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2025-2026学年上海市黄浦区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题
1．下列方程中，是关于的一元二次方程的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．近年来我国芯片技术突飞猛进，某品牌手机自主研发的最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.00000014米，将数据“0.00000014”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，数轴上表示的点可能是（　　）
A．点 B．点 C．点 D．点
5．下列说法正确的是（　　）
A．实数可分为有理数和无理数
B．的平方根是
C．数轴上的点与有理数一一对应
D．无理数与无理数的和一定是无理数
6．有这样一道题目：“已知，求的值．”甲、乙二人的说法如下，则下列判断正确的是（　　）
甲：的值是1；
乙：甲考虑的不全面，还有另一个值．
A．甲说的对，的值就是1
B．乙说的对，的另一个值是2
C．乙说的对，的另一个值是
D．两人都不对，应有3个不同值
二、填空题
7．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是 　　 ．
8．写出的一个有理化因式 　　 ．
9．比较大小： 　　．
10．不等式的解集是　 　．
11．化简：　　 ．
12．如图，点，在数轴上表示的数分别是4，，若，则在数轴上点表示的数为 　　．
13．关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为 　　 ．
14．利用方程可以将无限循环小数化成分数，例如：将化成分数，可以先设，由可知，，所以，解方程得，于是得，仿此方法，用分数表示为 　　．
15．如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为6和24，则图中阴影部分面积为 　　 ．
16．若，化简：　　 ．
17．若、为实数，且，则 　　．
18．对于实数，，定义运算“”： ．例如，因为，所以．若，是一元二次方程的两个根，则　　 ．
三、简答题
19．计算：．
20．计算：．
21．解方程：．
22．用配方法解方程．
四、解答题
23．已知，求的值．
24．已知关于的一元二次方程．
（1）如果方程的根的判别式的值为3，求的值．
（2）如果方程有实数根，求的取值范围．
25．已知甲正方体纸盒的底面积为，乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大，丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的．
（1）求乙正方体纸盒的体积．
（2）求丙正方体纸盒的棱长．
26．任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“行知区间”为，如，所以的行知区间为．
（1）无理数的“行知区间”是 　　 ；
（2）若，求的“行知区间”．
27．高空抛物是一种不文明的行为，会带来很大的社会危害，即使是一个苹果从高处坠落也可能造成严重伤害．
（1）研究表明，忽略空气阻力时，物体自由下落的落地所需时间（单位：和高度（单位：满足公式，其中．假设一个物体从的高处自由下落，如果忽略空气阻力，那么这个物体落到地面大约需要多少秒时间？（结果保留根号）
（2）物体从高空自由落下时由于运动而具有能量，实验表明，当动能超过65焦的物体有可能对无防护的人体造成伤害．已知物体从高空自由落下，物体落地时的动能（单位：焦）可以用物体质量（单位：和初始位置的高度（单位：近似表示，公式为，其中．假设从高度为的空中落下一个质量为的苹果，请问是否可能会对楼下的行人造成伤害（行人身高和空气阻力忽略不计）？请通过计算说明理由．
28．阅读与思考
八（3）班数学兴趣小组的小李同学在解一元二次方程时遇到了这样一个方程．对这个方程进行化简得到：，继续求解时发现解这个方程有些困难，于是思考解这个方程有没有比较简单的方法呢？数学兴趣小组的同学为此展开讨论，有人提出能否将方程进行变形，利用求平方根来求解，于是做了如下尝试： 第一步：令； 第二步：原方程可变形为； 第三步： 完成本题的求解之后，数学小组又用此方法解出了几个类似的方程．经过多次尝试，小组内部进行了反思：该方法的第一步实际上是对方程等号左边的两个多项式取平均值，再通过换元得到一个相对简单的一元二次方程，其本质是求平方根法的推广，不过只有特殊形式的一元二次方程才能运用．
（1）请完成材料中第二步以后的求解过程．
（2）依照材料内容，小赵同学尝试解方程：．他的解法如下：
第一步：令；
第二步：原方程变形为；
接下去，小赵同学遇到了困难，他发现直接模仿该方法并没有使方程变得简单，在换元到第二步后也难以继续往下进行．你能帮助他解决这个困难吗？请优化小赵同学的解题过程，并运用材料中的方法完成该方程的求解．
（3）材料中解法的本质是求平方根法．回顾课本中对求平方根法的归纳：形如的一元二次方程可以通过求平方根来求解．请你结合材料内容，观察并归纳：当一元二次方程可化成形如 　　 的方程时，可用材料中的方法求解．
参考答案
一、选择题
1．．
2．．
3．．
4．．
5．．
6．．
二、填空题
7．．
8．（答案不唯一）．
9．．
10．．
11．．
12．．
13．．
14．．
15．6．
16．．
17．3．
18．204或．
三、简答题
19．解：
．
20．解：
．
21．解：，
，
，
则或，
所以，．
22．解：，
，
，
，
．
四、解答题
23．解：，
，
原式
．
24．解：（1）△，
，
；
（2）由题意得：且△，
且，
且，
的取值范围是：且．
25．解：（1）根据题意可知，甲正方体纸盒的底面积为，
甲正方体纸盒的边长为，
甲正方体纸盒的体积为：，
乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大，
乙正方体纸盒的体积为．
答：乙正方体纸盒的体积为；
（2）丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的，
丙正方体的体积为：，
丙正方体纸盒的棱长为．
26．解：（1），
无理数的“行知区间”是，
故答案为：；
（2），都有意义，
，，
，
当时，，
，
，
的“行知区间”为，
即的“行知区间”为．
27．解：（1）由题意得，当时，，
答：从高空抛物到落地的时间为；
（2）可能会对楼下的行人造成伤害．理由如下：
由题意得，，
，
可能会对楼下的行人造成伤害．
八（3）班数学兴趣小组的小李同学在解一元二次方程时遇到了这样一个方程．对这个方程进行化简得到：，继续求解时发现解这个方程有些困难，于是思考解这个方程有没有比较简单的方法呢？数学兴趣小组的同学为此展开讨论，有人提出能否将方程进行变形，利用求平方根来求解，于是做了如下尝试： 第一步：令； 第二步：原方程可变形为； 第三步： 完成本题的求解之后，数学小组又用此方法解出了几个类似的方程．经过多次尝试，小组内部进行了反思：该方法的第一步实际上是对方程等号左边的两个多项式取平均值，再通过换元得到一个相对简单的一元二次方程，其本质是求平方根法的推广，不过只有特殊形式的一元二次方程才能运用．
28．解：（1）由题意，令，
；
．
．
．
或．
（2）由题意，，
．
设，
．
．
．
．
或．
（3）由题意，当一元二次方程可化成形如的形式时，可用材料中的方法求解．
故答案为：（答案不唯一）．

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