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(共32张PPT)
第2章 特殊三角形
2.8直角三角形全等的判定
（浙教版）八年级
上
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
板书设计
01
教学目标
01
02
重点应用HL定理：明确“斜边和直角边对应相等（HL）”是直角三角形特有的判定方法，并能用规范的几何语言书写证明过程。
探究推理能力：通过画图、剪拼等实践活动，探索直角三角形全等的条件，体会数学猜想与验证的过程。
严谨性培养：感受几何证明的严密性，养成步步有据的数学表达习惯。
应用意识：体会直角三角形全等在实际问题（如测量、建筑）中的应用价值，增强学习兴趣。
03
02
新知导入
问题：怎么判断一个三角形是直角三角形？
有一个角是直角的三角形是直角三角形.
有两个角互余的三角形是直角三角形.
三角形一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形.
三角形的三条边满足a2 + b2 = c2的三角形是直角三角形.
03
新知讲解
合作学习
（1）回顾：要判定两个三角形全等，我们已经有哪些方法？
判定方法 简称 图示
A
B
C
C'
A'
B'
A
B
C
C'
A'
B'
A
B
C
C'
A'
B'
A
B
C
C'
A'
B'
三边分别相等
两边和它们的
夹角分别相等
两角和它们的
夹边分别相等
两角分别相等且其中
一组等角的对边相等
SSS
SAS
AAS
ASA
定义法：能够重合的两个三角形是全等三角形
03
新知讲解
合作学习
（2）有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等吗？如果对应角是直角呢？可以通过作图、叠合等方法进行探索。
如图，已知AC=DF，BC=EF，
∠B=∠E，△ABC≌△DEF吗？
我们知道，证明三角形全等不存
在SSA定理.
A
B
C
D
E
F
03
新知讲解
合作学习
（2）有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等吗？如果对应角是直角呢？可以通过作图、叠合等方法进行探索。
A
B
C
D
E
F
03
新知讲解
A
B
C
(1)画∠MC′N =90°；
(2)在射线C′M上取B′C′=BC；
(3)以B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′ N于点A′；
(4)连接A′B′．
现象：两个直角三角形能重合．
说明：这两个直角三角形全等．
画法：
A′
N
M
C′
B′
03
新知讲解
直角三角形全等的判定定理：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）。
如图，在Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′ 中，
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ （HL）
AB=A′B′ ，
BC = B′C′，
几何语言：
C
A
B
C'
A'
B'
03
新知讲解
如图，在Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′ 中，
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′ （HL）
AB= A′B′ ，
BC = B′C′，
几何语言：
注意
①“H”代表斜边，“L”代表直角边.
顺序不要混淆
②“HL”是判定直角三角形全等的特有方法，两个“△”前要加“Rt”.
C
A
B
C'
A'
B'
03
新知讲解
证明：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
已知:如图，在△ACB 和△A'C'B'中，∠C=∠C'=Rt∠,AB=A'B',AC=A'C'.
求证:Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.
A
B
C
A'
B'
C'
分析：因为 AC＝A'C'，所以可考虑以 AC 为一边作一个直角三角形，使它和 Rt△A'B'C'全等，然后只要证明所作的直角三角形和Rt△ABC全等。
03
新知讲解
证明 如图，延长BC至D. 使 CD=B'C'，连结AD.
由AC=A'C'(已知)，∠ACD=Rt∠=∠C'
得△ADC≌△A'B'C'(SAS)
故有AD=A'B'（全等三角形的对应边相等)
因为A'B'=AB(已知)，
所以AD=AB.
又因为AC⊥BD，AC是等腰三角形ABD的高线，
所以BC＝CD（等腰三角形三线合一）。
而AC＝AC（公共边），
A
B
C
D
可得△ADC ≌△ABC（SSS），
所以△ABC ≌△A'B'C'。
03
新知讲解
“HL”是直角三角形所独有的判定三角形全等的定理，
直角三角形全等的判定,除了“HL”外,还可用SAS，ASA，SSS，AAS.
“SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角.
03
新知讲解
做一做
已知线段 a，c（如图），用直尺和圆规作Rt△ABC，
使∠C＝Rt∠，BC＝a，AB＝c。
c
画法：1.画∠MCN=90 °.
3.以B为圆心，c为半径画弧，交射线CN于点A.
4.连结AB
△ABC就是所要画的直角三角形.
M
C
N
a
B
c
A
2.在射线CM上取CB=a.
03
新知讲解
已知：如图，P是∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，D，E分
别是垂足，且PD＝PE。求证：点P在∠AOB的平分线上。
例
分析：如图，要证明点P在∠AOB的平分线上，可以转化为证明射线OP平分∠AOB。
03
新知讲解
已知：如图，P是∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，D，E分
别是垂足，且PD＝PE。求证：点P在∠AOB的平分线上。
例
证明：如图，作射线OP。
由PD⊥OA，PE⊥OB（已知），
可得∠PDO＝∠PEO＝Rt∠。
又因为OP＝OP（公共边），PD＝PE（已知），
所以Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）。
所以∠1＝∠2，即点P在∠AOB的平分线上（角平分线的定义）。
03
新知讲解
角平分线性质定理的逆定理：
角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。
应用所具备的条件：
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
（1）位置关系：点在角的内部
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
A
O
B
P
D
E
C
应用格式：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE.
∴点 P 在 ∠AOB 的平分线上.
04
课堂练习
基础题
1.如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充的条件是（　　）
A．AC＝AD或BC＝BD
B．AC＝AD且BC＝BD
C．∠BAC＝∠BAD
D．以上都不对
A
04
课堂练习
基础题
2. 如图，在 △ABC 中，AD ⊥ BC 于点 D，CE ⊥ AB 于点 E ，AD，CE 交于点 H，已知 EH ＝ EB ＝ 3，AE ＝ 4，则 CH 的长为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
A
04
课堂练习
基础题
3. 如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A=∠D=90°，请你添加一个条件（不添加字母和辅助线），使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是 ，理由是 “ ”（填简称）．
AB=DC或AC=DB
HL
04
课堂练习
基础题
4.如图，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE，BF＝EC．
求证：Rt△ABC≌Rt△DEF．
证明：∵BF＝EC，
∴BF+FC＝FC+EC. 即BC＝EF .
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABC和△DEF都是直角三角形 .
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．
04
课堂练习
提升题
D
1.如图，∠EBF，∠EAC的平分线BP，AP交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为M，N，连结CP，则下列结论中正确的是(　　)
①CP平分∠ACF；②∠ABC＋2∠APC＝180°；
③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP＋S△NCP.
A．①②④ B．①③④
C．②③④ D．①②③④
04
课堂练习
提升题
115°
2.如图，作△ABC的两内角平分线与两外角平分线，其交点分别为点O与点D，连结OA，已知∠D＝65°，则∠BOC＝________，∠BAO＝________．
25°
04
课堂练习
拓展题
BM＋NC＝MN
在等边三角形ABC的两边AB，AC所在直线上分别有M，N两点，D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC.探究当点M，N分别在直线AB，AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系．
(1)如图①，当点M，N在边AB，AC上，且DM＝DN时，
BM，NC，MN之间的数量关系是______________．
04
课堂练习
拓展题
(2)如图②，当点M，N在边AB，AC上，且DM≠DN时，(1)中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
【解】(1)中的结论仍然成立．
证明：如图①，在NC的延长线上截取CM1＝BM，
连结DM1，易知∠MBD＝∠M1CD＝90°.
又因为BD＝CD，BM＝CM1，
所以△DBM≌△DCM1(SAS)．
所以DM＝DM1，∠MDB＝∠M1DC.
因为∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，
04
课堂练习
拓展题
所以∠M1DN＝∠NDC＋∠CDM1＝∠NDC＋∠BDM＝∠BDC－∠MDN
＝120°－60°＝60°.
所以∠MDN＝∠M1DN＝60°.
又因为DM＝DM1，DN＝DN，
所以△MDN≌△M1DN(SAS)．
所以MN＝M1N＝M1C＋NC＝BM＋NC.
04
课堂练习
拓展题
(3)如图③，当M，N分别在边AB，CA的延长线上时，探索BM，NC，MN之间的数量关系，并给出证明．
【解】NC－BM＝MN.
证明：如图②，在边AC上截取CM2＝BM，
连结DM2.易得△DBM≌△DCM2，
所以DM＝DM2，∠MDB＝∠M2DC.
因为∠MDN＝60°，
所以∠MDB＋∠BDN＝∠M2DC＋∠BDN＝60°.
又因为∠BDC＝120°，所以∠M2DN＝60°＝∠MDN.
04
课堂练习
拓展题
又因为DN＝DN，DM＝DM2，
所以△MDN≌△M2DN(SAS)．
所以MN＝M2N.所以NC＝CM2＋M2N＝BM＋MN.
所以NC－BM＝MN.
05
课堂小结
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
“斜边、直角边”
在直角三角形中
内容
前提条件
在直角三角形中，只要有两边对应相等，则直角三角形全等
使用方法
06
板书设计
2.8直角三角形全等的判定
1.直角三角形全等的判定定理：
2.角平分线性质定理的逆定理：
Thanks!
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