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第二十六章 二次函数
26.4 实际问题与二次函数
第2课时 最大利润问题
R·九年级上册数学
学习目标
掌握销售问题中变量间的二次函数关系，能建立二次函数模型解决最大利润问题；
经历探索销售中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型.
复习旧知
1.二次函数求几何图形最大面积问题的步骤：
审→设→列→解→答
公式法：顶点坐标
配方法：y=a（x-h）2+k
2.销售问题中有关利润的公式：
（1）利润＝售价－进价（成本）
（2）总利润＝单件利润×销售量＝总售价－总成本
（3）
（4）售价＝成本＋利润＝成本×（1＋利润率）
（5）售价＝标价×折扣率（打几折就是按原价的十分之几出售）
3.下列抛物线有最高点或最低点吗？如果有，写出这些点的坐标（用公式）：
（1）y=-4x2+3x; （2）y=3x2+x+6.
4.求函数y=-x2+6x+5的最大值和最小值.
（1）0≤x≤6； （2）－2≤x≤2.
解：y=-x2+6x+5=-(x-3)2+14
(1)当0≤x≤6时，
当x=3时， y有最大值14,
当x=0或6时，y有最小值5.
(2)当－2≤x≤2时，
当x=2时，y有最大值13,
当x=-2时，y有最小值-11.
情境导入
在商品的销售过程中，利润最大化是商家最永恒的追求。如果你是商家，如何定价才能获利最大呢？
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映，若调整单价（单价为整数）：每涨价1元，则每星期要少卖出10件；每降价1元，则每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？
探究1
探索新知
课前预习
预习课本P52～53，思考下列问题（5分钟时间）
1.如何利用二次函数的性质
解决利润问题？
2.如何根据函数图像求最大利润？
提取信息：
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映，若调整单价（单价为整数）：每涨价1元，则每星期要少卖出10件；每降价1元，则每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润是多少？
进价/元 售价/元 数量/件 利润/元
现价 40 60 300
涨价 40 60+n 300-10n
降价 40 60-m 300+20m
设每件涨价n元，降价m元。
先确定n的取值范围
进价/元 售价/元 数量/件 利润/元
现价 40 60 300
涨价 40 60+n 300-10n
降价 40 60-m 300+20m
解：设每件涨价n元，利润为y1.
则y1=(60+n-40)(300-10n)
即y1=-10n2+100n+6000
总利润＝（售价－进价）×销量
（0≤n≤30，n为整数）
可得：0≤n≤30.
y1=-10n2+100n+6000（0≤n≤30，n为整数）
根据上面的函数，填空：
当n=_______时，y1最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价_____元，即定价______元时，利润最大，最大利润是________元.
=-10(n2-10n)+6000
=-10(n-5)2+6250
5
5
65
6250
配方
进价/元 售价/元 数量/件 利润/元
现价 40 60 300
涨价 40 60+n 300-10n
降价 40 60-m 300+20m
先确定m的取值范围
解：设每件降价m元，利润为y2.
则y2＝(60-m–40)(300+20m)
即y2=-20m2+100m+6000
总利润＝（售价－进价）×销量
可得：0≤m≤20.
（0≤m≤20，m为整数）
y2=-20m2+100m+6000 （0≤m≤20，m为整数）
根据上面的函数，填空：
当m=_______时，y2最大，也就是说，在降价的情况下，降价_____元，即定价______元时，利润最大，最大利润是______元.
2或3
2或3
58或57
6120
=-20(m2-5m)+6000
=-20(m-2.5)2+6125
配方
（2）降价情况下，定价57或58元时，有最大利润6120元.
（1）涨价情况下，定价65元时，有最大利润6250元.
综上所述：
该商品的价格定价为65元时，可获得最大利润6250元.
进价/元 售价/元 数量/件 利润/元
现价 40 60 300 6000
涨价 40 65 250 6250
降价 40 57或58 360或340 6120
方法总结
在实际问题中，求商品的最大利润的一般步骤：
（1）列出二次函数解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；
（2）在自变量的取值范围内，运用顶点公式、画出函数简图或配方法求出二次函数的最大值.
需要注意的是：当二次函数图象的顶点的横坐标不在自变量的取值范围内时，需根据二次函数的增减性，在自变量的取值范围内求出函数的最大值.
练习
1.旅行社开设一旅游团，20人起组团，每人需缴费2100元，旅行社对超过20人的旅行团给予优惠：每增加1人，每人需缴费用降低30元.当旅行团的人数为多少时，旅行社可获得最大营业额？最大营业额是多少？
【选自教材P53 练习 第1题】
解：设旅行团的人数为x人，营业额为y元.
则每人缴费2100－30(x－20)元，
y=[2100－30(x－20)]x= －30x2+2700x= －30(x-45)2+60750.
所以当x=45时，y最大值=60750.
答:旅行团的人数为45人时,旅行社可获得最大营业额60750元.
练习
2.生产某种商品需要500元的固定花费，在此基础上，每生产1件商品花费10元，预定单价为50元，实际单价随产量的增加而下调，下调幅度为产量的八分之一.当产量为何值时，生产这种商品的利润最大？最大利润是多少
【选自教材P53 练习 第2题】
所以当x=160时，y最大=2700.
答：当产量为160件时，生产这种商品的利润最大，最大利润是2700元.
例 某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元出售，那么一个月内售出180件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量将相应减少10件，当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？
①每件商品的销售单价上涨x元，一个月内获取的商品总利润为y元，填空：
单件利润（元） 销售量（件） 每月利润（元）
正常销售
涨价销售
10
180
10+x
180-10x
y=(10+x)(180-10x)
1800
建立函数解析式：
y=(10+x)(180-10x)，即y=-10x2+80x+1800.
营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故180-10x≥0，因此自变量的取值范围是x≤18.
③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？
y=-10x2+80x+1800=-10(x-4)2+1960.
∴当x=4时，即销售单价为34元时，y取最大值1960元.
答：当销售单价为34元时，该店在一个月内能获得最
大利润1960元.
②自变量x的取值范围如何确定？
随堂练习
1. 某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30）出售，可卖出（300－20x）件，使利润最大，则每件售价应定为
元.
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2. 进价为80元的某件定价100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y（件）与衬衣售价x（元)之间的函数解析式为 .每月利润w（元）与衬衣售价x（元）之间的函数解析式为 .（以上解析式只列式不化简）.
y=2000-5(x-100)
w=[2000-5(x-100)](x-80)
3. 某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q元.
（1）当售价在40～50元时，每月销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元？
解：由题意，得当40≤x≤50时，
Q＝60(x－30)＝60x－1800.
∵y＝60＞0，Q随x的增大而增大，
∴当x最大＝50时，Q最大＝1200.
答：此时每月的总利润最多是1200元.
（2）当售价在50～70元时，每月销售量与售价的关系如图所示，则此时当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？
解：当50≤x≤70时，
设y与x函数解析式为y=kx+b，
∵线段过点(50，60)和(70，20).
∴y ＝－2x+160（50≤x≤70）.
∴Q=(x－30)y
=(x－30)(－2x + 160)
=－2x2 + 220x－ 4800
=－2(x－55)2 +1250（50≤x≤70）.
∵a =－2＜0，图象开口向下，
∴当x = 55时，Q最大= 1250.
∴当售价在50～70元时，售价x是55元时，获利最大，最大利润是1250元.
（3）若该商品售价在40～70元之间变化，直接写出每月总利润Q与售价x的函数解析式。
解：Q与x的函数解析式为：
（4）若该商店销售该商品所获利润不低于1218元，试确定该商品的售价x的取值范围；
解：分两类讨论：
①当40≤x≤50时，∵Q最大= 1200＜1218，
∴此情况不存在.
②当50≤x≤70时， Q最大= 1250>1218，
令Q = 1218，得－2(x－55)2 +1250=1218.
解得x1=51，x2=59.
由Q =－2(x－55)2 +1250的图象和性质可知：
当51≤x≤59时，Q≥1218.
因此若该商品所获利润不低于1218元，
则售价x的取值范围为51≤x≤59.
x
Q
O
55
1218
59
51
1250
（5）在（4）的条件下，已知该商店采购这种新商品的进货款不低于1620元，则售价x为多少元时，利润最大，最大利润是多少元？
解得51≤x≤53.
∵Q＝－2(x－55)2 +1250的顶点
不在51≤x≤53范围内，
又∵a =－2＜0，
∴当51≤x≤53时，Q随x的增大而增大.
∴当x最大 = 53时，Q最大= 1242.
∴此时售价x应定为53元，利润最大，最大利润是1242元.
解：由题意，得
课堂小结
1.利用二次函数解决利润问题的一般步骤：
（1）审清题意，理解问题；
（2）根据数量之间的关系设未知数；
（3）列出函数关系式；
（4）求解数学问题；
（5）回答实际问题.
2.常见数量关系：利润=售价-成本，总利润=每件商品的利润×销售量，利润率= ×100%
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题；
3.预习“探究2 抛物线形问题”。
课后作业
下 课
Thanks!
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