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第一章 二次函数 【期末真题汇编】选择题30道 （含解析）--浙教版数学九年级上册
一、选择题
1．（2026九上·海曙期末）二次函数 图象如图， 则①a+b+c=0； ②4a-2b+c=m； ③a-b+c>m ；④abc<0， 其中正确的是(　　)
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．②③
2．（2026九上·嘉兴期末） 如图， 正方形EFGH的顶点 E， F， G， H分别在正方形 ABCD的四条边上，且AB=a，则正方形 EFGH面积的最小值为（　　）
A． B． C． D．
3．（2026九上·鄞州期末）抛物线 先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，恰好经过点（0，2026)，则a的值是（　　）
A．- 2023 B．2023 C．2026 D．2029
4．（2026九上·金华月考）二次函数 的图象如图所示，则关于x的一元二次方程 的根的情况是 （　　)
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法准确判断
5．（2026九上·海曙期末）二次函数 的图象与x轴的交点个数是(　　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定
6．（2026九上·长兴期末）已知二次函数（为常数）．点在函数图象上，其中，点也在函数图象上，且，对于，都有，则的取值范围是（　　）
A． B．或
C． D．或
7．（2026九上·临海期末）如图，某游乐园里的滑草赛道由坡道和缓冲道组成，小临在坡道上的滑行路程（单位：m）与滑行时间（单位：s）满足函数关系：；在缓冲道上的滑行路程（单位：m）与在缓冲道上的滑行时间（单位：s）满足函数关系：，小临从坡道上滑下，在缓冲道上停止，共用时，则他在坡道上的滑行路程为（　　）
A． B． C． D．
8．（2026九上·临海期末）抛物线的对称轴是直线（　　）
A． B． C． D．
9．（2026九上·嘉兴期末）抛物线. 的对称轴是（　　）
A．直线x=1 B．直线x=-1 C．直线x=3 D．直线x=-3
10．（2026九上·鄞州期末）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（　　）
A． B．y=3x C．y=2x+1 D．
11．（2026九上·婺城期末）如图1，已知，，动点Q在线段AB上由A向B运动，连接PQ，将PQ绕点Q逆时针旋转得QR，连接设，的面积为y，y关于x的函数图象如图2所示，最高点为则m的值为
A．60 B． C．61 D．无法确定
12．（2026九上·婺城期末）将抛物线向下平移3个单位长度后，所得新抛物线的表达式为
A． B． C． D．
13．（2026九上·宁波期末） 二次函数 的自变量 x 与函数值 y 的部分对应值如下表，那么方程 的根是（　　）
x … -3 -2 -1 0 …
y … 0 2 2 …
A． B．，
C．， D．，
14．（2026九上·宁波期末）下列是y关于x的二次函数的是（　　）
A． B． C． D．
15．（2026九上·贵阳期末）将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线是（　　）
A． B．
C． D．
16．（2026九上·金华月考）函数 的图象顶点坐标是 （　　)
A．（-1， - 3) B．（1， 3)
C．（1， - 3) D．（-1， 3)
17．（2026九上·武义期末）k为任意实数，抛物线的顶点总在（　　）
A．直线上 B．直线上 C．x轴上 D．y轴上
18．（2026九上·越城期末）二次函数y=（x+1）（x-3）+k（k为常数）的对称轴为直线（　　）
A．x=-1 B．x=0 C．x=1 D．x=3
19．（2026九上·越城期末）抛物线y=x2的顶点坐标是（　　）
A．（1，0） B．（0，1） C．（0，0） D．（1，1）
20．（2026九上·金华月考）抛物线 开口向上，对称轴为直线 抛物线与x轴的两个交点分别为（x1，0)，（x2， 0) ， 且-1＜x1<0， 1A．c-4b≥0 B．c-4b>0 C．c-4b<0 D．c-4b≤0
21．（2026九上·慈溪期末）将抛物线. 向上平移3个单位后所得抛物线的表达式是 （　　）
A．y=2(x-3)2+1 B．y=2(x+3)2+1 C． D．
22．（2026九上·温岭期末）已知二次函数的部分对应值如下表：关于它的图象，下列判断正确的是（　　）
x … －1 0 1 2 3 …
y … 0 4 6 6 4 …
A．开口向上
B．与y轴交于负半轴
C．与x轴的一个交点是
D．在直线的左侧，y随x的增大而减小
23．（2026九上·温岭期末）抛物线与x轴交于，，则不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．或
24．（2026九上·浙江期末）抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②若方程没有实数根，则；③；④图象上有两点和，若且，则一定有.正确的是（　　）
A．①② B．③④ C．①③ D．②③
25．（2026九上·诸暨期末）已知y关于x的二次函数解析式当-1A．-326．（2026九上·温州期末）抛物线 与y轴交点的坐标是(　　)
A．(-3， 0) B．(1， 0) C．(0， - 3) D．(0， 3)
27．（2026九上·临平期末）关于二次函数下列说法正确的是（　　）
A．抛物线开口向上 B．对称轴是直线x=-2
C．抛物线的顶点坐标是（2，1） D．当x>2时，y随x的增大而增大
28．（2026九上·诸暨期末）关于二次函数的最大值或最小值，下列叙述正确的是（　　）
A．当x=2时，y有最大值4 B．当x=2时，y有最小值4
C．当x=-2时，y有最大值4 D．当x=-2时，y有最小值4
29．（2026九上·温州期末） 已知点 (-3， y1)， (m， y2) 在二次函数的图象上，若 则下列符合要求的m的值是 (　　)
A．– 2 B．– 1 C．1 D．2
30．（2026九上·临平期末）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（　　）.
A．y=2x-3 B． C． D．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c图象过点(-3，0)，对称轴为直线x=-1，二次函数y=ax2+bx+c图象过点(1，0)
∴a+b+c=0.故①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=-1，与y轴的交点为(0，m)，二抛物线过点(-2，m)
∴4a-2b+c=m，故②正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=-1，与y轴的交点为(0，m)，∴函数有最大值a-b+c
∴a-b+c>m，故③正确；
∵抛物线对称轴在y轴的左侧，与y轴的交点在x轴的上方
∴ab>0，c>0
∴abc>0，故④错误.
综上所述，正确的结论序号是：①②③
故答案为：B .
【分析】根据二次函数图象和性质判断各选项即可。
2．【答案】D
【知识点】二次函数的最值；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵四边形EFGH是正方形，四边形ABCD是正方形
∴∠A=∠D=90°，∠EHG=90°，EH=GH
∴∠AHE+∠DHG=∠DGH+∠DHG=90°
∴∠AHE=∠DGH
在△AHE和△DGH中，
∴△AHE≌△DGH(AAS)
∴AH=DG， DH=AE，
∵正方形ABCD的边长AB=a，设AE=x，
∴AD=AB=a，AH=a-x
在直角三角形AEH中，由勾股定理得：
∴，
∴当时，正方形EFGH的面积最小，最小面积为：，
故选：D.
【分析】根据正方形的性质可得EH=GH，∠A=∠D=90°，∠EHG=90°，再证明△AHE≌△DGH(AAS)，求得DH=AE，AH=DG，再设AE=x，则AH=a-x，再利用勾股定理列式求出，即为正方形EFGH的面积，再利用二次函数的最值问题解答即可.
3．【答案】D
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：抛物线y=ax2先向左平移1个单位，再向下平移3个单位后得到y=a(x+1)2-3，
∵经过点(0，2026)
∴2026=a-3
∴a=2029
故答案为：D.
【分析】利用平移的规律求得平移后的抛物线的解析式，然后代入点点(0，2026)求得a的值即可.
4．【答案】A
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数图象的平移变换；数形结合
【解析】【解答】解：由图可得与x轴有两个不同的交点，
则该图象向下平移5个单位长度后，所得新图象的解析式为，与x轴也有两个不同的交点，
有两个不相等的实数根，
故答案为：A.
【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系解答．
5．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：令y=0得
∵a=1，b=-2，c=3
∴
∴ 二次函数 的图象与x轴没有交点。
故答案为：A .
【分析】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的个数可通过判别式△=b2-4ac来判断：当△>0时，函数图象与x轴有两个交点；当△=0时，函数图象与x轴有一个交点；当△<0时，函数图象与x轴没有交点。
6．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵点在函数图象上，且，
∴，
解得；
∵ 函数开口向上，对称轴，
∴到对称轴的距离大，其点对应的函数值也大，
∵，
且，
∴范围内，处取得最大值，
∴；
∵点也在函数图象上，且，
∴，
由恒成立，得，
化简得，即，
解得或，
结合点A存在条件，
∴或；
故答案为：D．
【分析】由题意易得m-3≤1-m，求解得出m≤2；由抛物线解析式可得二次项系数a=1＞0，图象开口向上，由对称轴直线公式得其对称轴直线为，故抛物线上的点到对称轴的距离大，其点对应的函数值也大，据此判断出范围内，处取得最大值，进而表示出此时的最大值y1；将x2=2+2m代入表示出y2，由y1＜y2建立不等式求解得出m的取值范围，进而结合m≤2即可确定出符合题意的m的取值范围.
7．【答案】B
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：由题意得：当函数在对称轴上取得最大值时，小临在缓冲道上停止，此时，
∴，
∴把代入函数得：；
故答案为：B．
【分析】先求出小临在坡道上滑行的时间，易得当函数在对称轴上取得最大值时，小临在缓冲道上停止，此时，然后根据“小临从坡道上滑下，在缓冲道上停止，共用时68s” 求出在缓冲道上滑行的时间，进而代入 进行求解即可．
8．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：抛物线的对称轴是直线，
故答案为：B．
【分析】抛物线y=a(x-h)2+k的对称轴直线为x=h，据此可直接得出答案.
9．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由题意知，抛物线顶点坐标为(-1，-3)，从而其对称轴为直线x=-1，
故选：B.
【分析】根据抛物线函数关系式的顶点式可得其顶点坐标，从而可得抛物线的对称轴.
10．【答案】A
【知识点】一次函数的概念；反比例函数的概念；二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、属于二次函数，故A符合题意；
B、属于一次函数，故B不符合题意；
C、属于一次函数，故C不符合题意；
D、属于反比例函数，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据二次函数的定义“形如y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，a≠0)的函数叫做二次函数”进行判断即可.
11．【答案】B
【知识点】旋转的性质；二次函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：过点P作PC⊥QA的延长线于点C，过点R作RD⊥QB于点C，则∠C=∠RDQ=90°，
∴∠QPC+∠PQC=90°，
∵将PQ绕点Q逆时针旋转90°得QR，
∴∠PQR=90°， PQ=QR，
∴∠RQD+∠PQC=90°
∴∠QPC=∠RQD，
∴△PCQ≌△QDR(AAS)
∴CQ=DR，
∵∠PAB=120°
∴∠PAC=60°
∴∠APC=30°
∵AP=12
∴，
∵AQ=x
∴DR=CQ=x+6
设AB=a，则BQ=a-x，
∴
由图2知，抛物线的对称轴为直线x=5，
∴，
解得a=16，
∴，
当x=5时，，
即m=60.5
故答案为：B.
【分析】过点P作PC⊥QA的延长线于点C，过点R作RD⊥QB于点C，可证△PCQ≌△QDR(AAS)，得到DR=CQ=x+6，设AB=a，则BQ=a-x，可得，利用抛物线的对称轴可得a=16，即得到，最后把x=5代入计算即可求解.
12．【答案】C
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵将抛物线向下平移3个单位，
∴新表达式为y=(x+2)2+1-3，
化简得y=(x+2)2-2，
∴所得新抛物线的表达式为y=(x+2)2-2，
故答案为：C.
【分析】根据平移规则“上加下减”，向下平移直接改变常数项求解即可.
13．【答案】C
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：由表格知当x=-2和x=0时，y=2，故二次函数的对称轴为直线x=，
同时当x=-3时，y=0，即抛物线与x轴的一个交点为(-3，0)，与抛物线的另一个交点为(1，0)，
故的根为，.
故答案为：C .
【分析】由表格数据知当x=-2和x=0时，y=2，可得抛物线的对称轴，由抛物线的对称性可得函数与x轴的另一个交点，即可得方程的根.
14．【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：对A选项，y=3x为一次函数，故A不符合题意；
对B选项，为分式，故B不符合题意；
对C选项，为三次函数，故C不符合题意；
对D选项，为二次函数，故D符合题意；
故答案为：D .
【分析】根据二次函数的定义依次判断各选项即可得结果.
15．【答案】B
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线是；
故选B．
【分析】根据函数图象的平移规律：上加下减，左加右减即可求出答案.
16．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：的顶点坐标为，
故答案为：.
【分析】根据抛物线的顶点坐标为解答即可．
17．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵抛物线解析式为，
∴顶点坐标为，
∵为任意实数，
∴顶点坐标满足，
∴顶点总在直线上．
故选：B
【分析】根据抛物线的解析式得到顶点为，然后逐项判断解答即可．
18．【答案】C
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵抛物线的解析式为 y=（x+1）（x-3）+k
∴当y=k时，x=-1或x=3，
∴抛物线过点(-1，k)和(3，k)，
∴抛物线的对称轴为直线x=，
故答案为：C.
【分析】先求出抛物线过点(-1，k)和(3，k)，然后根据对称性求出对称轴解答即可.
19．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²的图象
【解析】【解答】解： 抛物线y=x2的顶点坐标是(0，0)，
故答案为：C.
【分析】根据抛物线y=ax2的顶点坐标是(0，0)解答即可.
20．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵对称轴为直线 ，
∴，
∴，
∵抛物线与轴的两个交点分别为，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴的符号取决于 ，
∵，
∴，
解得，
又，
∴；
设，
可将看作是关于的二次函数，其图象开口向下，对称轴为，
当时，，
∴，
∴．
故答案为：B.
【分析】先根据抛物线的开口方向得到，再根据对称轴公式得到 ，然后根据根与系数的关系得到然后根据二次函数的增减性得到的取值范围解答即可．
21．【答案】C
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：抛物线向上平移3个单位得.
故答案：C.
【分析】直接由二次函数的平移规则"上加下减"，即可得平移后的表达式.
22．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵ 由表可知，点、、在函数图象上，∴
解得
∴ 解析式为，
A、∵，∴ 开口向下，故此选项错误；
B、∵c=4＞0，∴ 与轴交于正半轴，故此选项错误；
C、根据抛物线的对称性可得抛物线与轴的另一个交点为，故此选项正确；
D、∵ 对称轴，且开口向下，∴ 在 时随增大而增大，故此选项错误．
故答案为： C．
【分析】 根据表格数据，利用待定系数法求二次函数解析式， 由抛物线的解析式可知二次项系数a=-1＞0，可得抛物线开口向上，据此可判断A选项；由所求函数解析式中的常数项c=4＞0，可得抛物线与轴交于正半轴，据此可判断B选项；根据抛物线的对称性可判断出抛物线与轴的另一个交点坐标，从而即可判断C选项；利用抛物线的对称轴直线公式求出抛物线的对称轴直线，根据抛物线的增减性即可判断D选项.
23．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】抛物线与x轴交于，，
方程的根为．
又，
抛物线开口向上．
当时，，即．
故不等式解集为，
故答案为：C．
【分析】由抛物线y=ax2+bx+c中a＞0可得抛物线开口向上；从图象角度看求不等式ax2+bx+c＜0的解集，就是求抛物线y=ax2+bx+c位于x轴下方部分图象自变量的取值范围，结合其与x轴交点的横坐标即可得出答案.
24．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：抛物线开口向下，
，
顶点为，
对称轴为直线，
，
，
抛物线与轴的一个交点在点和之间，对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点在点和之间，
抛物线与y轴的交点位于y轴的正半轴，
，
，故①错误；
方程ax2+bx+c-m=0没有实数根，就是抛物线y=ax2+bx+c与直线y=m没有交点，
∵抛物线顶点坐标为（-1，2），且开口向下，
∴m＞2，故②正确；
抛物线与轴的另一个交点在点和之间，
时，，
，
，故③正确；
抛物线开口向下，和，且，对称轴为直线，
在对称轴左侧，在对称轴左侧或右侧，
当在对称轴左侧时，
在对称轴左侧，y随x的增大而增大，，
；
当在对称轴右侧时，
关于对称轴的对称点为，
，
，故④错误，
综上可知，正确的是②③，
故答案为：D．
【分析】由抛物线开口方向得出a＜0，由对称轴直线公式结合顶点横坐标得出b=2a＜0，根据抛物线的对称性得出抛物线与轴的另一个交点在点和之间， 则可得抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，则c＞0，从而根据有理数乘法法则可判断①； 方程ax2+bx+c-m=0没有实数根，就是抛物线y=ax2+bx+c与直线y=m没有交点， 结合抛物线的开口方向及顶点纵坐标可判断②；根据抛物线的对称性可得抛物线与轴的另一个交点在点和之间，故当x=1时，y=a+b+c＜0，由b=2a得a=b，从而代入整理即可判断③；分在对称轴左侧或右侧两种情况，根据抛物线的增减性可判断④．
25．【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：二次函数解析式为
∵二次项系数
∴抛物线开口向上，顶点坐标为．
∵，
∴当时，取得最小值．
当时，；当时，．
又∵取不到，
∴；顶点在的取值范围内，
∴．
∴．
故答案为：D．
【分析】先将二次函数解析式配方，得到抛物线开口向上，顶点坐标为，即可得到最大值；然后根据离对称轴远的函数值小求出最小值，即可得到y的取值范围．
26．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：在y=x2+2x-3中，当x=0时，y=x2+2x-3=-3，
∴抛物线y=x2+2x-3与y轴的交点坐标为(0，-3)，
故选：C.
【分析】根据抛物线与y轴的交点坐标的横坐标为0进行求解即可.
27．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数解析式为，其中，，
∴抛物线开口向下，故选项A不符合题意
∵对称轴为直线，故选项B不符合题意
∵顶点坐标为，故选项C符合题意
∵抛物线开口向下，对称轴为直线
∴当时，y随x的增大而减小，故选项D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据的图象和性质逐项判断解答即可．
28．【答案】B
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵二次函数表达式为，是顶点式的形式．
又∵．
∴抛物线开口向上，函数有最小值．
∵该函数的顶点坐标为．
∴当时，有最小值4．
故答案为：B．
【分析】根据二次函数的最值解答即可.
29．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由条件可知抛物线开口向上，对称轴为直线x=-1
当点在对称轴左侧，即当x<-1时，y随x的增大而减小
当点在对称轴右侧，即当x>-1时，y随x的增大而增大
①(-3，y1)，(m，y2)在对称轴同侧，在对称轴左侧
∴m<-3
②(-3，y1)，(m，y2)在对称轴异侧，
∵(-3，y1)的对称点为(1，y1)，
∴m>1
综上，当y11，
故选：D.
【分析】先确定抛物线的对称轴和开口方向，然后根据二次函数的性质求解即可.
30．【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A：，自变量最高次数为1，是一次函数，不符合二次函数定义；
B：，是分式，该函数不是整式函数，不符合二次函数定义；
C：，符合（，，）的形式，是整式函数且自变量最高次数为2，属于二次函数；
D：，自变量最高次数为1，是一次函数，不符合二次函数定义，
故答案为：C．
【分析】根据二次函数的定义“形如，其中、、为常数且的整式函数”逐一分析选项．
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