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(共25张PPT)
第二十五章 一元二次方程
2026人教版·九年级上册
25.3 实际问题与一元二次方程
第1课时 数字问题与几何图形问题
1. 通过探究，学会分析几何问题中蕴含的数量关系，列出一元二次方程解决几何问题.
2.通过探究，使学生认识在几何问题中可以将图形进行适当变换，使列方程更容易.
3.通过实际问题的解答，再次让学生认识到对方程的解进行检验的必要性，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准.
学习目标
以前，我们列方程（一元一次方程、二元一次方程（组）、分式方程）解决实际问题的一般步骤是什么？
复习回顾
1.审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；
2.设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；
3.列(根据题目中的等量关系，列出方程)；
4.解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；
5.验(检验方程的解能否保证实际问题有意义）
6.答(写出答案，切忌答非所问).
例1 是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？
思考：直角三角形的三边关系满足什么条件？
a ＋b ＝c
追问：若存在这样的直角三角形，该怎样设未知数求解？
例题分析
例题分析
例1 是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？
解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为 x，x+1，x+2，其中x为正整数.
由勾股定理，得 x2 +(x+1)2 = (x+2)2.
解方程，得 x1=3，x2= – 1（不符合题意，舍去）.
因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为 3，4，5.
新知小结
解决数字问题的关键是用代数式表示出其他数，设未知数时通常采用间接设元法，即设这个数为x，然后将其他数用含x的代数式表示出来，最后根据题中的数量关系列方程.
即时即练
1. 绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一
块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米，
求绿地的宽.设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程
为 .
2. 一块矩形菜地的面积是120 m2，如果它的长减少2
m，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是 m.
x（x＋10）＝900　
12
例2 用一根长为40 m的细绳，能否围成一个面积为96 m2的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？
例题分析
分析：假设细绳能围成面积为 96 m 的矩形区域，则矩形的周长就是细绳的长度. 设矩形一边长为 x m，由周长为 40 m，可用含 x 的式子表示出该边的邻边长，再利用面积列方程求解.
例2 用一根长为40 m的细绳，能否围成一个面积为96 m2的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？
解：设矩形的一边长为 x m，由矩形的周长为 40 m，可得此边的邻边长为 (20–x) m；再由矩形的面积为 96 m2，得
x(20–x) = 96.
解方程，得 x1= 12，x2=8.
因此，用一根长为 40 m 的细绳可以围成面积为 96 m2 的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为 8 m，12 m.
例题分析
追问：方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域？
可知 12 m 和 8 m 分别是矩形区域的长和宽，只能围成一个满足条件的矩形区域.
例2 用一根长为40 m的细绳，能否围成一个面积为96 m2的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？
例题分析
因此，用一根长为 40 m 的细绳可以围成面积为 96 m 的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为 8 m，12 m.
(2) 可设一边长为 (10 + x) m，那么其邻边长为 m；
(10 - x)
例题分析
思考
对于例2 中的问题，设矩形的两邻边长的方法有多种，例如：
(1) 可设一边长为 x m，那么其邻边长为 m；
能根据以上设两邻边长的方法列方程求解例2吗？比较这些设法，说说它们各自的特点.
解方程，得 x1 = 12，x2 = 8.
方法二：可设一边长为 (10 + x) m，那么其邻边长为 (10 - x) m；
根据矩形面积公式 (10 + x)(10 - x)＝96
解方程，得 x1 = 2，x2 = - 2.
则其两邻边长分别为 12 m，8 m.
方法一：设一边长为x m，邻边长为 m.
例题分析
特点：
方法一：直接利用面积公式列方程，思路直观，但会得到分式方程，需要去分母转化为一元二次方程.
方法二：利用“周长为 40，则长+宽 = 20”的对称性设未知数，方程为整式方程，计算更简便，且能直接体现长与宽的和为定值.
新知小结
即时即练
3.要在一个8 cm×12 cm的照片外侧的四周镶上宽度相
同的银边，并且要使银边的面积和照片的面积相等，设
银边的宽为x cm，那么可列方程为 .
12 cm
8 cm
(12+2x)(8+2x)=8×12×2
课堂小结
列一元二次方程解应题
步骤
与列一元一次方程解决实际问题基本相同：审题、设元、列方程、解方程、检验、作答.不同的地方是要检验根的合理性
类型
数字问题
关键要设数位上的数字，要准确地表示出原数
数字问题
沙及的常见计算与证明有三角形的三边关系、三角形全等、勾股定理、各种规则图形的面积、体积或周长等
课堂练习
1.怎样用一根长为40 m 的细绳围成一个面积为 75 m2 的矩形区域？能围成一个面积为101 m2 的矩形区域吗？如果能，说明围法；如果不能，说明理由.
解：设矩形的长为 x m，宽为 (20–x) m.
当矩形面积为 75 m2 时，x(20–x)=75，
解方程，得x1=15，x2=5（不合题意，舍去）.
所以，矩形的长为 15 m，宽为 5 m 时，面积为 75 m2.
当矩形面积为 101 m2时，x(20–x)=101，
因为此方程无实数根，所以，不能围成面积为101m2的矩形区域.
（选自教材第21页 练习 第1题）
2.如图，矩形ABCD的两条邻边AD=1，DC=4，AB 上是否存在点 E，使得∠DEC 为直角.
课堂练习
（选自教材第21页 练习 第2题）
D
C
A
B
1
4
E
课堂练习
（选自教材第21页 练习 第2题）
D
C
A
B
1
4
E
3. 某村计划构建如图所示的矩形蔬菜温室，其长为28m，宽为14 m.在温室内，需设置人行通道，前侧空地与其他三侧内墙通道宽度的比值是3∶1.求当其他三侧内墙通道宽度为多少时，蔬菜种植区域的面积为288 m2？
课堂练习
前侧空地
蔬菜种植区域
课堂练习
解：设其他三侧内墙通道宽度为x m，由题意，得
（28－4x）（14－2x）＝288，
整理，得x2－14x＋13＝0，
解得x1＝1，x2＝13（不合题意，舍去）.
答：当其他三侧内墙通道宽度为1 m时，蔬菜种植区域
的面积为288 m2.
4. 一个矩形周长为56厘米.
（1）当矩形面积为180平方厘米时，长、宽分别为多少？
课堂练习
解：（1）设矩形的长为x厘米，则宽为（28－x）厘
米，依题意，得x（28－x）＝180，解得x1＝10（舍去），
x2＝18. 则28－x＝28－18＝10.
答：长为18厘米，宽为10厘米；
（2）能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由.
解：（2）不能围成面积为200平方厘米的矩形.理由如
下：设矩形的长为y厘米，则宽为（28－y）厘米，依
题意，得y（28－y）＝200，化简，得y2－28y＋200＝0.
∴Δ＝（－28）2－4×200＝784－800＝－16＜0.
∴方程无实数根.故不能围成一个面积为200平方厘米的矩形.
课堂练习
4. 一个矩形周长为56厘米.
下 课
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