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苏科版数学八年级上册1.1三角形中的线段和角同步练习
一、选择题
1．以下列各组数据为边长，可以构成三角形的是（　　）
A．3，4，5 B．8，7，15 C．13，12，26 D．5，5，11
2．一个三角形两个内角的度数分别如下，三角形为锐角三角形的是（　　）
A．30°和60° B．40°和70° C．50°和20° D．40°和40°
3．将一副三角板按如图方式重叠，则∠1的度数为（　　)
A．45° B．60° C．75° D．85°
4．如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（　　）
A．中线，角平分线，高线 B．角平分线，高线，中线
C．角平分线，中线，高线 D．高线，中线，角平分线
5．下面四个图形中，线段是的高的图形是（　　）
A． B．
C． D．
6．如题图，在中，，，是的高线，是的角平分线，则的度数是（　　）
A．10° B．20° C．30° D．40°
7．如图，已知平分，平分，．下列结论错误的是（　　）
A．
B．
C．
D．若，则．
8．如图，点在的边的延长线上，，若，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
9． 如图，在△ABC中， ∠ACB>∠B，AD、AE分别是△ABC 的高和角平分线， 点F在 BC 的延长线上，FH⊥AE交AD 于点 G，交AB 于点H.下列结论错误的是（　　）
A．∠DAE=∠F B．
C． D．∠AGH=∠CAE+∠B
10．如图，在中，点，，分别为，，上的中点，已知的面积为16，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，在中，是高，是的平分线，，，则的度数是　 　．
12．若一个三角形的三边长是3，10，，则化简　 　．
13．如图，将与叠在一起，点恰好落在上，，，则　 　．
14．如图，在中，点O为三角形的重心，D为中点，若的面积为24，则的面积是　 　．
三、解答题
15．如图，是的角平分线．
（1）若，，则边的长度的取值范围是 ；
（2）若，，求和的度数．
16．如图，在中，是边上的高，是的平分线．
（1）若，，求的度数；
（2）若，，则　 　．（用含、的式子表示）
17．如图，在中，是的高，是的角平分线，已知，．
（1）的大小．
（2）若是的中线，且，面积为40，求的长度．
18．【教材呈现】下面是八年级上册数学课本关于三边关系的一道题目：
填空：
如图，由三角形两边的和大于第三边，得：______，______．
将不等式左边、右边分别相加，得______，即______．
（1）补全上面步骤；
【类比猜想】
（2）如图，请你仿照上述解题过程，探究当点与点重合时，与的数量关系，并说明理由．
19．如图，，，分别是的高线，角平分线和中线，
（1）下列结论：①，②，③，④与互余，其中错误的是　 　（只填序号）．
（2）若，，求的度数．
20．引入概念1：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
引入概念2：从不等边三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．若分成的两个小三角形中一个是满足有两个角相等的三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
【理解概念】：
（1）如图1，在中，，，请判断与 （填“是”或“否”） 为“等角三角形”．
（2）如图2，在中，为角平分线，，．
请你说明是的等角分割线．
【应用概念】：
（3）在中，若，是的等角分割线，请你直接写出所有可能的度数．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A．∵，，
∴可以构成三角形，符合题意；
B．∵，，
∴不可以构成三角形，不符合题意；
C．∵，，
∴不可以构成三角形，不符合题意；
D．∵，，
∴不可以构成三角形，不符合题意．
故答案为：A .
【分析】根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”判断即可.
2．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形的分类
【解析】【解答】解：∵三角形内角和为，锐角三角形要求三个内角都小于，
A、，该三角形是直角三角形，不符合要求；
B、，三个内角分别为，都小于，该三角形是锐角三角形，符合要求；
C、，，该三角形是钝角三角形，不符合要求；
D、，，该三角形是钝角三角形，不符合要求.
故答案为：B .
【分析】根据三角形的内角和定理求出第三个角，然后根据锐角三角形的定义判断即可.
3．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图：已知，，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】本题主要考查三角形内角和定理以及三角板角度计算.由三角板的角度特征可知，，由三角形内角和180°可计算，最后根据对顶角的性质即可得到.
4．【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形的中线；三角形的高；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：由图的折叠方式可知，，
∴是的角平分线；
由图的折叠方式可知，，
∵，
∴，
∴，
∴是的高线；
由图的折叠方式可知，，
∴是的中线，
故答案为：．
【分析】
图 ：根据折叠的性质可得， 可判定是的角平分线； 图 ：根据折叠的性质可得，再根据平角的计算可得； 图 ：根据折叠的性质可得，可判定是的中线， 由此可解答.
5．【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
6．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的两锐角互余；三角形的高；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：
在△ABC中，∵∠A=60°，∠C=40°
∴∠ABC=180°-60°-40°=80°
∵BD是△ABC的高线
∴∠ADB=90°
∵∠A=60°
∴∠ABD=30°
∵BE是△ABC的角平分线
∴∠ABE=40°
∴∠DBE=∠ABE-∠ABD=40°-30°=10°
故答案为：A。
【分析】本题综合运用三角形内角和可以求出∠ABC的度数，利用三角形高线即可得到∠ADB=90°，再利用直角三角形的两锐角互余，即可求出∠ABD=30°，再利用角平分线即可得到∠ABE=40°，∠ABE-∠ABD=∠DBE=10°即可得出答案。
7．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵AP平分∠BAC，
∴
∵CP平分∠ACD，
∴，
又∠1+∠2=90°
∴∠BAC+∠DCA=180°
∴AB//CD，故A一定成立；
∵AB//CD
∴∠ABD+∠CDB=180°
∴∠ABE+∠CDF=180°，故B一定成立；
若∠ACD=2∠E
∵∠ACD=2ZPCA，
∴∠PCA=∠E
∴AC//BD，
∴∠F=∠CAP，
∵∠CAB=2∠F，故D一定成立；
题中的条件不能说明AC//BD，故C不一定成立
故答案为：C.
【分析】利用角平分线的性质和三角形的内角和得到AB//CD，再根据平行线的性质和外角定理可得答案.
8．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】，，，
，，
故答案为：B．
【分析】根据三角形外角性质求出，根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等）得出即可．
9．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；对顶角及其性质；三角形的高；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：设AE与HF交于点O，
由题可得，
∠DGF=∠AGH，∠GDF=∠AOH=90°，
∴∠DAE=∠F，
故①正确；
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
∵∠ACF=∠B+∠BAC=∠B+2∠BAE，
∠AEF=∠B+∠BAE，
（∠ACF+∠B）=（2∠B+2∠BAE）=∠AEF，
故②正确；
∠F=∠DAE=90°-∠AED=90°-（∠B+∠BAE）=90°-∠B-
=，
故③错误；
∵∠AGH+∠GAE=∠AEC+∠DAE=90°，
∴∠AGH=∠AED，
∴∠AGH=∠B+∠BAE，
∵∠BAE=∠CAE，
∴∠AGH=∠CAE+∠B，
故D正确.
故答案为：C.
【分析】利用角平分线的概念和三角形内角和定理作答即可.
10．【答案】B
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵点是的中点，
∴是三角形中线，
∴，
又∵，
∴，
∵点是的中点，同理，
∴，，
∵点是的中点，
∴，
∵阴影部分面积为，
∴阴影部分面积．
故选：B．
【分析】本题主要考查三角形中线的性质，从大三角形开始，利用”三角形中线将三角形分成面积相等的两部分，依次通过中线（D、E、F是中点）将面积平分，逐步计算阴影部分面积.
11．【答案】38
【知识点】三角形内角和定理；三角形的高；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：是高，
，
，
，
，
，
是的平分线，
，
，
故答案为：38．
【分析】先根据高的定义和三角形的内角和定理求出∠BAD，进而求出∠BAE，再利用角平分线的定义求出∠BAC，最后根据三角形的内角和定理求出即可.
12．【答案】13
【知识点】整式的加减运算；三角形三边关系；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：∵一个三角形的三边长是3，10，，
∴10－3＜x＜10＋3，
∴7＜x＜13，
∴x－4＞0，x－17＜0，
∴
＝x－4＋17－x
＝13，
故答案为：13．
【分析】先根据三角形三边关系求出x的取值范围，再去化简绝对值，合并同类项化简即可．
13．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵中，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：148°
【分析】在中，，则∠B=58°，由AB∥CE，得∠，则
14．【答案】4
【知识点】三角形的重心及应用；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：如图所示，延长，交于点E，
∵点O是的重心，
∴是的中线，
∴，
∴，
即，
同理，．
∵，
∴．
∵D是的中点，
∴．
故答案为：4．
【分析】延长，交于点E，先利用重心的性质求出是的中线，可得，再利用等量代换求出，再结合D是的中点，最后求出即可．
15．【答案】（1）
（2）解：，，
，
平分，
，
，
．
答：，．
【知识点】三角形三边关系；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】（1）解：根据三角形三边关系，在中，，
，，
，即．
答：．
【分析】（1）根据三角形三边关系即可求出答案.
（2）根据三角形外角性质可得∠BAD，再根据角平分线定义可得∠BAC，再根据三角形外角性质即可求出答案.
（1）解：根据三角形三边关系，在中，，
，，
，即．
答：．
（2）解：，，
，
平分，
，
，
．
答：，．
16．【答案】（1）解：∵且，，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵是边上的高，
∴，
在中，且，，
∴，
∴，
∴的度数 为.
（2）
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；三角形的高；三角形的角平分线
【解析】【解答】（2）解：∵且，，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵是边上的高，
∴，
在中，且，，
∴，
∴，
∴的度数为.
故答案为：.
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线定义得，可求出的度数，由是边上的高得，在中，求出，最后由便可求出的度数.
（2）根据三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线定义得，可求出，由是边上的高得，在中，求出，最后由便可求出的度数.
17．【答案】（1）解：，，
，
是的角平分线，
，
是的高，
，
，
．
（2）解：∵是的中线，且，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；利用三角形的中线求面积
【解析】【分析】（1）由三角形内角和定理可得，由是的角平分线可得，由是的高得到，从而得到，即可求解；
（2）由是的中线可得，根据面积为40可得，即可求解．
（1）解：，，
，
是的角平分线，
，
是的高，
，
，
．
（2）解：∵是的中线，且，
∴，
∵，
∴．
18．【答案】（1），，，；
（2）如图，理由如下：
由三角形三边关系定理得到：，，，
，
．
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：如图，由三角形两边的和大于第三边，得：，．
将不等式左边、右边分别相加，得，即，
故答案为：，，，；
【分析】（1）根据三角形三边关系即可求出答案.
（2）根据三角形三边关系即可求出答案.
19．【答案】（1）①；（2）．
（1）①
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
【知识点】三角形内角和定理；三角形的中线；三角形的高；三角形的角平分线；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：（1）∵，，分别是的高线，角平分线，中线，∴ ， ，，
而不一定成立，故①不正确，②正确；
∴，
∴，即与互余，④正确；
∴，，
∴，③正确；
综上所述，错误的是：①；
故答案为：①.
【分析】（1）根据三角形角平分线的定义可得出 ②正确， ①，不一定正确 ；根据中线的性质可得出 ③；根据高线的定义可得出∠ADC=90°，进而得出 ④与互余，综上即可得出答案；
（2）首先根据三角形的内角和求出∠BAC，进而根据高线的定义及角平分线的定义可得出，，进而得出。
20．【答案】（1）是；
（2）证明：在中，，，
，
为角平分线，
，
，，
，
在中，，，
，
，
，，，，
为的等角分割线；
（3）；；；
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；三角形的角平分线；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：在中，，，
∴，，，
∴与两个三角形的三个角分别相等，
∴与是“等角三角形”；
故答案为：是；
（3）解：当是等腰三角形，如图2，时，，
，
；
此时与是“等角三角形”，
∴是的等角分割线；
当是等腰三角形，如图3，时，
∵，
∴，
当时，，
此时与是“等角三角形”，
∴是的等角分割线；
当是等腰三角形，时，
∵，
∴，，
∴，
若与是“等角三角形”，则，此时，，不符合题意，
当是等腰三角形，如图4，时，，
∵与是“等角三角形”
∴，
，
，
当是等腰三角形，如图5，时，，
∵与是“等角三角形”
∴，，
设，
则，
则，
∵
∴，
解得，
，
当是等腰三角形，如图5，时，，
∵与是“等角三角形”，而
∴，不合题意，
综上，的度数为；；；．
【分析】（1）根据“等角三角形”的定义，判断三角形的三个角是否相等即可求解；
（2）先根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线可得，再根据“ 等角分割线 ”的定义证明；
（3）分是等腰三角形，、和是等腰三角形，、四种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求解计算即可．
1 / 1苏科版数学八年级上册1.1三角形中的线段和角同步练习
一、选择题
1．以下列各组数据为边长，可以构成三角形的是（　　）
A．3，4，5 B．8，7，15 C．13，12，26 D．5，5，11
【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A．∵，，
∴可以构成三角形，符合题意；
B．∵，，
∴不可以构成三角形，不符合题意；
C．∵，，
∴不可以构成三角形，不符合题意；
D．∵，，
∴不可以构成三角形，不符合题意．
故答案为：A .
【分析】根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”判断即可.
2．一个三角形两个内角的度数分别如下，三角形为锐角三角形的是（　　）
A．30°和60° B．40°和70° C．50°和20° D．40°和40°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形的分类
【解析】【解答】解：∵三角形内角和为，锐角三角形要求三个内角都小于，
A、，该三角形是直角三角形，不符合要求；
B、，三个内角分别为，都小于，该三角形是锐角三角形，符合要求；
C、，，该三角形是钝角三角形，不符合要求；
D、，，该三角形是钝角三角形，不符合要求.
故答案为：B .
【分析】根据三角形的内角和定理求出第三个角，然后根据锐角三角形的定义判断即可.
3．将一副三角板按如图方式重叠，则∠1的度数为（　　)
A．45° B．60° C．75° D．85°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图：已知，，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】本题主要考查三角形内角和定理以及三角板角度计算.由三角板的角度特征可知，，由三角形内角和180°可计算，最后根据对顶角的性质即可得到.
4．如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（　　）
A．中线，角平分线，高线 B．角平分线，高线，中线
C．角平分线，中线，高线 D．高线，中线，角平分线
【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形的中线；三角形的高；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：由图的折叠方式可知，，
∴是的角平分线；
由图的折叠方式可知，，
∵，
∴，
∴，
∴是的高线；
由图的折叠方式可知，，
∴是的中线，
故答案为：．
【分析】
图 ：根据折叠的性质可得， 可判定是的角平分线； 图 ：根据折叠的性质可得，再根据平角的计算可得； 图 ：根据折叠的性质可得，可判定是的中线， 由此可解答.
5．下面四个图形中，线段是的高的图形是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
6．如题图，在中，，，是的高线，是的角平分线，则的度数是（　　）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的两锐角互余；三角形的高；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：
在△ABC中，∵∠A=60°，∠C=40°
∴∠ABC=180°-60°-40°=80°
∵BD是△ABC的高线
∴∠ADB=90°
∵∠A=60°
∴∠ABD=30°
∵BE是△ABC的角平分线
∴∠ABE=40°
∴∠DBE=∠ABE-∠ABD=40°-30°=10°
故答案为：A。
【分析】本题综合运用三角形内角和可以求出∠ABC的度数，利用三角形高线即可得到∠ADB=90°，再利用直角三角形的两锐角互余，即可求出∠ABD=30°，再利用角平分线即可得到∠ABE=40°，∠ABE-∠ABD=∠DBE=10°即可得出答案。
7．如图，已知平分，平分，．下列结论错误的是（　　）
A．
B．
C．
D．若，则．
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵AP平分∠BAC，
∴
∵CP平分∠ACD，
∴，
又∠1+∠2=90°
∴∠BAC+∠DCA=180°
∴AB//CD，故A一定成立；
∵AB//CD
∴∠ABD+∠CDB=180°
∴∠ABE+∠CDF=180°，故B一定成立；
若∠ACD=2∠E
∵∠ACD=2ZPCA，
∴∠PCA=∠E
∴AC//BD，
∴∠F=∠CAP，
∵∠CAB=2∠F，故D一定成立；
题中的条件不能说明AC//BD，故C不一定成立
故答案为：C.
【分析】利用角平分线的性质和三角形的内角和得到AB//CD，再根据平行线的性质和外角定理可得答案.
8．如图，点在的边的延长线上，，若，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】，，，
，，
故答案为：B．
【分析】根据三角形外角性质求出，根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等）得出即可．
9． 如图，在△ABC中， ∠ACB>∠B，AD、AE分别是△ABC 的高和角平分线， 点F在 BC 的延长线上，FH⊥AE交AD 于点 G，交AB 于点H.下列结论错误的是（　　）
A．∠DAE=∠F B．
C． D．∠AGH=∠CAE+∠B
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；对顶角及其性质；三角形的高；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：设AE与HF交于点O，
由题可得，
∠DGF=∠AGH，∠GDF=∠AOH=90°，
∴∠DAE=∠F，
故①正确；
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
∵∠ACF=∠B+∠BAC=∠B+2∠BAE，
∠AEF=∠B+∠BAE，
（∠ACF+∠B）=（2∠B+2∠BAE）=∠AEF，
故②正确；
∠F=∠DAE=90°-∠AED=90°-（∠B+∠BAE）=90°-∠B-
=，
故③错误；
∵∠AGH+∠GAE=∠AEC+∠DAE=90°，
∴∠AGH=∠AED，
∴∠AGH=∠B+∠BAE，
∵∠BAE=∠CAE，
∴∠AGH=∠CAE+∠B，
故D正确.
故答案为：C.
【分析】利用角平分线的概念和三角形内角和定理作答即可.
10．如图，在中，点，，分别为，，上的中点，已知的面积为16，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵点是的中点，
∴是三角形中线，
∴，
又∵，
∴，
∵点是的中点，同理，
∴，，
∵点是的中点，
∴，
∵阴影部分面积为，
∴阴影部分面积．
故选：B．
【分析】本题主要考查三角形中线的性质，从大三角形开始，利用”三角形中线将三角形分成面积相等的两部分，依次通过中线（D、E、F是中点）将面积平分，逐步计算阴影部分面积.
二、填空题
11．如图，在中，是高，是的平分线，，，则的度数是　 　．
【答案】38
【知识点】三角形内角和定理；三角形的高；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：是高，
，
，
，
，
，
是的平分线，
，
，
故答案为：38．
【分析】先根据高的定义和三角形的内角和定理求出∠BAD，进而求出∠BAE，再利用角平分线的定义求出∠BAC，最后根据三角形的内角和定理求出即可.
12．若一个三角形的三边长是3，10，，则化简　 　．
【答案】13
【知识点】整式的加减运算；三角形三边关系；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：∵一个三角形的三边长是3，10，，
∴10－3＜x＜10＋3，
∴7＜x＜13，
∴x－4＞0，x－17＜0，
∴
＝x－4＋17－x
＝13，
故答案为：13．
【分析】先根据三角形三边关系求出x的取值范围，再去化简绝对值，合并同类项化简即可．
13．如图，将与叠在一起，点恰好落在上，，，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵中，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：148°
【分析】在中，，则∠B=58°，由AB∥CE，得∠，则
14．如图，在中，点O为三角形的重心，D为中点，若的面积为24，则的面积是　 　．
【答案】4
【知识点】三角形的重心及应用；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：如图所示，延长，交于点E，
∵点O是的重心，
∴是的中线，
∴，
∴，
即，
同理，．
∵，
∴．
∵D是的中点，
∴．
故答案为：4．
【分析】延长，交于点E，先利用重心的性质求出是的中线，可得，再利用等量代换求出，再结合D是的中点，最后求出即可．
三、解答题
15．如图，是的角平分线．
（1）若，，则边的长度的取值范围是 ；
（2）若，，求和的度数．
【答案】（1）
（2）解：，，
，
平分，
，
，
．
答：，．
【知识点】三角形三边关系；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】（1）解：根据三角形三边关系，在中，，
，，
，即．
答：．
【分析】（1）根据三角形三边关系即可求出答案.
（2）根据三角形外角性质可得∠BAD，再根据角平分线定义可得∠BAC，再根据三角形外角性质即可求出答案.
（1）解：根据三角形三边关系，在中，，
，，
，即．
答：．
（2）解：，，
，
平分，
，
，
．
答：，．
16．如图，在中，是边上的高，是的平分线．
（1）若，，求的度数；
（2）若，，则　 　．（用含、的式子表示）
【答案】（1）解：∵且，，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵是边上的高，
∴，
在中，且，，
∴，
∴，
∴的度数 为.
（2）
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；三角形的高；三角形的角平分线
【解析】【解答】（2）解：∵且，，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵是边上的高，
∴，
在中，且，，
∴，
∴，
∴的度数为.
故答案为：.
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线定义得，可求出的度数，由是边上的高得，在中，求出，最后由便可求出的度数.
（2）根据三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线定义得，可求出，由是边上的高得，在中，求出，最后由便可求出的度数.
17．如图，在中，是的高，是的角平分线，已知，．
（1）的大小．
（2）若是的中线，且，面积为40，求的长度．
【答案】（1）解：，，
，
是的角平分线，
，
是的高，
，
，
．
（2）解：∵是的中线，且，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；利用三角形的中线求面积
【解析】【分析】（1）由三角形内角和定理可得，由是的角平分线可得，由是的高得到，从而得到，即可求解；
（2）由是的中线可得，根据面积为40可得，即可求解．
（1）解：，，
，
是的角平分线，
，
是的高，
，
，
．
（2）解：∵是的中线，且，
∴，
∵，
∴．
18．【教材呈现】下面是八年级上册数学课本关于三边关系的一道题目：
填空：
如图，由三角形两边的和大于第三边，得：______，______．
将不等式左边、右边分别相加，得______，即______．
（1）补全上面步骤；
【类比猜想】
（2）如图，请你仿照上述解题过程，探究当点与点重合时，与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1），，，；
（2）如图，理由如下：
由三角形三边关系定理得到：，，，
，
．
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：如图，由三角形两边的和大于第三边，得：，．
将不等式左边、右边分别相加，得，即，
故答案为：，，，；
【分析】（1）根据三角形三边关系即可求出答案.
（2）根据三角形三边关系即可求出答案.
19．如图，，，分别是的高线，角平分线和中线，
（1）下列结论：①，②，③，④与互余，其中错误的是　 　（只填序号）．
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）①；（2）．
（1）①
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
【知识点】三角形内角和定理；三角形的中线；三角形的高；三角形的角平分线；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：（1）∵，，分别是的高线，角平分线，中线，∴ ， ，，
而不一定成立，故①不正确，②正确；
∴，
∴，即与互余，④正确；
∴，，
∴，③正确；
综上所述，错误的是：①；
故答案为：①.
【分析】（1）根据三角形角平分线的定义可得出 ②正确， ①，不一定正确 ；根据中线的性质可得出 ③；根据高线的定义可得出∠ADC=90°，进而得出 ④与互余，综上即可得出答案；
（2）首先根据三角形的内角和求出∠BAC，进而根据高线的定义及角平分线的定义可得出，，进而得出。
20．引入概念1：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
引入概念2：从不等边三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．若分成的两个小三角形中一个是满足有两个角相等的三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
【理解概念】：
（1）如图1，在中，，，请判断与 （填“是”或“否”） 为“等角三角形”．
（2）如图2，在中，为角平分线，，．
请你说明是的等角分割线．
【应用概念】：
（3）在中，若，是的等角分割线，请你直接写出所有可能的度数．
【答案】（1）是；
（2）证明：在中，，，
，
为角平分线，
，
，，
，
在中，，，
，
，
，，，，
为的等角分割线；
（3）；；；
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；三角形的角平分线；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：在中，，，
∴，，，
∴与两个三角形的三个角分别相等，
∴与是“等角三角形”；
故答案为：是；
（3）解：当是等腰三角形，如图2，时，，
，
；
此时与是“等角三角形”，
∴是的等角分割线；
当是等腰三角形，如图3，时，
∵，
∴，
当时，，
此时与是“等角三角形”，
∴是的等角分割线；
当是等腰三角形，时，
∵，
∴，，
∴，
若与是“等角三角形”，则，此时，，不符合题意，
当是等腰三角形，如图4，时，，
∵与是“等角三角形”
∴，
，
，
当是等腰三角形，如图5，时，，
∵与是“等角三角形”
∴，，
设，
则，
则，
∵
∴，
解得，
，
当是等腰三角形，如图5，时，，
∵与是“等角三角形”，而
∴，不合题意，
综上，的度数为；；；．
【分析】（1）根据“等角三角形”的定义，判断三角形的三个角是否相等即可求解；
（2）先根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线可得，再根据“ 等角分割线 ”的定义证明；
（3）分是等腰三角形，、和是等腰三角形，、四种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求解计算即可．
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