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(共22张PPT)
第2章 特殊三角形
2.7探索勾股定理（第2课时）
（浙教版）八年级
上
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
板书设计
01
教学目标
01
02
能准确复述勾股定理逆定理的内容："若三角形三边满足a +b =c ，则该三角形为直角三角形，且c为直角。
能根据给定三边长度，通过计算验证是否满足逆定理条件，并判断三角形是否为直角三角形（如判断边长为5、12、13的三角形是否为直角三角形）。
能通过构造法或反证法初步理解逆定理的证明思路，体会几何命题的互逆性。能结合全等三角形等知识，解释逆定理与勾股定理的逻辑闭环关系.
03
02
新知导入
我们已经知道勾股定理：“如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么 a2 + b2 = c2. ”它的逆命题是怎样的？
条件：
结论：
一个三角形是直角三角形
两直角边的平方和，等于斜边的平方
逆命题：
如果三角形的三条边a，b，c满足a2 + b2 = c2 ，那么这个三角形是直角三角形.
思考：这个命题是否为真命题，应该如何证明呢？
03
新知讲解
合作学习
（1）作三个三角形，使其边长分别为 3 cm，4 cm，5 cm；1.5 cm，2 cm，2.5cm；5 cm，12 cm，13 cm。
（2）算一算较短两条边的平方和与最长一条边的平方是否相等。
3cm
4cm
5cm
5cm
12cm
13cm
2.5cm
1.5cm
2cm
32＋42＝52
1.52＋22＝2.52
52＋122＝132
03
新知讲解
合作学习
（3）量一量所作每一个三角形最长边所对角的度数。
由此你得到怎样的猜想？用命题的形式表述你的猜想。
所作每一个三角形最长边所对角的度数都是90°。
猜想：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2 ,那么这个三角形是直角三角形。
03
新知讲解
勾股定理的逆定理：
如果三角形中两边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形。
几何语言：
所以 △ABC 是直角三角形.
因为 a2 + b2 = c2 ，
在△ABC 中，
A
C
B
a
b
c
a、b 是直角边，c 是斜边，∠C = 90°.
03
新知讲解
证明
已知 △ABC 的三边长分别为 a，b，c，满足 a2 + b2 = c2 .
求证 △ABC 是直角三角形.
证明：作一个 Rt△A'B'C' ，使 B'C' = a，A′C′ = b，∠C' = 90°．
根据勾股定理，A'B' 2 = B'C' 2 + A'C' 2 = a2 + b2 .
因为 a2 + b2 = c2，所以 A'B' = c.
所以△ABC ≌ △A'B'C'（SSS）.
因此∠C = ∠C' = 90°，即△ABC 是直角三角形.
在△ABC 和△A'B'C'中，
BC = a = B'C' ，
AC = b = A'C' ，
AB = c = A'B' ，
A
C
B
b
a
c
A′
C′
B′
b
a
03
新知讲解
根据下列条件，分别判断以a，b，c为边的三角形是不是直角三角形。
（1）a＝7，b＝24，c＝25；（2）a＝，b＝1，c＝。
例3
解：（1）因为72+242＝252，所以以7，24，25为边的三角形是直角三角形。
（2）因为( )2+()2＝≠12，也就是较小两边的平方和不等于较大边的平方，可知 a，b，c 中任何两边的平方和都不等于第三边的平方，
所以以，1，为边的三角形不是直角三角形。
03
新知讲解
已知△ABC的三条边长分别为a，b，c，且a＝m2－n2，b＝2mn，c＝m2＋n2（m＞n，m，n是正整数）。△ABC是直角三角形吗？证明你的判断。
例4
解： △ABC是直角三角形.证明如下:
已知a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2（m＞n,m，n 是正整数)
因为a2+b2=(m2-n2)2+(2mn)2=m4-2m2n2+n4+4m2n2
=m4+2m2n2+n4=(m2+n2)2=c2.
所以△ABC是直角三角形(勾股定理的逆定理).
03
新知讲解
利用勾股定理的逆定理判定直角三角形的步骤：
找：找三角形的最长边.
1
3
判：若两者相等，则是直角三角形，否则不是.
2
算：计算最长边的平方与另两边的平方和.
方法
04
课堂练习
基础题
1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（　 ）
A．2，3，4 B．3，4，6
C．5，12，13 D．4，6，7
C
2. 一个三角形的三边的长分别是 3，4，5，则这个三角形最长边上的高是（　　）
A．4 B．3
C．2.5 D．2.4
D
04
课堂练习
基础题
3. 一个三角形的三边长分别为 15 cm，20 cm，25 cm，则这个三角形最长边上的高是____cm.
12
4. 若△ABC 的三边 a，b，c 满足 (a - b)(a2 + b2 - c2) = 0，则△ABC 是______________________.
等腰三角形或直角三角形
04
课堂练习
基础题
5.如图，△ABC内部有一点D，且∠ADC＝90°，AB＝13，BC＝12，AD＝4，CD＝3.试判断△ABC的形状．
【解】在△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝4，CD＝3，
所以根据勾股定理，得AC2＝AD2＋CD2＝42＋32＝25，
所以AC2＋BC2＝25＋122＝169.又因为AB2＝132＝169，
所以AC2＋BC2＝AB2.
所以△ABC是直角三角形．
04
课堂练习
提升题
1. 如图，在5×9的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上（网格线的交点称为格点）.若每个小正方形的边长均为1，则△ABC的形状为（　A　）
A. 直角三角形 B. 锐角三角形
C. 钝角三角形 D. 以上都不对
A
04
课堂练习
提升题
C
2.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝6，∠A＝60°，BC＝10，CD＝8，则∠ADC的度数为(　　)
A．110°
B．120°
C．150°
D．160°
04
课堂练习
拓展题
清代扬州数学家罗士琳痴迷研究勾股定理，提出推算勾股数的“罗士琳法则”，其中有一个法则是“如果k是大于2的偶数，那么k，k的一半的平方减1，k的一半的平方加1是一组勾股数”（注：勾股数是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数）.
依据以上法则，解答下面的问题：
（1） 当k＝14时，写出这一组勾股数： ；
14，48，50　
04
课堂练习
拓展题
（2） 证明“罗士琳法则”的正确性.
解：因为k2＋ ＝k2＋ ＝k2＋ k4＋1－ k2＝ k4＋ k2＋1， ＝ ＝ k4＋ k2＋1，所以当k是大于2的偶数时，k2＋［ －1］2＝ ，且 －1与 ＋1均为正整数.所以如果k是大于2的偶数，那么k，k的一半的平方减1，k的一半的平方加1是一组勾股数.
05
课堂小结
勾股定理
的逆定理
内容
作用
从三边数量关系判定一个三角形是否是直角三角形
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
06
板书设计
2.7探索勾股定理（第2课时）
勾股定理的逆定理：
Thanks!
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