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第一章 二次函数 【期末真题汇编】填空题30道 （含解析）--浙教版数学九年级上册
一、填空题
1．（2026九上·越城期末）实心球是越城区中考体育考试项目之一．某男生训练掷实心球时，实心球行进路线可以看成抛物线的一部分（如图），某次投掷时，实心球从y轴上的点A（0，2）处出手，实心球行进高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系为y=a（x-4）2+4，那么该男生本次投掷可得　 　分．（参考数据：≈1.41）
越城区体育中考评分标准（实心球男）
掷实心（m） 10.0 9.60 9.20 8.80 8.40 8.00 7.60 7.20 7.00 6.80
分值（分） 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
注：掷实心球距离为a（m），当a≥10.0，得10分，当9.60≤a<10，得9分，当9.20≤a<9.60，得8分……依次类推，当a<6.8时，得0分．
2．（2026九上·越城期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为　 　．
3．（2026·永定模拟）如图，直线与抛物线都经过轴上的点，抛物线与轴交于，两点，其对称轴为直线，且，直线与轴交于点（点在点的右侧），则下列命题中正确的　 　．
①，②，③，④．
4．（2026九上·丽水期末）已知二次函数y=（x-1)2+3，则该函数的最小值是　 　。
5．（2026九上·慈溪期末）小明在学习了压强的知识后，知道装有液体的瓶子侧边开一个小孔，液体喷出后的喷射距离与开孔位置有关。设瓶底离液面的距离h，小孔离液面的距离x，则喷射距离L满足关系式： 现有一个瓶子装满水后，瓶底离水面的距离为h=24cm，为使水的喷射距离L 最大，则小孔离液面的距离x应为　 　cm。
6．（2026九上·温州期末）一个球从地面上竖直向上弹起的高度h米与经过的时间t秒的关系式为 当球的高度第一次达到3.75米时，经过的时间t为　 　秒．
7．（2026九上·诸暨期末）已知点（1，y1），（-2，y2）都在函数的图象上，则y1，y2的大小关系是y1　 　y2.（填“>”，“<”或“=”）
8．（2026九上·临平期末）已知点A（x1，y1），B（4，y2）在二次函数的图象上，若则x1的取值范围是　 　.
9．（2026九上·拱墅期末）设二次函数函数y1，y2的图象与x轴的两个交点之间的距离分别为m，n.已知函数y1的最小值是-2，则m　 　n（填“>”“=”“<”中的一个）.
10．（2026九上·拱墅期末）若二次函数的图象过点（1，m），则m=　 　.
11．（2026九上·海曙期末）已知二次函数 的图象如图所示，则当2≤y≤10时，自变量x的取值范围是　 　.
12．（2026·达州自主招生）已知二次函数 及一次函数 ，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数 如图所示 ，当直线 与新图象有4个交点时，m的取值范围是　 　
13．（2026九上·温岭期末）将抛物线向左平移2个单位长度，所得到的抛物线解析式为　 　．
14．（2026九上·临海期末）若二次函数（a，k为常数）与的图象交于点，则关于x 的方程的解为　 　．
15．（2026九上·嘉兴期末）将二次函数 的图象向左平移m(m>0)个单位后经过原点，则m的值为　 　。
16．（2026九上·鄞州期末）已知二次函数. ，当0≤x≤2时，函数的最大值为1，则a的取值范围为　 　.
17．（2026九上·婺城期末）已知抛物线的对称轴为直线，则k的值为　 　.
18．（2026九上·深圳期末）抛物线的顶点坐标是　 　．
19．（2026九上·宁波期末） 二次函数的顶点坐标为　 　.
20．（2026九上·桐乡市期末）已知二次函数，当时，该函数图象与轴有且只有一个交点，则的取值范围是　 　．
21．（2026九上·黄岩期末）已知一元二次方程 的一个根为x=3，抛物线 ≠0)的对称轴为直线x=2，则方程 的另一个根为　 　.
22．（2026九上·金华期末）写出一个图象开口向下的二次函数表达式　 　.
23．（2026九上·金华期末）将抛物线. 先向右平移1个单位长度，再向上平移m个单位长度后，得到的抛物线交y轴于点A （0， 5)， 则m的值为　 　.
24．（2026九上·金华月考） 已知直角三角形两条直角边之和为5，则这个直角三角形的面积的最大值为　 　
25．（2026九上·海曙期末）把二次函数 的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位后，其顶点坐标是　 　.
26．（2026九上·江北期末）已知二次函数. 一次函数 自变量x的部分取值和对应的函数值y如下表所示：
x … 1 2 3 4 …
y … m n m 0 …
下列说法正确的是　 　.(填写序号)
①c=0；②若n>0，当x>2时，y1随x增大而减小；③am<0；④
27．（2026九上·路桥期末）如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度为10m），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，则花圃的最大面积为　 　m2．
28．（2026九上·临平月考）二次函数y=(x-2)2+3的图象的顶点坐标是　 　.
29．（2026九上·椒江期末）已知二次函数 函数值y和自变量x的部分对应值如下表：
x 　 0 1 2 3 　
y 　 m 2 m -2 　
则关于x的一元二次方程的解是　 　.
30．（2026九上·路桥期末）如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度为），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，则花圃的最大面积为　 　．
答案解析部分
1．【答案】9
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：把 A（0，2）代入 y=a（x-4）2+4可得16a+4=2，
解得a=，
∴抛物线的解析式为 y=（x-4）2+4，
当y=0时，（x-4）2+4=0，
解得（舍去），，
∴该同学的的得分为9分，
故答案为：9.
【分析】先把A点坐标代入求出解析式，然后求出抛物线与x轴的交点坐标，然后根据表格数据得到得分即可.
2．【答案】x1=1，x2=-3
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由图可知抛物线与x轴一个交点(1，0)，对称轴为直线x=-1，
∴抛物线与x轴的另一个交点(-3，0)，
∴ 关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为x1=1，x2=-3，
故答案为：x1=1，x2=-3.
【分析】根据图象可得抛物线与x轴一个交点(1，0)，对称轴为直线x=-1，利用对称性求出抛物线与x轴的另一个交点(-3，0)，再根据二次函数与一元二方程的关系解答即可.
3．【答案】③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与一次函数的综合应用；一次函数的实际应用-几何问题；数形结合
【解析】【解答】解：抛物线开口向上，
，
抛物线对称轴是直线，
，
抛物线与y轴交于正半轴，
，
，故①不正确；
，故②不正确；
直线经过一、二、四象限，
．
当时，，
，
，
，
，
点A的坐标为．
当直线的时，，
，
．
，故③正确；
联立得，
整理得，
解得，
由图象知：，
，
，故④正确．
综上，正确的命题有③④．
故答案为：③④．
【分析】
先通过抛物线的开口方向确定a的符号，再结合对称轴位置判断b的符号，以及b和的大小关系；再根据一次函数的图象与性质得到k的取值范围，结合一次函数与二次函数的交点位置判断k和的关系，即可得到最终结论.
4．【答案】3
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，对称轴为，
当时，二次函数有最小值，最小值为；
故答案为：3．
【分析】根据二次函数的性质解答即可.
5．【答案】12
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：由得
L2为x的二次函数，当x=时，L取最大值.
故填：12.
【分析】由题意知L2为x的二次函数，由二次函数的性质知当x=12时取最大值.
6．【答案】0.5
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：据题意得：-5t2+10t=3.75，
整理得：4t2-8t+3=0，
(2t-1)(2t-3)=0，
解得：t=0.5或t=1.5，
∵第一次达到
∴t=0.5
故答案为：0.5.
【分析】根据题意，将高度代入关系式得到方程，解方程求时间t，取较小根即为第一次达到的时间.
7．【答案】<
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，随的增大而减小，
∵，
∴；
故答案为：．
【分析】根据二次函数的增减性解答即可．
8．【答案】
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由点在二次函数上，
代入，得，
由，得，即，
解二次不等式，先求方程的根，
解得或，
由于二次函数开口向上，不等式的解集为，
因此的取值范围是．
故答案为．
【分析】先求出点B函数值，再根据列出关于的不等式，然后结合二次函数的图象性质求出的取值范围即可．
9．【答案】>
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，在平面直角坐标系中作出抛物线y=ax2+bx+c的图象，
根据抛物线与x轴交点的位置即可得到抛物线与x轴交点的距离m，
作直线y=-1，即可得到ax2+bx+c=-1，
可以得到方程两根据间的距离，即为两交点间的距离n，
由图象可得m>n，
故答案为：>.
【分析】根据图象得到抛物线与x轴的交点位置，以及抛物线与y=-1的交点位置，然后根据图象得到m和n大小关系解答即可.
10．【答案】-2
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题知，
将点(1，m)代入 得，
故答案为：-2.
【分析】根据题意，将点(1，m)代入函数解析式进行计算即可.
11．【答案】0≤x≤1或3≤x≤5
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：将点(1，2)，(5，10)代入解析式得
解得b=-4，c=5
∴二次函数解析式为
令y=2得
解得x1=1，x2=3
令y=10得
解得x1=5，x2=-1(舍)
由二次函数图象性质可知，当 2≤y≤10时，自变量x的取值范围是0≤x≤1或3≤x≤5
故答案为：0≤x≤1或3≤x≤5 .
【分析】首先由待定系数法求出函数解析式，再求出函数值为2，10时的自变量值(舍去负值)，结合图象性质即可求解。
12．【答案】-2＜m＜-6
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：令y=-x2+x+6中y=0，得x=-2或x=3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（-2，0）、（3，0）.
∵将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，
∴此时的函数解析式为y=(x+2)(x-3)，即y=x2-x-6.
当直线y=-x+m经过点（-2，0）时，有0=2+m，
解得m=-2.
当直线y=-x+m与y=x2-x-6有唯一公共点时，x2-x-6=-x+m，即x2-6-m=0，
此时有-4(-m-6)=0，
解得m=-6，
∴-2故答案为：-2【分析】首先求出抛物线与x轴的交点坐标，得出将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方对应的函数解析式，求出直线y=-x+m经过点（-2，0）以及直线y=-x+m与y=x2-x-6有唯一公共点时，对应的m的值，据此可得m的范围.
13．【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：原抛物线解析式为，向左平移2个单位长度，将x替换为，得．
故答案为：．
【分析】根据函数y=a(x-h)2+k图象平移规则“左移加变h，右移减变k”可直接得出答案.
14．【答案】
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵二次函数与的图象交于点，
∴且，
两式相减得，
∵，
∴，
即，
解得，
∵方程的解是函数的图象与直线交点的横坐标，已知一个交点为，
且二次函数的对称轴为直线，
∴点关于二次函数对称轴的对称点为，
∴另一个交点为．
故方程的解为．
故答案为：．
【分析】将点(m，1)分别代入两函数解析式，再将两解析式相减可求出m=，即两函数交点坐标为（，1）；从图象角度看，方程的解即为二次函数的图象与直线交点的横坐标，根据二次函数的对称性求得 点关于二次函数y=a(x-2)2+k的对称轴的对称点为， 从而即可得出答案.
15．【答案】3
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将二次函数y=(x-1)2-4的图象向左平移m个单位后，新函数解析式为y=(x+m-1)2-4
由于图象经过原点，代入点(0，0)得：0=(0+m-1)2-4
即(m-1)2-4=0
整理得(m-1)2=4
∴m=3或m=-1
∵m>0
∴m=3
故答案为：3.
【分析】根据二次函数图象平移规律”左加右减“，得到平移后的函数解析式，再代入原点坐标求解即可.
16．【答案】a≥1
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵二次函数解析式为y=x2-2ax+1，
∴抛物线的对称轴为直线x=a且开口向上.
∵抛物线经过点(0，1)，且当0≤x≤2时，函数的最大值为1，
∴抛物线的对称轴在直线x=1的右侧(包含直线x=1).
∴a≥1.
故答案为：a≥1.
【分析】根据题意，得出抛物线的对称轴为直线x=a且开口向上，再结合当0≤x≤2时，函数的最大值为1得出对称轴的位置即可解决问题.
17．【答案】3
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵抛物线y=(x-k)2-9的对称轴为直线x=3，
∴k的值为3
故答案为：3.
【分析】根据顶点式和二次函数的性质，即可得出答案.
18．【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：抛物线是顶点式的形式，其中，，因此顶点坐标为．
故答案为：
【分析】根据二次函数的顶点式性质即可求出答案.
19．【答案】(-1，-3)
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：二次函数的顶点横坐标为x=-，将x=-1代入得y=-3，故其顶点坐标为(-1，-3).
故答案为：(-1，-3) .
【分析】由二次函数一般式可知其顶点横坐标，代入可得纵坐标，即得其顶点坐标.
20．【答案】或
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题
21．【答案】x=-1
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：抛物线化简为，其对称轴为，代入对称轴得，解得．
对于一元二次方程，设另一根为，根据根与系数的关系，有，解得．
故答案为：．
【分析】由抛物线对称轴条件得出的值，再根据根与系数的关系求另一根即可．
22．【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：二次函数的图象开口向下，
则二次项系数为负，即，
满足条件的二次函数的表达式为．
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】根据二次函数开口向下，二次项系数为负，可据此写出满足条件的函数解析式．
23．【答案】4
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：由题意，平移后的解析式为，
把代入，得，
解得；
故答案为：4．
【分析】根据抛物线平移规则，得出新抛物线方程，再代入点A坐标求解即可．
24．【答案】
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设一条直角边为，则另一条直角边为，
，
，
当时，S取最大值，
即这个直角三角形的面积的最大值为．
故答案为：．
【分析】设一条直角边为，根据三角形的面积公式得到，化为顶点式求出最值解答即可．
25．【答案】(0，1)
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解： 二次函数 的顶点坐标为(1，4)
图象向左平移1个单位，顶点坐标变为(0，4)
再向下平移3个单位，顶点坐标变为(0，1)
故答案为：(0，1) .
【分析】先根据二次函数顶点式确定原函数的顶点坐标，再根据平移规律求出平移后的顶点坐标。
26．【答案】①③④
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：
由题意得 的对称轴为直线x==2，图象过(4，0)，(0， 0)，
故①对；
当n>0时， 的对称轴为直线
当k>0时，
当x>2时，y1先增大后减小，故②不对；
当a<0时，m>0，当a>0时， 故③对；
设y=ax(x-4)，当x=2时，y=-4a，当x=1时，
故④对。
正确的为①③④，
故答案为：①③④ .
【分析】通过二次函数图象的对称性可得x=1和x=3时的函数值相同，确定对称轴，利用对称性从而判断①；利用二次函数的增减性即可判断②；利用图象上点的坐标特征即可判断③；利用交点式得到抛物线y ，即可求得m=-3a，n=-4a，进一步求得n= 即可判断④.
27．【答案】
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图，
设，则，
∵，即，
∴，
∴，
∵二次函数对称轴为，开口向下，
∴当时，随x的增大而减小，
∵，
∴当时，有最大值，最大面积
故答案为：．
【分析】设，则，得到矩形的面积关于x的函数关系式，再根据自变量的取值范围求出最值解答即可．
28．【答案】(2， 3)
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：二次函数是顶点形式，则其图象的顶点坐标为，
故答案为：．
【分析】根据二次函数的顶点式，直接写出顶点坐标即可得到答案．
29．【答案】x1=3， x2=-1
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：根据题意得：点，均在二次函数的图象上，
∴二次函数的对称轴为直线，
根据表格点在二次函数的图象上，
∴点关于直线的对称点是点，
∴关于的一元二次方程的解是，
即关于的一元二次方程的解是．
故答案为：．
【分析】根据二次函数的对称性求解对称轴为直线，求出点关于直线的对称点是点，再进一步作答即可．
30．【答案】
【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图，
设，则，
∵，即，
∴，
∴，
∵二次函数对称轴为，开口向下，
∴当时，随x的增大而减小，
∵，
∴当时，有最大值，最大面积为
故答案为：．
【分析】设，根据矩形的面积公式得到矩形的面积与x的函数关系，再根据自变量的取值范围即可求解．
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