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分课时学案
课题 3.3.1 垂径定理(1) 单元 第三单元 学科 数学 年级 九年级上册
学习 目标 1.通过实验观察，理解圆的轴对称性； 2.掌握垂径定理，理解其探索和证明过程； 3.能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题.
评价设计 1. 优秀 良好 合格 待改进 2. 优秀 良好 合格 待改进 3. 优秀 良好 合格 待改进
教学过程
导入新课 【引入思考】 合作学习 1.在白纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD, 然后沿着直径所在的直线把纸折叠,你发现了什么 总结：圆是 图形，每一条 都是对称轴。
新知讲解 问题1： 2.请大家在纸上画一个圆O，再任意画一条非直径的弦CD，作一直径AB与CD垂直，交点为P（如图）．沿着直径将圆对折，你有什么发现？ 点 与点 重合， 与 重合， ，＝． 你能将你的发现归纳成一般结论吗？ 。 请你对上述命题写出已知，求证，并给出证明 已知CD是直径，CD⊥AB， 求证：CD平分AB，CD平分和 总结：弧的中点： 。 典例精析 例1 已知,如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点. 例2 一条排水管的截面如图所示. 已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16. 求截面圆心O到水面的距离. 总结：弦心距： 。 【知识点利用】 根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备： ①过圆心；②垂直于弦； ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧. 满足其中两个条件就可以推出其他三个结论（“知二推三”）
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，在⊙O中，直径CD垂直弦AB于点E，则下列结论错误的是(　　) A．AE＝BE B．EO＝ED C. AD＝BD D. AC＝BC 选做题： 2.如图，已知 AB<是半圆 O的直径，弦 CD//AB， CD=8， AB=10 ，则CD与AB 之间的距离是___. 【综合拓展类作业】 3.石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一．如图，一石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8 m，水面宽AB为8 m，求桥拱所在圆的半径．
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 1.定理：垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧. 2. 分一条弧成相等的两条弧的点,叫做这条弧的中点. 3. 圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.
课后提升 作业内容： 【知识技能类作业】 必做题： 1.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图（1），筒车边缘装有盛水桶．如图（2），当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心 O 为圆心，5米为半径的圆，圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦 AB 长8米，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为( ) A.1米 B.2米 C.3米 D.4米 选做题： 2.《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这个木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，则木材的直径是_____(1尺＝10寸) 【综合拓展类作业】 3.已知⊙O的半径为25 cm，弦AB＝40 cm，弦CD＝48 cm，AB∥CD. 求两条平行弦AB，CD之间的距离．
参考答案：
课堂练习：
B 2. 3 3.解：由题意得CD⊥AB，CD＝8 m，
AB＝8 m，∴AD＝DB＝4 m.
如图所示，连结OA. 设OA＝r m，
则OD＝(8－r)m.
在Rt△ODA中，OA2＝AD2＋OD2，
即r2＝42＋(8－r)2，解得r＝5.
∴桥拱所在圆的半径为5 m .
作业内容：
B 2.26寸
3.解：分两种情况讨论．
情况一：如图①，连结OB，OD，过点O作OM⊥AB，垂足为M，OM交CD于点N.
∵OM⊥AB，AB∥CD，
∴BM＝AB＝20 cm，ON⊥CD.∴DN＝CD＝24 cm.
∵⊙O的半径为25 cm，∴OB＝OD＝25 cm.
∴在Rt△OMB和Rt△OND中，根据勾股定理可得OM＝15 cm，ON＝7 cm.
∴MN＝OM－ON＝8 cm.
情况二：如图②，连结OB，OD，过点O作
OM⊥AB，垂足为M，延长MO，交CD于点N.
∵OM⊥AB，AB∥CD，∴BM＝AB＝20 cm，
ON⊥CD.∴DN＝CD＝24 cm.
∵⊙O的半径为25 cm，∴OB＝OD＝25 cm.
∴在Rt△OMB和Rt△OND中，
根据勾股定理可得OM＝15 cm，ON＝7 cm.
∴MN＝OM＋ON＝22 cm .
综上可得，两条平行弦AB，CD之间的距离为8 cm 22 cm.
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