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参考答案
题型一、方程的相关概念
1．
【答案】A
2．
【答案】B
3．
【答案】 、、； 、．
4．
【答案】①②③⑤⑥⑦；①③⑤⑥⑦
5．
【答案】B
6．
【答案】C
7．
【答案】D
8．
【答案】A
9．
【答案】②④⑤⑥
10．
【答案】
；
11．
【答案】，，
题型二、一元一次方程的相关概念
12．
【答案】B
13．
【答案】C
14．
【答案】C
15．
【答案】C
16．
【答案】 ②④⑤⑦ ④⑤/⑤④
题型三、等式的性质
17．
【答案】B
18．
【答案】D
19．
【答案】D
20．
【答案】B
21．
【答案】
22．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）若，则_______．
【答案】
49
23．
【答案】
题型四、解一元一次方程
24．
【答案】
25．
【答案】
26．
【答案】(1)
选①，去分母是解一元一次方程的常用方法，可将分数转换成整数，简化运算；
选②，可直接进行分数运算；
选③，利用整体的思想，合并同类项、系数化为，可将运算简化；
(2)
选①，
解：，
，
；
选②，
解：，
，
；
选③，
解：令，
则方程可转化为：，
，
∴，
，
．
27．
【答案】(1)不正确，
(2)不正确，
28．
【答案】(1)
；；
(2)
29．
【答案】(1)
(2)
(3)
题型五、一元一次方程的应用
30．
【答案】(1)
(2)或
(3)
31．
【答案】(1)
解：不是“五好关联方程”，理由如下：
方程的解为：，
方程的解为：，
，．
，
不是“五好关联方程”；
(2)或
(3)
32．
【答案】安排名匠人制作簪杆，名匠人制作绒花．
33．
【答案】(1)人生产茶杯，则人生产茶壶
(2)先安排人工作小时，再增加人（共人）一起工作小时，可完成任务
34．
【答案】该组工人一共有16人
35．
【答案】2小时
36．
【答案】(1)300个
(2)600个
37．
【答案】(1)九连环的单价是元，华容道的单价是元
(2)应该选择购买异形魔方比较合适，购买方案是购买九连环个，华容道个，异形魔方个 ，理由如下：
设购买九连环和魔方的数量都是个，则可购买华容道个，
若购买正阶魔方，则，
解得：，
即购买九连环和魔方个，这与购买九连环、华容道、魔方三种数学玩具共个不符合；
若购买异形魔方，则，
解得：，
，
购买九连环个，华容道个，异形魔方个符合题意；
答：应该选择购买异形魔方比较合适，购买方案是购买九连环个，华容道个，异形魔方40个．
38．
【答案】他答对了18道题
39．
【答案】胜4场，平2场，负2场
40．
【答案】(1)无论通话时间多长，套餐1更划算
（2）解：当时，
套餐1费用：，套餐2费用：，
令：，
解得，
当分钟时，，选套餐1；
当分钟时，，两套餐费用相同；
当分钟时，，选套餐2；
（3）解：一般情况（k为任意正数），
套餐1：，套餐2：，
令，即，
解得，
分三种情况讨论：
①当时，，选套餐1；
②当时，临界时间，
若，选套餐1；
若，两套餐费用相同；
若，选套餐2．
41．
【答案】(1)100
(2)6
(3)方式二
42．
【答案】度
43．
【答案】任务1：23.75元
任务2：当时，水费为元；当时，水费为元
任务3：679.3元
44．
【答案】(1)护航编队的速度为海里/小时
(2)①；②的值为
45．
【答案】600米
46．
【答案】从甲团队抽调了人，从乙团队抽调了人去制造小马玩偶
47．
【答案】(1)“绿杨春”茶叶有千克，“绿杨春”茶叶有千克
(2)“绿杨春”茶叶有盒
(3)第一次销售“绿杨春”茶叶 盒
48．
【答案】(1)30.5；38
(2)20公里
(3)0.8公里或12.0公里或20.6公里
49．
【答案】(1)200元，300元
(2)240人
(3)租60座1辆，租45座4辆租车费用最少第五章 一元一次方程
【人教2024版】
题型一、方程的相关概念
1．（24-25七年级上·山西太原·开学考试）在；；；；中，方程有（ ）个．
A．2 B．3 C．4
2．（25-26七年级上·山西太原·开学考试）下面不是方程的是（　　）
A． B． C． D．
3．（26-27七年级上·北京·随堂练习）在， ， ，， ，中等式有：___________方程有：___________（填序号）
4．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）下列各式中___是等式，___是方程(填序号)．
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩．
5．（25-26七年级上·河北沧州·阶段检测）“比的相反数大的数与的差是”用等式表示为（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26七年级上·广东广州·期末）第十五届全国运动会于2025年11月9日至21日在广东、香港、澳门举行．本次全运会是粤港澳三地首次联合承办的大型体育赛事，既展现了新时代中国式现代化建设成就，又彰显出“一国两制”制度的优势．在本次全运会中，香港特别行政区共获得19枚奖牌，其中金牌数比铜牌数多1枚，银牌数比铜牌数少6枚．设香港特别行政区所获铜牌数为枚，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（26-27七年级上·全国·单元测试）下面等量关系中，可以用表示的是（　　）
A．小芳买了只水笔，每支3元，付给营业员30元，找回6元
B．黑兔有只，白兔有30只，黑兔比白兔的3倍多6只
C．故事书有本，科技书有30本，科技书比故事书多6本
D．书法小组有人，舞蹈小组有30人，舞蹈小组的人数比书法小组人数的3倍少6人
8．（24-25七年级上·山东潍坊·期末）如图，一种常见的足球表面是由若干块黑皮和白皮缝合而成的，其中黑皮为正五边形，白皮为正六边形，已知黑皮和白皮共有块，每块黑皮周围有块白皮，每块白皮周围有块黑皮．若缝制这样一个足球需要黑皮块，由题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
9．（25-26七年级上·全国·单元复习）有下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，x＝2是其解的方程有_______．（填序号）
10．（25-26七年级上·全国·课后作业）填表：
x 0 1
当_______时，，所以方程的解是_______．
11．（24-25七年级下·北京·开学考试）已知方程，则在，，中，______是方程的解．
题型二、一元一次方程的相关概念
12．（25-26七年级上·广西贺州·期末）某班一个学习小组分发新购数学作业本，若每人发本，剩余本；若每人发本，还缺本．设学习小组人数为，可列一元一次方程：，已知是该方程的解，则参数的值为（ ）．
A． B． C． D．
13．（25-26七年级上·浙江金华·期末）小慧同学用尝试检验法估计关于的方程的解，部分数据如表所示，则下列可能是该方程的解的是（ ）
1 2 3
1 5
A． B． C． D．
14．（24-25七年级上·浙江台州·期末）方程“”一部分被遮挡．已知该方程的解为，则部分可能是（ ）
A．2 B． C． D．
15．（24-25七年级上·福建莆田·期中）下列各式中，，，，，，为一元一次方程的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
16．（2024七年级上·全国·专题练习）下列各式：①；②；③ ；④；⑤；
⑥；⑦．其中______是方程，______是一元一次方程．
题型三、等式的性质
17．（26-27七年级上·江苏常州·开学考试）如下图，要使右边的天平保持平衡，在虚线框里要放（ ）个小白球．
A．4 B．5 C．6 D．7
18．（25-26七年级上·河南郑州·期末）若，则下列等式错误的是（ ）
A． B． C． D．
19．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）将变形一次得到，则此次变形是给等式两边加（　　）
A． B． C． D．
20．（25-26七年级上·河北保定·阶段检测）在将等式变形时，嘉淇的变形过程如下：
解：因为，
所以，（第一步）
所以．（第二步）
下列对嘉淇的变形过程的判断和论述正确的是（ ）
A．第一步变形错误，化简结果应该是
B．第二步变形错误，化简结果应该是
C．第一步第二步都有错误，最终化简结果应该是
D．第一步和第二步都没有错误
21．（25-26七年级下·浙江温州·期末）小州用烧杯装不同体积的某液体，测得烧杯和液体的总质量（单位：g）与液体体积（，单位：）的关系满足．若用与表示，则__________．
22．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）若，则_______．
23．（25-26七年级上·四川德阳·阶段检测）洛书，源起华夏，是承载着古老智慧的数学结晶（图1），其数字排列构成一个三阶幻方（图2）．观察图1，图2，根据三阶幻方的特征，推导图3中的值为____________．
题型四、解一元一次方程
24．（25-26七年级上·广西南宁·开学考试）解方程：
25．（25-26七年级下·重庆渝北·开学考试）．
26．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）在解方程时，三位同学提出了不同的思路和方法：
(1)请在三种思路方法中选择你最喜欢的一种： ；（填写编号①②③中的一个）简述选择的理由： ；
(2)请写出完整的解题过程．
27．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列解方程的过程是否正确？如果不正确，请改正过来．
(1)，
，
，
．
(2)，
，
，
，
．
28．（2026·河北沧州·模拟预测）在解方程时，两位同学提出了如下两种解法．
嘉嘉的解法： 淇淇的解法：
利用分数的性质， 得， …… 利用等式的性质， 得， ……
(1)对于嘉嘉的解法，他是将的分子、分母同时扩大为原来的________倍；对于淇淇的解法，他是将等式两边同时乘以________，或同时除以________；
(2)从以上两种解法中任选一种，写出正确的解答过程．
29．（25-26七年级下·河南周口·期中）【阅读理解】
在解一元一次方程时，有时根据方程的特点，巧妙利用“整体思想”，可以达到简化计算的目的．例如：在解方程时，可把看作一个整体，令，原方程变为，解得，即，解得．
【尝试运用】
(1)请用材料中介绍的方法解方程：．
(2)已知关于x的方程的解为，则关于x的方程的解为________．
(3)【拓展创新】已知关于x的一元一次方程的解为，直接写出关于y的一元一次方程的解．
题型五、一元一次方程的应用
30．（26-27七年级上·安徽淮南·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．
(1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值；
(2)若“美好方程”的两个解的差为7，其中一个解为n，求n的值；
(3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解．
31．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）定义：若一个关于x的一元一次方程的解与另一个关于y的一元一次方程的解满足，则称这两个方程为“五好关联方程”．例如：方程的解是，方程的解是，因为，所以它们是“五好关联方程”．
(1)判断方程与方程是否为“五好关联方程”，并说明理由；
(2)若方程与方程是“五好关联方程”，求a的值；
(3)已知方程与方程是“五好关联方程”，，且m、n均为正数，求m的值．
32．（25-26七年级上·山西太原·期末）近年来，汉服文化如雨后春笋般在全国各地兴起，人们尝试用自己的方式重新建立与历史的连接．绒花发簪作为汉服整体造型中的关键配饰也吸引了更多人的关注和喜爱．某手工坊制作某款绒花发簪，一支绒花发簪需要搭配1支簪杆和3朵绒花．已知每名匠人每天可以制作簪杆15支或绒花30朵，手工坊安排了25名匠人参与制作．若使每天生产的簪杆和绒花的数量刚好配套，手工坊应该分别安排多少名匠人制作簪杆和绒花？
33．（25-26七年级上·河南信阳·期末）“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶作为中国传统文化的重要部分，茶具选择影响品茶体验．某茶具厂共有45个工人，每个工人一天能做40个茶杯或8个茶壶，如果10个茶杯和1个茶壶为一套．
(1)如何安排生产可使每天生产的产品配套？
(2)该厂承接一批茶具订单，若由1人制作这批茶具需要完成．现计划由一部分人先做，然后增加人与他们一起合作，恰好完成这项工作的，假设这些人的工作效率相同，应怎样安排参与制作茶具的具体人数？
34．（25-26七年级下·重庆·开学考试）一组工人要完成相邻2列火车的卸货任务，其中卸完火车所需时间是火车的2倍．他们上午10点开始工作，先全组人一起卸火车的货物，到了，分出一半人去卸火车的货物，14点时，火车的货已经卸完，火车剩下的货还需14人共同工作1小时完成．如果每人的工作效率相同，那么该组工人一共有多少人？
35．（2026·安徽·模拟预测）为打造智慧校园，学校安排小辰和小泽共同完成智能导览地图的点位标注工作．若小辰单独完成全部标注，需要6小时；若小泽单独完成，需要3小时．工作时，小辰先单独做了一段时间，之后去协助调试导览机器人，剩下的任务由小泽单独做完．从开始到完成全部任务，一共用了4小时．求小辰参与标注的时间是多少小时？
36．（21-22七年级上·广西河池·期末）列方程解题：某电子商场计划购进A、B两种充电宝共1000个，它们的进价、售价如下图所示：
型号 进价（元/个） 售价（元/个）
A 25 30
B 45 60
(1)若进货款恰好为39000元时，求A型充电宝的数量；
(2)若商场销售完所进充电宝时利润为11000元，求B型充电宝的数量．
37．（25-26七年级上·北京·期末）列方程解下列问题：十一晋元中学拟定于年月日举办“智启未来数创无限”主题数学文化节，需要准备九连环、华容道、魔方三种数学玩具共个作为奖励每种玩具都要有，其中华容道的单价比九连环的单价贵元，买个华容道和个九连环共需要元．
(1)九连环和华容道的单价分别是多少元？
(2)若某超市的魔方有两种类型，学校只能从中选择一种类型．价格如表：
魔方类型 正阶魔方 异形魔方
单价 元 元
若学校用元去购买这三种数学玩具，且九连环和魔方的数量是相同的，应该选择哪种类型的魔方比较合适？购买方案是什么？请说明理由．
38．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）为深入贯彻国家关于青少年学生读书行动的部署要求，汾阳市教育体育局持续推动全民阅读行动，扎实建设“书香校园”，不断丰富阅读内涵、拓展育人载体，使书香氛围日益浓厚、阅读品牌持续擦亮．近日，全市中小学生“书香润心灵，思辨启智慧”阅读知识大赛决赛圆满落下帷幕．其中抢答环节共设20道题，每题必答，答对一题得5分，答错或不答一题扣5分．小明最终得分80分，他答对了几道题
39．（25-26七年级上·四川泸州·期末）在“川超”联赛（四川省城市足球联赛）川南赛区的角逐中，泸州窖香队完赛8场．根据联赛积分规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，该队累计斩获14分，且胜场场次恰好是负场场次的2倍．请问泸州窖香队在本次赛事中的胜、平、负场次各为多少？
40．（25-26七年级上·江苏南京·期末）电信公司电话费有两个套餐方案可供顾客选择．
套餐1：月租20元，每分钟元；
套餐2：月租40元，每分钟k元．
(1)若，每月电话时间为x分钟，如何选择套餐更划算？
(2)若，每月电话时间为x分钟，如何选择套餐更划算？
(3)若每月电话时间为x分钟，如何选择套餐更划算？
41．（25-26七年级上·山东临沂·期末）小李去临沂滨河乐园游玩，乐园推出两种购票优惠：
方式一：“60元抵90元”代金券（实付60元得90元券），一次最多用2张，代金券金额不能超过应付总金额．
方式二：门票不打折，其余游乐项目全部a折．
(1)若消费总额为130元，用方式一实际付款______元；
(2)小李买了40元门票和200元游乐项目，用方式二付款160元，求a的值；
(3)在（2）的条件下，如果小李计划花费220元（含买券费用）游玩，为了体验更多金额的游乐项目，小李应该选择哪种方式？（门票不计入游乐项目）？
42．（25-26七年级上·四川达州·开学考试）为了增强公民节约意识，市电力局制定了以下用电收费标准：每户每月用电如果不超过100度，那么每度按基本电费0.53元收费，超过100度至150度的部分，每度电费要比基本电费增加20；超过150度的部分，每度电费要比基本电费增加50．李明家上月付电费103.88元、那么请你算一算，李明家上月用电多少度？
43．（25-26七年级上·浙江金华·期末）【提出问题】
为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用“阶梯收费”．根据以下素材，探索小明家水费与用水量情况．
下表是“阶梯收费”标准，其中水费=自来水费+污水处理费，每月水费以整数立方米水量计费．
收费标准 年用水量 水费（元） 自来水费（元） 污水处理费（元）
第一阶梯 不超过 2.6 1.65 0.95
第二阶梯 超过但不超过的部分 3.95 3.0
第三阶梯 超过的部分 7.8 6.85
【理解问题】
若1月至11月累计用水量为，12月用水量为，则12月水费为（元）．
【解决问题】
任务1：已知2025年11月用水量在第一阶梯，且水费为65元，求11月污水处理费多少元
任务2：2025年12月用水量，若第一阶梯用水量比第二阶梯少，用的代数式表示12月水费．
任务3：2025年12月水费70.9元，用水量，求小明家2025年全年水费多少元
44．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）一支舰艇护航编队匀速前往距离海里的海上平台（以下简称“平台”），编队出发小时后，平台派出一艘补给船进行一次海上补给任务，编队和补给船在同一航线上相向而行．已知补给船以最高速度匀速前行，是编队现行速度的倍，小时后相遇．
(1)求护航编队的速度；
(2)护航编队始终保持原有速度匀速航行，相遇后，补给船立即调头随编队同向而行（调头时间忽略不计），同时开展补给任务，时间持续小时，补给完成时该船还剩余燃料单位．随后，补给船可选择加入编队一同前往平台，也可选择以最高速度单独返回．已知补给船的燃料消耗速度为单位/小时（为补给船的速度，单位：海里/小时）．
①若补给船选择单独返回平台，则其回到平台时剩余燃料为 单位；
②若补给船选择加入编队同行小时后，再以最高速度返回平台，到达平台时燃料刚好用完，求的值．
45．（25-26七年级上·四川达州·开学考试）甲、乙、丙是三个车站，乙站到甲、丙两站的距离相等，小军和小明分别从甲、丙两站同时出发相向而行，小军过乙站100米后与小明相遇．然后两人保持原速继续前进，小军到达丙站后立即返回，经过乙站后300米又追上小明．问：甲、丙两站的距离是多少米？
46．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）2026年春节联欢晚会的吉祥物形象分别是“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马．某厂家准备制造个小马玩偶，现需从有人的甲团队和有人的乙团队里各抽调一些人去制造小马玩偶．如果从乙团队抽调的人数比从甲团队抽调的人数少4人，那么乙团队剩余人数正好是甲团队剩余人数的．则从甲团队和乙团队各抽调了多少人去制造小马玩偶？
47．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段检测）扬州是中国历史文化名城，物产丰饶，其中“绿杨春”茶叶尤为著名．现有、两名农户种植茶叶，农户种植了8亩“绿杨春”茶叶，农户种植了12亩“绿杨春”茶叶，农户平均每亩“绿杨春”制成的茶叶重量是农户每亩制成茶叶重量的（制作茶叶的过程中的损耗忽略不计）．农户制成绿杨春茶叶，农户制成绿杨春茶叶，今年制成“绿杨春”茶叶和“绿杨春”茶叶两种产品共计千克．两种产品的销售规格如下表：
每盒净重（） 每盒售价（元）
绿杨春茶叶
绿杨春茶叶
根据以上信息，回答下列问题：
(1)求制成的“绿杨春”茶叶和“绿杨春”茶叶各多少千克
(2)若销售这两种茶叶共盒，销售额为元，求销售“绿杨春”的盒数；
(3)若张华第一次销售这两种茶叶共盒，第二次销售时对所有剩下的“绿杨春”茶叶打八折促销．两次销售完后，他发现第二次总销售额比第一次总销售额多元．求第一次销售“绿杨春”多少盒
48．（25-26七年级上·浙江金华·期末）随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们出行的时间与方式有了更多的选择．某市出租车、滴滴快车的收费标准见下表（该市规定它们行驶的平均速度为40公里/时）．
（出租车） 滴滴快车
起步价：8元（适用于行驶2.5公里以内）； 超公里费：超过起步里程（2.5公里）后， 每公里的费用2.5元/公里： 空驶费：当行驶距离超过5公里时，超出 部分加收的空驶费． 例如：20公里的费用为： 元 起步价：12元； 里程费：15公里以内，每公里2元： 远途费：超过15公里，超过部分每公里加收1元； 时长费：每分钟0.4元． 例如：20公里的费用为： 元
（温馨提示：以40公里/小时的行驶速度计算）
(1)若乘坐这两种交通工具的里程数都是10公里，则出租车费用为 元：滴滴快车费用为 元．
(2)已知甲乙两地的里程数超过15公里．从甲地到乙地，乘坐出租车比滴滴快车节省6元，求甲乙两地间的里程数．
(3)滴滴快车对第一次下单的乘客有立减6.2元的优惠活动．如果有位顾客第一次下单，按他乘坐的里程数计算，乘出租车和滴滴快车的收费相同，求这位顾客乘车的里程数（精确到0.1公里）．
49．（25-26七年级上·浙江台州·期末）我市某中学组织七年级师生秋游，由王老师和王林、李宏两同学到客车租赁公司洽谈租车事宜，下面两图是洽谈时的场景，
请根据图中场景解答下列问题：
(1)你知道45座和60座的客车每辆每天的租金各是多少元
(2)求七年级师生的总人数；
(3)从经济角度考虑，该如何设计租车方案，并说明理由．

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