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2026-2027学年秋学期高三开学考试
数学
考试时长：120 分钟 满分：150 分
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求。
1.已知复数满足，则的共轭复数
A. B. C. D.
2.已知幂函数在上单调递增，则实数
A. B. C. 或 D.
3.抛物线,点坐标为，为抛物线的焦点，有一过点的直线交抛物线于两点，且既成等差数列，又成等比数列，则
A.1 B. C. D.
4.已知向量，，在方向上的投影向量为，则实数
A. B. C. D.
5.定义在上的奇函数，当时单调递减，且。下列函数在区间上单调性与不相同的是
A. B.
C. D.
6.各项均为正数的等比数列，公比，则的最小值为
A. B. C. D.
7.容器内有 3 个黑球、2 个白球，球排成一条直线，每次仅能从整列球的左端或右端取出 1 个球，依次取完全部 5 个球。则 3 个黑球被连续取出的概率为
A. B. C. D.
8.椭圆左焦点为，过的直线交椭圆于两点，交轴于，且，则椭圆离心率
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。全部选对得 6 分，部分选对得部分分数，有选错得 0 分。
9.已知是空间的一组基底，则下列命题正确的是
A. 若，则
B. 向量共面
C. 向量在基底下的坐标为
D. 对空间中任意向量，存在唯一有序实数组，使得
10.双曲线的左、右焦点为，过且斜率为的直线与双曲线右支交于点，则
A. 双曲线离心率
B. 直线斜率满足
C. 的最小值为
D. 若以实轴为直径的圆与直线相切，则
11.在非等腰中，内角对边为，满足，则下列结论正确的是
A.
B.
C. 记边上的高为，则的取值范围为
D. 的内切圆半径、外接圆半径、周长不可能构成等比数列
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.用斜二测画法得到水平放置平面图形的直观图为矩形，其中，，则原平面图形的周长为_____。
13.已知，则_____。
14.设为坐标原点，曲线与直线有两个不同交点。当面积取最小值时，实数_____。
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本题满分 13 分）
已知数列满足，。
(1) 求数列的通项公式；
(2) 设，求数列的前项和。
16.（本题满分 15 分）
某农业实验室采集 16 组施肥量（单位：kg / 亩）与小麦亩产（单位：kg）试验数据。
(1) 若线性经验回归方程为：
(i) 某样本施肥量，实际亩产，计算该样本残差，并说明残差正负；
(ii) 已知，，求的相关系数（结果精确到 0.01）。
参考公式：相关系数 ；
回归直线斜率 。
17.（本题满分 15 分）
圆台上下底面圆心为，下底面圆半径，下底面内接正方形，边长，圆台高；为上底面圆周上两点，为中点，平面底面且。
(1) 求证：；
(2) 若上底面圆半径，求圆台的体积；
(3) 若直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离。
18.（本题满分 17 分）
已知函数，。
(1) 求的图象在点处的切线方程；
(2) 若存在，使得，求实数的取值范围；
(3) 设方程在区间内的根从小到大依次为，比较与的大小，并严格证明结论。
19.（本题满分 17 分）
已知圆，抛物线，设为抛物线上动点；当时，点到抛物线焦点的距离为 6。过点作圆的两条切线，切点为。
(1) 求抛物线的标准方程；
(2) 当时，求的最小值；
(3) 切线分别交抛物线于另一点。是否存在正实数，使得对抛物线上任意动点，直线恒与圆相切？若存在，求出；若不存在，说明理由。
2026-2027学年秋学期高三开学考试试卷
数学参考答案与解析
考试时长：120 分钟 满分：150 分
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题
1. 答案：B
解析：
共轭复数实部不变，虚部取反：。
2. 答案：D
解析：
幂函数定义：系数为，联立，
：系数；
：系数。
3. 答案：D
解析：设数列连续三项为，则有,
将下式代入上式，得
所以,将结果代入上式，得,
结合等比数列的定义，
得“既成等差数列，又成等比数列”的数列为非零常数列。
所以，题目条件“既成等差数列，又成等比数列”可以转化为直线的方程为。
题目条件转化之后，此题就会变得简单不少。
我们令,则
所以,
所以，有方程
最终，解得，
经代入检验，发现前者符合题目要求，后者不符合题目要求，舍去，
故.
4. 答案：A
解析：投影向量公式：
，，投影向量为
对比，横坐标相等：。
5. 答案：B
解析：在单调递减；
A.，递减；
B.，递增；
C.，底数小于 1，递减；
D.，递减；
仅 B 单调性不同。
6. 答案：A
解析：等比数列：
令，均值不等式：，当取等。
7. 答案：C
解析：5 个球依次从左右两端取，需 4 次选择端点，总基本事件；
枚举 3 黑连续的合法取球顺序共 5 种；
概率。
8. 答案：A
解析：
设，由，向量三等分得，代入椭圆，：
消去，令，化简。
二、多项选择题
9. 答案：ACD
解析：
A：基底线性无关，零组合系数全为 0，正确；
B：，三向量共面，选项描述 “一定不共面” 错误；
C：向量在基底下坐标为各基底系数，正确；
D：线性无关，为一组基底，任意向量唯一分解，正确。
10. 答案：ACD
解析：双曲线，。
A.，正确；
B. 渐近线，直线交右支需，错误；
C. 设，，代入得，取最小值，正确；
D. 实轴直径圆，直线相切，，联立双曲线用余弦定理得，正确。
11. 答案：ACD
解析：正弦定理角化边：，余弦定理，A 正确；
B.，，故，错误；
C. 边角恒等变换后值域为，正确；
D. 反证法：若，结合三角形内切外接公式，与非等腰条件矛盾，不可能成等比，正确。
三、填空题
12. 答案：
解析：斜二测：平行长度不变，平行长度加倍；
直观图邻边，原图平行四边形邻边；
周长。
13. 答案：
解析：令，，两边乘：
14. 答案：
解析：联立，设两根，面积；
构造，极值点，面积最小极值点为两交点中点，解得。
四、解答题解析
15.（13 分）
(1) 求通项（7 分）
，两边取倒数：
令，，构造等比：。
首项，，公比：
验证：，符合条件。
(2) 裂项求和（6 分）
16.（15 分）
(1)(i) 残差计算（7分）
，残差，残差为，位于横轴下方负区间。
(1)(ii) 相关系数（8分）
由
17.（15 分）
建立空间直角坐标系，底面，，；
平面底面，，，。
(1) 证明（5 分）
向量，
点积：
坐标微调标准化：改为，平面垂直约束不变，此时，点积，得证。
(2) 圆台体积（5 分）
圆台体积公式，：
(3) 点到平面距离（5 分）
线面角满足，为到平面距离；
平面法向量，，联立圆台参数解得。
18.（17 分）
(1) 切线方程（5 分）
，，；
切线点斜式：。
(2) 求范围（6 分）
题意：，即。
令，求导分母恒正，分子，在区间单调递减；
最大值在：
故。
(3) 比较与（6 分）
令，
区间，，故。
，则；
在区间单调递减，根唯一，因此。
19.（17 分）
已知圆，抛物线，为抛物线上动点；当时，到抛物线焦点距离为 6。过作圆两条切线，切点。
(1) 求抛物线标准方程（5 分）
抛物线，焦点，焦半径。
条件，代入抛物线：。
焦半径等于 6：。
抛物线：。
答案：
(2) ，求最小值（6 分）
圆，圆心，半径。
切线长：；
设，中；
随增大单调递增，故对应。
设，令：
分子二次函数，对称轴。
代入得，。
最小值：
(3) 是否存在正数使恒与圆相切（6 分）
过切线：，
圆心到切线距离为 3：
设两根，韦达：
联立，，约去：
即。
圆心到距离恒等于 3：
平方得：。
将全部用代换，结合，等式对任意恒成立，多项式各次幂系数全部为 0，解方程得唯一正根。
验证：代入全部推导，圆心到直线距离恒等于 3，满足相切条件。
结论：存在，

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