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专题3-5 双曲线方程与几何性质10类题型
模块一：双曲线的基本性质
【题型1】双曲线的定义与概念
【题型2】双曲线的渐近线相关计算
【题型3】求焦点三角形面积
【题型4】定义法求轨迹
【题型5】设点运算求轨迹方程
【题型6】双曲线的光学性质
【题型7】弦长计算
模块二：最值问题
【题型8】线段和差最值问题
【题型9】结合基本不等式求最值
【题型10】椭圆与双曲线共焦点问题
模块一：双曲线的基本性质
双曲线的定义与概念
1. 通径：过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为________．
2. 焦点三角形面积公式：如图，P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为________．
3. 焦点到渐近线的距离为________．
答案：1. 　2. 　3. b　
【题型1】双曲线的定义与概念
已知曲线表示双曲线，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据双曲线方程的特征进行求解即可.
【详解】由题意知，，解得，所以实数m的取值范围是.
（2023佛山·高二期末）（多选）已知曲线的方程为，则可能是（ ）
A．半径为的圆
B．焦点在上的椭圆，且长轴长为
C．等轴双曲线
D．焦点在上的双曲线，且焦距为
【答案】AD
【详解】对于A选项，若曲线为圆，则，解得，
此时，曲线的方程为，该圆的半径为，A对；
对于B选项，若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，
此时，椭圆的长轴长为，B错；
对于C选项，若曲线为等轴双曲线，则，无解，C错；
对于D选项，若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则，解得，
此时，双曲线的焦距为，D对.
（广东惠州·高二统考期末）（多选）已知曲线，则下列判断正确的是（ ）
A．若，则是圆，其半径为
B．若，则是双曲线，其渐近线方程为
C．若，则是椭圆，其焦点在轴上
D．若，则是两条直线
【答案】BC
【分析】根据椭圆，双曲线的几何性质，圆的定义逐个进行判断即可
【详解】若时，转化为，半径为，故A错误；
若，当，是焦点在轴上的双曲线，当，是焦点在轴上的双曲线，无论焦点在哪个轴上，令，整理可得均是的渐近线，故B正确；
若，转化为，由于可知，是焦点在轴上的椭圆，故C正确；
若，转化为，是双曲线不是两条直线，故D错误.
（多选）已知方程表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．当或时，曲线是双曲线
B．当时，曲线是椭圆
C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则
D．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则
【答案】AD
【分析】根据双曲线、椭圆标准方程的特征，依次构造不等式求得每种曲线对应的的范围即可.
【详解】对于A，若曲线为双曲线，则，解得：或，A正确；
对于B，若曲线为椭圆，则，解得：或，B错误；
对于C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得：，C错误；
对于D，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得：，D正确
“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（ ）条件
A．充分非必要 B．必要非充分条件
C．充要 D．既非充分也非必要
【答案】B
【分析】计算出方程表示焦点在轴上的双曲线时的的范围进行判定即可.
【详解】表示焦点在轴上的双曲线时，有，解得，
因为“”是“”的必要非充分条件，
故“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的必要非充分条件.
（江苏徐州·高二统考期末）（多选）已知曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．若是椭圆，则其长轴长为
B．若，则是双曲线
C．C不可能表示一个圆
D．若，则上的点到焦点的最短距离为
【答案】BC
【分析】根据可知若为椭圆，则焦点在轴上，进而可判断A,进而可判断BC，根据椭圆的几何性质可判断D.
【详解】由于，所以，
对于A,当时，故表示焦点在轴上的椭圆，故椭圆的长轴长为，故A错误,
对于B,当时，是双曲线，故B正确,
对于C,由于，故C不可能表示一个圆，故C正确，
对于D,时，，表示焦点在轴上的椭圆，且此时
故椭圆上的点到焦点的最小距离为，故D错误
（多选）已知曲线，（ ）
A．若，则C的离心率是
B．若，则C的离心率是
C．若，则C是双曲线
D．若，则C是椭圆
【答案】AC
【详解】对A、B：若，则，由于，即，表示焦点在y轴的椭圆，
则，可得，故A正确，B错误；
对C：若，即异号，则异号，
当，故，即表示焦点在x轴上的双曲线；
当，故，即表示焦点在y轴上的双曲线，
综上所述：若，则C是双曲线，C正确；
对D：若，曲线C不一定是椭圆，例如，曲线C是圆，D错误
（广东汕头·统考二模）（多选）已知曲线，，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线C可能是圆，也可能是直线
B．曲线C可能是焦点在轴上的椭圆
C．当曲线C表示椭圆时，则越大，椭圆越圆
D．当曲线C表示双曲线时，它的离心率有最小值，且最小值为
【答案】ABD
【分析】设，由的符号和取值结合对应方程的特点，结合条件逐项判断可得答案.
【详解】设，故曲线C的方程可表示为，
对A，当时，曲线C的方程为，可得，此时曲线C为两条直线；
当时，曲线C的方程为，此时曲线C是一个圆；故A正确；
对B，当时，，曲线C的方程为，此时曲线C为焦点在y轴上的椭圆，故B正确；
对C，当曲线C表示椭圆时，离心率为，则越大，椭圆越扁，故C错误；
对D，当时，，曲线C的方程为，此时曲线C为焦点在x轴上的双曲线，
此时离心率为，由，可得，
即它的离心率有最小值，且最小值为，故D正确
【题型2】双曲线的渐近线相关计算
（24-25高二上·湖南长沙一中·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，的一条渐近线方程为，且，求的方程
【答案】
【分析】借助渐近线斜率结合、、间的关系计算即可得解；
【详解】由题得，解得， 所以双曲线的方程为
（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线的实轴长为，右焦点到一条渐近线的距离为1，求的方程
【答案】(1)
【详解】双曲线实轴长为，故，
双曲线的一条渐近线方程为，则，故双曲线的方程为.
（深圳高二统考期末）双曲线的离心率为，则其渐近线方程为
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.
详解：
因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.
（江苏南通·高二统考期末）已知双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意，双曲线的焦点在轴上，由于双曲线的渐近线方程为，
所以，即，所以.
已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题设双曲线的方程为，进而待定系数求解即可.
【详解】由双曲线与双曲线有相同的渐近线，故可设双曲线的方程为，
又因为过点，所以，解得，
所以，双曲线的标准方程是．
若双曲线C1：－＝1与C2：－＝1(a>0，b>0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4，则b＝（ ）
A．2 B．4
C．6 D．8
【答案】B
【解析】根据的方程求得渐近线的斜率，进而得到中的a,b的关系，结合已知焦距，可求得b的值.
【详解】由的方程可知其渐近线斜率为,的渐近线斜率为,
由于它们有相同的渐近线，∴，C2的焦距，
又，
已知双曲线的离心率为，则双曲线的两条渐近线的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设双曲线的半焦距为，
因为双曲线的离心率为，所以，解得，
由，得，所以，
所以渐近线方程为，所以两条渐近线的倾斜角分别为和，
因为，所以，两条渐近线所夹的锐角为；即双曲线的两条渐近线的夹角为.
若双曲线的渐近线方程为，且过点，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由双曲线方程可得其渐近线方程为：，，即，
则双曲线方程可化为：，由双曲线过点，
，解得：，，双曲线方程为：.
已知F是双曲线C：的一个焦点，点P在C的渐近线上，O是坐标原点，，则的面积为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件求出，再利用余弦定理求出即可计算作答.
【详解】双曲线C：中，，其渐近线，它与x轴的夹角为，即，
在中，，由余弦定理得：，
即，整理得：，解得，
所以的面积为.
【题型3】求焦点三角形面积
已知P是双曲线上的点，，是其焦点，双曲线的离心率是，且，若的面积为9，则的值为__________.
【答案】
【详解】解：如图所示，
不妨设点在双曲线的右支上．设，．则，，，
即，所以，又，所以．
又，，解得，所以．．故答案为：．
已知 是双曲线的两个焦点，点M是双曲线C上一点，且，的面为________
【答案】
【详解】因为 是双曲线的两个焦点，
法一：由双曲线焦点三角形面积公式可得的面积
法二：所以，所以；设，，
因为点M是双曲线上一点，且，所以；
在△中，由余弦定理可得：；
联立上述两式可得：，所以的面积.
已知为双曲线：的两个焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．
【答案】8
【详解】由题意得，，由双曲线的对称性以及可知，四边形为矩形，
所以，解得，所以四边形的面积为．
故答案为：．
【题型4】定义法求轨迹
设、是两定点，，动点P满足，则动点P的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．轨迹不存在
【答案】B
【分析】由判断出正确答案.
【详解】依题意，、是两个定点，P是一个动点，且满足，所以动点P的轨迹是双曲线的一支.
已知圆：，为圆心，为圆上任意一点，定点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用圆的性质，线段垂直平分线的性质，结合双曲线的定义进行求解即可.
【详解】因为线段的垂直平分线与直线相交于点，所以有，
由，得，该圆的半径为，因为点在圆上运动时，
所以有，于是有，所以点的轨迹是以为焦点的双曲线，
所以，所以点的轨迹方程为
动圆M与圆：，圆：，都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先设，半径为，根据动圆与圆，都外切得到，从而得到的轨迹为以为焦点，的双曲线左支，再求轨迹方程即可.
【详解】圆：，圆心，半径 .
圆：，圆心，半径 .
设，半径为，因为动圆与圆，都外切，所以，
所以的轨迹为以为焦点，的双曲线左支.所以，，解得，
即的轨迹方程为：.
已知，圆，动圆经过点且与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】首先得到圆心坐标与半径，设动圆的半径为，分两圆相内切与外切两种情况讨论，结合双曲线的定义计算可得.
【详解】圆，即，圆心为，半径，
设动圆的半径为，
若动圆与圆相内切，则圆在圆内，所以，，所以，
所以动点是以、为焦点的双曲线的右支，且、，所以，
所以动圆圆心的轨迹方程是，
若动圆与圆相外切，所以，，所以，
所以动点是以、为焦点的双曲线的左支，且、，所以，
所以动圆圆心的轨迹方程是，
综上可得动圆圆心的轨迹方程是.
（福建三明·高二统考期末）已知圆，圆，若动圆E与，都外切，则圆心E的轨迹方程为 .
【答案】
【分析】由题可得，然后根据双曲线的定义即得.
【详解】圆的圆心为，半径；
圆的圆心为，半径，
由于动圆E与圆，都外切，
设动圆E的半径为，则，所以，
所以点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，
设方程为，则，所以E的轨迹方程为.
（23-24高二上·四川绵阳·期末）如图，定圆的半径为定长，是圆外一个定点，是圆上任意一点.线段的垂直平分线与直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是（ ）

A．射线 B．椭圆 C．双曲线 D．圆
【答案】C
【分析】连接、，由题意可得，所以，根据双曲线的定义，即可得答案.
【详解】连接、，如图所示：

因为为的垂直平分线，所以，所以为定值，
又因为点在圆外，所以，根据双曲线定义，点的轨迹是以、为焦点，为实轴长的双曲线.
已知动圆与圆及圆都外切，那么动圆圆心轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设，半径为，根据给定条件可得，从而得到的轨迹为以为焦点，的双曲线左支，再求轨迹方程即可.
【详解】圆：，圆心，半径 ，
圆：，圆心，半径 ，
设动圆圆心，半径为，由动圆与圆，都外切，得，则，
因此圆心的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线左支，
即，半焦距，虚半轴长，所以动圆圆心的轨迹方程是.
动圆P过定点M(0，2)，且与圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据圆与圆的位置关系，结合双曲线的定义得出动圆圆心P的轨迹方程.
【详解】圆N：的圆心为，半径为，且
设动圆的半径为，则，即.
即点在以为焦点，焦距长为，实轴长为，
虚轴长为的双曲线上，且点在靠近于点这一支上，
故动圆圆心P的轨迹方程是
故选：A
【题型5】设点运算求轨迹方程
设点，，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设动点，根据已知条件，结合斜率公式，即可求解.
【详解】解：设动点，则，
则，，，
直线与直线的斜率之积为定值，
，化简可得，，
故点的轨迹方程为.
在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离是到直线的距离的倍．求点的轨迹方程
【答案】
【分析】设点，分别表示两点间距离及点到直线的距离，化简可得解；
【详解】设点，由题意得：，化简得：
所以点的轨迹方程是
（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）设动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)过的直线与曲线交右支于两点（在轴上方），曲线与轴左、右交点分别为，设直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出此值，若不是，请说明理由．
【答案】
【分析】（1）根据点到直线的距离以及点到点的距离公式，即可列方程化简求解，
【详解】（1）设，到定直线的距离为则，
故，平方后化简可得，故点的轨迹的方程为：
已知的两个顶点A，B的坐标分别是、，且，所在直线的斜率之积等于2，则顶点C的轨迹方程是（ ）
A．（） B．
C． D．（）
【答案】A
【分析】首先设点，根据条件列式，再化简求解.
【详解】设，，
所以，整理为：，
已知双曲线，经过双曲线上的点作互相垂直的直线AM AN分别交双曲线于M N两点.设线段AM AN的中点分别为B C，直线OB OC（O为坐标原点）的斜率都存在且它们的乘积为,求双曲线的方程
【答案】
【详解】解：设 ，线段AM AN的中点分别为 ，
由已知，得；
两式相减，得，即①
根据中点坐标及斜率公式，得
，，，.代入①，
得②同理，得③，②③相乘，得.
∵，，∴④
由，与④联立，得，，双曲线的方程为：.
【题型6】双曲线的光学性质
圆锥曲线都具有光学性质，如双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是发散的，其反向延长线会经过双曲线的另一个焦点．如图，一镜面的轴截面图是一条双曲线的部分，是它的一条对称轴，F是它的一个焦点，一光线从焦点F发出，射到镜面上点B，反射光线是，若，，则该双曲线的离心率等于 ．
【答案】/
【解析】在平面直角坐标系中，如图，
反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点，
由，，可得，，
在直角三角形中，，，
由双曲线的定义可得，所以，即，
所以
（23-24高二上·河南郑州·期末）松脆辛香的品客薯片蕴藏着数学、物理、哲学的奥秘，它的形状叫双曲抛物面（马鞍面），其标准方程为（，），当时截线方程为：（，），如图从的一个焦点射出的光线，经过，两点反射后，分别经过点和，且反射光线的反向延长线交于的另一个焦点．已知，，则的离心率为 ．
【答案】
【分析】分别延长交双曲线的左焦点为，根据题意得，且，设，则，，设，则，再根据求出的值，从而可得，，再根据离心率的定义即可求解.
【详解】
如图，分别延长交双曲线的左焦点为，
因为，两边平方得，，所以，
因为，所以，
设，则，，
设，则，
又，
所以，所以，
所以，又，，
所以，
所以，
所以离心率为
圆锥曲线的光学性质被人们广泛地应用于各种设计中，例如从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线镜面反射后，反射光线的反向延长线经过另一个焦点．如图，从双曲线的右焦点发出的光线通过双曲线镜面反射，且反射光线的反向延长线经过左焦点．已知入射光线的斜率为，且和反射光线互相垂直（其中为入射点），则双曲线的渐近线方程为 ．
【答案】和
【解析】设双曲线的方程为，设，，
故，由此
所以,将其代入双曲线方程中得，结合，，
所以，解得或（舍去），因此，
所以渐近线方程为：和.
双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线的左 右焦点分别为，从发出的光线经过图中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，则E的离心率为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知延长则必过点,如图：
由双曲线的定义知，
又因为，所以，
因为，所以，
设，则，因此，
从而由得，所以，
则，，，
又因为，所以，
即，即
【题型7】弦长计算
双曲线的弦长公式与椭圆一致
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点
则AB＝|x2－x1|＝|y2－y1|
若直线与双曲线相交于两点，则 ；
【答案】
【分析】联立直线与双曲线方程，利用弦长公式计算即得.
【详解】由消去y并整理得：，，
设，则，
所以.
已知双曲线的虚轴长为2，且离心率为．
(1)求的方程和焦点坐标；
(2)设的右焦点为，过的直线交于两点，若中点的横坐标为3，求．
【答案】(1)方程为，左、右焦点坐标分别为
(2)
【分析】（1）根据双曲线虚轴长以及离心率联立方程组即可得出的方程；
（2）联立直线与双曲线方程，由韦达定理以及弦长公式计算可得.
【详解】（1）因为的离心率为，又的虚轴长为2，所以，
又，
联立解得，，
所以的方程为，左、右焦点坐标分别为．
（2）由（1）知，
根据题意易得过的直线斜率存在，
设的直线方程为，如下图所示：
联立，化简得，
所以，
因为中点横坐标为3，所以，
解得，所以，
则，
则．
已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将点代入双曲线方程即可求解；
（2）写出直线方程，与双曲线方程联立，由弦长公式可得结果.
【详解】（1）因为双曲线的实轴长为，所以，解得：；
又因为点在双曲线上，所以，解得：，
所以双曲线的标准方程为：
（2）设，
由题可得过点且斜率为的直线方程为：，即，
联立，消去可得：，
所以，，
所以
已知双曲线的中心为坐标原点，点在双曲线上，且其两条渐近线相互垂直.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若过点的直线与双曲线交于，两点，的面积为，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或．
【分析】（1）设所求双曲线方程为，，把点代入，即可得出答案．
（2）根据题意设直线的方程为，联立直线与双曲线的方程，分别用点到直线的距离公式，弦长公式，三角形面积公式，建立方程，即可得出答案．
【详解】（1）因为双曲线的两条渐近线互相垂直，
所以双曲线为等轴双曲线，
所以设所求双曲线方程为，，
又双曲线经过点，
所以，即，
所以双曲线的方程为，即．
（2）根据题意可知直线的斜率存在，又直线过点，
所以直线的方程为，
所以原点到直线的距离，
联立，得，
所以且，
所以，且，
所以，
所以的面积为，
所以，解得，所以，
所以直线的方程为或．
在平面直角坐标系中，已知点，动点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)若直线交于两点，且，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用双曲线定义可得，即可求得的方程为；
（2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理由弦长公式计算即可求得，可得直线的方程.
【详解】（1）根据题意由可知，
动点的轨迹为以为焦点，实轴长为的双曲线，
即，所以，
所以可得的方程为；
（2）如下图所示：
依题意设，
联立与的方程，
消去整理可得，则；
且，解得；
所以，
解得，满足，符合题意；所以直线的方程为.
模块二：最值问题
【题型8】线段和差最值问题
已知双曲线的左焦点为，顶点，是双曲线右支上的动点，则的最小值等于 .
【答案】6
【详解】结合题意，绘制图像：
根据双曲线的性质可知，得到，所以
，而，所以
，所以最小值为6
（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知点，点是双曲线：左支上的动点，是圆：上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用圆的性质求出的最大值，由点与抛物线右支的位置求出的最小值，再利用双曲线定义求解即得.
【详解】双曲线的半焦距，圆的圆心是双曲线的左焦点，令右焦点为，
圆半径为，显然点在圆外，，当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号，
，当且仅当三点共线时取等号，由双曲线的定义，
所以，即的最小值为.
故选：D

（23-24高二上·浙江金华·阶段练习）已知圆上有一动点，双曲线的左焦点为，且双曲线的右支上有一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据双曲线的定义，结合圆的几何性质进行求解即可.
【详解】
在双曲线中，，，
，，
设双曲线的右焦点为，则，
在双曲线的右支上，
，即，
由题知，圆心，半径，在圆上，
，
则，
当，，三点共线且Q位于另两点之间时，取得最小值为，
此时，
的最小值为.
已知，是圆上的点，点在双曲线的右支上，则的最小值为（ ）
A．9 B． C．8 D．7
【答案】C
【分析】根据题意作出示意图，利用双曲线的定义以及圆外的点到圆上点的最近距离计算方法，求解出的最小值.
【详解】如图所示：设圆心为，双曲线右焦点为，且，，
所以，当且仅当，，三点共线时取得等号．
故选：C.
（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知点，点P是双曲线左支上的动点，点为双曲线右焦点，N是圆的动点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用，当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号，及，当且仅当三点共线时取等号，再结合双曲线的定义可得．
【详解】由已知，是双曲线的左焦点，它也是圆的圆心，，
圆半径为，
，当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号，
，当且仅当三点共线时取等号，
所以，又由双曲线的定义，，
所以，即的最小值为，
故答案为：．
（广东佛山·高二统考期末）已知是双曲线：的右焦点，Р是的左支上一动点，，若周长的最小值为10，则的渐近线方程为 .
【答案】
【详解】由题意可得，设，
由双曲线的定义可得，
，，
则的周长为
,
当且仅当共线时，取得最小值，且为，
由题意可得，即
解得，
则渐近线方程为
故答案为：.
【题型9】结合基本不等式求最值
设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】C
【分析】依题作出图象，将只需与双曲线方程联立，求出点，两点坐标，继而由条件得到，最后利用基本不等式即可求得焦距最小值.
【详解】

如图，由可得其渐近线方程为：
直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点
不妨设为在第一象限，在第四象限
由，解得，得
由，解得，得
故，于是，面积为：
则双曲线的焦距,当且仅当取等号
即当时，双曲线的焦距取得最小值.
设O为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，若C的焦距为12，则当的面积最大时，C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依题意可得双曲线渐近线方程为，即可表示出、，从而得到，再由，利用基本不等式计算可得；
【详解】解：双曲线渐近线方程为，则设，，所以，所以 ，由双曲线性质可知，由基本不等式当且仅当时取“＝”，所以，则
故双曲线方程为
函数的图象恒过定点，若点在双曲线上，则的最大值为　　
A．6 B．4 C．2 D．1
【答案】B
【解答】解：由题意可知，函数的图象恒过定点，
又点在双曲线上，，
，当且仅当时，即，时，等号成立．
设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点.若的焦距为4，则面积的最大值为 .
【答案】2
【分析】不妨设在第一象限，在第四象限，联立方程组分别求出坐标，再代入面积公式，利用基本不等式，即可得到答案；
【详解】不妨设在第一象限，在第四象限，
联立方程组，解得故，
同理可得，所以..
因为的焦距为4，所以，，解得，
当且仅当时取等号，所以的最大值为2.
设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若的焦距为12，则面积的最大值为　　
A．72 B．36 C．18 D．9
【答案】C
【解答】解：双曲线的渐近线方程为，
的焦距为12，，即，
，
直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，
不妨取，，
面积，当且仅当时，等号成立，
面积的最大值为18
【题型10】椭圆与双曲线共焦点问题
已知具有公共焦点的椭圆与双曲线的离心率分别为是它们的一个交点，且，则有.
已知F是椭圆：（）的右焦点，A为椭圆的下顶点，双曲线：（，）与椭圆共焦点，若直线与双曲线的一条渐近线平行，，的离心率分别为，，则的最小值为______．
【答案】
【分析】根据直线与的一条渐近线平行，得到，再结合双曲线与椭圆共焦点得到，再利用基本不等式求解.
【详解】解：设的半焦距为c（），则，又，
所以，又直线与的一条渐近线平行，
所以，所以，
所以，
所以，
所以，
又，
当且仅当，即，时等号成立，
即的最小值为．
已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，，分别是它们在第一象限和第三象限的交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则等于　　
A．4 B． C．2 D．3
【答案】A
【解答】解：设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，在双曲线的右支上，
根据椭圆及双曲线的定义可得，，
可得，，设，，
四边形是平行四边形，所以，，
在△中由余弦定理得，，
化简得，
该式可化为：，结合，，则．
已知、为椭圆与双曲线的公共焦点，P是其一个公共点，，则椭圆与双曲线离心率之积的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】由椭圆及双曲线的定义，结合余弦定理可得，再根据基本不等式求解最值即可．
【详解】不妨设，．
椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，两曲线的半焦距均为，
由椭圆及双曲线的定义得，，
于是，，，
又在中，由余弦定理得，
则，得，
由均值不等式得，当，时，等号成立，
所以椭圆与双曲线离心率之积的最小值为．
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专题3-5 双曲线方程与几何性质10类题型
模块一：双曲线的基本性质
【题型1】双曲线的定义与概念
【题型2】双曲线的渐近线相关计算
【题型3】求焦点三角形面积
【题型4】定义法求轨迹
【题型5】设点运算求轨迹方程
【题型6】双曲线的光学性质
【题型7】弦长计算
模块二：最值问题
【题型8】线段和差最值问题
【题型9】结合基本不等式求最值
【题型10】椭圆与双曲线共焦点问题
模块一：双曲线的基本性质
双曲线的定义与概念
1. 通径：过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为________．
2. 焦点三角形面积公式：如图，P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为________．
3. 焦点到渐近线的距离为________．
【题型1】双曲线的定义与概念
已知曲线表示双曲线，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（多选）已知曲线的方程为，则可能是（ ）
A．半径为的圆
B．焦点在上的椭圆，且长轴长为
C．等轴双曲线
D．焦点在上的双曲线，且焦距为
（多选）已知曲线，则下列判断正确的是（ ）
A．若，则是圆，其半径为
B．若，则是双曲线，其渐近线方程为
C．若，则是椭圆，其焦点在轴上
D．若，则是两条直线
（多选）已知方程表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．当或时，曲线是双曲线
B．当时，曲线是椭圆
C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则
D．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则
“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（ ）条件
A．充分非必要 B．必要非充分条件
C．充要 D．既非充分也非必要
（多选）已知曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．若是椭圆，则其长轴长为
B．若，则是双曲线
C．C不可能表示一个圆
D．若，则上的点到焦点的最短距离为
（多选）已知曲线，（ ）
A．若，则C的离心率是
B．若，则C的离心率是
C．若，则C是双曲线
D．若，则C是椭圆
（多选）已知曲线，，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线C可能是圆，也可能是直线
B．曲线C可能是焦点在轴上的椭圆
C．当曲线C表示椭圆时，则越大，椭圆越圆
D．当曲线C表示双曲线时，它的离心率有最小值，且最小值为
【题型2】双曲线的渐近线相关计算
已知双曲线的左、右焦点分别为、，的一条渐近线方程为，且，求的方程
已知双曲线的实轴长为，右焦点到一条渐近线的距离为1，求的方程
双曲线的离心率为，则其渐近线方程为
A． B． C． D．
已知双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
若双曲线C1：－＝1与C2：－＝1(a>0，b>0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4，则b＝（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
已知双曲线的离心率为，则双曲线的两条渐近线的夹角为（ ）
A． B． C． D．
若双曲线的渐近线方程为，且过点，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
已知F是双曲线C：的一个焦点，点P在C的渐近线上，O是坐标原点，，则的面积为（ ）
A．1 B． C． D．
【题型3】求焦点三角形面积
已知P是双曲线上的点，，是其焦点，双曲线的离心率是，且，若的面积为9，则的值为__________.
已知 是双曲线的两个焦点，点M是双曲线C上一点，且，的面为________
已知为双曲线：的两个焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．
【题型4】定义法求轨迹
设、是两定点，，动点P满足，则动点P的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．轨迹不存在
已知圆：，为圆心，为圆上任意一点，定点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
动圆M与圆：，圆：，都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
已知，圆，动圆经过点且与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
已知圆，圆，若动圆E与，都外切，则圆心E的轨迹方程为 .
如图，定圆的半径为定长，是圆外一个定点，是圆上任意一点.线段的垂直平分线与直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是（ ）

A．射线 B．椭圆 C．双曲线 D．圆
已知动圆与圆及圆都外切，那么动圆圆心轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
动圆P过定点M(0，2)，且与圆N：相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【题型5】设点运算求轨迹方程
设点，，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹是（ ）
A． B．
C． D．
在平面直角坐标系中，已知动点到点的距离是到直线的距离的倍．求点的轨迹方程
（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）设动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为，求点的轨迹的方程
已知的两个顶点A，B的坐标分别是、，且，所在直线的斜率之积等于2，则顶点C的轨迹方程是（ ）
A．（） B．
C． D．（）
已知双曲线，经过双曲线上的点作互相垂直的直线AM AN分别交双曲线于M N两点.设线段AM AN的中点分别为B C，直线OB OC（O为坐标原点）的斜率都存在且它们的乘积为,求双曲线的方程
【题型6】双曲线的光学性质
圆锥曲线都具有光学性质，如双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是发散的，其反向延长线会经过双曲线的另一个焦点．如图，一镜面的轴截面图是一条双曲线的部分，是它的一条对称轴，F是它的一个焦点，一光线从焦点F发出，射到镜面上点B，反射光线是，若，，则该双曲线的离心率等于 ．
松脆辛香的品客薯片蕴藏着数学、物理、哲学的奥秘，它的形状叫双曲抛物面（马鞍面），其标准方程为（，），当时截线方程为：（，），如图从的一个焦点射出的光线，经过，两点反射后，分别经过点和，且反射光线的反向延长线交于的另一个焦点．已知，，则的离心率为 ．
圆锥曲线的光学性质被人们广泛地应用于各种设计中，例如从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线镜面反射后，反射光线的反向延长线经过另一个焦点．如图，从双曲线的右焦点发出的光线通过双曲线镜面反射，且反射光线的反向延长线经过左焦点．已知入射光线的斜率为，且和反射光线互相垂直（其中为入射点），则双曲线的渐近线方程为 ．
双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线的左 右焦点分别为，从发出的光线经过图中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，则E的离心率为（ ）

A． B． C． D．
【题型7】弦长计算
双曲线的弦长公式与椭圆一致
设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点
则AB＝|x2－x1|＝|y2－y1|
若直线与双曲线相交于两点，则 ；
已知双曲线的虚轴长为2，且离心率为．
(1)求的方程和焦点坐标；
(2)设的右焦点为，过的直线交于两点，若中点的横坐标为3，求．
已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求.
已知双曲线的中心为坐标原点，点在双曲线上，且其两条渐近线相互垂直.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若过点的直线与双曲线交于，两点，的面积为，求直线的方程.
在平面直角坐标系中，已知点，动点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)若直线交于两点，且，求直线的方程．
模块二：最值问题
【题型8】线段和差最值问题
已知双曲线的左焦点为，顶点，是双曲线右支上的动点，则的最小值等于 .
已知点，点是双曲线：左支上的动点，是圆：上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
已知圆上有一动点，双曲线的左焦点为，且双曲线的右支上有一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
已知，是圆上的点，点在双曲线的右支上，则的最小值为（ ）
A．9 B． C．8 D．7
已知点，点P是双曲线左支上的动点，点为双曲线右焦点，N是圆的动点，则的最小值为 ．
已知是双曲线：的右焦点，Р是的左支上一动点，，若周长的最小值为10，则的渐近线方程为 .
【题型9】结合基本不等式求最值
设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
设O为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，若C的焦距为12，则当的面积最大时，C的方程为（ ）
A． B． C． D．
函数的图象恒过定点，若点在双曲线上，则的最大值为　　
A．6 B．4 C．2 D．1
设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点.若的焦距为4，则面积的最大值为 .
设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若的焦距为12，则面积的最大值为　　
A．72 B．36 C．18 D．9
【题型10】椭圆与双曲线共焦点问题
已知具有公共焦点的椭圆与双曲线的离心率分别为是它们的一个交点，且，则有.
已知F是椭圆：（）的右焦点，A为椭圆的下顶点，双曲线：（，）与椭圆共焦点，若直线与双曲线的一条渐近线平行，，的离心率分别为，，则的最小值为______．
已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，，分别是它们在第一象限和第三象限的交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则等于　　
A．4 B． C．2 D．3
已知、为椭圆与双曲线的公共焦点，P是其一个公共点，，则椭圆与双曲线离心率之积的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
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