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7.3平行线的证明
第七章 证明
北师大版（2024）
素养目标
1.掌握平行线的性质定理，熟练完成“两直线平行，内错角相等”“两直线平行，同旁内角互补”的证明过程，逐步提升演绎推理能力；
重点
难点
2.深入理解平行线性质定理与判定定理之间的内在联系，深度感受互逆思维在几何证明中的应用，培养灵活转换思维的能力.
平行线的判定
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
两直线平行
反过来，如果两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
两直线平行
我们已经探索过平行线的性质，下面证明它们.
合作探究
已知：如图，直线AB∥CD，∠1和∠2是直线AB、CD被直线EF截出的同位角.
求证：∠1=∠2.
证明：假设∠1≠∠2，那么我们可以过点M作直线GH，使∠EMH=∠2.根据“同位角相等，两直线平行”，可知GH∥CD.
又因为AB∥CD，这样经过点M存在两条直线AB与GH都与直线CD平行.
这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾.
这说明∠1≠∠2的假设不成立，所以∠1=∠2.
合作探究
试证明：
定理： 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.
简述为：两直线平行，内错角相等.
已知：如图，直线l1∥l2，∠1和∠2是直线l1、l2被直线l3截出的内错角.
求证：∠1=∠2.
l3
l2
l1
合作探究
已知：如图，直线l1∥l2，∠1和∠2是直线l1、l2被直线l3截出的内错角.
求证：∠1=∠2.
证明：∵ l1∥l2（已知）.
∴∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）.
又∵∠2=∠3对顶角相等）.
∴∠1=∠2（等量代换）.
合作探究
议一议：完成一个命题的证明，需要哪些主要环节？
（1）理解题意；
（2）根据题意正确画出图形；
（3）根据题意写出“已知”和“求证”；
（4）分析题意，探索证明的思路；
（5）依据寻求的思路，运用数学符号和数学语言，有条理、清晰地写出证明过程；
（6）检查表达过程是否正确、完善.
典例精析
例 已知：如图，直线b∥a，c∥a，∠1，∠2，∠3是直线a、b、c被直线d截出的同位角.
求证：b∥c.
证明：∵ a∥b（已知）.
∴∠2=∠1（两直线平行，同位角相等）.
∵ c∥a（已知）.
∴∠3=∠1（两直线平行，同位角相等）.
∴∠2=∠3（等量代换）.
∴b∥c（同位角相等，两直线平行）.
得到定理：平行于同一条直线的两条直线平行.
两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.
简述为：两直线平行，内错角相等.
定理3：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.
简述为：两直线平行，同旁内角互补.
类似地，还可以证明：
例1 如图是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A=100°，∠B=115°，梯形的另外两个角分别是多少度？
解：因为梯形上、下底互相平行，
所以∠A 与∠D 互补,∠B 与∠C 互补.
即梯形的另外两个角分别是 80°，65°.
所以∠D=180 °-∠A=180°-100°=80°，
∠C= 180 °-∠B=180°-115°=65°.
A
B
C
D
典例分析
例2.如图所示，已知∠OEB=130°，OF平分∠EOD，∠FOD=25°，AB∥CD吗？试说明.
A
E
B
C
O
D
F
解：AB∥CD.
证明：∵OF平分∠EOD，∠FOD=25°(已知)，
∴∠EOD=2∠FOD=50°(角平分线的性质).
∵∠OEB=130°(已知)，
∴∠EOD+∠OEB=180°.
∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行).
学以致用
1.如图，能判定EB∥AC的条件是(　　)
A.∠C＝∠ABE 　　　　 B.∠A＝∠EBD
C.∠C＝∠ABC 　　　　 D.∠A＝∠ABE
D
2.如图所示，∠1=75°，要使a∥b，则∠2等
于(　　)
A.75° B.95° C.105° D.115°
a
b
1
2
C
归纳总结
一般地，我们有如下的定理：
定理：平行于同一条直线的两条直线平行.
应用格式：
∵b∥a，c∥a(已知)，
∴b∥c(平行于同一条直线的两条直线平行).
a
b
d
c
【思考】完成一个命题的证明，需要哪些主要环节？
命题证明的步骤：
(1) 根据题意，画出图形；
(2) 根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证；
(3) 经过分析，找出由已知推出求证的途径，然后用数学符号和数学语言有条理地写出证明过程.
典例分析
例2.已知：如图，AD∥BC，∠ABD=∠D.
求证：BD平分∠ABC.
A
B
C
D
证明：∵AD∥BC(已知)，
∴∠DBC=∠D(两直线平行，内错角相等).
又∵∠ABD=∠D(已知)，
∴∠DBC=∠ABD(等量代换)，
∴BD平分∠ABC(角平分线的定义).
典例分析
例3.如图，已知DE∥BC，CD平分∠ACB，∠AED=80°，
求∠EDC的度数.
A
E
D
C
B

如图所示，∠1 = 75°，要使 a∥b，则∠2 等于( )
A. 75°
B. 95°
C. 105°
D. 115°
a
b
1
2
【解析】∠1 的同位角与∠2 互为补角，所以∠2 = 180° - 75° = 105°.
C
如图，已知∠1 = 30°，若∠2 或∠3 满足条件
____________________，则 a∥b.
2
1
3
a
b
c
∠2 = 150° 或∠3 = 30°
如图.（1）从∠1 = ∠4，可以推出　 ∥ ，
理由是 .
(2) 从∠ABC +∠ = 180°，可以推出 AB∥CD，理由是 .
A
B
C
D
1
2
3
4
5
AB
内错角相等，两直线平行
CD
BCD
同旁内角互补，两直线平行
(3) 从∠ =∠ 2 ，可以推出 AD∥BC，
理由是 .
(4) 从∠5 =∠ ，可以推出 AB∥CD，
理由是 .
3
内错角相等，两直线平行
ABC
同位角相等，两直线平行
A
B
C
D
1
2
3
4
5

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