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(共25张PPT)
苏教版数学五年级（上）
钉子板上的多边形
1.通过数钉子、算面积，理解多边形面积、内部钉子数、边上钉子数三者的关系。能在钉子板上自主围多边形，验证规律、运用规律解题。
2.感受钉子板图形里隐藏的数学规律之美，体会用字母表示规律的简洁性，培养严谨观察、大胆猜想、动手验证的数学探究习惯。
【重点】
探究多边形面积、内部钉子数、边上钉子数三者的关系，能用字母写出对应公式。
【难点】
自主从多组数据里提炼数学规律。
在钉子板上任意围几个多边形。想一想：多边形的面积与它边上的钉子数量以及内部的钉子数量有没有关系？有什么关系？
现象与问题
多边形边上的钉子数量越多，面积就越大。
多边形的面积与它内部的钉子数量也有关系。
下面的多边形内部都只有 1 枚钉子，它们的面积各是多少平方厘米？每个多边形边上各有多少枚钉子？先数一数、算一算，将结果填入表中，再和同学交流想法。
探究与发现
1 cm
1 cm
①
②
③
④
1 cm
1 cm
①
②
③
④
多边形边上的钉子数量
应用公式计算面积
4枚
6枚
2×2÷2=2（cm2）
（1+2）×2÷2=3 （cm2）
1 cm
1 cm
①
②
③
④
多边形边上的钉子数量
应用公式计算面积
7枚
8枚
（1+2）×1÷2+2×1
=3.5 （cm2）
2×2=4（cm2）
图形编号 多边形边上的钉子数量 / 枚 多边形的面积 /cm2
①
②
③
④
1 cm
1 cm
①
②
③
④
4
6
7
8
2
3
3.5
4
÷2
÷2
÷2
÷2
图①边上有4枚钉子，面积是2平方厘米。
图形编号 多边形边上的钉子数量 / 枚 多边形的面积 /cm2
①
②
③
④
4
6
7
8
2
3
3.5
4
÷2
÷2
÷2
÷2
图②边上有6枚钉子，面积是3平方厘米。
图③边上有7枚钉子，面积是3.5平方厘米。
图④边上有8枚钉子，面积是4平方厘米。
S=
当多边形内部只有1枚钉子时，用n表示边上的钉子数量，S表示面积，那么
内部只有1枚钉子时，多边形面积的平方厘米数都是它们边上钉子枚数的一半，即多边形的面积=边上钉子数量÷2。
1 cm
1 cm
①
②
③
④
n÷2
如果多边形内部有2枚钉子，它的面积与它边上的钉子数量又有什么关系呢？先围一围，再数一数、算一算、填一填。
1 cm
1 cm
①
②
③
多边形边上的钉子数量
应用公式计算面积
10枚
3×2=6 （cm2）
1 cm
1 cm
①
②
③
多边形边上的钉子数量
应用公式计算面积
6枚
4×2÷2=4 （cm2）
7枚
（1+2）×3÷2
=4.5（cm2）
图形编号 多边形内部的钉子数量/枚 多边形边上的钉子数量/枚 多边形的面积/cm2
①
②
③
2
2
2
6
4
4.5
10
6
7
÷2+1
÷2+1
÷2+1
1 cm
1 cm
①
②
③
图形编号 多边形内部的钉子数量/枚 多边形边上的钉子数量/枚 多边形的面积/cm2
①
②
③
2
2
2
6
4
4.5
10
6
7
÷2+1
÷2+1
÷2+1
观察表格中的数据，我们发现当多边形内部有2枚钉子时，多边形的面积的平方厘米数比它边上钉子数的一半多1，
即多边形的面积=多边形边上的钉子数÷2+1。
当多边形内部有2枚钉子时，用n表示它边上的钉子数量，S表示它的面积，那么
S=
n÷2+1
图形编号 多边形内部的钉子数量/枚 多边形边上的钉子数量/枚 多边形的面积/cm2
①
②
③
2
2
2
6
4
4.5
10
6
7
÷2+1
÷2+1
÷2+1
如果多边形内部有3枚、4枚或更多枚钉子，它的面积与它边上钉子数量的关系会发生什么变化？先在小组里说说自己的猜想，再通过围一围、数一数、算一算进行验证。
猜想：
多边形内部有3枚钉子时，
多边形的面积=多边形边上的钉子数量÷2+2；
多边形内部有4枚钉子时，
多边形的面积=多边形边上的钉子数量÷2+3；
如果多边形内部有3枚、4枚或更多枚钉子，它的面积与它边上钉子数量的关系会发生什么变化？先在小组里说说自己的猜想，再通过围一围、数一数、算一算进行验证。
猜想：
多边形内部有5枚钉子时，
多边形的面积=多边形边上的钉子数量÷2+4；……
多边形内部没有钉子时，
多边形的面积=多边形边上的钉子数量÷2－1。
如果多边形内部没有钉子，发现的规律还正确吗？
验证：
（1）分别围出内部有3枚、4枚、0枚钉子的多边形。
注：要尽可能围出多个形状不同的多边形来验证猜想。
1 cm
1 cm
①
②
③
验证：
（2）填表，验证规律。
图形编号 多边形内部的钉子数量/枚 多边形边上的钉子数量/枚 多边形的面积/cm2
①
②
③
3
4
0
8
7.5
1.5
12
9
5
÷2+2
÷2+3
÷2－1
1 cm
1 cm
①
②
③
规律：多边形的面积既与它内部的钉子数量有关，也与它边上的钉子数量有关；
多边形的面积=多边形边上的钉子数量÷2+（多边形内部的钉子数量－1）。
用n表示多边形边上的钉子数量，S表示多边形的面积，b表示多边形内部的钉子数量，那么
S=n÷2+(b－1)
回顾探索规律的过程，你有什么体会？
回顾与反思
用含有字母的式子表示规律，十分简明。
探索规律时要认真观察和比较，仔细分析，发现规律后要验证。
要从不同的多边形中找到它们的相同点。
应用规律计算钉子板上图形的面积。
1 cm
1 cm
这枚钉子不要忘了数。
三角形边上有6枚钉子，
内部有4枚钉子。
S=n÷2+(b－1)
三角形的面积：6÷2+（4－1）=6（cm2）
应用规律计算方格图中多边形的面积。（每个小方格的面积都表示1平方厘米）
多边形面积=边上格点数÷2+（内部格点数－1）
图中四边形的面积：4÷2+(11－1)=12（平方厘米）
边上有4个格点
内部有11个格点
通过这节课的学习，你有哪些收获呢？
我们探究了钉子板上的多边形面积规律：
1. 当多边形内部只有1枚钉子时，用n表示边上的钉子数量，S表示面积，那么S=n÷2。
2.当多边形内部有2枚钉子时，用n表示边上的钉子数量，S表示面积，那么S=n÷2+1。
通过这节课的学习，你有哪些收获呢？
3.用n表示多边形边上的钉子数，S表示多边形的面积，b表示多边形内部的钉子数，那么
S=n÷2+（b－1）

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