4
【分析】本题主要考查了数轴及正负数，根据题意理解正负数的含义是解本题的关键．
（1）根据数轴的定义，画出数轴即可；
（2）根据数轴上两点间的距离公式，进行求解即可．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：D站表示的数为2，在数轴上到D站的距离为的站点有C，E，它们分别表示的数为0，4．
故答案为：0，4．
22．(1)，
(2)①个单位长度；②个单位长度/秒
(3)存在，，
【分析】（1）根据得，计算即可．
（2）①设表示的数为， 表示的数为，小火车的长度为，根据题意，，，建立方程计算即可．
②根据①得，火车完全经过点需要秒，点运动路程为单位长度，利用速度=路程÷时间计算即可．
（3）设玩具火车运动的时间为秒，则点运动到点的距离为个单位长度，此时点表示的数是，继而得到，根据题意，得到点表示的数是，点表示的数是，继而表示，代入化简，令的系数为零计算即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∴．
（2）①设表示的数为， 表示的数为，小火车的长度为，
根据题意，得，，，
∴，
∴，
解得，
即玩具火车长个单位长度，
故答案为：．
②根据①得，火车完全经过点需要秒，
故点运动路程为单位长度，
∴玩具火车的速度为：（单位长度/秒）
故答案为：．
（3）存在，，，理由如下：
设玩具火车运动的时间为秒，则点运动到点的距离为个单位长度，此时点表示的数是，
∴，
根据题意，得到点表示的数是，点表示的数是，
∴，
∴，
∵常数使得的值与它们的运动时间无关，
∴，
解得，
故，
故当时，常数使得的值与它们的运动时间无关，此时值为．
【点睛】本题考查了数轴的动点问题，两点间的距离，数轴上的点与数的关系，多项式的无关计算，熟练掌握动点运动的规律和多项式的无关计算是解题的关键．
23．(1)
(2)
(3)
证明：当点B与点D重合时，如图：
，
，
．
，
即．
【分析】本题主要考查非负数的性质，线段和差倍分的计算，分类讨论是解题的关键．
（1）依据非负数的性质可知，，从而可求得m、n的值；
（2）需要分类讨论：①如图1，当点C在点B的右侧时，根据“M、N分别为线段、的中点”，先计算出、的长度，然后计算；②如图2，当点C位于点B的左侧时，利用线段间的和差关系求得的长度；
（3）先求得，然后求得，从而可求得答案．
【详解】（1）解：，
，
，
，
；
（2）解：①点C在点B右边时，如图：
M、N分别为线段的中点，
，
，
；
②点C在点B左边时，如图：
M、N分别为线段的中点，
，
，
；
综上，．
（3）略
24．（1）0或；（2）8，2；（3）最小值是3，此时x取的整数有或或0或1；（4）8
【分析】本题主要考查了绝对值的性质，两点之间的距离，
对于（1），根据绝对值的意义解方程即可；
对于（2），根据绝对值的意义分别求出a与b的值，再分别讨论最大值与最小值；
对于（3），求代数式的最小值，即找一点到坐标和1点距离和最小，由线段的性质可知最小值，最后得出x的取值即可．
对于（4），根据（3）的求法可以求出的最小值，最后再计算最小值即可．
【详解】解：（1），
故或，
即或.
故答案为：0或；
（2），
即或，或，
故或1，或．
故A、B两点最大的距离是，最小的距离为．
故答案为：8，2；
（3）的最小值是3，
由题意得：，
∵x为整数，
∴x可取的整数值为：，0，1；
（4）代数式有最大值．
∵由题意可知：的最小值为5，
∴代数式最大值为：
．
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