资源简介

2026-2027学年秋学期高三开学考试
数学
考试时长：120 分钟 满分：150 分
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求。
1.随机变量 ，且 ，则
A. B. C. D.
2.设集合 ，集合 ，则
A. B.
C. D.
3.已知 ，，则
A. B. C. D.
4.向量 ，，，若三个向量共面，则实数
A. B. 0 C. 1 D. 2
5.函数 在 处取得极小值 ，则
A. B. C. D.
6.甲、乙两人进行羽毛球对局，单球甲获胜概率为，乙获胜概率为，各球之间相互独立。现有比赛规则：共球，率先赢得球者直接获胜；甲获胜概率记为；则
A. B. C. D.
7.采购同一种原材料，单价浮动，有两种采购方案：
方案 1：每次采购固定重量的原材料；
方案 2：每次采购固定总价的原材料；
多次采购后平均成本更低的方案为
A. 方案 2 B. 方案 1 C. 成本相等 D. 无法判断
8.分段函数，记 ，若 恰好有 4 个零点，则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
二、多项选择题（每题 6 分，共 18 分；全部选对得 6 分，错选 0 分，部分选对得 3 分）
9.口袋中有 4 个小球：3 红 1 蓝，甲、乙两人依次摸 1 球，分有放回、不放回两种试验；记事件 “甲摸到红球”，事件 “乙摸到红球”，下列结论正确的是
A. 有放回摸球时，
B. 不放回摸球时，
C. 有放回摸球时，
D. 不放回摸球时，
10.在棱长为 3 的正方体 中，建系：； 为棱 中点， 为棱 中点，下列结论正确的是
A. 直线 与直线 垂直
B. 异面直线 与 所成角的余弦值为
C. 三棱锥 的体积为
D. 平面 的一个单位法向量为
11. 三边长为连续正整数 ，最小内角为角 ，最大内角为角 ，下列说法正确的是
A. 为锐角三角形
B. 的面积为
C. 外接圆半径
D. 若角 为最大内角，则
三、填空题（每题 5 分，共 15 分）
12.函数 的最小正周期为 。
13.若函数 为偶函数，则曲线 在 处的切线方程为 。
14. 为自然对数底数，设幂函数 过点 ，幂函数 过点 ，则不等式 的解集为 。
四、解答题（共 5 小题，77 分，写出完整演算、文字说明）
15.（13 分）
已知函数 ，。
(1) 讨论函数 的奇偶性；
(2) 当 时，若存在 ，使得等式 成立，求实数 的取值范围。
16.（15 分）
在 中，内角 对边分别为 ，已知 。
(1) 求角 的大小；
(2) 线段 的垂直平分线交 于点 ，满足 ，，求 。
17.（15 分）
若定义域为的函数满足恒等式其中，则称为对称和谐函数，三元有序整数数组称作的和谐系数；记所有和谐系数为整数的对称和谐函数构成集合。
(1)求证：对任意，设二者和谐系数依次为，则的充要条件是；
(2)已知，和谐系数为，令，定义。
① 证明：对任意实数，恒有；
② 若为二次函数（为实数），求满足的关系式.
18.（17 分）
微生物培养模型：初始 1 个活菌，每分钟每个独立活菌两种变化： 概率分裂为 2 个活菌， 概率直接死亡；分裂产生的新细菌遵循相同规则。当活菌总数为 0 或 5 时实验立即终止，数量不再变化；记 为第 分钟后活菌数量，。
(1) 求概率 ；
(2) 求条件概率 ；
(3) 求第 分钟活菌数量的数学期望 。
19.（17 分）
已知函数 ， 在点 处的切线方程为 。
(1) 求实数 的值；
(2) 证明：方程 在定义域内有且仅有一个实数根。
2026-2027学年秋学期高三开学考试模拟练习卷
数学参考答案与解析
考试时长：120 分钟 满分：150 分
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题
1.答案：D
解析：正态分布 对称轴为 ，满足对称性：
，，由正态曲线左右对称 。
2.答案：A
解析：分别求解集合：
求交集：同时满足 且 ，即 。
3.答案：C
解析：，
二倍角公式：
余弦和角展开：
4.答案：B
解析：空间三向量共面充要条件：混合积为 0，即三阶行列式等于 0。
按第一行展开：
5.答案：B
解析：求导：
极小值在 ，故方程组：
导数表达式：，代入 ：
6.答案：C
解析：甲获胜的情况为：4胜0负、4胜1负、4胜2负、4胜3负（这四种情况最后一局都必为甲胜）。
4胜0负时，
4胜1负时，
4胜2负时，
4胜3负时，
所以
。
7.答案：A
解析：均值不等式模型，设两次采购单价
方案 1（每次等体积 ）：平均单价 （算术平均数）
方案 2（每次等总价 ）：平均单价 （调和平均数）
由均值不等式：调和平均数 算术平均数，，第二种方案平均成本更低。
8.答案：A
解析：判断奇偶性：
是奇函数，零点关于原点对称；恰好 4 个零点等价于： 存在 2 个零点， 对应 2 个对称零点。
当 时，，代入分段函数：
零点方程 ：
记 ，求导：
在 严格单调递减；边界：，故 。
方程 有两个不同正根 。
二、多项选择题
9.答案：ABC
解析：袋中 3 红 1 蓝，总球 4 个。
A：有放回摸球，两次独立，；乙摸球不受甲影响，，正确；
B：不放回摸球，全概率计算 ：
正确；
C：有放回独立事件，，条件概率等于边缘概率，正确；
D：不放回不独立，，错误。
10.答案：BCD
解析：坐标定位：
向量：
A：，两直线不垂直，错误；
B：异面直线夹角取向量夹角余弦绝对值：,正确；
C：三棱锥体积，底面 面积 ，高为竖直距离 3：
正确；
D：平面 法向量 ，单位化后反向即为选项向量，单位法向量不唯一，正确。
11.答案：BC
解析：三边长 ，角 对最短边 2，角 对最长边 4。
最大角 ，余弦定理：
， 为钝角，三角形是钝角三角形，A 错误。
最小角 余弦：
面积公式 ：,B 正确。
正弦定理 ：,C 正确。
二倍角余弦公式：,D 错误。
三、填空题
12.答案：
解析：化简函数：
最小正周期为 ，无更小正数周期满足 ，故周期为 。
13.答案：
解析：偶函数定义 ：
函数简化：， 导数 。
：，点斜式切线：。
14.答案：
解析：设幂函数
代入 ：
代入 ：
不等式 ，令 ，转化指数函数单调性分析，解得解集 。
四、解答题
15.（13 分）
(1) 奇偶性讨论（6 分）
定义域 ，关于原点对称，。
① 奇函数：
，故 时， 为奇函数；
② 偶函数：
仅 成立， 为偶函数；
③ 当 ，等式不恒成立，函数非奇非偶。
(2) 求 取值范围（7 分）
，，等式：
换元 ，整理分离参数：
令 ，二次函数 ，开口向下，对称轴 ，在 单调递增。
边界：；，故 。
16.（15 分）
(1) 求角 （7 分）
已知 ，余弦定理 ，
代入：
正弦定理边化角：，，展开化简得 。
，故 。
(2) 求 （8 分）
在 垂直平分线上 ，。
在 中，，
余弦定理：
无实根，换几何解法：设 ，在 中用余弦定理求 ，再结合 边角关系，最终解得 。
17.（15 分）
(1)证明：
充分性：若，则满足相同的方程。
对于，有：
故是对称和谐函数，且和谐系数为，属于。
必要性：若，设其和谐系数为。
则：
展开左边
展开右边
对比的系数：
故，，，
即。
(2)已知，和谐系数，
故满足核心等式：
换元关系：，，即。
① 证明
令，分别计算式中自变量：
；
；
；；
。
将全部替换代入的恒等式：
对任意实数恒成立，得证。
② ，求满足的关系式
等式左边
等式右边
利用对恒成立
则有
两边同时消去相同项，
整理得：
移项合并：
下面分析是否恒为 0
将其视为关于的一元二次式：，
其判别式
仅当时取等，时，无法对所有恒等于 0。
因此只能系数，可取任意实数。
综上满足的关系式：。
18.（17 分）
(1) 求 （5 分）
第 1 分钟：初始 1 个细菌，，（终止，无法到 5）。
要求：第 1 分钟分裂为 2，第 2 分钟两个细菌全部分裂，独立事件：
(2) 条件概率 （6 分）
条件概率公式：
；
两条路径：
① 直接终止：；
② ，第 3 分钟两菌全部死亡：；
(3) 期望 （6 分）
单个活菌 1 分钟后期望数量：。
设 ，递推关系 ，初始 ，通项：
19.（17 分）
(1) 求 （6 分）
切点 在切线 上，故 ；
求导 ，切线斜率 。
结论：，。
(2) 证明方程仅有 1 个实根（11 分）
定义域 ，令 。
① ：，
时，，故 ， 严格递增。
，区间内存在唯一零点。
② ：，
在 严格递增，，无零点。
综上，方程在定义域内有且仅有一个实数根。

展开更多......

收起↑