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第二十五章 一元二次方程
25.1 一元二次方程的概念
引言 在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可以增加视觉美感.如果某人体雕像全身长为5m，按照上述比例，雕像腰部以下为多长？
问题导学
设腰部以下长度为 x 米，全身 5 米，腰上长度 5-x
(5-x)÷x = x÷5
整理得：x +5x-25=0
x=3
问题1 如图1，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm.在它的四角各切去一个同样大小的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒(图2).如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm2，那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮？
问题导学
设切去正方形边长 x cm
底面长：100-2x，宽：50-2x
(100-2x)(50-2x)=3600
展开化简：x -75x+350=0
x=5
问题2 要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式(每两支球队之间比赛1场).根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？
问题导学
总场次：7×4=28 场
设球队 x 支，单循环总场次 x (x-1)÷2=28
化简：x -x-56=0
x=8
思考 方程①②③有什么共同点？
　　 x2＋5x－25＝0 ① x2－75x＋350＝0 ②
x2－x－56＝0 ③
　　 一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2.
一元二次方程：
一元二次方程的一般形式：
ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)
小组辩学
追问：分别指出上述三个一元二次方程的二次项、一次项、 常数项、二次项系数、一次项系数.
一元二次方程的解（根）
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值.
小组辩学
将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
只含有一个未知数，未知数最高次数是 2，且等号两边都是整式的方程。
一般形式：ax +bx+c=0（a ≠0）
ax ：二次项，a：二次项系数
bx：一次项，b：一次项系数
c：常数项
小组辩学
2.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,
当 　时，是一元二次方程．
当 　时，是一元一次方程．
1.下列方程：①x2＋y－6＝0； ②x2＋ ＝2；③x2－x－2＝0；
④x2－2＋5x3－6x＝0； ⑤2x2－3x＝2(x2－2)，
其中是一元二次方程的有(　　)
A．1个　　B. 2个　　C．3个　　D．4个
A
k≠1
k=-1
小组辩学
3.已知a是方程 x2+3x－1=0 的一个实数根,求2a2+6a+2026 的值.
由题意：a +3a=1
2a +6a=2 (a +3a)=2×1=2
原式 = 2+2026=2028
检测再学
1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
5x 1=4x 4x =81 4x (x+2)=25 (3x 2)(x+1)=5x 2
方程 5x 1=4x
一般形式：5x 4x 1=0
二次项系数 5，一次项系数 - 4，常数项 - 1
检测再学
1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
5x 1=4x 4x =81 4x (x+2)=25 (3x 2)(x+1)=5x 2
方程 4x =81
一般形式：4x +0x 81=0
二次项系数 4，一次项系数 0，常数项 - 81
检测再学
1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
5x 1=4x 4x =81 4x (x+2)=25 (3x 2)(x+1)=5x 2
方程 4x (x+2)=25
展开 4x +8x=25
一般形式：4x +8x 25=0
二次项系数 4，一次项系数 8，常数项 - 25
检测再学
1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
5x 1=4x 4x =81 4x (x+2)=25 (3x 2)(x+1)=5x 2
方程 (3x 2)(x+1)=5x 2
展开 3x +3x-2x-2=5x-2
3x +x-2=5x-2
一般形式：3x 4x+0=0
二次项系数 3，一次项系数 - 4，常数项 0
2.根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：
(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长；
(2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长；
(3)把长为1m的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长.
检测再学
(1) 设正方形边长 x
4x =25
一般形式：4x 25=0
2.根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：
(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长；
(2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长；
(3)把长为1m的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长.
检测再学
(2) 设长为 x，则宽 x-2
x (x-2)=100
一般形式：x 2x 100=0
2.根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：
(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长；
(2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长；
(3)把长为1m的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长.
检测再学
(3) 设较短段长 x m，较长段 1-x
1x=(1-x) x=1-2x+x
一般形式：x 3x+1=0
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？
2.还有没解决的问题吗？
布置作业
基础题：P4 第1题
拓展题：P4 第5题
中档题：P4 第4题
下 课
Thanks!
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