资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
浙教新版七年级数学上册知识清单
第1章 有理数
专题1.1 从自然数到有理数
专题1.2 数轴
专题1.3 绝对值
专题1.4.有理数的大小比较
专题1.5 数轴中的动态问题
专题1.6 绝对值中的最值问题
专题1.1 从自然数到有理数
1.正数与负数
1）正数：像8848，36，，，1.31等，这样大于的数叫做正数。正数都大于。
2）负数：像-500，-60，-，-0.5等，这样的数叫做负数。负数都小于。
3）符号：一个数前面的“”，“”号叫做它的符号．
正数前面的“” 号可以省略，注意与表示是同一个正数．负数前面的“”号不可省略．
注：不能简单的根据符号来判断正负，而需要根据正负数的定义判别。
2.用正数和负数表示具有相反意义的量：
如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反意义，反之亦然。
比如：用正数表示向南，那么向北可以用负数表示为。
“相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是要有量。
3.“0”的特殊性
1）既不是正数，也不是负数；2）是正数与负数的分界；3）是自然数；
4）的意义：
有时表示没有，比如文具盒中有支铅笔，表示没有铅笔；
有时是一个数，比如是一个确定的温度；
有时也作为基准，比如海拔高度为表示的是海平面的平均高度。
4.常见名词：非负数：正数和零统称为非负数；非正数：负数和零统称为非正数；
5.有理数的相关概念
1）整数：正整数、、负整数统称为整数。
所有的正整数组成正整数集合，所有的负整数组成负整数集合。
2）分数：正分数、负分数统称为分数。
有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以我们也把它们看成分数。
3）有理数：整数和分数统称为有理数。
4）有理数的分类：
1）2）
专题1.2 数轴
1.数轴
1）数轴定义：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，它满足以下要求：
①原点：在直线上任取一个点表示数，这个点叫做原点；原点是数轴的基准点。
②正方向：通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向。
③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示，，，…；从原点向左，用类似的方法依次表示，，，…。
像这样，规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。原点、正方向和单位长度是数轴的三要素．
原点将数轴分为两部分，其中正方向一侧的部分叫数轴的正半轴，另一侧的部分叫数轴的负半轴。
2）数轴的画法
①画一条水平的直线（一般画水平的数轴）；②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点；
③确定向右的方向为正方向，用箭头表示； ④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致。
3）有理数与数轴的关系
①一切有理数都可以用数轴上的点表示出来。
②数轴上的点并不全是有理数，如也可以在数轴上表示，但并不是有理数。
③正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边。
④与原点的距离是a（a>0），在数轴上可以是a（存在多解的情况）。
注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向。
2.相反数
1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
①一般地，a与-a互为相反数，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0；
②正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是本身；
③相反数是成对出现的（0除外）。
2）相反数的几何意义：互为相反数的两数在数轴上对应点应分别位于原点两侧，且到原点的距离相等。
求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可（当然结果如果出现多重符号需要化简）。
2.多重符号的化简
1）一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉；
2）一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉；
3）一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号。
口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”指正数前面的“”号个数，“负、正”是指化简的最后结果的符号。
专题1.3 绝对值
1）绝对值：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。
2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。
3）绝对值的代数意义：
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。
即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么．
可整理为：，或，或。
4）绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：。
归纳： ①绝对值等于它本身的数是：非负数；②绝对值大于它本身的数是：负数；
③绝对值等于它的相反数的数是：非正数；④绝对值最小的有理数是：0；
⑤绝对值最小的正整数是：1；⑥绝对值最小的负整数是：-1。
专题1.4.有理数的大小比较
1.有理数的大小比较方法
1）数轴法：在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小。
如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b．
2）法则比较法：两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：
两数同号 同为正号：绝对值大的数大
同为负号：绝对值大的反而小
两数异号 正数大于负数
－数为0 正数与0：正数大于0
负数与0：负数小于0
注意：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：
（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小．
3）作差法：设a、b为任意数，若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，a＜b；反之成立．
4） 求商法：设a、b为任意正数，若，则；若，则；若，则；反之也成立．若a、b为任意负数，则与上述结论相反．
5）倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小．
专题1.5 数轴中的动态问题
①若A、B两点在数轴上对应的数字是 a、b，
则AB两点间的距离；AB中点对应的数字是：。
②数轴动点问题主要步骤：
1）画图：在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度；
2）写点：写出所有点表示的数：常用含t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示；
3）表示距离：右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值；
4）列式求解：根据条件列方程或代数式，求值。
注意：要注意动点是否会来回往返运动，速度是否改变等。
③分类讨论的思想：
（1）数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，注意多种情况的分类讨论。
（2）对于两个动点P、Q，若点P、Q的左右位置关系不明确或有多种情况，可用p、q两数差的绝对值表示PQ 两点距离，从而避免复杂分类讨论。
专题1.6 绝对值中的最值问题
1.求的最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值。
结论：根据绝对值的几何意义知：在时，取得最小值为。
另解：也可用绝对值的代数意义（即分类讨论思想）完成绝对值的最值问题。
2.求的最大值或最小值，即在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的取最大值或最小值：
结论：在时，取得最小值为；在时，取得最大值。（几何意义）
3.的最小值模型
结论：找到上述式子中的 零点，按从小到大 排序（假设） ，借助数轴容易得到：
当n 奇数 时 ，则x取 中间数（） 时 取得 最小值 ；
当n 偶数时 ， 则 x取 中间 段（） 时 取得 最小值 。
规律可总结为：“奇中点，偶中段”。
4.型或型最值模型
1）：当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b；
当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。
2）：当a＞0时，∵，∴，即取得最小值为b；
当a＜0时，∵，∴，即取得最大值为b。
5.系数不为“1”的绝对值（和、差类）最值模型
①绝对值系数不为“1”：如：｜x-1｜+2｜x-2｜+3｜x-3｜+4｜x-4｜+5｜x-5｜
解题步骤：第1步：将x平铺展开；第2步：找到每个式子的零点，分别为：1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、5、5、5、5、5、5共15个零点；第3步：根据“奇中点，偶中段”，在第八个数时，即x=4时，有最小值，带入x=4，最小值为15。
②x系数不为“1”：如：求｜2x-4｜+｜5x+5｜的最小值。
解题步骤：第1步：x的系数不为1，所以首先 第一步 想办法把x的系数化为1，采用提取公因数的方法（或乘法分配律的逆用）；即：｜2x-4｜+｜5x+5｜=｜2（x-2）｜+｜5（x+1）｜=2｜x-2｜+5｜x+1｜。
第2步：进入①中的三个步骤即可。这时，x的系数已经变成了1，我们就可以展开 ，然后 利用“奇中点 ，偶中段”来求了 。解 得 当x=-1时 取得 最小值，最小值 为 6。
另解：上述两类问题也可以采用绝对值的代数意义（根据零点分区讨论）求解。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑