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(共28张PPT)
第2章 特殊三角形
2.7探索勾股定理（第1课时）
（浙教版）八年级
上
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
板书设计
01
教学目标
01
02
掌握定理内容：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，
通过拼图法（如赵爽弦图）、面积割补法等直观方式，理解定理的几何推导过程。
已知任意两边，能准确求出第三边（注意区分斜边与直角边），解决含特殊比例的直角三角形问题（如3:4:5，5:12:13等常见勾股数）。
应用勾股定理解决实际问题.
03
02
新知导入
A
B
C
说一说直角三角形有哪些性质？
① 有一个直角，∠C = 90°
② 两个锐角互余，∠A + ∠B = 90°
a
b
c
对于直角三角形的三条边，它们之间有什么特殊关系呢？
03
新知讲解
合作学习
（1）剪四个全等的直角三角形纸片（图 2-34），把它们按图 2-35放入一个边长为c的正方形中。这样就拼成了一个形如图2-35的图形。
（2）设剪出的直角三角形纸片的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c。
分别计算图 2-35中的蓝色部分的面积和大、小两个正方形的面积。
（3）比较图2-35中蓝色部分和大、小两个正方形的面积，你发现了什么？
你还有其他拼图方法得到这些结论吗？
03
新知讲解
合作学习
S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b-a)2,
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
03
新知讲解
直角三角形的三条边长的关系：
直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方。
a
b
c
03
新知讲解
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.
勾
股
此结论被称为“勾股定理”.
03
新知讲解
文字语言：
如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么
a2 + b2 = c2
几何语言：
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴a2 + b2 = c2.
直角三角形的性质定理：
（勾股定理/毕达哥拉斯定理）
变式：
a2＝
c2－ b2，
b2＝
c2－ a2
几何
代数
勾股定理
勾股定理反应了直角三角形三边的关系，成为沟通几何和代数的桥梁.
03
新知讲解
证明
利用拼图来验证猜想：
1.准备4个全等的直角三角形（设直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c）.
2.你能用这四个直角三角形拼成一个以斜边c为边长的正方形吗？拼一拼算算看！
a
b
c
03
新知讲解
a
b
c
黄实
朱实
朱实
朱实
这个图案是赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．
赵爽根据此图指出，四个全等的直角三角形（红色）可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形（黄色）.
03
新知讲解
赵爽拼图证明法
a
b
c
b
a2 + b2
c2
a
证法 1:
a
b
c
=
03
新知讲解
赵爽拼图证明法
a
b
c
b－a
证法 2:
= c2，
= (b－a)2，
= 4S三角形 + S小正方形，
c2 = 4×ab + (b－a)2 = a2 + b2.
这样就证明了前面的猜想. 它表明了直角三角形三边之间的关系，我国把它称为勾股定理.
03
新知讲解
已知在△ABC中，∠C＝Rt∠，BC＝a，AC＝b，AB＝c。
（1）若a＝1，b＝2，求c；
（2）若a＝15，c＝17，求b。
例1
c2=a2+b2=12 +22 =5
因为c>0,所以c=
解:(1)根据勾股定理，得
(2)根据勾股定理，得
因为b>0 , 所以b=8.
=172 -152
=64.
=(17＋15)(17－15)
b2 = c2 -a2
03
新知讲解
如图是一个长方形零件图。根据所给的尺寸（单位：mm），求两孔中心A，B之间的距离。
例2
解：过A作铅垂线，过B作水平线，两线交于点C，则∠ACB＝90°，
AC＝90－40＝50（mm），
BC＝160－40＝120（mm）。
在Rt△ACB中，由勾股定理，得AB2=AC2+BC2 =502+1202=16900（mm2）因为AB＞0，所以AB＝130（mm）。
答：两孔中心A，B之间的距离为130 mm。
分析：解决问题的关键是构造出含所求
线段的直角三角形，然后用勾股定理求解。
03
新知讲解
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
（1）读懂题意，分析已知、未知间的关系；
（2）构造直角三角形；
（3）利用勾股定理等列方程；
（4）解决实际问题.
数学问题
直角三角形
勾股定理
实际问题
转化
构建
利用
决解
04
课堂练习
基础题
1.下列说法中，正确的是（ ）
A. 已知 a，b，c 是三角形的三边，则 a2 + b2 = c2
B. 在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，所以 a2 + b2 = c2
D. 在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，所以 a2 + b2 = c2
C
2.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数，则得到的三角形( )
A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形
C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形
A
04
课堂练习
基础题
3. 在 △ABC 中，∠C = 90°.
(1) 若 a = 15，b = 8，则 c = ________.
(2) 若 c = 13，b = 12，则 a = ________.
4. 若直角三角形中，有两边长是 5 和 7，则第三边
长的平方为_________.
17
5
74 或 24
04
课堂练习
基础题
5. 设直角三角形的两条直角边长分别为 a 和 b，斜边长为 c.
（1）已知 a = 6，c = 10，求 b；
（2）已知 a = 5，b = 12，求 c；
（3）已知 b = 15，c = 25，求 a.
解：由勾股定理：（1）
（2）
（3）
04
课堂练习
提升题
1. 如图，在△ABC中，D为BC上一点，BD＝5，CD＝4，且AC＝AD. 记AB的长为x，AC的长为y，当x，y变化时，下列代数式的值不变的是（　A　）
A. x2－y2 B. x2＋y2 C. x－y D. x＋y
A
04
课堂练习
提升题
2.如图，在△ABC中，D为AB的中点，点E在AC上，且BE⊥AC. 若DE＝5，AE＝8，EC＝ ，则BC的长为（　C　）
A. B. 8 C. D.
C
04
课堂练习
拓展题
如图，在锐角三角形ABC中，AC＝2，AC边上的中线BD＝ .过点A作AE⊥BC于点E，记BC的长为a，BE的长为b.求证：当a，b的值发生变化时，ab的值不变.
04
课堂练习
拓展题
解：如图，连结DE，过点D作DF⊥BC于点F，则∠BFD＝∠CFD＝90°.
因为BD是AC边上的中线，所以D是AC的中点.
因为AE⊥BC，AC＝2，所以DE＝ AC＝CD＝1.
因为DF⊥EC，所以EF＝FC＝ CE.
04
课堂练习
拓展题
因为BC的长为a，BE的长为b，所以CE＝BC－BE＝a－b.
所以EF＝FC＝ CE＝ （a－b）.
所以BF＝BE＋EF＝b＋ （a－b）＝ （a＋b）.
在Rt△BDF中，由勾股定理，得DF2＝BD2－BF2＝（ ）2－ ；
在Rt△CDF中，由勾股定理，得DF2＝CD2－CF2＝12－ ，
所以（ ）2－ ＝12－ .整理，得ab＝2，即ab的值不变。
05
课堂小结
勾股定理
内容
在Rt△ABC中， ∠C=90°,a,b为直角边，c为斜边，则有a2+b2=c2.
注意
在直角三角形中
看清哪个角是直角
已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论
证明
06
板书设计
2.7探索勾股定理（第1课时）
1.勾股定理：
2.勾股定理的应用：
Thanks!
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