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新湘教版八年级上册数学
第5章 直角三角形
5.2.3 勾股定理的逆定理
学习目标
1. 能利用勾股定理逆定理的数学模型解决现实世界的实际问题；
2. 运用勾股定理逆定理判断三角形是否为直角三角形.
任务导入
以前我们已经学过了通过角的关系来确定直角三角形，可不可以通过边来确定直角三角形呢？
同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗
打13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3段，4段，5段
的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中最大的角便是直角.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
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(9)
(10)
(11)
(12)
探索展示
我们已经知道勾股定理：“如果直角三角形的两条直角边分别为a， b，斜边为c，那么a2+b2=c2.”它的逆命题是怎样的？
逆命题为：如果三角形的三边a，b，c满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是
直角三角形.
探索展示
如图，在△ABC中，已知AB=c，BC= a，AC=b，且a2+b2=c2，那么△ABC是直角三角形吗？
A
B
C
c
a
b
到目前为止，我们只知道可以利用一个角是直角或两个
角互余来判断一个三角形是直角三角形. 于是，要证明一个三
角形为直角三角形，只需证明其有一个角为直角. 联想到证明
角相等的方法，如果能构造一个直角三角形，然后证明△ABC
与所构造的直角三角形全等，即可得△ABC中有一个角为直
角，则可判断△ABC是直角三角形.下面我们按此思路来探索.
探索展示
如图，在△ABC中，已知AB=c，BC= a，AC=b，且a2+b2=c2，那么△ABC是直角三角形吗？
A
B
C
c
a
b
证：作Rt△A′B′C′，∠C′=90°，B′C′=a，A′C′=b
A'
B'
C'
c'
a
b
在Rt△A′B′C′中， 根据勾股定理得，A′B′ 2= a2+ b2
∵ a2+ b2 = c2
∴ A′B′ 2= c2
在△ABC 和△A′B′C′中
从而 A′B′ = c
AC =A′C′
BC =B′C′
AB =A′B′
∴△ABC≌ △A′B′C′(SSS)
从而∠C= ∠C′=90°
即△ABC是直角三角形.
先构造满足某些条件的图形，然后根据需求证的图形与所构造的图形之间的关系完成证明，这也是解决问题的常用策略之一.
探索展示
A
B
C
c
a
b
于是，我们可以发现，勾股定理的逆命题是真命题.
由此得到勾股定理的逆定理：
如果三角形的三条边a，b，c满足a2+b2=c2，
那么这个三角形是直角三角形.
勾股定理
勾股定理的逆定理
判定定理
性质定理
例1 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形.
(1)a=6，b=8，c=10；
(2)a=12，b=15，c=20。
(1) ∵ 62 + 82= 100， 102= 100，
∴ 62+ 82 = 102
从而这个三角形是直角三角形.
解：
(2)∵ 122 + 152 = 369， 202 = 400，
∴ 122 + 152≠202
从而这个三角形不是直角三角形.
只要看两条较短边长的平方和是否等于最长边的平方.
应用提升
有趣的知识
常见勾股数：
3，4，5
5，12，13
6，8，10
7，24，25
应用提升
课堂练习
1. 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形.
(1) a = 1，b = ，c = ；
(2) a = 8，b = 15，c = 17；
(3) a = 10，b = 24， c = 25；
(4) a = 9，b = 40， c = 41
是直角三角形
是直角三角形
不是直角三角形
是直角三角形
应用提升
例2 如图，在△ABC中，已知AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求DC的长.
A
B
C
D
解:
在△ABD中，AB = 10，BD = 6，AD = 8
∵ 62 + 82 = 102
即AD2 + BD2 = AB2
∴ △ADB为直角三角形.
从而 ∠ADB = 90°
∴ ∠ADC = 180°-∠ADB = 90°
在Rt△ADC中，DC 2 = AC 2 - AD 2
∴
2. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，F为CD的中点，
E是BC上一点， 且EC= BC.
求证： △AEF是直角三角形.
应用提升
课堂练习
A
B
C
E
F
D
证:
∵ F为CD的中点
∴DF=CF=2
∴ BE=3
在Rt△ADF中，由勾股定理得
AF 2 = DF 2 +AD2
=22+42=20
同理可得
AE 2 =25， EF 2 =5
∴AE 2 = AF 2 + EF 2
从而△AEF是直角三角形
当堂检测
1.
2. 下列四组数中，是勾股数的是( )
C
A. 1，2，3
B. 4，5，6
C. 9，12，15
D. 1，，
B
A. 锐角 B. 直角
C. 钝角 D. 无法确定
3.若三角形的三边长分别为 a，b，c，且满足 (a+b) c =2ab，则此三角形中最大的角是____。
（第4题）
4.如图，在△ABC 中，AC=5，BC=12，AB=13，P 为直线 AB 上一动点，连接 PC，则线段 PC 的最小值是__________。
5.如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD=6，∠A=60°，BC=10，CD=8，则∠ADC 的度数为__________。
课堂小结
实际应用
勾股数
实际问题构建成数学模型，利用逆定理去求解.
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数.
作业
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
下 课
Thanks!
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