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苏科版数学八年级上册1.3全等三角形的判定同步练习
一、选择题
1．数学来源于生活，又服务于生活．以下四幅图中用数学原理解释正确的是(　　)
A．图1，弯曲河道改直是利用了垂线段最短
B．图2，人字梯中间一般会设计一根“拉杆”是利用了三角形的稳定性
C．图3，体育课测量跳远的成绩是利用了两点之间线段最短
D．图4，一块三角形模具打碎为三块，只带编号为③的那一块碎片到商店，就能配一块与原来一样的三角形模具是利用了三角形全等的判定方法SAS
2．人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（　　）
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
C．两直线平行，内错角相等 D．三角形具有稳定性
3．沙燕风筝以深厚的文化底蕴、高超的制作技艺著称，已被列入国家级非遗名录．在如图所示的“风筝”骨架图案中，若，则添加如下的一个条件仍不能证明的是（　　）
A． B． C． D．
4．在课堂上，陈老师发给每人一张印有Rt△ABC（如图①)的卡片，然后要求同学们画一个Rt△A'B'C'，使得Rt△A'B'C'≌Rt△ABC.小赵和小刘同学先画出了∠MBN=90°之后，后续画图的主要过程分别如图②所示.
对这两种画法的描述正确的是（　　)
A．小刘同学作图判定 的依据是ASA
B．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的是线段A'C'
C．小赵同学作图判定 的依据是 HL
D．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的是线段B'C'
5．如图，为了测量B点到目标A之间的距离，在与B点同侧的河岸上选择了一点C，测得，，然后在M处立了标杆，使，，测得的长是15米，的长是30米，的长是25米，则A，B两点间的距离为（　　）
A．10米 B．25米 C．15米 D．30米
6．如图是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是(　　)
A．已知两边及夹角 B．已知两角及夹边
C．已知三边 D．已知两边及一边对角
7．如图，四点在一条直线上，，，再添一个条件仍不能证明的是（　　）
A． B． C． D．
8．在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，AD为∠CAF的角平分线，BD=CD，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CE=AB+AE；③∠BDC=∠BAC；④∠DAF=∠CBD.其中正确结论的序号有（　　）
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
10．如图，在中，，，点D在边上，，点E，F在线段上，，，若的面积为18，则与的面积之和为（　　）
A．6 B．9 C．12 D．16
二、填空题
11．如图，在的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，则　 　．
12．添加辅助线有时候可以将复杂的问题变简单，如图1，在中，，是高，E是外一点，，，若，，，求的面积，小莉思考后认为可以这样添加辅助线：如图2，在上截取，连接根据小莉的提示，聪明的你可以求得的面积为　 　．
13．如图，在中，、两点分别在、边上，且，现增加一个条件，使得一定成立，则该条件可以是下列中的　 　．
①；②；③；④．
14．如图，，，，，则的度数等于　 　．
三、证明题
15．如图，点在同一条直线上，，，．求证：．
16．如图，，，，垂足分别为，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
17．如图， 点E 和点 F在线段BC上，
（1）求证：AE=DF；
（2）若BC=16，EF=6，求BE的长.
18． 如图，A 为 BE 上一点，D 为 AF 上一点，C 为 ED 延长线上的一点，，，.
（1） 证明：；
（2）若 ，，求 的度数.
19．如图，在中，，，垂足为，点在上，找出图中的全等三角形，并任选其中一对进行证明．
四、解答题
20． 如图， BE、CD 相交于点O， 延长DB， EC 相交于点A， AB=AC， BD=CE.
（1） 求证： △ACD≌△ABE；
（2） 若∠A=20°， ∠D=30°， 求∠DOE的度数.
21．图1是一个平分角的仪器，其中．
（1）如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边上，沿画一条射线，交于点P．是的平分线吗？请判断并说明理由．
（2）如图3，在（1）的条件下，过点P作上于点Q，若，的面积是60，求的长．
22．如图，学校位于河的南岸点A处，在河的对岸点A的正北方向点B处有一建筑物，李老师带领同学们测量学校点A与建筑物点B之间的距离．
测量学校点A与建筑物点B之间的距离
测量工具 测量角度的仪器、皮尺等
测量小组 第一小组 第二小组
测量方案示意图
设计方案及测量数据 如图1，在点A的正西方取点C，延长至点D，使，在点D的正南方取点E，使B，C，E三点共线，连接． 如图2，在的延长线上取点C，在点C 的正东方取点D，使，连接，在延长线上取点E，连接，使得，测得米．
任务一 （1）在第一小组的方案中，测量出线段的长度，就可以得到点A与点B的距离，请说明理由．
任务二 （2）根据第二小组的方案和测量数据，求点A与点B的距离．
23．如图1，在中，，，，.动点从出发，沿边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒．
（1）当时，______（用含的式子表示）；
（2）当且的面积等于面积一半时，求的值；
（3）如图2，在中，，，，.在边有一动点，与点同时从点出发，沿边运动，回到点停止.当时，求点的运动速度．
24．已知，在△ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直线m上，∠BDA=∠AEC=∠BAC.
（1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为　 　，BD，CE与DE的数量关系为　 　.
（2）如图②，当AB不垂直于AC时，（1）中的结论是否成立？请说明理由.
（3）如图③，若只保持∠BDA=∠AEC，BD=EF=7cm，DE=10cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以x cm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）.是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t与x的值；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】两点之间线段最短；垂线段最短及其应用；三角形的稳定性；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A：图1，弯曲河道改直是利用了两点之间，线段最短，错误，不符合题意；
B：图2，人字梯中间一般会设计一根“拉杆”是利用了三角形的稳定性，正确，符合题意；
C：图3，体育课测量跳远的成绩是利用了垂线段最短，错误，不符合题意；
D：图4，一块三角形模具打碎为三块，只带编号为③的那一块碎片到商店，就能配一块与原来一样的三角形模具是利用了三角形全等
的判定方法ASA，错误，不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据图形所运用的数学原理逐项进行判断即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：人字梯加上拉杆后，整体结构形成三角形，而三角形具有稳定性。
故答案为：D
【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用。人字梯两侧与中间拉杆组成三角形结构，三角形的形状不容易发生改变，因此可以增强梯子的稳定性。
3．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、添加，可利用证明，故此选项不符合题意；
B、添加可得，可利用证明，故此选项不符合题意；
C、添加，它们不是对应边的夹角相等，不能证明，故此选项符合题意；
D、添加，由可得，故此选项不符合题意；
故选：C．
【分析】根据全等三角形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-SSS；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】解：A、小刘同学作图判定Rt△A'B'C'≌Rt△ABC的依据的SAS，错误；
B、小刘同学第一步作图是用圆规截取的线段A'B'=AB，错误；
C、小赵同学作图判定Rt△A'B'C'≌Rt△ABC的依据是HL，正确；
D、小赵同学第二步作图是用圆规截取的线段A'C'=AC，错误.
故答案为：C.
【分析】本题主要考查全等三角形的判定方法以及尺规作图的原理.小刘同学先画直角，再在两条直角边上分别截取与原三角形两直角边相等的线段，由此可以判断选项A、B；小赵同学画好直角后，先在一条直角边上截取与原三角形一条直角边相等的线段，再以这条直角边的端点为圆心、以原三角形斜边长为半径画弧，与另一条直角边相交，从而确定第三个顶点，由此可以判断选项C、D.
5．【答案】C
【知识点】全等三角形的实际应用；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】
解：在△ABC和△MBC中：，
∴△ABC≌△MBC(ASA)，
∴米；
故选：C.
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，关键是利用ASA证明△ABC≌△MBC，再根据全等三角形的对应边相等得到AB的长度.
6．【答案】B
【知识点】尺规作图-作三角形
【解析】【解答】解：由图可知，已知线段AB，∠BAC=α，∠ABC=β，即已知三角形的两角及其夹边，
故答案为： B.
【分析】观察图形以及作图痕迹，已知线段AB、α、β，即可得出答案.
7．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即，
、添加与原条件满足，不能证明，该选项符合题意；
、添加可得，由可证明，该选项不合题意；
、添加，由可证明，该选项不合题意；
、添加可得，由可证明，该选项不合题意；
故答案为：
【分析】先根据线段的运算得到，即，进而结合三角形全等的判定对选项逐一分析即可求解。
8．【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A．满足两边对应相等且夹角相等，故剪下的两个三角形全等；不符合题意；
B．满足两边对应相等且夹角相等，故剪下的两个三角形全等；不符合题意；
C．如图：
∵，，
∴，
∵，，
∴根据可知剪下的两个三角形全等；不符合题意；
D．如图：
同理可得：，而，
但两三角形对应边不一定相等，则两个三角形不一定全等，符合题意．
故选：D．
【分析】
对于每个选项，先观察图形中两个三角形的边和角的关系，然后判断是否满足SAS、ASA等全等判定条件。若满足，则两个三角形全等；若不满足，则两个三角形不一定全等。通过对每个选项的逐一分析，最终确定正确答案。
9．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：平分，，，
，
在和中，
，
，故①正确；
，
在和中，
，
，
，
，故②正确；
，
，
设交于O，
，
，故③正确；
，
，
，
，
，
，故④正确；
综上所述，正确的结论有①②③④共4个．
故答案为：D.
【分析】根据角平分线的性质得到，然后根据“”得到和全等判断①，得到，然后得到和全等，即可得到判断②；根据全等三角形对应角相等可得，然后根据三角形的内角和定理得到 ∠BDC=∠BAC 判断③；再根据全等三角形对应角相等可得，得到判断④解答即可．
10．【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；邻补角
【解析】【解答】解：∵CD=2BD
∵，，
，，
在和中，
，
，
，
=6，
故选：A．
【分析】
本题考查了三角形外角的定义及性质、三角形全等的判定与性质、三角形面积计算等知识点，由于CD=2BD，求出，根据AAS，证明根据全等三角形面积相等，得到，推出，即可得到答案．
11．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图，标注字母，
在与中，
，
∴，
∴．
∵由平行线的性质可得，
∴．
故答案为：．
【分析】
观察到在△ABC与△EDF中，有一组边相等BC=DF，一组直角相等∠ABC=∠EDF=90°，还有一组边相等AB=DE，根据全等三角形判定定理“边角边”（SAS），可以证明△ABC △EDF，进而根据全等三角形对应角相等的性质可得∠1=∠BAC，再根据平行线的性质可得∠BAC+∠2=180°，通过等量代换，从而求出∠1与∠2的度数和。
12．【答案】4
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵是的高，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：4．
【分析】先通过等量代换推出，再利用“边角边”证明，再通过求出的面积即可．
13．【答案】①②③
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：①、∵，，
∴，
又，
∴（SAS），
∴结论符合题意；
②、∵，
∴，
∵∠B=∠B，
∴（SAS），
∴结论符合题意；
③、∵，，，
∴（AAS），
∴结论符合题意；
④、增加添加，不能判定，
∴结论不符合题意．
增加一个条件，使得一定成立，则该条件可以是①②③．
故答案为：①②③．
【分析】①、由线段的和差可得AB=CB，结合已知和图形，用边角边可判断两个三角形全等；
②、由等角对等边可得：AB=CB，结合已知和图形，用边角边可判断两个三角形全等；
③、由已知和图形，用角角边可判断两个三角形全等；
④、增加添加，不能判定两个三角形全等.
14．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解： ∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用三角形内角和定理得到，然后证明，最后根据全等三角形对应角相等即可得到答案.
15．【答案】证明：，
则，即，
在和中，
，
．
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
16．【答案】（1）证明：，，
．
，
，即．
在和中，
．
．
（2）解：，
．
∴在中，
．
，
．
，
．
．

【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）已知AB=AC，根据等腰三角形两底角相等可得；又因为，给等式两边同时减去，即可得到。结合已知AB=AC、AD=AE，可通过边角边判定定理证明，即可得到对应边BD=CE，完成结论证明；
（2）已知，结合第一问，可得。由AB=AC，结合三角形内角和，可算出=70°，再根据全等三角形对应角相等，得到。又因为AD=AE，可得=，即可算出的度数，最后通过-得到的度数.
（1）证明：，，
．
，
，即．
在和中，
．
．
（2）解：，
．
∴在中，
．
，
．
，
．
．
17．【答案】（1）证明： ∵AB∥CD
∵ ∠B=∠C
∵在△AEB与△DFC中
∴△ABE≌△DCF(ASA)
∴ AE= DF
（2）解： ∵△ABE≌△DCF
∴BE=CF
∴BE-EF=CF-EF
∴BF=CE
当BC=16， EF=6时，
所以BE=BF+EF =11
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】(1)由平行的性质得∠B=∠C，结合已知条件可得△ABE≌△DCF，即可得AE=DF；
(2)由全等的性质知BE=CF，即得BF=CE，由此可得BE的长.
18．【答案】（1）证明：∵，
∴，
在与中，
， ，
∴
∴；
（2）解：连接AC，
∵， ，
∴，
在与中，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】(1)通过证明△ABF≌△ADE，得出对应边相等从而证明BF=DE；
(2)先利用已知条件和(1)的结论得出线段相等关系，再证明△ABC≌△ADC，结合三角形内角和等知识求出∠BCE的度数.
19．【答案】解：图中的全等三角形有：，，；
∵，，
∴D是的中点，，，
∵，，
∴。
【知识点】三角形全等的判定；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】结合条件和图中信息，可以找出图中的全等三角形有，，；结合条件可以利用证得；根据（，，）证得；根据（，，，）证得．
20．【答案】（1）证明：∵AB=AC， BD=CE，
∴AB+BD=AC+CE，
即AD=AE ，
在△ACD和△ABE中，
∴△ACD≌△ABE (SAS)
（2）解：由(1)得△ACD≌△ABE，
∴∠E=∠D=30°，
∵∠A=20°，
∴∠DCE=∠A+∠D=50°，
∴∠DOE=∠DCE+∠E=80°
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）先得到，然后利用“”得到两三角形全等即可；
（2）利用全等三角形的对应角相等得到∠E=∠D=30°，然后根据角的和差解答即可．
21．【答案】（1）解：是的平分线
理由如下：在和中，，
∴
∴，
∴平分．
（2）解： ∵平分，，
∴的高等于，
∵．
∴，
∵
∴．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理可得，则，根据角平分线判定定理即可求出答案.
（2）根据角平分线性质可得，再根据三角形面积即可求出答案.
22．【答案】解：（1）理由如下：由作图知，（对顶角），
∵在点A的正西方取点C，延长至点D，使，在点D的正南方取点E，
∴．
∴，
∴．
（2）在和中，
∵，，（对顶角），
∴，
∴，
∴，
∵米，
∴米．
【知识点】三角形全等的判定-ASA；线段的和、差、倍、分的简单计算；对顶角及其性质；方位角；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）根据对顶角的性质得到，根据方位角的定义得到，再利用证明，再根据全等三角形的性质可得，解答即可；
（2）根据对顶角的性质得到，再利用证明，再根据全等三角形的性质可得，然后根据线段差计算得到，解答即可．
23．【答案】（1）
（2）
（3）或
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形全等及其性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
24．【答案】（1）BD=AE；BD+CE=DE
（2）解：成立，BD+CE=DE，理由如下：
同（1）得：△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE，CE=AD，
∵AE+AD=DE，
∴BD+CE=DE；
（3）解：存在，理由如下：
当△DAB≌△ECA时，AD=CE，BD=AE=7cm，
∵AD+AE=DE=10cm，
∴CE=AD=DE-AE=3cm，
∴t==，
∴x=3÷=2；
当△DAB≌△EAC时，
∴AD=AE=DE=5cm，DB=EC=7cm，
∴t==，x=7÷=，
综上所述，存在x，使得△ABD与△EAC全等，t=，x=2或t=，x=．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：(1)∵∠BDA=∠AEC=∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD，
∵∠BDA=∠AEC，AB=CA
∴△ABD≌△CAE(AAS)，
∴BD=AE，AD=CE，
∵AE+AD=DE，
∴BD+CE=DE，
故答案为：BD=AE，BD+CE=DE.
【分析】(1)由平角的定义和三角形内角和定理得∠CAE=∠ABD，再由AAS证明△ABD≌△CAE，得BD=AE，AD=CE，即可解决问题；
(2)同(1)得△ABD≌△CAE，得BD=AE，AD=CE，即可得出结论；
(3)分△DAB≌△ECA或△DAB≌△EAC两种情形，分别根据全等三角形的性质求出的值，即可解决问题.
1 / 1苏科版数学八年级上册1.3全等三角形的判定同步练习
一、选择题
1．数学来源于生活，又服务于生活．以下四幅图中用数学原理解释正确的是(　　)
A．图1，弯曲河道改直是利用了垂线段最短
B．图2，人字梯中间一般会设计一根“拉杆”是利用了三角形的稳定性
C．图3，体育课测量跳远的成绩是利用了两点之间线段最短
D．图4，一块三角形模具打碎为三块，只带编号为③的那一块碎片到商店，就能配一块与原来一样的三角形模具是利用了三角形全等的判定方法SAS
【答案】B
【知识点】两点之间线段最短；垂线段最短及其应用；三角形的稳定性；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A：图1，弯曲河道改直是利用了两点之间，线段最短，错误，不符合题意；
B：图2，人字梯中间一般会设计一根“拉杆”是利用了三角形的稳定性，正确，符合题意；
C：图3，体育课测量跳远的成绩是利用了垂线段最短，错误，不符合题意；
D：图4，一块三角形模具打碎为三块，只带编号为③的那一块碎片到商店，就能配一块与原来一样的三角形模具是利用了三角形全等
的判定方法ASA，错误，不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据图形所运用的数学原理逐项进行判断即可求出答案.
2．人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（　　）
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
C．两直线平行，内错角相等 D．三角形具有稳定性
【答案】D
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：人字梯加上拉杆后，整体结构形成三角形，而三角形具有稳定性。
故答案为：D
【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用。人字梯两侧与中间拉杆组成三角形结构，三角形的形状不容易发生改变，因此可以增强梯子的稳定性。
3．沙燕风筝以深厚的文化底蕴、高超的制作技艺著称，已被列入国家级非遗名录．在如图所示的“风筝”骨架图案中，若，则添加如下的一个条件仍不能证明的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、添加，可利用证明，故此选项不符合题意；
B、添加可得，可利用证明，故此选项不符合题意；
C、添加，它们不是对应边的夹角相等，不能证明，故此选项符合题意；
D、添加，由可得，故此选项不符合题意；
故选：C．
【分析】根据全等三角形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
4．在课堂上，陈老师发给每人一张印有Rt△ABC（如图①)的卡片，然后要求同学们画一个Rt△A'B'C'，使得Rt△A'B'C'≌Rt△ABC.小赵和小刘同学先画出了∠MBN=90°之后，后续画图的主要过程分别如图②所示.
对这两种画法的描述正确的是（　　)
A．小刘同学作图判定 的依据是ASA
B．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的是线段A'C'
C．小赵同学作图判定 的依据是 HL
D．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的是线段B'C'
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-SSS；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】解：A、小刘同学作图判定Rt△A'B'C'≌Rt△ABC的依据的SAS，错误；
B、小刘同学第一步作图是用圆规截取的线段A'B'=AB，错误；
C、小赵同学作图判定Rt△A'B'C'≌Rt△ABC的依据是HL，正确；
D、小赵同学第二步作图是用圆规截取的线段A'C'=AC，错误.
故答案为：C.
【分析】本题主要考查全等三角形的判定方法以及尺规作图的原理.小刘同学先画直角，再在两条直角边上分别截取与原三角形两直角边相等的线段，由此可以判断选项A、B；小赵同学画好直角后，先在一条直角边上截取与原三角形一条直角边相等的线段，再以这条直角边的端点为圆心、以原三角形斜边长为半径画弧，与另一条直角边相交，从而确定第三个顶点，由此可以判断选项C、D.
5．如图，为了测量B点到目标A之间的距离，在与B点同侧的河岸上选择了一点C，测得，，然后在M处立了标杆，使，，测得的长是15米，的长是30米，的长是25米，则A，B两点间的距离为（　　）
A．10米 B．25米 C．15米 D．30米
【答案】C
【知识点】全等三角形的实际应用；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】
解：在△ABC和△MBC中：，
∴△ABC≌△MBC(ASA)，
∴米；
故选：C.
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，关键是利用ASA证明△ABC≌△MBC，再根据全等三角形的对应边相等得到AB的长度.
6．如图是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是(　　)
A．已知两边及夹角 B．已知两角及夹边
C．已知三边 D．已知两边及一边对角
【答案】B
【知识点】尺规作图-作三角形
【解析】【解答】解：由图可知，已知线段AB，∠BAC=α，∠ABC=β，即已知三角形的两角及其夹边，
故答案为： B.
【分析】观察图形以及作图痕迹，已知线段AB、α、β，即可得出答案.
7．如图，四点在一条直线上，，，再添一个条件仍不能证明的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即，
、添加与原条件满足，不能证明，该选项符合题意；
、添加可得，由可证明，该选项不合题意；
、添加，由可证明，该选项不合题意；
、添加可得，由可证明，该选项不合题意；
故答案为：
【分析】先根据线段的运算得到，即，进而结合三角形全等的判定对选项逐一分析即可求解。
8．在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A．满足两边对应相等且夹角相等，故剪下的两个三角形全等；不符合题意；
B．满足两边对应相等且夹角相等，故剪下的两个三角形全等；不符合题意；
C．如图：
∵，，
∴，
∵，，
∴根据可知剪下的两个三角形全等；不符合题意；
D．如图：
同理可得：，而，
但两三角形对应边不一定相等，则两个三角形不一定全等，符合题意．
故选：D．
【分析】
对于每个选项，先观察图形中两个三角形的边和角的关系，然后判断是否满足SAS、ASA等全等判定条件。若满足，则两个三角形全等；若不满足，则两个三角形不一定全等。通过对每个选项的逐一分析，最终确定正确答案。
9．如图，AD为∠CAF的角平分线，BD=CD，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CE=AB+AE；③∠BDC=∠BAC；④∠DAF=∠CBD.其中正确结论的序号有（　　）
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：平分，，，
，
在和中，
，
，故①正确；
，
在和中，
，
，
，
，故②正确；
，
，
设交于O，
，
，故③正确；
，
，
，
，
，
，故④正确；
综上所述，正确的结论有①②③④共4个．
故答案为：D.
【分析】根据角平分线的性质得到，然后根据“”得到和全等判断①，得到，然后得到和全等，即可得到判断②；根据全等三角形对应角相等可得，然后根据三角形的内角和定理得到 ∠BDC=∠BAC 判断③；再根据全等三角形对应角相等可得，得到判断④解答即可．
10．如图，在中，，，点D在边上，，点E，F在线段上，，，若的面积为18，则与的面积之和为（　　）
A．6 B．9 C．12 D．16
【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；邻补角
【解析】【解答】解：∵CD=2BD
∵，，
，，
在和中，
，
，
，
=6，
故选：A．
【分析】
本题考查了三角形外角的定义及性质、三角形全等的判定与性质、三角形面积计算等知识点，由于CD=2BD，求出，根据AAS，证明根据全等三角形面积相等，得到，推出，即可得到答案．
二、填空题
11．如图，在的正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图，标注字母，
在与中，
，
∴，
∴．
∵由平行线的性质可得，
∴．
故答案为：．
【分析】
观察到在△ABC与△EDF中，有一组边相等BC=DF，一组直角相等∠ABC=∠EDF=90°，还有一组边相等AB=DE，根据全等三角形判定定理“边角边”（SAS），可以证明△ABC △EDF，进而根据全等三角形对应角相等的性质可得∠1=∠BAC，再根据平行线的性质可得∠BAC+∠2=180°，通过等量代换，从而求出∠1与∠2的度数和。
12．添加辅助线有时候可以将复杂的问题变简单，如图1，在中，，是高，E是外一点，，，若，，，求的面积，小莉思考后认为可以这样添加辅助线：如图2，在上截取，连接根据小莉的提示，聪明的你可以求得的面积为　 　．
【答案】4
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵是的高，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：4．
【分析】先通过等量代换推出，再利用“边角边”证明，再通过求出的面积即可．
13．如图，在中，、两点分别在、边上，且，现增加一个条件，使得一定成立，则该条件可以是下列中的　 　．
①；②；③；④．
【答案】①②③
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：①、∵，，
∴，
又，
∴（SAS），
∴结论符合题意；
②、∵，
∴，
∵∠B=∠B，
∴（SAS），
∴结论符合题意；
③、∵，，，
∴（AAS），
∴结论符合题意；
④、增加添加，不能判定，
∴结论不符合题意．
增加一个条件，使得一定成立，则该条件可以是①②③．
故答案为：①②③．
【分析】①、由线段的和差可得AB=CB，结合已知和图形，用边角边可判断两个三角形全等；
②、由等角对等边可得：AB=CB，结合已知和图形，用边角边可判断两个三角形全等；
③、由已知和图形，用角角边可判断两个三角形全等；
④、增加添加，不能判定两个三角形全等.
14．如图，，，，，则的度数等于　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解： ∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用三角形内角和定理得到，然后证明，最后根据全等三角形对应角相等即可得到答案.
三、证明题
15．如图，点在同一条直线上，，，．求证：．
【答案】证明：，
则，即，
在和中，
，
．
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
16．如图，，，，垂足分别为，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：，，
．
，
，即．
在和中，
．
．
（2）解：，
．
∴在中，
．
，
．
，
．
．

【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）已知AB=AC，根据等腰三角形两底角相等可得；又因为，给等式两边同时减去，即可得到。结合已知AB=AC、AD=AE，可通过边角边判定定理证明，即可得到对应边BD=CE，完成结论证明；
（2）已知，结合第一问，可得。由AB=AC，结合三角形内角和，可算出=70°，再根据全等三角形对应角相等，得到。又因为AD=AE，可得=，即可算出的度数，最后通过-得到的度数.
（1）证明：，，
．
，
，即．
在和中，
．
．
（2）解：，
．
∴在中，
．
，
．
，
．
．
17．如图， 点E 和点 F在线段BC上，
（1）求证：AE=DF；
（2）若BC=16，EF=6，求BE的长.
【答案】（1）证明： ∵AB∥CD
∵ ∠B=∠C
∵在△AEB与△DFC中
∴△ABE≌△DCF(ASA)
∴ AE= DF
（2）解： ∵△ABE≌△DCF
∴BE=CF
∴BE-EF=CF-EF
∴BF=CE
当BC=16， EF=6时，
所以BE=BF+EF =11
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】(1)由平行的性质得∠B=∠C，结合已知条件可得△ABE≌△DCF，即可得AE=DF；
(2)由全等的性质知BE=CF，即得BF=CE，由此可得BE的长.
18． 如图，A 为 BE 上一点，D 为 AF 上一点，C 为 ED 延长线上的一点，，，.
（1） 证明：；
（2）若 ，，求 的度数.
【答案】（1）证明：∵，
∴，
在与中，
， ，
∴
∴；
（2）解：连接AC，
∵， ，
∴，
在与中，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】(1)通过证明△ABF≌△ADE，得出对应边相等从而证明BF=DE；
(2)先利用已知条件和(1)的结论得出线段相等关系，再证明△ABC≌△ADC，结合三角形内角和等知识求出∠BCE的度数.
19．如图，在中，，，垂足为，点在上，找出图中的全等三角形，并任选其中一对进行证明．
【答案】解：图中的全等三角形有：，，；
∵，，
∴D是的中点，，，
∵，，
∴。
【知识点】三角形全等的判定；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】结合条件和图中信息，可以找出图中的全等三角形有，，；结合条件可以利用证得；根据（，，）证得；根据（，，，）证得．
四、解答题
20． 如图， BE、CD 相交于点O， 延长DB， EC 相交于点A， AB=AC， BD=CE.
（1） 求证： △ACD≌△ABE；
（2） 若∠A=20°， ∠D=30°， 求∠DOE的度数.
【答案】（1）证明：∵AB=AC， BD=CE，
∴AB+BD=AC+CE，
即AD=AE ，
在△ACD和△ABE中，
∴△ACD≌△ABE (SAS)
（2）解：由(1)得△ACD≌△ABE，
∴∠E=∠D=30°，
∵∠A=20°，
∴∠DCE=∠A+∠D=50°，
∴∠DOE=∠DCE+∠E=80°
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）先得到，然后利用“”得到两三角形全等即可；
（2）利用全等三角形的对应角相等得到∠E=∠D=30°，然后根据角的和差解答即可．
21．图1是一个平分角的仪器，其中．
（1）如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边上，沿画一条射线，交于点P．是的平分线吗？请判断并说明理由．
（2）如图3，在（1）的条件下，过点P作上于点Q，若，的面积是60，求的长．
【答案】（1）解：是的平分线
理由如下：在和中，，
∴
∴，
∴平分．
（2）解： ∵平分，，
∴的高等于，
∵．
∴，
∵
∴．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理可得，则，根据角平分线判定定理即可求出答案.
（2）根据角平分线性质可得，再根据三角形面积即可求出答案.
22．如图，学校位于河的南岸点A处，在河的对岸点A的正北方向点B处有一建筑物，李老师带领同学们测量学校点A与建筑物点B之间的距离．
测量学校点A与建筑物点B之间的距离
测量工具 测量角度的仪器、皮尺等
测量小组 第一小组 第二小组
测量方案示意图
设计方案及测量数据 如图1，在点A的正西方取点C，延长至点D，使，在点D的正南方取点E，使B，C，E三点共线，连接． 如图2，在的延长线上取点C，在点C 的正东方取点D，使，连接，在延长线上取点E，连接，使得，测得米．
任务一 （1）在第一小组的方案中，测量出线段的长度，就可以得到点A与点B的距离，请说明理由．
任务二 （2）根据第二小组的方案和测量数据，求点A与点B的距离．
【答案】解：（1）理由如下：由作图知，（对顶角），
∵在点A的正西方取点C，延长至点D，使，在点D的正南方取点E，
∴．
∴，
∴．
（2）在和中，
∵，，（对顶角），
∴，
∴，
∴，
∵米，
∴米．
【知识点】三角形全等的判定-ASA；线段的和、差、倍、分的简单计算；对顶角及其性质；方位角；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）根据对顶角的性质得到，根据方位角的定义得到，再利用证明，再根据全等三角形的性质可得，解答即可；
（2）根据对顶角的性质得到，再利用证明，再根据全等三角形的性质可得，然后根据线段差计算得到，解答即可．
23．如图1，在中，，，，.动点从出发，沿边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒．
（1）当时，______（用含的式子表示）；
（2）当且的面积等于面积一半时，求的值；
（3）如图2，在中，，，，.在边有一动点，与点同时从点出发，沿边运动，回到点停止.当时，求点的运动速度．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形全等及其性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
24．已知，在△ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直线m上，∠BDA=∠AEC=∠BAC.
（1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为　 　，BD，CE与DE的数量关系为　 　.
（2）如图②，当AB不垂直于AC时，（1）中的结论是否成立？请说明理由.
（3）如图③，若只保持∠BDA=∠AEC，BD=EF=7cm，DE=10cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以x cm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）.是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t与x的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）BD=AE；BD+CE=DE
（2）解：成立，BD+CE=DE，理由如下：
同（1）得：△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE，CE=AD，
∵AE+AD=DE，
∴BD+CE=DE；
（3）解：存在，理由如下：
当△DAB≌△ECA时，AD=CE，BD=AE=7cm，
∵AD+AE=DE=10cm，
∴CE=AD=DE-AE=3cm，
∴t==，
∴x=3÷=2；
当△DAB≌△EAC时，
∴AD=AE=DE=5cm，DB=EC=7cm，
∴t==，x=7÷=，
综上所述，存在x，使得△ABD与△EAC全等，t=，x=2或t=，x=．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：(1)∵∠BDA=∠AEC=∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD，
∵∠BDA=∠AEC，AB=CA
∴△ABD≌△CAE(AAS)，
∴BD=AE，AD=CE，
∵AE+AD=DE，
∴BD+CE=DE，
故答案为：BD=AE，BD+CE=DE.
【分析】(1)由平角的定义和三角形内角和定理得∠CAE=∠ABD，再由AAS证明△ABD≌△CAE，得BD=AE，AD=CE，即可解决问题；
(2)同(1)得△ABD≌△CAE，得BD=AE，AD=CE，即可得出结论；
(3)分△DAB≌△ECA或△DAB≌△EAC两种情形，分别根据全等三角形的性质求出的值，即可解决问题.
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